Khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích su

  • 78 trang
  • file .pdf
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN NGỌC LÂM
KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN
CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP
THÊM HAI PHOTON TÍCH SU (1,1)
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU
Thừa Thiên Huế, năm 2017
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN NGỌC LÂM
KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN
CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP
THÊM HAI PHOTON TÍCH SU (1,1)
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC
Thừa Thiên Huế, năm 2017
i
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS.
Trương Minh Đức đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập và hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp này.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô trong khoa Vật Lý và phòng
Sau Đại học - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế đã tận tình giảng
dạy, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Xin gởi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, các thầy cô trường PTDTNT
Vân Canh – Sở GD & ĐT tỉnh Bình Định đã tạo điều kiện thuận lợi cho
tôi trong suốt quá trình học tập và công tác.
Qua đây, tôi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình cùng bạn bè,
các anh, chị học viên Cao học khóa 24 đã động viên, góp ý, giúp đỡ và
tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài.
Tác giả luận văn
Nguyễn Ngọc Lâm
ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các
kết quả, số liệu, đồ thị được nêu trong luận văn là trung thực và chưa
từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Tác giả luận văn
Nguyễn Ngọc Lâm
iii
MỤC LỤC
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
MỞ ĐẦU 1
Chương 1: Cơ sở lý thuyết 5
1.1. Trạng thái kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Các tính chất của trạng thái kết hợp . . . . . . . . . 7
1.1.3. Một số tính chất của toán tử dịch chuyển . . . . . . 9
1.1.4. Trạng thái kết hợp thêm photon . . . . . . . . . . . 12
1.2. Trạng thái nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Một số tính chất phi cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1. Tính chất nén tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2. Tính chất nén hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3. Tính chất nén bậc cao hai mode . . . . . . . . . . . 16
1.3.4. Tính chất phản kết chùm bậc cao . . . . . . . . . . 16
1.3.5. Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . . . 18
1.4. Các tiêu chuẩn đan rối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1. Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy . . . . . . . . . . 19
1.4.2. Tiêu chuẩn đan rối Mancini . . . . . . . . . . . . . . 20
iv
Chương 2: Khảo sát các tính chất nén của trạng thái hai
mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) 22
2.1. Trạng thái hai mode SU (1,1) . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1. Đại số SU (1,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2. Trạng thái hai mode kết hợp SU (1,1) . . . . . . . . 24
2.2. Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) 29
2.3. Khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai mode kết
hợp thêm hai photon tích SU (1,1) . . . . . . . . . . . . . 30
2.4. Khảo sát tính chất nén hiệu của trạng thái hai mode kết
hợp thêm hai photon tích SU (1,1) . . . . . . . . . . . . . 37
2.5. Khảo sát tính chất nén bậc cao của trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) . . . . . . . . . . . 38
Chương 3: Khảo sát tính chất phản kết chùm và sự vi
phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của trạng thái
hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) 43
3.1. Khảo sát tính chất phản kết chùm của trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) . . . . . . . . . . . 43
3.1.1. Trường hợp l =1, p=1; l =2, p=1 . . . . . . . . . . . 45
3.1.2. Trường hợp l =2, p=2; l =3, p=3 . . . . . . . . . . . 45
3.1.3. Trường hợp l =3, p=1; l =3, p=2 . . . . . . . . . . . 46
3.1.4. Trường hợp l =4, p=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2. Khảo sát sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy – Schwarz của
trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) 47
Chương 4: Nghiên cứu tính chất đan rối của trạng thái
hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) 51
4.1. Nghiên cứu tính chất đan rối của trạng thái hai mode kết
hợp thêm hai photon tích SU (1,1) theo tiêu chuẩn đan rối
Hillery–Zubairy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
v
4.2. Nghiên cứu tính chất đan rối của trạng thái hai mode kết
hợp thêm hai photon tích chẵn SU (1,1) theo tiêu chuẩn
đan rối Mancini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
KẾT LUẬN 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO 60
PHỤ LỤC
vi
DANH SÁCH HÌNH VẼ
2.1 Sự phụ thuộc của tham số nén tổng hai mode S vào r của
trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) và trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1)(∗∗) , cho q = 0, 1 và
cos(φ + ϕ) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Sự phụ thuộc của tham số nén bậc cao hai mode Sab (N, φ)
vào r của trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) và trạng
thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1)(∗∗) ,
cho q = 0, 1; N = 2, 4 và cos(φ − ϕ) = 0. . . . . . . . . . . 41
3.1 Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm hai mode Aab (l, p)
vào r của trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) và trạng
thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1)(∗∗) ,
cho q = 0, 3 và l = 1, p = 1; l = 2; p = 1. . . . . . . . . . . 45
3.2 Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm hai mode Aab (l, p)
vào r của trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) và trạng
thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1)(∗∗) ,
cho q = 0, 3 và l = 2, p = 2; l = 3; p = 3. . . . . . . . . . . 45
3.3 Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm hai mode Aab (l, p)
vào r của trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) và trạng
thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1)(∗∗) ,
cho q = 0, 3 và l = 3, p = 1; l = 3; p = 2. . . . . . . . . . . 46
vii
3.4 Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm hai mode Aab (4, 3)
vào r của trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) và trạng
thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1)(∗∗) ,
cho q = 0, 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Sự phụ thuộc của tham số I vào r của trạng thái hai mode
kết hợp SU (1, 1) và trạng thái hai mode kết hợp thêm hai
photon tích SU (1, 1)(∗∗) , cho q = 0, 2. . . . . . . . . . . . . 48
4.1 Sự phụ thuộc của hệ số đan rối E vào r của trạng thái
hai mode kết hợp SU (1, 1) và trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU (1, 1)(∗∗) , cho h = 2, cos(2ϕ) = 1
và q = 0, 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Sự phụ thuộc của hệ số đan rối R vào r của trạng thái
hai mode kết hợp SU (1, 1) và trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU (1, 1)(∗∗) , cho q = 0, 3 và cos(ϕ) = 1. 55
viii
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Thông tin liên lạc luôn là nhu cầu tất yếu của con người trong mọi
thời đại. Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, lĩnh vực thông
tin liên lạc không ngừng phát triển cả về phương tiện và cách thức truyền
tin để đảm bảo thông tin được truyền đi xa, nhanh và chính xác. Tuy
nhiên, với cách thức thông tin cổ điển mà chúng ta đang sử dụng hiện
nay thì tốc độ truyền tin vẫn còn thấp, khoảng cách truyền chưa xa. Đôi
khi, thông tin vẫn có thể thoát ra ngoài dù đã được mã hóa rất nhiều
lần. Vậy có cách nào để thông tin truyền nhanh, đi xa mà vẫn đảm bảo
chất lượng và bảo mật một cách tuyệt đối?
Vào khoảng giữa thế kỷ XX, ngành vật lý đã có những nghiên cứu
về các trạng thái mới mà xuất phát điểm là hệ thức bất định Heisenberg,
cho rằng hạt vi mô không thể xác định được đồng thời cả tọa độ và xung
lượng. Trạng thái vật lý đầu tiên được nghiên cứu rộng rãi đó là trạng
thái kết hợp. Nó được bắt nguồn từ sự nghiên cứu của Schrödinger vào
năm 1926 [33] khi khảo sát dao động tử điều hòa, ông cho rằng: “Các
trạng thái kết hợp như là các bó sóng có tính chất động lực học tương
tự như một hạt cổ điển chuyển động trong thế năng bậc hai”. Năm 1963,
trạng thái kết hợp được Glauber [14] và Sudarshan [36] đưa ra chính
thức là: Trạng thái kết hợp là trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ
nhất suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg. Trạng thái này có thể được
1
xem là “ trạng thái biên” của tập hợp các trạng thái cố điển. Điều đó đã
khiến cho các nhà vật lý học nghĩ đến sự tồn tại của một lớp các trạng
thái kết hợp khác, đó là trạng thái phi cổ điển. Và thực tế đã chứng minh
dự đoán đó, nhiều trạng thái phi cổ điển đã ra đời không chỉ về mặt lý
thuyết mà còn tạo ra bằng thực nghiệm. Sau đó, khái niệm trạng thái
nén được đưa ra bởi Stoler [35] vào năm 1970 và đã được Hollenhorst
[21] đặt tên. Trạng thái nén đã được thực nghiệm khẳng định vào năm
1987. Đây là trạng thái mở đầu cho lớp các trạng thái phi cổ điển.
Các nhà khoa học đang tập trung nghiên cứu việc tạo ra các trạng
thái phi cổ điển của trường điện từ. Điển hình đó là các trạng thái nén,
đây là các trạng thái phi cổ điển vì chúng tuân theo các tính chất phi
cổ điển. Vào năm 1991, Agarwal và Tara đã đề xuất ý tưởng về trạng
thái kết hợp thêm photon [7] và cũng chứng minh được đó là một trạng
thái phi cổ điển, nó thể hiện tính nén, tính phản kết chùm và tuân theo
thống kê Sub-Poisson. Trạng thái SU (1,1) đã được Perelomov [29] tìm
ra vào năm 1972. Vào năm 2014, học viên Lê Đình Nhân đã nghiên các
tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode SU (1,1) [4]. Năm 2015,
học viên Nguyễn Văn Anh đã nghiên cứu các tính chất phi cổ điển của
trạng thái hai mode kết hợp thêm photon chẵn [1]. Năm 2016, học viên
Hoàng Thị Mỹ đã nghiên cứu các tính chất phi cổ điển của trạng thái
hai mode SU (1,1) thêm một photon chẵn [3]. Tuy nhiên chưa có đề tài
nào nghiên cứu các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode thêm
hai photon tích SU (1,1). Với mong muốn hiểu rõ các tính chất phi cổ
điển của trạng thái hai mode thêm hai photon tích SU (1, 1) và bước đầu
nghiên cứu ứng dụng của trạng thái này trong công nghệ thông tin lượng
tử cũng như các ứng dụng sau này. Từ các lý do đã nêu, chúng tôi quyết
định chọn đề tài: “Khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng
thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1)” làm Luận
văn tốt nghiệp Thạc sĩ.
2
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu các tính chất nén bao gồm tính
chất nén tổng, nén hiệu, nén bậc cao, tính chất phản kết chùm bậc cao,
tính chất đan rối và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của trạng
thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1).
3. Nội dung nghiên cứu
Trên cơ sở mục tiêu nghiên cứu của đề tài, chúng tôi tập trung đi
sâu vào các nội dung chính như sau:
- Đưa ra trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1);
- Nghiên cứu các tính chất nén tổng, nén hiệu hai mode và nén bậc cao
của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1);
- Nghiên cứu tính chất phản kết chùm bậc cao của trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1);
- Nghiên cứu sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của trạng thái
hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1);
- Nghiên cứu tính chất đan rối của trạng thái hai mode kết hợp thêm
hai photon tích SU (1, 1);
- Nghiên cứu phần mềm Mathematica để vẽ đồ thị.
4. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu, chúng tôi sử dụng một số phương pháp
nghiên cứu sau:
- Vận dụng kiến thức về lý thuyết trường lượng tử và các phương pháp
quang lượng tử để tính toán đưa ra các biểu thức cụ thể;
- Sử dụng phần mềm Mathematica để tính số và vẽ đồ thị.
3
5. Phạm vi nghiên cứu
Trong Luận văn này, chúng tôi chỉ nghiên cứu các tính chất phi cổ
điển của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1).
6. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, Luận văn được chia
làm ba phần chính, trong đó:
Phần mở đầu: Nêu rõ tính cấp thiết của đề tài, mục tiêu, nhiệm vụ,
phạm vi, phương pháp nghiên cứu và bố cục của Luận văn.
Phần nội dung: Bao gồm bốn chương:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết.
Chương 2: Khảo sát các tính chất nén của trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU (1, 1).
Chương 3: Khảo sát tính chất phản kết chùm bậc cao và sự vi phạm
bất đẳng thức Cauchy-Schawrz của trạng thái hai mode kết hợp thêm
hai photon tích SU (1,1).
Chương 4: Khảo sát tính chất đan rối của trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU (1, 1).
Phần Kết luận: Nêu lên kết quả đạt được của Luận văn và đề xuất
hướng mở rộng nghiên cứu.
4
Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Các trạng thái phi cổ điển đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực xử
lý thông tin và truyền thông lượng tử, trong đó các tính chất phi cổ điển
của chúng được khai thác nhằm tăng tốc độ truyền, xử lý, giảm độ nhiễu
hay bảo mật thông tin. Các tính chất phi cổ điển của trạng thái phi cổ
điển mà chúng tôi đưa ra được nghiên cứu theo trình tự lôgic, xuất phát
từ những kiến thức cơ bản làm nền tảng sẽ được trình bày trong chương 1
này, bao gồm: tính chất nén tổng; nén hiệu; nén bậc cao; tính chất phản
kết chùm bậc cao; sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz; tính chất
đan rối theo tiêu chuẩn Hillery-Zubairy và tiêu chuẩn Mancini.
1.1. Trạng thái kết hợp
1.1.1. Định nghĩa
Trạng thái kết hợp |αi là trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ
nhất suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg, được Glauber và Sudarshan
đưa ra vào năm 1963 [14, 36].
Trạng thái kết hợp |αi là trạng thái riêng của toán tử hủy photon
â với trị riêng α là một số phức,
â|αi = α|αi,
hα|↠= α∗ hα|. (1.1)
Trạng thái kết hợp |αi có thể được tạo ra bằng cách tác dụng toán
5
tử dịch chuyển D̂(α) lên trạng thái chân không |0i
|α = D̂(α)|0i, (1.2)
trong đó D̂(α) = exp(α↠− α∗ â).
Sử dụng công thức Baker - Hausdorff,
1
exp(Â + B̂) = exp(Â) exp(B̂) exp(− [Â, B̂]). (1.3)
2
Ta có
D̂(α) = exp(α↠− α∗ â)
1
= exp(α↠) exp(−α∗ â) exp(− [α↠, −α∗ â]), (1.4)
2
trong đó [α↠, −α∗ â] = −|α|2 [↠, â] = |α|2 [â, ↠] = |α|2 , nên
1
D̂(α) = exp(α↠) exp(−α∗ â) exp(− |α|2 ). (1.5)
2
Sử dụng khai triển chuổi Taylor
(−α∗ â) (−α∗ â)2 (−α∗ â)3
exp(−α∗ â) = 1 + + + + ...
1! 2! 3!

X (−α∗ â)n
= . (1.6)
n=0
n!
Thay (1.6) vào (1.5) ta được

1 2 †
X (−α∗ â)n
D̂(α) = exp(− |α| ) exp(αâ ) . (1.7)
2 n=0
n!
Tác dụng toán tử dịch chuyển D̂(α) lên trạng thái chân không |0i

1 2 †
X (−α∗ â)n
D̂(α)|0i = exp(− |α| ) exp(αâ ) |0i. (1.8)
2 n=0
n!
Ta có

X (−α∗ â)n α∗ â (α∗ â)2 (α∗ â)3
|0i = 1− + − + ...)|0i
n=0
n! 1! 2! 3!
= |0i, (1.9)
6
vì â|0i = 0. Suy ra
1
D̂(α)|0i = exp(− |α|2 ) exp(α↠)|0i. (1.10)
2
Sử dụng khai triển chuổi Taylor
† α↠(α↠)2 (α↠)3
exp(αâ ) = 1 + + + + ...
1! 2! 3!

X (α↠)n
= , (1.11)
n=0
n!
ta được

1 2 X (α↠)n
D̂(α)|0i = exp(− |α| ) |0i
2 n=0
n!

1 2 X (α)n (↠)n
= exp(− |α| ) √ √ |0i
2 n=0 n! n!

1 2 X (α)n
= exp(− |α| ) √ |ni. (1.12)
2 n=0 n!
Như vậy, trạng thái kết hợp |αi khai triển trong không gian Fock
có dạng

1 2 X (α)n
|αi = exp(− |α| ) √ |ni. (1.13)
2 n=0 n!
1.1.2. Các tính chất của trạng thái kết hợp
a) Số hạt boson trung bình ở trạng thái kết hợp
hni ≡ hα|n|αi = hα|↠â|αi = |α|2 . (1.14)
Lưu ý â|αi = α|αi ⇒ hα|↠= hα|α∗ và điều kiện chuẩn hóa hα|αi = 1.
b) Xác suất để tìm ở trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson
Xuất phát từ trạng thái kết hợp

1 2 X (α)n
|αi = exp(− |α| ) √ |ni,
2 n=0 n!
7
Ta có

1 2 X (α)m 1 2 (α)n
hn|αi = exp(− |α| ) √ hn|mi = exp(− |α| ) √ ,
2 m=0 m! 2 n!
Suy ra
2n 2

2 |α| exp −|α| hnin exp (−hni)
P (n) = |hn|αi| = = . (1.15)
n! n!
c) Phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp
Vn = hα|n̂2 |αi − hα|n̂|αi2 = |α|2 . (1.16)
Trong khi đó, đối với trạng thái Fock Vn = 0, điều này có nghĩa là trong
trạng thái Fock |ni số hạt có thể đo được một cách chính xác nhưng
trong trạng thái |αi phép đo này phải chịu một sai số tỷ lệ với trung
bình của số hạt. Với các hệ các số hạt lớn như hệ photon trong các chùm
laser, hệ exciton ở mật độ cao,... việc xác định chính xác số hạt là không
thể làm được. Theo nguyên lý bất định, với độ bất định tối thiểu trong
trạng thái |αi, sự thăng giáng theo pha của hệ hạt là rất nhỏ. Như vậy,
các hạt trong trạng thái |αi hầu như có cùng một pha, trái ngược với
sự hoàn toàn không xác định về pha của các hạt trong trạng thái Fock.
Với ý nghĩa đó |αi được gọi là trạng thái kết hợp (các hạt đồng pha).
d) Tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp là một tập hợp đủ
Z
1
|αihα|d2 α = 1. (1.17)
π
e) Các trạng thái kết hợp tạo thành hệ quá đủ (overcomplete)
Mặc dù các trạng thái kết hợp là chuẩn hóa, hα|αi = 1, nhưng chúng lại
không trực giao với nhau, nghĩa là với hα|βi không triệt tiêu
1 1
hα|βi = exp(− |α|2 − |β|2 + α∗ β). (1.18)
2 2
Hệ quả của sự không trực giao là bất kỳ một trạng thái kết hợp nào
cũng được khai triển theo các trạng thái kết hợp khác
Z
0 1
|α i = |αihα|α0 id2 α
π
8
Z
1 1 1
= d2 α|αi exp(− |α|2 + α0 α∗ − |α0 |2 ). (1.19)
π 2 2
Điều này cho thấy rằng tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp tạo thành
hệ quá đủ (overcomplete).
1.1.3. Một số tính chất của toán tử dịch chuyển
Sự tạo thành các trạng thái kết hợp là do sự tác dụng của toán tử
dịch chuyển lên các vectơ trạng thái chân không. Các tính chất của nó
đóng một vai trò quan trọng trong việc hiểu rõ trạng thái kết hợp. Hơn
nữa, nó còn thể hiện tầm quan trọng rất lớn trong quá trình viễn tải
lượng tử. Vì vậy trong mục này chúng tôi đề cập đến một số tính chất
quan trọng của nó như sau
a) Tính chất 1
D̂† (α) = D̂−1 (α) = D̂(−α). (1.20)
Chứng minh:
Ta có
D̂a (α) = exp(α↠− α∗ â),
D̂a† (α) = exp(α∗ â − α↠) = exp[−α↠− (−α∗ â)] = D̂a (−α), (1.21)
mặt khác
1 1
D̂a−1 (α) = =
D̂a (α) exp(α↠− α∗ â)
= exp(−α↠+ α∗ â)) = D̂a† (α), (1.22)
Suy ra
D̂a† (α) = D̂a−1 (α) = D̂a (−α).
b) Tính chất 2
D̂−1 (α)âD̂(α) = â + α, (1.23)
9
D̂−1 (α)↠D̂(α) = ↠+ α∗ . (1.24)
Chứng minh (1.23):
Ta có
D̂a (α) = exp(α↠− α∗ â)
1
= exp(− |α|2 ) exp(α↠) exp(−α∗ â)
2
1 2
= exp( |α| ) exp(−α∗ â) exp(α↠), (1.25)
2

D̂a−1 (α) = D̂a (−α)
1
= exp( |α|2 ) exp(α∗ â) exp(−α↠), (1.26)
2
suy ra
D̂a−1 (α)âD̂a (α) = exp(α∗ â) exp(−α↠)â exp(α↠) exp(−α∗ â). (1.27)
Sử dụng công thức Baker - Hausdorff, với hai toán tử Â và B̂ bất kỳ ta

α2
exp(−αÂ)B̂ exp(αÂ) = B̂ − α[Â, B̂] + [Â, [Â, B̂]] − ... (1.28)
2!
Với  = ↠, B̂ = â và bỏ qua các số hạng bậc cao, ta có
exp(−α↠)â exp(α↠) = â − α[↠, â] = â + α[â, ↠] = â + α. (1.29)
Thay (1.29) vào (1.27) ta được
D̂a−1 (α)âD̂a (α) = exp(α∗ â)[â + α] exp(−α∗ â)
= exp(α∗ â)â exp(−α∗ â) + α exp(α∗ â) exp(−α∗ â)
= â + α∗ [â, â] + α = â + α. (1.30)
Chứng minh (1.24):
Tương tự, ta có
D̂a−1 (α)↠D̂a (α) = exp(α∗ â) exp(−α↠)↠exp(α↠) exp(−α∗ â), (1.31)
10
trong đó
exp(−α↠)↠exp(α↠) = ↠− α[↠, ↠] = ↠,
suy ra
D̂a−1 (α)a† D̂a (α) = exp(α∗ â)↠exp(−α∗ â)
= ↠+ α∗ [â, ↠] + α = ↠+ α∗ . (1.32)
c) Tính chất 3
 αβ ∗ − α∗ β 
D̂(α)D̂(β) = D̂(α + β) exp . (1.33)
2
Chứng minh:
Ta có
D̂(α) = exp(α↠− α∗ â) = exp(Â),
D̂(β) = exp(β↠− β ∗ â) = exp(B̂).
1 1
⇒ D̂(α)D̂(β) = exp(Â) exp(B̂) exp(− [Â, B̂]) exp( [Â, B̂])
2 2
1
= exp(Â + B̂) exp( [Â, B̂])
2
1
= exp[(α + β)↠− (α∗ + β ∗ )â] exp( [Â, B̂])
2
1
= D̂(α + β) exp( [Â, B̂]), (1.34)
2
trong đó
[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂ Â
= (α↠− α∗ â)(β↠− β ∗ â) − (β↠− β ∗ â)(α↠− α∗ a)
= αβ ∗ (â↠− ↠â) − α∗ β(â↠− ↠â)
= (αβ ∗ − α∗ β)[â, ↠]
= αβ ∗ − α∗ β. (1.35)
Suy ra
αβ ∗ − α∗
D̂(α)D̂(β) = D̂(α + β) exp( )
2
11