Khái niệm nguyên hàm và tích phân

  • 7 trang
  • file .pdf
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Khái niệm nguyên hàm và tích phân
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Khái niệm
 Nguyên hàm: Cho hàm f xác định trên D   . Hàm F là một nguyên hàm của hàm
f nếu F '  x   f  x  với mọi x  D .
 Họ nguyên hàm:  f  x  dx  F  x   C  F '  x   f  x  ( C là hằng số bất kỳ).
b b
 Tích phân:  f  x  dx  F  x   F  b   F  a  với F là một nguyên hàm của f .
a a
2. Tính chất
 Nguyên hàm
+)   kf  x   dx  k  f  x  dx .
+)   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx .
 Tích phân
b b
+)   kf  x   dx  k  f  x  dx .
a a
b b b
+)   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx .
a a a
a
+)  f  x  dx  0 .
a
b c b
+)  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx .
a a c
b a
+)  f  x  dx    f  x  dx .
a b
3. Công thức
1)  0du  C .
2)  du  u  C .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
u  1
3)  u  dx   C (   1 ).
 1
du 1
Đặc biệt:    C ( n   , n  2 ).
u n
 n  1 u n1
du
4)   ln u  C .
u
au
5)  a u du  C .
ln a
6)  eu du  eu  C
7)  cos udu  sin u  C .
8)  sin udu   cos u  C .
du
9)   tan u  C .
cos 2 u
du
10)    cot u  C .
sin 2 u
Trong các công thức trên, u được gọi là biểu thức dưới dấu vi phân. Khi tính tích phân, việc
phát hiện biểu thức dưới dấu tích vi phân là rất quan trọng. Trong phần này, ta sử dụng công thức
biến đổi biểu thức dưới dấu vi phân sau đây
d  ax  b 
dx  ,
a
trong đó, a , b là các hằng số, a  0 . Đặc biệt, cho a  1 , ta có công thức
dx  d  x  b  .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
B. Một số ví dụ
2
Ví dụ 1. Tìm họ nguyên hàm I    x  1  x  2  dx .
Giải
2
I    x  1  x  2  dx
   x 2  2 x  1  x  2  dx
   x 3  3 x  2  dx
1 4 3 2
 x  x  2x  C .
4 2
x2  2x
Ví dụ 2. Tìm họ nguyên hàm I   dx .
x 1
Giải
I 
 x  1 x  3  3 dx
x 1
 3 
  x 3  dx
 x 1 
1 2
 x  3x  3ln x  1  C .
2
4
Ví dụ 3. Tìm họ nguyên hàm I    2 x  1 dx .
Giải
1 4
I    2 x  1 d  2 x  1
2
1 5
  2 x  1  C .
10
2
Ví dụ 4. Tính tích phân I   2 x  1 dx .
0
Giải
1
Ta thấy 2 x  1 đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nên
2
1
2 2
I   2 x  1 dx   2 x  1 dx
0 1
2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
1
2 2
    2 x  1 dx    2 x  1 dx
0 1
2
1 2
   x 2  x    x2  x  1
2
0 2
5
 .
2
1 ln 2
x 1
Ví dụ 5. Tính tích phân I   e dx .
1
Giải
1 ln 2
x 1
I   e d  x  1
1
1 ln 2
 e x 1
1
1.
3
8
dx
Ví dụ 6. Tính tích phân I   .
 2 
cos  2 x  
4
 2
Giải
3 
d  2x  
8
1  2
I  
2  
cos 2  2 x  
4
 2
3
 8
 tan  2 x  
 2 
4
1.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
C. Bài tập
Bài 1. Tìm họ nguyên hàm
  x  x  5dx .
2 3 2
1) ĐS: x3  x2  5 x  C .
2 x 2  3 x 1
2)  x3
dx . ĐS: 2ln x  3x  21x2  C .
2 x  x 3e x  3 x 2
3)  x3
dx . ĐS:  3 x4 x  e x  3ln x  C .
2
 2 x 
4)  x
dx . ĐS: 8 x  4 x  2 x3 x  C .
2 3
5)   x  1 dx . ĐS: x3  x 2  x  C .
2 3
 1  2x  dx .
5 7
6) ĐS: x  2 x 3  125x  87x  C .
4
ĐS:  8   C .
3 2 x 3
7)   2 x  3 dx .
101
ĐS:  101  C .
100 x 1
8)   x  1 dx .
3x 3x
9)  e dx . ĐS: e3  C .
2
10)   e3x  e x  dx .
6x 4x 2x
ĐS: e6  e2  e2  C .
11)  e x  2  e  x  dx . ĐS: 2e x  x  C .
2x x x x
12)  2 .310.5x dx . ĐS: ln6 6  C .
25 x 26 x
13)  e e x 1 dx . ĐS:  e 6  e1x  C .
14)  sin 5xdx . ĐS:  cos5 x
5 C.
15)  cos 6xdx . ĐS: sin66 x  C .
16)  sin x cos xdx . ĐS:  cos42 x  C .
2
17)   sin x  cos x  dx . ĐS: x  cos22 x  C .
18)   sin 4 x  cos 4 x  dx . ĐS: 34x  sin164 x  C .
19)   sin 6 2 x  cos6 2 x  dx . ĐS: 58x  3sin648 x  C .
20)  cos  2 x  3  .cos  2 x  4  dx . ĐS: 18 sin  4 x  12   12 x sin 12  C .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5