Hiêu chỉnh phương trình toán tử loại i dựa trên toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh

  • 40 trang
  • file .pdf
Môc lôc
Më ®Çu 4
Ch­¬ng 1. Ph­¬ng tr×nh to¸n tö lo¹i I 7
1.1. To¸n tö ®¬n ®iÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Ph­¬ng tr×nh to¸n tö ®Æt kh«ng chØnh . . . . . . . . . . . . 11
Ch­¬ng 2. HiÖu chØnh ph­¬ng tr×nh to¸n tö lo¹i I 20
2.1. HiÖu chØnh dùa trªn to¸n tö tuyÕn tÝnh ®¬n ®iÖu m¹nh . . . 20
2.1.1. Sù héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2. Tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh . . . . . . . . . . 25
2.2. XÊp xØ h÷u h¹n chiÒu nghiÖm hiÖu chØnh . . . . . . . . . . 27
2.2.1. Sù héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh h÷u h¹n chiÒu . . . . . 27
2.2.1. Tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh h÷u h¹n chiÒu . . 32
2.3. Mét ph­¬ng ph¸p lÆp cho nghiÖm hiÖu chØnh . . . . . . . . 34
2.3.1. Sù héi tô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2. VÝ dô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
KÕt luËn 38
Tµi liÖu tham kh¶o 39
1
Lêi c¶m ¬n
LuËn v¨n nµy ®­îc hoµn thµnh t¹i Tr­êng §¹i häc Khoa häc, §¹i häc
Th¸i Nguyªn d­íi sù h­íng dÉn tËn t×nh cña c« gi¸o TS. NguyÔn ThÞ Thu
Thñy. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi C«.
Trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ lµm luËn v¨n, th«ng qua c¸c bµi gi¶ng, t¸c
gi¶ lu«n nhËn ®­îc sù quan t©m gióp ®ì vµ nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp quý b¸u
cña c¸c gi¸o s­ cña ViÖn To¸n häc, ViÖn C«ng nghÖ Th«ng tin thuéc viÖn
Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam, cña c¸c thÇy c« gi¸o trong §¹i häc Th¸i
Nguyªn. Tõ ®¸y lßng m×nh, t¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn c¸c
ThÇy C«.
T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n Ban gi¸m hiÖu, phßng §µo t¹o Khoa häc
vµ Quan hÖ Quèc tÕ, Khoa To¸n-Tin Tr­êng §¹i häc Khoa häc, §¹i häc
Th¸i Nguyªn ®· quan t©m vµ gióp ®ì t¸c gi¶ trong suèt thêi gian häc tËp
t¹i Tr­êng.
Cuèi cïng, t«i xin göi lêi c¶m ¬n tíi gia ®×nh, b¹n bÌ, ®ång nghiÖp ®·
lu«n theo s¸t ®éng viªn t«i v­ît qua nh÷ng khã kh¨n trong cuéc sèng ®Ó
cã ®­îc ®iÒu kiÖn tèt nhÊt khi häc tËp vµ nghiªn cøu.
Th¸i Nguyªn, th¸ng 10 n¨m 2010
T¸c gi¶
Vò §×nh ChiÕn
2
Mét sè ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t
H kh«ng gian Hilbert thùc
X kh«ng gian Banach thùc
X∗ kh«ng gian liªn hîp cña X
Rn kh«ng gian Euclide n chiÒu
∅ tËp rçng
x := y x ®­îc ®Þnh nghÜa b»ng y
∀x víi mäi x
∃x tån t¹i x
I ¸nh x¹ ®¬n vÞ
A∩B A giao víi B
AT ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn A
a∼b a t­¬ng ®­¬ng víi b
A∗ to¸n tö liªn hîp cña to¸n tö A
D(A) miÒn x¸c ®Þnh cña to¸n tö A
R(A) miÒn gi¸ trÞ cña to¸n tö A
xk → x k
d·y {x } héi tô m¹nh tíi x
xk * x k
d·y {x } héi tô yÕu tíi x
3
Më ®Çu

Cho X lµ mét kh«ng gian Banach thùc ph¶n x¹, X lµ kh«ng gian liªn

hîp cña X , c¶ hai cã chuÈn ®Òu ®­îc kÝ hiÖu lµ k.k, A : X → X lµ to¸n tö

®¬n ®iÖu ®¬n trÞ. XÐt ph­¬ng tr×nh to¸n tö lo¹i I: víi f ∈ X , t×m x0 ∈ X
sao cho
A(x0 ) = f. (0.1)
Khi to¸n tö A kh«ng cã tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu ®Òu hoÆc ®¬n ®iÖu m¹nh, bµi
to¸n (0.1) nãi chung lµ mét bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh (ill-posed) theo nghÜa
nghiÖm cña nã kh«ng phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu.
NhiÒu bµi to¸n cña thùc tiÔn, khoa häc, c«ng nghÖ, kinh tÕ... dÉn tíi bµi
to¸n ®Æt kh«ng chØnh. Nh÷ng ng­êi cã c«ng ®Æt nÒn mãng cho lý thuyÕt bµi
to¸n ®Æt kh«ng chØnh lµ c¸c nhµ to¸n häc A. N. Tikhonov, M. M. Lavrentiev,
V. K. Ivanov .... Do tÝnh kh«ng æn ®Þnh cña bµi to¸n nµy nªn viÖc gi¶i sè
cña nã gÆp khã kh¨n. LÝ do lµ mét sai sè nhá trong d÷ kiÖn cña bµi to¸n
cã thÓ dÉn ®Õn mét sai sè bÊt kú cña nghiÖm. §Ó gi¶i lo¹i bµi to¸n nµy, ta
ph¶i sö dông nh÷ng ph­¬ng ph¸p æn ®Þnh, sao cho khi sai sè cña c¸c d÷
kiÖn cµng nhá th× nghiÖm xÊp xØ t×m ®­îc cµng gÇn víi nghiÖm ®óng cña
bµi to¸n xuÊt ph¸t. N¨m 1963, A. N. Tikhonov [7] ®· ®­a ra mét ph­¬ng
ph¸p hiÖu chØnh næi tiÕng vµ kÓ tõ ®ã lý thuyÕt c¸c bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh
®­îc ph¸t triÓn hÕt søc s«i ®éng vµ cã mÆt ë hÇu hÕt c¸c bµi to¸n thùc tÕ.
Néi dung chñ yÕu cña ph­¬ng ph¸p nµy lµ x©y dùng nghiÖm hiÖu chØnh cho
ph­¬ng tr×nh to¸n tö (0.1) trong kh«ng gian Hilbert thùc H dùa trªn viÖc
h,δ
t×m phÇn tö cùc tiÓu xα cña phiÕm hµm Tikhonov
Fαh,δ (x) = kAh (x) − fδ k2 + αkx∗ − xk2 (0.2)
trong ®ã α > 0 lµ tham sè hiÖu chØnh phô thuéc vµo h vµ δ , x∗ lµ phÇn tö
4
cho tr­íc ®ãng vai trß lµ tiªu chuÈn chän vµ (Ah , fδ ) lµ xÊp xØ cña (A, f ).
Hai vÊn ®Ò cÇn ®­îc gi¶i quyÕt ë ®©y lµ t×m phÇn tö cùc tiÓu cña phiÕm
hµm Tikhonov vµ chän tham sè hiÖu chØnh α = α(h, δ) thÝch hîp ®Ó phÇn
h,δ
tö cùc tiÓu x
α(h,δ) dÇn tíi nghiÖm chÝnh x¸c cña bµi to¸n (0.1) khi h vµ δ
dÇn tíi kh«ng.
ViÖc t×m phÇn tö cùc tiÓu cña phiÕm hµm Tikhonov sÏ gÆp nhiÒu khã
kh¨n trong tr­êng hîp bµi to¸n phi tuyÕn. §èi víi líp bµi to¸n phi tuyÕn

víi to¸n tö ®¬n ®iÖu A : X → X , F. Browder [5] ®­a ra mét d¹ng kh¸c
cña ph­¬ng ph¸p hiÖu chØnh Tikhonov. T­ t­ëng chñ yÕu cña ph­¬ng ph¸p

do F. Browder ®Ò xuÊt lµ sö dông mét to¸n tö B : X → X cã tÝnh chÊt h-
liªn tôc (hemicontinuous), ®¬n ®iÖu m¹nh lµm thµnh phÇn hiÖu chØnh. B»ng
ph­¬ng ph¸p nµy, NguyÔn B­êng [6] ®· x©y dùng nghiÖm hiÖu chØnh cho
ph­¬ng tr×nh to¸n tö lo¹i I (0.1) trªn c¬ së gi¶i ph­¬ng tr×nh
Ah (x) + αB(x) = fδ . (0.3)
B¶n luËn v¨n nµy nh»m môc ®Ých tr×nh bµy ph­¬ng ph¸p hiÖu chØnh cho
ph­¬ng tr×nh to¸n tö lo¹i I (0.1) trong kh«ng gian Banach ph¶n x¹ thùc
X dùa trªn to¸n tö tuyÕn tÝnh ®¬n ®iÖu m¹nh lµm thµnh phÇn hiÖu chØnh.
Tr×nh bµy ph­¬ng ph¸p x©y dùng nghiÖm hiÖu chØnh h÷u h¹n chiÒu vµ mét
ph­¬ng ph¸p lÆp t×m nghiÖm hiÖu chØnh.
Néi dung cña luËn v¨n gåm cã phÇn më ®Çu, hai ch­¬ng, phÇn kÕt luËn
vµ danh môc c¸c tµi liÖu tham kh¶o. Ch­¬ng 1 giíi thiÖu mét sè kiÕn thøc
c¬ b¶n nhÊt vÒ to¸n tö ®¬n ®iÖu, ph­¬ng tr×nh to¸n tö ®Æt kh«ng chØnh, sù
tån t¹i nghiÖm vµ tÝnh chÊt cña tËp nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh to¸n tö lo¹i
I. Trong ch­¬ng 2, chóng t«i tr×nh bµy ph­¬ng ph¸p hiÖu chØnh Browder-
Tikhonov cho ph­¬ng tr×nh to¸n tö lo¹i I dùa trªn to¸n tö tuyÕn tÝnh ®¬n
®iÖu m¹nh. Tr×nh bµy sù héi tô vµ tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh trªn
c¬ së tham sè hiÖu chØnh ®­îc chän tiªn nghiÖm. Chóng t«i còng tr×nh bµy
5
ph­¬ng ph¸p xÊp xØ h÷u h¹n chiÒu nghiÖm hiÖu chØnh vµ ë phÇn cuèi cña
ch­¬ng lµ mét ph­¬ng ph¸p lÆp cho nghiÖm hiÖu chØnh cïng víi vÝ dô minh
häa.
6
Ch­¬ng 1
Ph­¬ng tr×nh to¸n tö lo¹i I
Trong ch­¬ng nµy chóng t«i tr×nh bµy c¸c kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ c¬ b¶n
nhÊt vÒ ph­¬ng tr×nh to¸n tö lo¹i I víi to¸n tö ®¬n ®iÖu. Chóng t«i còng
tr×nh bµy kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh vµ ®­a ra mét vµi vÝ dô vÒ
ph­¬ng tr×nh to¸n tö ®Æt kh«ng chØnh. C¸c kiÕn thøc cña ch­¬ng nµy ®­îc
tham kh¶o tõ c¸c tµi liÖu [1], [2] vµ [4].
1.1. To¸n tö ®¬n ®iÖu

Cho A : X → X lµ to¸n tö ®¬n trÞ tõ kh«ng gian Banach thùc ph¶n x¹
X vµo X ∗ víi miÒn x¸c ®Þnh lµ D(A) ⊆ X (th«ng th­êng ta coi D(A) ≡ X

nÕu kh«ng nãi g× thªm) vµ miÒn gi¸ trÞ (miÒn ¶nh) R(A) n»m trong X .
§Þnh nghÜa 1.1.1. To¸n tö A ®­îc gäi lµ ®¬n ®iÖu nÕu
hAx − Ay, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ X.
A ®­îc gäi lµ ®¬n ®iÖu chÆt nÕu dÊu b»ng chØ ®¹t ®­îc khi x = y .
Kh¸i niÖm vÒ to¸n tö ®¬n ®iÖu còng cã thÓ ®­îc m« t¶ dùa trªn ®å thÞ
Gr(A) cña to¸n tö A trong kh«ng gian tÝch X × X ∗ , trong ®ã theo ®Þnh
nghÜa
Gr(A) = {(x, y) : y = Ax}.
§Þnh nghÜa 1.1.2. To¸n tö A ®­îc gäi lµ ®¬n ®iÖu nÕu
hx∗ − y ∗ , x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x∗ ∈ Ax, y ∗ ∈ Ay.
TËp Gr(A) ®­îc gäi lµ tËp ®¬n ®iÖu nÕu nã tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc trªn.
7
§Þnh nghÜa 1.1.3. NÕu Gr(A) kh«ng bÞ chøa mét tËp ®¬n ®iÖu nµo kh¸c

trong X × X th× to¸n tö A ®­îc gäi lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu cùc ®¹i.
§Þnh nghÜa 1.1.4. NÕu ∀x ∈ X ta cã hAx, xi ≥ 0 th× A ®­îc gäi lµ to¸n
tö x¸c ®Þnh kh«ng ©m, kÝ hiÖu lµ A ≥ 0.
? NhËn xÐt: NÕu A lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian Banach X
th× tÝnh ®¬n ®iÖu t­¬ng ®­¬ng víi tÝnh x¸c ®Þnh kh«ng ©m cña to¸n tö.
VÝ dô 1.1.1. Gi¶ sö H lµ kh«ng gian Hilbert, A : H → H lµ to¸n tö kh«ng
gi·n, tøc lµ
kAx − Ayk ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ X.
Khi ®ã to¸n tö I − A lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu, ë ®©y I lµ to¸n tö ®¬n vÞ trong
kh«ng gian Hilbert H .
VÝ dô 1.1.2. To¸n tö tuyÕn tÝnh A : RM → RM ®­îc x¸c ®Þnh bëi
A = B T B,
víi B lµ mét ma trËn vu«ng cÊp M , lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu.
§Þnh nghÜa 1.1.5. To¸n tö A ®­îc gäi lµ ®¬n ®iÖu ®Òu, nÕu tån t¹i mét hµm
kh«ng ©m δ(t), kh«ng gi¶m víi t ≥ 0, δ(0) = 0 vµ
hAx − Ay, x − yi ≥ δ(kx − yk), ∀x, y ∈ X.
2
NÕu δ(t) = cA t víi cA lµ mét h»ng sè d­¬ng th× to¸n tö A ®­îc gäi lµ ®¬n
®iÖu m¹nh.
§Þnh nghÜa 1.1.6. To¸n tö A ®­îc gäi lµ h-liªn tôc (hemicontinuous) trªn
X nÕu A(x + ty) * Ax khi t → 0 víi mäi x, y ∈ X vµ A ®­îc gäi lµ
d-liªn tôc (demicontinuous) trªn X nÕu tõ xn → x suy ra Axn * Ax khi
n → ∞.
8
VÝ dô 1.1.3. Hµm hai biÕn:
xy 2

nÕu (x, y) 6= (0, 0)


ϕ(x, y) = (x2 + y 4 )

0 nÕu (x, y) = (0, 0)
liªn tôc theo tõng biÕn riªng biÖt t¹i (0, 0) nh­ng kh«ng liªn tôc t¹i (0, 0).
Do ®ã nã h-liªn tôc t¹i (0, 0).
? NhËn xÐt: Mét to¸n tö ®¬n ®iÖu vµ h-liªn tôc trªn X th× d-liªn tôc.
§Þnh nghÜa 1.1.7. To¸n tö A : X → X ∗ ®­îc gäi lµ to¸n tö bøc, nÕu
hAx, xi
lim = ∞, ∀x ∈ X.
kxk→∞ kxk
§Þnh nghÜa 1.1.8. ¸nh x¹ U s : X → X ∗ (nãi chung ®a trÞ) x¸c ®Þnh bëi
U s (x) = {x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , xi = kx∗ ks−1 .kxk = kxks , s ≥ 2}
®­îc gäi lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu tæng qu¸t cña kh«ng gian X .
s
Khi s = 2 th× U th­êng ®­îc viÕt lµ U vµ ®­îc gäi lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu
chuÈn t¾c cña X .
? NhËn xÐt:
1) Trong kh«ng gian Hilbert H , ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c chÝnh lµ to¸n
tö ®¬n vÞ I trong H .
2) ¸nh x¹ ®èi ngÉu lµ mét trong nh÷ng vÝ dô vÒ to¸n tö ®¬n ®iÖu, nã tån
t¹i trong mäi kh«ng gian Banach.
p
Víi X = L (Ω), 1 < p < ∞ vµ Ω lµ mét tËp ®o ®­îc cña kh«ng gian
Rn th× ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c U cã d¹ng
(U x)(t) = kxk2−p |x(t)|p−2 x(t), t ∈ Ω.
9
p s
Trong kh«ng gian L (Ω), ¸nh x¹ ®èi ngÉu U cã tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu ®Òu vµ
liªn tôc Holder, v×
hU s (x) − U s (y), x − yi ≥ mU kx − yks , mU > 0, (1.1)
kU s (x) − U s (y)k ≤ C(R)kx − ykν , 0 < ν ≤ 1, (1.2)
ë ®©y C(R) lµ mét hµm d­¬ng vµ ®¬n ®iÖu t¨ng theo R = max{kxk, kyk}
(xem [3]).
§Þnh lý 1.1.1. (xem [4]) NÕu X ∗ lµ kh«ng gian Banach låi chÆt th× ¸nh x¹
®èi ngÉu chuÈn t¾c U : X → X ∗ lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu, bøc vµ d-liªn tôc.
H¬n n÷a, nÕu X lµ kh«ng gian Banach låi chÆt th× U lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu
chÆt.
Bæ ®Ò 1.1.1. (xem [9]) Cho X lµ mét kh«ng gian Banach thùc, f ∈ X ∗ vµ
A lµ mét to¸n tö h-liªn tôc tõ X vµo X ∗ . Khi ®ã, nÕu cã
hA(x) − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X,
th× A(x0 ) = f .
NÕu A lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu trªn X th× ®iÒu kiÖn trªn t­¬ng ®­¬ng
víi
hA(x0 ) − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X.
Bæ ®Ò 1.1.1 cã tªn lµ bæ ®Ò Minty, tªn mét nhµ to¸n häc Mü, ng­êi ®· chøng
minh kÕt qu¶ trªn trong tr­êng hîp kh«ng gian Hilbert. Sau nµy chÝnh «ng
vµ Browder ®· chøng minh ®éc lËp trong kh«ng gian Banach.
§Þnh nghÜa 1.1.9. Cho X lµ kh«ng gian Banach ph¶n x¹, f : X → R lµ
mét phiÕm hµm låi, chÝnh th­êng trªn X .
• Hµm f ®­îc gäi lµ nöa liªn tôc d­íi trªn X nÕu
lim inf f (y) ≥ f (x), ∀x ∈ X.
y→x
10
• Ta ®Þnh nghÜa ∂f (x) bëi
∂f (x) = {x∗ ∈ X ∗ : f (x) ≤ f (y) + hx∗ , x − yi, ∀y ∈ X}.

PhÇn tö x ∈ X ∗ ®­îc gäi lµ d­íi Gradient cña hµm f t¹i x vµ ∂f (x) ®­îc
gäi lµ d­íi vi ph©n cña f t¹i x.
D­íi vi ph©n cña mét hµm låi lµ mét vÝ dô ®iÓn h×nh vÒ to¸n tö ®¬n ®iÖu
cùc ®¹i lµ. Cô thÓ ta cã ®Þnh lý sau.
§Þnh lý 1.1.2. (xem [4]) Cho X lµ mét kh«ng gian Banach thùc ph¶n x¹,
X ∗ lµ kh«ng gian liªn hîp cña X . NÕu f : X → R ∪ {+∞} lµ hµm låi
chÝnh th­êng, nöa liªn tôc d­íi trªn X , th× ¸nh x¹ d­íi vi ph©n ∂f lµ mét

to¸n tö ®¬n ®iÖu cùc ®¹i tõ X vµo X .
§Þnh nghÜa 1.1.10. Hµm f ®­îc gäi lµ kh¶ vi G©teaux t¹i ®iÓm x ∈ X nÕu

∈ X ∗ sao cho
tån t¹i x
f (x + λy) − f (x)
lim = hx∗ , yi, ∀y ∈ X,
λ→+0 λ
∗ 0
vµ x ®­îc gäi lµ ®¹o hµm G©teaux cña f t¹i x, kÝ hiÖu lµ f (x).
§Þnh nghÜa 1.1.11. Cho A : X → Y lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian Banach
X vµo kh«ng gian Banach Y . To¸n tö A ®­îc gäi lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i
®iÓm x ∈ X , nÕu tån t¹i T ∈ L(X, Y ) sao cho:
A(x + h) = A(x) + T h + O(k h k),
víi mäi h thuéc mét l©n cËn cña ®iÓm θ . NÕu tån t¹i, th× T ®­îc gäi lµ ®¹o
0
hµm FrÐchet cña A t¹i ®iÓm x, ta viÕt A (x) = T.
1.2. Ph­¬ng tr×nh to¸n tö ®Æt kh«ng chØnh
XÐt ph­¬ng tr×nh to¸n tö lo¹i I
A(x) = f, (1.3)
11
ë ®©y A : X → Y lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian Banach X vµo kh«ng gian
Banach Y, f lµ phÇn tö thuéc Y .
§Çu thÕ kØ 20, J. Hadamard ®· ®­a ra ®Þnh nghÜa (xem [1] vµ tµi liÖu
dÉn):
§Þnh nghÜa 1.2.1. Cho A lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian X vµo kh«ng gian
Y . Bµi to¸n (1.3) ®­îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt chØnh nÕu
1) ph­¬ng tr×nh A(x) = f cã nghiÖm víi mäi f ∈ Y ;
2) nghiÖm duy nhÊt;
3) nghiÖm phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu.
NÕu Ýt nhÊt mét trong ba ®iÒu kiÖn trªn kh«ng tho¶ m·n th× bµi to¸n
(1.3) ®­îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh.
? NhËn xÐt:
1) Bµi to¸n t×m nghiÖm x phô thuéc vµo d÷ kiÖn f , nghÜa lµ x = R(f ),
®­îc gäi lµ æn ®Þnh trªn cÆp kh«ng gian (X, Y ) nÕu víi mçi ε > 0 cã thÓ t×m
®­îc mét sè δ(ε) > 0, sao cho tõ ρY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) ta cã ρX (x1 , x2 ) ≤ ε,
ë ®©y
x1 = R(f1 ), x2 = R(f2 ), f1 , f2 ∈ Y, x1 , x2 ∈ X.
2) Mét bµi to¸n cã thÓ ®Æt chØnh trªn cÆp kh«ng gian nµy nh­ng l¹i ®Æt
kh«ng chØnh trªn cÆp kh«ng gian kh¸c.
Trong nhiÒu øng dông th× vÕ ph¶i cña (1.3) th­êng ®­îc cho bëi ®o ®¹c,
nghÜa lµ thay cho gi¸ trÞ chÝnh x¸c f , ta chØ biÕt xÊp xØ fδ cña nã tho¶ m·n
kfδ − f k ≤ δ . Gi¶ sö xδ lµ nghiÖm cña (1.3) víi f thay bëi fδ (gi¶ thiÕt
r»ng nghiÖm tån t¹i). Khi δ → 0 th× fδ → f nh­ng víi bµi to¸n ®Æt kh«ng
chØnh th× xδ nãi chung kh«ng héi tô ®Õn x.
Sau ®©y ta sÏ chØ ra mét vµi vÝ dô vÒ to¸n tö A mµ (1.3) lµ bµi to¸n ®Æt
kh«ng chØnh.
12
§Þnh nghÜa 1.2.2. To¸n tö (phi tuyÕn) A ®­îc gäi lµ liªn tôc m¹nh, nÕu nã
¸nh x¹ mäi d·y héi tô yÕu thµnh d·y héi tô m¹nh tøc lµ nÕu xn * x suy ra
Axn → Ax.
MÖnh ®Ò 1.2.1. (xem [9]) Cho X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian Banach thùc.
NÕu A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh compact th× A liªn tôc m¹nh.
NÕu A lµ to¸n tö liªn tôc m¹nh th× bµi to¸n (1.3) (v« h¹n chiÒu) nãi
chung lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. ThËt vËy, gi¶ sö {xn } lµ mét d·y chØ héi
tô yÕu ®Õn x, xn * x, xn 6→ x vµ yn = A(xn ), y = A(x). Khi ®ã, do tÝnh
liªn tôc m¹nh cña A suy ra yn → y vµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh A(x) = f
kh«ng phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu.
Tuy nhiªn, còng cã mét vµi tr­êng hîp ®Æc biÖt cho ph­¬ng tr×nh to¸n
tö víi to¸n tö liªn tôc m¹nh. Ch¼ng h¹n, nÕu miÒn x¸c ®Þnh D(A) cña
to¸n tö A lµ h÷u h¹n chiÒu th× mäi d·y héi tô yÕu ®Òu héi tô m¹nh, do ®ã
chøng minh trªn kh«ng ¸p dông ®­îc. Vµ nÕu ta xÐt mét to¸n tö tuyÕn tÝnh
−1
compact víi miÒn ¶nh R(A) h÷u h¹n chiÒu th× to¸n tö ng­îc A nãi chung
lµ liªn tôc vµ khi ®ã bµi to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh A(x) = f lµ bµi to¸n ®Æt
chØnh.
VÝ dô 1.2.1. HÖ ph­¬ng tr×nh

x1 + x2 + x3 =3





x1 + 1, 01x2 + x3 = 3, 01



x1 + x2 + 1, 01x3 = 3, 01

cã nghiÖm lµ x1 = 1; x2 = 1 vµ x3 = 1. Trong khi ®ã hÖ ph­¬ng tr×nh

x1 + x2 + x3 =3





1, 01x1 + x2 + x3 = 3, 05



x1 + 1, 03x2 + x3 = 3, 06

13
206 −818
cã nghiÖm lµ x1 = 205; x2 = vµ x3 = .
3 3
Ta thÊy mét thay ®æi nhá cña hÖ sè trong ph­¬ng tr×nh ban ®Çu ®· kÐo
theo nh÷ng thay ®æi ®¸ng kÓ cña nghiÖm. Do vËy, ®©y lµ mét bµi to¸n ®Æt
kh«ng chØnh.
VÝ dô 1.2.2. Ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n Fredholm lo¹i I lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng
chØnh. ThËt vËy, xÐt ph­¬ng tr×nh
Zb
K(x, s)ϕ(s)ds = f0 (x), x ∈ [a, b], −∞ < a < b < +∞ (1.4)
a
ë ®©y nghiÖm lµ hµm ϕ(s), vÕ ph¶i f0 (x) lµ mét hµm sè cho tr­íc vµ h¹ch
∂K
K(x, s) cïng víi ®­îc gi¶ thiÕt lµ c¸c hµm liªn tôc trªn h×nh vu«ng
∂x
0 ≤ x, s ≤ 1. Gi¶ sö to¸n tö A ®­îc cho bëi
A : L2[a,b] → L2[a,b]
Zb
ϕ(s) 7→ f0 (x) = K(x, s)ϕ(s)ds
a
2
Sù thay ®æi cña vÕ ph¶i ®­îc ®o b»ng ®é lÖch trong kh«ng gian L[a,b] , tøc
2
lµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai hµm f1 (x) vµ f0 (x) trong L[a,b] x¸c ®Þnh bëi
 Zb  21
ρL2[a,b] (f0 , f1 ) = |f0 (x) − f1 (x)|2 dx .
a
Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh (1.4) cã nghiÖm lµ ϕ0 (s). Khi ®ã víi vÕ ph¶i
Zb
f1 (x) = f0 (x) + N K(x, s)sin(ωs)ds
a
th× nghiÖm lµ
ϕ1 (s) = ϕ0 (s) + N sin(ωs).
14
Víi N bÊt kú vµ ω ®ñ lín th× kho¶ng c¸ch gi÷a hai hµm f0 vµ f1 trong
2
kh«ng gian L[a,b] lµ
 Zb  Zb 2  12
ρL2[a,b] (f0 , f1 ) = |N | K(x, s)sin(ωs)ds dx
a a
cã thÓ lµm nhá tuú ý. ThËt vËy, ®Æt
Kmax = max |K(x, s)|,
a≤s,x≤b
ta tÝnh ®­îc
 Zb  b 2  12
1
ρL2[a,b] (f0 , f1 ) ≤ |N | Kmax cos(ωs) dx
ω a
a
|N |Kmax 4(b − a)
≤ .
ω
N
Ta chän N vµ ω lín tuú ý nh­ng l¹i nhá. Kho¶ng c¸ch gi÷a hai nghiÖm
ω
ϕ0 vµ ϕ1 trong kh«ng gian L2[a,b] cã thÓ lín bÊt kú. ThËt vËy:
 Zb  21  Zb  12
ρL2[a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) = |ϕ0 (s) − ϕ1 (s)|2 dx = |N | sin2 (ωx)dx
a a
r
b − a sin(ωb − ωa)cos(ωb + ωa)
= |N | − .
2 2ω
DÔ dµng nhËn thÊy r»ng hai sè N vµ ω cã thÓ chän sao cho ρL2 (f0 , f1 )
[a,b]
rÊt nhá nh­ng ρL2 (ϕ0 , ϕ1 ) l¹i rÊt lín.
[a,b]
VÝ dô 1.2.3. XÐt bµi to¸n cùc tiÓu hµm ϕ(y) = y trªn ®o¹n th¼ng
y = λ0 x + y0 n»m trong gãc phÇn t­ thø nhÊt cña mÆt ph¼ng Oxy . ë
®©y λ0 vµ y0 lµ nh÷ng sè cho tr­íc vµ y0 > 0. Gi¶ sö λ0 = 0 vµ thay cho
λ0 ta cã λδ : |λδ − λ0 | < δ . Ta xÐt c¸c tr­êng hîp:
* Tr­êng hîp 1: λδ > 0.
Ta cã λδ = λ1 = λ0 + δ/2. Trong tr­êng hîp nµy, thay cho ®­êng th¼ng
y = y0 ta cã ®­êng th¼ng d1 : y = λ1 x + y0 . Gi¸ trÞ cùc tiÓu cña phiÕm
15
hµm ϕ(y) trªn mét phÇn cña d1 n»m trong vïng {x ≥ 0, y ≥ 0} ®¹t ®­îc
t¹i ®iÓm (0, y0 ). §iÒu ®ã cã nghÜa lµ khi x = 0 th× ϕ(0) = y0 .
y
d1
y0
0 x2 (δ) x
d2
H×nh 1.1
* Tr­êng hîp 2: λδ < 0.
Ta cã λδ = λ2 = λ0 − δ/2. Trong tr­êng hîp nµy thay cho ®­êng th¼ng
y = y0 ta cã ®­êng th¼ng d2 : y = λ2 x + y0 . Do λδ < 0 cho nªn ®­êng
th¼ng d2 c¾t trôc Ox t¹i mét ®iÓm x2 (δ) nµo ®ã. Gi¸ trÞ cùc tiÓu cña phiÕm
hµm ϕ(y) trªn mét phÇn cña d2 n»m trong vïng {x ≥ 0, y ≥ 0} ®¹t ®­îc
t¹i ®iÓm (x2 (δ), 0), tøc lµ t¹i x = x2 (δ) ta cã ϕ(x2 (δ)) = 0. Nh­ vËy víi
|λ1 − λ2 | ≤ δ ta cã
| min ϕ(y) − min ϕ(y)| = |y0 − 0| = y0 > 0,
λ1 λ2
ë ®©y y0 cã thÓ lín tuú ý (H×nh 1.1). Nh­ vËy bµi to¸n nµy kh«ng æn ®Þnh.
Sù tån t¹i nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh to¸n tö (1.3) ®­îc cho trong ®Þnh lý
sau.
16
§Þnh lý 1.2.1. (xem [4]) Cho A lµ mét to¸n tö h-liªn tôc, ®¬n ®iÖu vµ bøc

tõ kh«ng gian Banach ph¶n x¹ X vµo X . Khi ®ã ph­¬ng tr×nh A(x) = f

cã nghiÖm víi mäi f ∈ X .
Chøng minh. Do A lµ to¸n tö bøc, cho nªn tån t¹i mét hµm thùc kh«ng ©m
δ(t) : δ(t) → +∞ khi t → +∞ vµ hA(x), xi ≥ ||x||δ(||x||). XÐt ¸nh x¹
af (x) = A(x) − f , ë ®©y f ∈ X ∗ lµ mét phÇn tö bÊt k×. Khi ®ã af còng lµ
¸nh x¹ liªn tôc vµ ®¬n ®iÖu. H¬n thÕ n÷a
haf (x), xi = hA(x), xi − hf, xi ≥ ||x||(δ(||x||) − ||f ||).
Suy ra tån t¹i mét sè d­¬ng Mf sao cho víi ||x|| ≥ Mf th× haf (x), xi ≥ 0.
V× vËy tån t¹i mét phÇn tö x0 sao cho A(x0 ) = f.
2
To¸n tö A ®¬n ®iÖu cùc ®¹i khi vµ chØ khi miÒn ¶nh cña A + λU lµ toµn

bé kh«ng gian X , ®ã lµ néi dung cña ®Þnh lý sau.

§Þnh lý 1.2.2. (xem [4]) Cho X vµ X lµ c¸c kh«ng gian Banach thùc
ph¶n x¹ vµ låi chÆt, U : X → X ∗ lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c cña X ,
A : X → X ∗ lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu. Khi ®ã A lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu cùc

®¹i nÕu vµ chØ nÕu víi mäi λ > 0, R(A + λU ) lµ toµn bé X .
§Þnh lý sau ®©y chØ ra r»ng bÊt cø mét to¸n tö ®¬n ®iÖu, h-liªn tôc vµ

bÞ chÆn nµo tõ X vµo X còng ®Òu lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu cùc ®¹i.
§Þnh lý 1.2.3. (xem [4]) Cho X lµ mét kh«ng gian Banach thùc ph¶n x¹,
B : X → X ∗ lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu, h-liªn tôc vµ bÞ chÆn, A : X → X ∗
lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu cùc ®¹i. Khi ®ã A + B còng lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu
cùc ®¹i.
TÝnh bÞ chÆn cña to¸n tö B sÏ lµ kh«ng cÇn thiÕt nÕu miÒn x¸c ®Þnh cña
nã lµ toµn bé kh«ng gian X . Ta cã kÕt qu¶ sau.
17
§Þnh lý 1.2.4. (xem [4]) Cho X lµ kh«ng gian Banach thùc ph¶n x¹, vµ
A : X → X ∗ lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu, h-liªn tôc x¸c ®Þnh trªn X . Khi ®ã
A lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu cùc ®¹i. Ngoµi ra, nÕu A lµ to¸n tö bøc th× ta cã
R(A) = X ∗ .
Ký hiÖu S0 lµ tËp nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1.3), gi¶ thiÕt nghiÖm tån
t¹i. Ta cã ®Þnh lý sau (xem [4]).
§Þnh lý 1.2.5. Cho A : X −→ X ∗ lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu cùc ®¹i. Gäi S0
lµ tËp tÊt c¶ c¸c phÇn tö x0 ∈ X sao cho x0 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh
Ax = f . Khi ®ã S0 lµ tËp låi vµ ®ãng trong X ∗ .
Chøng minh. LÊy f1 , f2 ∈ Ax. V× A lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu nªn ta cã:
hf1 − g, x − yi ≥ 0, (1.5)

hf2 − g, x − yi ≥ 0, (1.6)
∀(y, g) ∈ GrA. §Æt f = tf1 + (1 − t)f2 víi t ∈ [0, 1]. Nh©n (1.5) víi t,
(1.6) víi (1 − t) råi céng l¹i ta ®­îc:
thf1 − g, x − yi + (1 − t)hf2 − g, x − yi ≥ 0, ∀(y, g) ∈ GrA
⇔ hf − g, x − yi ≥ 0, ∀(y, g) ∈ GrA.
VËy f ∈ Ax hay S0 lµ tËp låi.
∗ ∗
LÊy fn ∈ Ax, fn → f . Ta chøng minh f ∈ Ax. ThËt vËy,
hfn − g, x − yi ≥ 0, ∀(y, g) ∈ GrA.

Cho n → ∞ ta ®­îc hf − g, x − yi ≥ 0. Suy ra f ∗ ∈ Ax.
VËy S0 lµ tËp ®ãng.
2
18
V× tÝnh kh«ng duy nhÊt cña nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1.3), nªn ta cÇn
ph¶i cã mét tiªu chuÈn cho sù lùa chän cña nghiÖm. Ta sÏ sö dông nghiÖm
x0 cã x∗ - chuÈn nhá nhÊt.
§Þnh nghÜa 1.2.3. NghiÖm x0 ®­îc gäi lµ nghiÖm cã x∗ -chuÈn nhá nhÊt
cña ph­¬ng tr×nh (1.3) nÕu
kx0 − x∗ k = min kx − x∗ k,
x∈S0
víi S0 = {x ∈ X : A(x) = A(x0 ) = f }.
19
Ch­¬ng 2
HiÖu chØnh ph­¬ng tr×nh to¸n tö lo¹i I
Ch­¬ng nµy ®Ò cËp ®Õn mét sè ph­¬ng ph¸p hiÖu chØnh cho ph­¬ng tr×nh
to¸n tö lo¹i I trong kh«ng gian Banach ph¶n x¹ thùc v« h¹n chiÒu vµ ®­îc
tr×nh bµy trong 3 môc. Trong môc 2.1 chóng t«i tr×nh bµy ph­¬ng ph¸p
hiÖu chØnh Tikhonov hiÖu chØnh ph­¬ng tr×nh to¸n tö lo¹i I dùa trªn viÖc
sö dông to¸n tö tuyÕn tÝnh ®¬n ®iÖu m¹nh lµm thµnh phÇn hiÖu chØnh. Mét
sè kÕt qu¶ c¬ b¶n vÒ sù héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh vµ tèc ®é héi tô cña
nghiÖm hiÖu chØnh ®­îc tr×nh bµy trong môc nµy. Môc 2.2 ®Ò cËp ®Õn viÖc
x©y dùng xÊp xØ h÷u h¹n chiÒu cho nghiÖm hiÖu chØnh cña ph­¬ng tr×nh
to¸n tö lo¹i I. Mét ph­¬ng ph¸p lÆp t×m nghiÖm hiÖu chØnh cña ph­¬ng tr×nh
to¸n tö lo¹i I ®­îc tr×nh bµy trong môc 2.3 cïng víi mét vÝ dô minh häa.
C¸c kÕt qu¶ cña ch­¬ng nµy ®­îc tham kh¶o trong hai bµi b¸o cña NguyÔn
B­êng vµ NguyÔn ThÞ Thu Thñy [6], [8].
2.1. HiÖu chØnh dùa trªn to¸n tö tuyÕn tÝnh ®¬n ®iÖu m¹nh
XÐt ph­¬ng tr×nh to¸n tö
A(x) = f, f ∈ X ∗ , (2.1)
trong ®ã A lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu vµ h-liªn tôc tõ kh«ng gian Banach ph¶n

x¹ X vµo X . NÕu to¸n tö A kh«ng cã tÝnh ®¬n ®iÖu ®Òu hoÆc ®¬n ®iÖu
m¹nh th× bµi to¸n (2.1), nãi chung, lµ mét bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh.
Gi¶ sö (2.1) cã nghiÖm, tøc lµ f ∈ R(A). Ta kÝ hiÖu S0 lµ tËp nghiÖm
cña (2.1). Khi ®ã, S0 lµ mét tËp ®ãng vµ låi trong X (§Þnh lý 1.2.5). Ta
còng gi¶ sö ®èi víi X tån t¹i mét to¸n tö tuyÕn tÝnh ®¬n ®iÖu m¹nh B sao
20