Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình

  • 29 trang
  • file .pdf
GIỚI HẠN CỦA CÁC DÃY SỐ SINH BỠI CÁC
ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH
Nguyễn Tài Chung
Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình đã xuất hiện rải rác trong các kì
thi học sinh giỏi. Bài viết này nhằm trình bày một cách đầy đủ và có hệ thống các bài toán
về giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình.
0.1 Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình
Định nghĩa 1. Ta gọi trung bình bậc r của n số dương a1, a2, . . . , an là biểu thức xác định
bởi:  r 1
a1 + ar2 + · · · + arn r
∆r (a1, a2 , . . . , an ) = ,
n
nếu r 6= 0, và
∆0 (a1, a2, . . . , an) := lim ∆r (a1 , a2, . . . , an )
r→0
Chú ý 1. Đặc biệt khi r = 1 ta có trung bình cộng, khi r = −1 ta có trung bình điều hòa,
khi r = 2 ta có trung bình bình phương (hay còn gọi là trung bình toàn phương).
Nhận xét 1. Ta chứng minh được nếu a1 , a2, . . . , an là những số dương khác 1 thì

∆0 (a1, a2, . . . , an) = n a1a2 . . . an . (*)
Do đó khi r = 0, ta có trung bình nhân. Còn (∗) được chứng minh như sau: Ta có
h i
ln [∆0(a1, a2 , . . . , an )] = ln lim ∆r (a1 , a2, . . . , an )
r→0
"  r r r
 1r # "  1 #
a1 + a2 + · · · + an ar1 + ar2 + · · · + arn r
= ln lim = lim ln
r→0 n r→0 n
  r  0 
a1 + ar2 + · · · + arn
 r
a1 + ar2 + · · · + arn

ln
n n
  Lopitan  
= lim  = lim r r r
r→0 r  
r→0  a1 + a2 + · · · + an  
n
 r r r

a1 ln a1 + a2 ln a2 + · · · + an ln an
 n  ln (a1 a2 . . . an )
= lim  r r r =
r→0 a1 + a2 + · · · + an n
n
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 2
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
h 1
i
= ln (a1a2 . . . an ) n .
Do đó

∆0 (a1, a2, . . . , an) = n a1a2 . . . an .
Nhận xét 2. Theo nhận xét 1, trang 2 ta có ngay: Với a > 0, b > 0 thì
1 1
!m
am + bm √
lim = ab.
m→∞ 2
Tuy nhiên ta có thể chứng minh sơ cấp hơn như sau (không sử dụng quy tắc Lôpitan): Ta có
√ 1 1
!
ln ab 1
 1 1  am + bm
= ln(ab) 2m = ln a 2m b 2m ≤ ln
m 2
  
1 1
 1 1 
= ln am − 1 + bm − 1 + 1
2 2
1  1
 1 1
 
< am − 1 + bm − 1 .
2 2
Vậy
1 1
!m
√ am + bm 1h  1   1 i
ln ab ≤ ln ≤ m a m − 1 + m b m − 1 , ∀m = 1, 2, . . .
2 2
Từ đây, cho m → +∞ ta được
1 1
!m 1 1
!m
am + bm √ am + bm √
lim ln = ln ab ⇒ lim = ab.
m→∞ 2 m→∞ 2
Nhận xét 3. Ta chứng minh được kết quả: Dãy
 r 1
a1 + ar2 + · · · + arn r
∆r (a1 , a2, ..., an) =
n
là sắp được theo r như là một hàm đồng biến của hàm số biến r ∈ R. Kết quả này rất quan
trọng, nó định hướng cho ta trong quá trình so sánh các dãy số được thành lập từ các đại
lượng trung bình.
Nhận xét 4. Đối với các dãy số được thành lập từ các đại lượng trung bình thì giới hạn của
các dãy số thường là bằng nhau và thường thì ta tìm được số hạng tổng quát của các dãy số
đó.
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 3
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
0.1.1 Trường hợp cùng chỉ số
Bài toán 1 (Cộng cùng-nhân cùng). Cho dãy số (xn )+∞ +∞
n=1 và (yn )n=1 được xác định như
sau
xn−1 + yn−1 √
x1 = a > 0, y1 = b > 0, xn = , yn = xn−1 yn−1 .
2
Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn và lim xn = lim yn .
n→∞ n→∞
Giải. Từ giả thiết suy ra với mọi n = 1, 2, . . . thì xn > 0, yn > 0. Theo bất đẳng thức
Cauchy ta có:
xn + yn √
xn+1 = ≥ xn yn = yn+1 ⇒ xn ≥ yn , ∀n = 2, 3, . . .
2
Suy ra
√ √
yn+1 = xn yn ≥ yn yn = yn , ∀n = 1, 2, . . .
Vậy

yn ≥ yn−1 ≥ · · · ≥ y2 = ab.
Tương tự ta có
a+b
xn+1 ≤ xn ≤ · · · ≤ x2 = .
2
Vậy nên
√ a+b
ab ≤ y2 ≤ y3 ≤ · · · ≤ yn ≤ xn ≤ · · · ≤ x3 ≤ x2 = .
2
√ a+b
Suy ra dãy số (xn ) giảm, bị chặn dưới bởi ab, còn dãy (yn ) tăng và bị chặn trên bởi .
2
Do đó chúng hội tụ. Đặt
lim xn = α, lim xn = β.
n→+∞ n→+∞
xn + yn
Khi đó từ giả thiết xn+1 = , ∀n = 1, 2, . . . cho n → +∞ ta được
2
α+β
α= ⇔ α = β.
2
Vậy hai dãy số đã cho có giới hạn và lim xn = lim xn .
n→+∞ n→+∞
Bài toán 2 (Cộng cùng-điều hòa cùng). Cho hai số dương a, b. Xét các dãy số (an )n=1
+∞
+∞
và (bn )n=1 như sau
a n + bn 2
a1 = a, b1 = b, an+1 = , bn+1 = , ∀n = 1, 2, ...
2 1 1
+
a n bn
Tìm lim an và lim bn .
n→∞ n→∞
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 4
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Giải.
Cách 1. Dễ thấy với mọi n = 1, 2, . . . , ta có
2 2an bn
an > 0, bn > 0, bn+1 = = .
1 1 a n + bn
+
a n bn
Vì vậy
an + bn 2an bn
an+1 bn+1 = . = an bn , ∀n = 1, 2, . . .
2 a n + bn
Suy ra
an bn = · · · = a1b1 = ab, ∀n = 1, 2, . . .
Ta có
√ √ √
a n − bn a n − a n bn
√ √ = √
a n + bn a n + a n bn
an−1 + bn−1 √ √
− a n bn an−1 + bn−1 − 2 an bn
= 2 = √
an−1 + bn−1 √ an−1 + bn−1 + 2 an bn
+ a n bn
2
p √ p !2
an−1 + bn−1 − 2 an−1 bn−1 an−1 − bn−1
= p = √ p .
an−1 + bn−1 + 2 an−1 bn−1 an−1 + bn−1
Do đó, phép quy nạp theo n chứng tỏ rằng
√ √ √ √ 2n−1 √ √ !2n−1
a n − bn a 1 − b1 a− b
√ √ = √ √ = √ √ , ∀n = 1, 2, . . .
a n + bn a 1 + b1 a+ b
Vậy
√ √ √ √ !2n−1 √ √ !
a n − bn a− b a− b
lim √ √ = lim √ √ =0 do √ √ <1 .
n→∞ an + bn n→∞ a+ b a+ b
Theo trên suy ra √ √ √

a n − bn an − ab an − ab
√ √ = √ ⇒ lim √ = 0.
a n + bn an + ab n→∞ a +
n ab
Đặt √ √
an − ab √ √ ab(xn + 1)
√ = xn ⇔ an xn + abxn = an − ab ⇔ an = .
an + ab 1 − xn
Khi đó √
ab(xn + 1) √
lim an = lim = ab (do lim xn = 0).
n→+∞ n→+∞ 1 − xn n→+∞
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 5
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Vậy
ab ab √
lim bn = lim = √ = ab.
n→∞ n→∞ an ab
Cách 2. Theo bất đẳng thức Cauchy ta có
2 2 p a n + bn
bn+1 = ≤ r = a n bn ≤ = an+1 , ∀n = 1, 2, . . .
1 1 1 1 2
+ 2 .
a n bn a n bn
Với mọi n = 2, 3, . . . ta có
a n + bn an + an
an+1 = ≤ = an ,
2 2
2an bn
bn+1 ≥ bn ⇔ ≥ bn ⇔ an bn ≥ b2n ⇔ an ≥ bn (đúng).
a n + bn
Hay ta viết lại
2ab a+b
= b2 ≤ · · · ≤ bn ≤ bn+1 ≤ an+1 ≤ an ≤ · · · ≤ a2 = .
a+b 2
2ab
Vậy kể từ số hạng thứ hai trở đi dãy số (an )+∞
n=1 giảm và bị chặn dưới bởi số nên có
a+b
a+b
giới hạn, dãy số (bn )+∞
n=1 tăng và bị chặn trên bởi số nên có giới hạn. Đặt
2
lim an = α, lim bn = β.
n→∞ n→∞
a n + bn
Khi đó từ giả thiết an+1 = , ∀n = 1, 2, . . . cho n → +∞ ta được
2
α+β
α= ⇔ α = β.
2
Vậy hai dãy số đã cho có giới hạn và
lim an = lim bn .
n→∞ n→∞
Từ lim (an bn ) = lim (ab) = ab ta có lim an . lim bn = ab. Do đó αβ = ab, mà α = β ≥ 0
n→∞ √
n→∞ n→∞ n→∞
nên suy ra α = β = ab. Vậy

lim an = lim bn = ab.
n→∞ n→∞
Bài toán 3 (Nhân cùng-điều hòa cùng). Cho các dãy số (an )+∞ +∞
n=1 , (bn )n=1 xác định như
sau
2 p
a1 = a > 0, b1 = b > 0, an+1 = , bn+1 = an bn (∀n = 1, 2, . . .)
1 1
+
a n bn
Chứng minh hai dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và hai giới hạn đó bằng nhau.
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 6
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Hướng dẫn. Theo giả thiết ta có
1 1
+ r
1 a n bn 1 1 1
= , = . , ∀n = 1, 2, . . .
an+1 2 bn+1 a n bn
1 1 1 1
Đặt = xn , = yn . Khi đó x1 = > 0, y1 = > 0 và
an bn a b
xn + yn √
xn+1 = , yn+1 = xn yn , ∀n = 1, 2, . . .
2
Vậy theo bài toán 1 suy ra hai dãy (xn ), (yn ) hội tụ và lim xn = lim yn . Do đó hai dãy
n→+∞ n→+∞
(an ), (bn ) hội tụ và
lim an = lim bn .
n→+∞ n→+∞
Bài toán 4 (Trung bình bậc r cùng-nhân cùng). Cho trước ba số dương a, b và r. Xét
hai dãy số (xn )+∞ +∞
n=1 và (yn )n=1 như sau
 r 1
xn + ynr r √
x1 = a, y1 = b, xn+1 = , yn+1 = xn yn .
2
Chứng minh rằng hai dãy số đã cho hội tụ và lim xn = lim yn .
n→∞ n→∞
Giải. Từ giả thiết suy ra với mọi n = 1, 2, . . . thì xn > 0, yn > 0. Theo bất đẳng thức
Cauchy ta có:
 r 1
xn + ynr r p 1 √
xn+1 = ≥ xrn .ynr r = xn yn = yn+1 , ∀n = 1, 2, . . .
2
Suy ra
√ √
yn+1 = xn yn ≥ yn yn = yn , ∀n = 2, 3, . . .
Vậy

yn ≥ yn−1 ≥ · · · ≥ y2 = ab.
Tương tự ta có
 r 1  r 1
xn + ynr r xn + xrn r
xn+1 = ≤ = xn , ∀n = 2, 3, . . .
2 2
Suy ra
 r 1
a + br r
xn+1 ≤ xn ≤ · · · ≤ x2 = .
2
Vậy nên
1

 r
a + br r
ab ≤ y2 ≤ y3 ≤ · · · ≤ yn ≤ xn ≤ · · · ≤ x3 ≤ x2 = .
2
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 7
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.

Suy ra dãy số (xn ) giảm, bị chặn dưới bởi ab còn dãy (yn ) tăng và bị chặn trên bởi
 r 1
a + br r
. Do đó chúng hội tụ. Đặt
2
lim xn = α, lim yn = β.
n→∞ n→∞
 r 1
xn + ynr r
Khi đó từ giả thiết xn+1 = , ∀n = 1, 2, . . . cho n → +∞ ta được.
2
 1r
αr + β r αr + β r

α= ⇔ αr = ⇔ αr = β r ⇔ α = β.
2 2
Vậy hai dãy số đã cho có giới hạn và lim xn = lim yn .
n→∞ n→∞
0.1.2 Trường hợp lệch chỉ số
Bài toán 5 (Cộng cùng-cộng lệch). Cho trước a, b ∈ R. Xét hai dãy (un )+∞ +∞
n=1 và (bn )n=1
như sau:
un + v n un+1 + vn
u1 = a, v1 = b, un+1 = , vn+1 =
2 2
Tìm lim un , lim vn .
n→∞ n→∞
Giải. Ta có
un + v n un + 3vn
un+1 = , vn+1 = , ∀n = 1, 2, . . .
2 4
Suy ra với mọi n = 1, 2, . . . , ta có
   
un + v n un + 3vn 1 λ 1 3λ
un+1 + λvn+1 = +λ = + un + + vn .
2 4 2 4 2 4
Ta chọn λ sao cho
  
1 3λ 1 λ 2 λ = −1
+ =λ + ⇔λ −λ−2=0⇔
2 4 2 4 λ = 2.
Vậy với λ ∈ {−1, 2}, ta có:
 
1 λ
un+1 + λvn+1 = + (un + λvn ) , ∀n = 1, 2, . . .
2 4
Đặt un + λvn = xn , suy ra
 
1 λ
xn+1 = + xn , ∀n = 1, 2, . . .
2 4
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 8
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Vậy dãy số (xn )+∞
n=1 tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu x1 = a + λb, công bội
1 λ
q = + . Do đó
2 4  n−1
1 λ
xn = (a + λb) + , ∀n = 1, 2, . . .
2 4
Lần lượt lấy λ = −1, λ = 2 ta được:
1 2 1

1  un = (a + 2b) + (a − b) . . n−1
( 
un − vn = (a − b) . n−1 3 3 4
4 ⇔ 1 1
un + 2vn = a + 2b  vn =
 a + 2b − (a − b) . n−1
3 4
1
Suy ra lim un = lim vn = (a + 2b) .
n→∞ n→∞ 3
Bài toán 6 (Nhân cùng-nhân lệch). Cho trước hai số dương a và b. Xét hai dãy số
(un ) , (vn ) như sau:
√ √
u1 = a, v1 = b, un+1 = un vn , vn+1 = un+1 vn (∀n = 1, 2, . . . )
Hãy tìm lim un và lim vn .
n→∞ n→∞
Hướng dẫn. Dễ thấy với mọi n = 1, 2, . . . ta có un > 0 và vn > 0. Gọi xn = ln un , yn =
ln vn (∀n = 1, 2, . . .). Khi đó x1 = ln a, y1 = ln b và với mọi n = 1, 2, . . . , ta có
ln un + ln vn xn + yn ln un+1 + ln vn xn+1 + yn
xn+1 = = , yn+1 = = .
2 2 2 2
Theo bài tập 5 ta có
ln a + 2 ln b ln ab2 1
lim xn = lim yn = = = ln ab2 3 .
n→∞ n→∞ 3 3
Vì hàm số mũ liên tục nên suy ra
1
1
= eln(ab ) = ab2 3 .
lim xn 2 3
lim un = lim vn = lim eln un = lim exn = en→∞
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
Bài toán 7 (Điều hòa cùng-điều hòa lệch). Cho trước hai số dương a và b. Xét hai dãy
số (un ) , (vn ) như sau:
2 2
u1 = a, v1 = b, un+1 = , vn+1 = (∀n = 1, 2, . . . )
1 1 1 1
+ +
un v n un+1 vn
Hãy tìm lim un và lim vn .
n→∞ n→∞
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 9
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Hướng dẫn. Từ giả thiết ta có
1 1 1 1
+ +
1 u vn 1 u vn
= n , = n+1 , ∀n = 1, 2, . . .
un+1 2 vn+1 2
1 1
Vậy đặt = xn , = yn . Khi đó
un vn
1 1 xn + yn xn+1 + yn
x1 = > 0, y1 = > 0, xn+1 = , yn+1 = .
a b 2 2
Đến đây ta sử dụng kết quả bài toán 5.
Bài toán 8 (Trung bình bậc r cùng-trung bình bậc r lệch). Cho trước hai số dương
a, b và cho trước r 6= 0. Xét hai dãy số (un ) , (vn ) như sau:
1  r 1
un+1 + vnr r
 r
un + vnr r
u1 = a, v1 = b, un+1 = , vn+1 =
2 2
Hãy tìm lim un và lim vn .
n→∞ n→∞
Hướng dẫn. Dễ thấy rằng với mọi n = 1, 2, . . . ta có un > 0, vn > 0. Với mọi n = 1, 2, . . . ,
và với mọi λ ∈ R, ta có:
urn + vnr
urn + vnr urn+1 + vnr + vnr
urn + vnr
r r
un+1 + λvn+1 = +λ = +λ 2
2 2 2   2
r r r r
 
un + v n un + 3vn 1 λ r 1 3λ
= +λ = + un + + vnr .
2 4 2 4 2 4
Tương tự như bài tập 5, ta chứng minh được
a + 2b
lim urn = lim vnr = .
n→∞ n→∞ 3
1
Do đó và vì hàm số f(x) = x r liên tục trên (0; +∞) nên
 1r   1r
1
 a + 2b
lim un = lim vn = lim (vnr ) r = lim vnr = .
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ 3
Chú ý 2. Hàm sin hypebôlic và hàm cos hypebôlic lần lượt là hàm
ex − e−x ex + e−x
sinh x = , cosh x = .
2 2
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 10
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Bài toán 9 (Cộng cùng-nhân lệch). Cho trước hai số dương a, b. Xét các dãy số (an )+∞
n=1
và (bn )+∞
n=1 như sau:
xn + yn √
x1 = a, y1 = b, xn+1 = , yn+1 = xn+1 yn , ∀n = 1, 2, . . .
2
Tìm lim xn , lim yn .
n→∞ n→∞
Giải.
Trường hợp 1: a = b. Khi đó an = bn = a, ∀n = 1, 2, . . . Bởi vậy
lim an = lim bn = a.
n→∞ n→∞
a
Trường hợp 2: a < b. Vì 0 b
a  π
= cos v 0 < v < .
b 2
Ta có
a+b b cos v + b b(1 + cos v) v
a1 = = = = b cos2 ,
2 r 2 2 2
p v v
b1 = a1b = b2 cos2 = b cos ,
2 2
v v v  v
b cos2 + b cos b cos 1 + cos
a2 = 2 2 = 2 2 = b cos v cos2 v ,
2r 2 2 22
p v v v v v
b2 = a2b1 = b cos cos2 2 b cos = b cos cos 2 ,
2 2 2 2 2
v v v v
b cos cos2 2 + b cos cos 2
a3 = 2 2 2 2 = b cos v cos v cos2 v ,
r 2 2 22 23
p v v v v v v
b3 = a3b2 = b2 cos2 cos2 2 cos2 3 = b cos cos 2 cos 3 ,
2 2 2 2 2 2
Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được:
 v v v  2 v
an = b cos cos 2 · · · cos n−1 cos n , ∀n = 2, 3, . . .
2 2 2 2
v v v v
bn = b cos cos 2 · · · cos n−1 cos n , ∀n = 2, 3, . . .
2 2 2 2
sin 2x
Theo công thức cos x = (với sin x 6= 0), ta có
2 sin x
v v v
sin v sin 2 sin n−2 sin n−1
2 2 sin v
bn = b v. v ... v . v =b n v .
2 sin 2 sin 2 2 sin n−1 2 sin n 2 sin n
2 2 2 2 2
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 11
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Do đó
v
sin v sin v sin v
lim 2 v = b
n
lim bn = b lim v =b .
n→∞ n→∞ n
2 sin n v n→∞ sin v
2 2n
v
Từ an = bn cos ta có
2n
 v v sin v
lim an = lim bn cos n = lim bn . lim cos n = lim bn = b .
n→∞ n→∞ 2 n→∞ n→∞ 2 n→∞ v
a a
Trường hợp 3: a > b. Vì a > b > 0 nên > 1. Gọi α là số để = cosh α, tức là
b b
a eα + e−α
= .
b 2
Ta có:
 x x 2
ex + e−x 1 e 2 + e− 2 x
x
= 2 cosh2 .
−x

1 + cosh x = 1 + = 2+e +e =2
2 2 2 2
x x x x
x
e −e −x
e2 + e 2 e2 − e 2
− −
x x
sinh x = =2 . = 2 sinh . cosh .
2 2 2 2 2
1
lim (1 + x) = e.
x
x→0
Vì hàm số f(x) = ln x liên tục trên khoảng (0; +∞) nên
ln(1 + x) 1
h 1
i
lim = lim ln(1 + x) x = ln lim (1 + x) x = ln e = 1.
x→0 x x→0 x→0
Đặt ex − 1 = y, khi đó
ex − 1 y 1
lim = lim = lim = 1.
x→0 x y→0 ln(1 + y) y→0 ln(1 + y)
y
x
sinh x e −e −x
1 e2x − 1
lim = lim = lim x lim = 1.
x→0 x x→0 2x x→0 e x→0 2x
ex + e−x
lim cosh x = lim = 1.
x→0 x→0 2
Ta có:
a+b b cosh α + b b(1 + cosh α) α
a1 = = = = b cosh2 ,
2 r 2 2 2
p α α
b1 = a1 b = b2 cosh2 = b cosh ,
2 2
2 α α α
b cosh + b cosh α 1 + cosh
a2 = 2 2 = b cosh . 2 = b cosh α cosh2 α ,
2 2 2 2 22
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 12
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
r
p α α α α
b2 = a 2 b1 = b2 cosh2 cosh2 2 = b cosh cosh 2 ,
2 2 2 2
Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được:
 α α α  α
an = b cosh . cosh 2 . . . cosh n−1 cosh2 n , ∀n = 2, 3, . . .
2 2 2 2
α α α α
bn = b cosh . cosh 2 . . . cosh n−1 cosh n , ∀n = 2, 3, . . .
2 2 2 2
sinh 2x
Theo công thức cosh x = (với sinh x 6= 0), ta có
2 sinh x
α α α
sinh α sinh 2 sinh n−2 sinh n−1
2 2 b sinh α
bn = b α. α ··· α . α = n α.
2 sinh 2 sinh 2 2 sinh n−1 2 sinh n 2 sinh n
2 2 2 2 2
Do đó
α
b sinh α sinh α 2n = b sinh α
lim bn = lim α =b lim
n→∞ n→∞ n
2 sinh n α n→∞ sinh α α
2 2n
α
Từ an = bn cosh n ta có
2
α sinh α
lim an = lim bn . lim cosh n = b .
n→∞ n→∞ n→∞ 2 α
Bài toán 10 (Đề thi Ôlympic 30/04/2004). Cho hai số dương a, b không đổi thỏa mãn
a < b. Xét các dãy số (an ) và (bn ) như sau
a+b p a 1 + b1 p an−1 + bn−1 p
a1 = , b1 = a1b, a2 = , b2 = a2b1 , ..., an = , bn = an bn−1 .
2 2 2
Tìm lim an , lim bn .
n→+∞ n→+∞
Hướng dẫn. Bài toán này là trường hợp đặc biệt của bài toán 9.
Bài toán 11 (Điều hòa cùng-nhân lệch). Cho các dãy số (an )n=1 , (bn )n=1 xác định như
+∞ +∞
sau:
2 p
a1 > 0, b1 > 0, an+1 = , bn+1 = an+1 bn (∀n = 1, 2, . . .)
1 1
+
a n bn
Tìm lim an , lim bn .
n→∞ n→∞
Giải. Từ giả thiết suy ra an > 0, bn > 0, ∀n = 1, 2, . . . Ta có
1 1
+
s
1 a bn 1 1 1
= n , = . , ∀n = 1, 2, . . .
an+1 2 bn+1 an+1 bn
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 13
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
1 1
Vậy đặt = xn , = yn . Khi đó
an bn
1 1 xn + yn √
x1 = > 0, y1 = > 0, xn+1 = , yn+1 = xn+1 yn .
a1 b1 2
Đến đây ta sử dụng kết quả bài toán 9.
Lưu ý. Ngoài cách giải trên ta còn có thể giải trực tiếp cũng được kết quả.
Bài toán 12 (HSG Quốc gia - 1993 - Bảng A). Cho a0 = 2, b0 = 1. Lập hai dãy số
(an ) và (bn ) với n = 0, 1, 2, . . . theo quy tắc sau
2an bn p
an+1 = , bn+1 = an+1 bn .
a n + bn
Chứng minh rằng các dãy (an ) và (bn ) có cùng một giới hạn chung khi n dần tới dương vô
cực. Tìm giới hạn chung đó.
Hướng dẫn. Bài toán này chỉ là một trường hợp riêng của bài toán 11.
Bài toán 13 (Nhân cùng-cộng lệch). Cho trước hai số dương a và b. Xét hai dãy số (an )
và (bn ) như sau:
p an+1 + bn
a1 = a, b1 = b, an+1 = an bn , bn+1 =
.
2
Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và hai giới hạn đó bằng nhau.
Giải. Bằng quy nạp, dễ dàng suy ra với mọi n ∈ N∗ ta có an > 0 và bn > 0.
Trường hợp 1. a = b. Khi đó an = a = bn , ∀n = 1, 2, . . . , suy ra
lim an = lim bn .
n→+∞ n→+∞
Trường hợp 2. a > b. Khi đó a1 > b1 . Giả sử ak > bk (với k ∈ N∗ ). Khi đó
p
bk < ak bk < ak ⇒ bk < ak+1 < ak .
Suy ra
bk + bk ak+1 + bk a k + bk ak + ak
bk = < < < = ak ⇒ bk < bk+1 < ak .
2 2 2 2
Do đó
ak+1 + bk ak+1 + bk+1
bk+1 = < ⇒ 2bk+1 < ak+1 + bk+1 ⇒ ak+1 > bk+1 .
2 2
Theo nguyên lí quy nạp suy ra
an > bn , ∀n = 1, 2, . . .
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 14
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Do đó
p √ an+1 + bn bn+1 + bn
an+1 = a n bn < an an = an , bn+1 = > ⇒ bn+1 > bn .
2 2
Vậy
b = b1 < b2 < · · · < bn < bn+1 < an+1 < an < · · · < a2 < a1 = a.
Suy ra dãy (an ) giảm và bị chặn dưới bởi số b, dãy (bn ) tăng và bị chặn trên bởi số a, do đó
an+1 + bn
hai dãy số này hội tụ. Đặt lim an = x, lim bn = y. Từ bn+1 = , ∀n = 1, 2, . . . ,
n→+∞ n→+∞ 2
cho n → +∞ ta được
x+y
y= ⇔ x = y ⇒ lim an = lim bn .
2 n→+∞ n→+∞
Trường hợp 3. a < b. Khi đó a1 < b1 . Giả sử ak < bk (với k ∈ N∗ ). Khi đó
p
ak < ak bk < bk ⇒ ak < ak+1 < bk .
Suy ra
bk + bk ak+1 + bk a k + bk ak + ak
bk = > > > = ak ⇒ bk > bk+1 > ak .
2 2 2 2
Do đó
ak+1 + bk ak+1 + bk+1
bk+1 = > ⇒ 2bk+1 > ak+1 + bk+1 ⇒ ak+1 < bk+1 .
2 2
Theo nguyên lí quy nạp suy ra
an < bn , ∀n = 1, 2, . . .
Do đó
p √ an+1 + bn bn+1 + bn
an+1 = a n bn > an an = an , bn+1 = < ⇒ bn+1 < bn .
2 2
Vậy
a = a1 < a2 < · · · < an < an+1 < bn+1 < bn < · · · < b2 < b1 = b.
Suy ra dãy (an ) tăng và bị chặn trên bởi số b, dãy (bn ) giảm và bị chặn dưới bởi số a, do đó
an+1 + bn
hai dãy số này hội tụ. Đặt lim an = x, lim bn = y. Từ bn+1 = , ∀n = 1, 2, . . . ,
n→+∞ n→+∞ 2
cho n → +∞ ta được
x+y
y= ⇔ x = y ⇒ lim an = lim bn .
2 n→+∞ n→+∞
Kết luận : Trong mọi trường hợp ta đều có hai dãy số (an ), (bn ) có giới hạn hữu hạn và
lim an = lim bn .
n→+∞ n→+∞
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 15
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Bài toán 14 (Điều hoà cùng-cộng lệch). Cho trước hai số dương a và b. Xét hai dãy số
(an ) và (bn ) như sau:
2 an+1 + bn
a1 = a, b1 = b, an+1 = , bn+1 = .
1 1 2
+
a n bn
Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và hai giới hạn đó bằng nhau.
Giải. Bằng quy nạp, dễ dàng suy ra với mọi n ∈ N∗ ta có an > 0 và bn > 0.
Trường hợp 1. a = b. Khi đó an = a = bn , ∀n = 1, 2, . . . , suy ra
lim an = lim bn .
n→+∞ n→+∞
Trường hợp 2. a > b. Khi đó a1 > b1 . Giả sử ak > bk (với k ∈ N∗ ). Khi đó
1 1 2 1 1 2
< ⇒ < + < .
ak bk ak a k bk bk
Suy ra
2
bk < < ak ⇒ bk < ak+1 < ak .
1 1
+
a k bk
Do đó
ak+1 + bk ak+1 + ak+1
bk+1 = < ⇒ bk+1 < ak+1 .
2 2
1 1 1 1
Theo nguyên lí quy nạp toán học suy ra an > bn , ∀n = 1, 2, . . . Vậy + > + . Do
a n bn an an
đó
2 2 an+1 + bn bn+1 + bn
an+1 = < = an , bn+1 = > ⇒ bn+1 > bn .
1 1 1 1 2 2
+ +
a n bn an an
Ta viết lại
b = b1 < b2 < · · · < bn < bn+1 < an+1 < an < · · · < a2 < a1 = a.
Suy ra dãy (an ) giảm và bị chặn dưới bởi số b, dãy (bn ) tăng và bị chặn trên bởi số a, do đó
an+1 + bn
hai dãy số này hội tụ. Đặt lim an = x, lim bn = y. Từ bn+1 = , ∀n = 1, 2, . . . ,
n→+∞ n→+∞ 2
cho n → +∞ ta được
x+y
y= ⇔ x = y ⇒ lim an = lim bn .
2 n→+∞ n→+∞
Trường hợp 3. a < b. Khi đó a1 < b1 . Giả sử ak < bk (với k ∈ N∗ ). Khi đó
1 1 2 1 1 2
> ⇒ < + < .
ak bk bk a k bk ak
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 16
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Suy ra
2
ak < < bk ⇒ ak < ak+1 < bk .
1 1
+
a k bk
Vậy
ak+1 + bk ak+1 + ak+1
bk+1 = > ⇒ bk+1 > ak+1 .
2 2
1 1 1 1
Theo nguyên lí quy nạp toán học suy ra an < bn , ∀n = 1, 2, . . . Vậy + < + . Do
a n bn an an
đó
2 2 an+1 + bn bn+1 + bn
an+1 = > = an , bn+1 = < ⇒ bn+1 < bn .
1 1 1 1 2 2
+ +
a n bn an an
Ta viết lại
a = a1 < a2 < · · · < an < an+1 < bn+1 < bn < · · · < b2 < b1 = b.
Suy ra dãy (an ) tăng và bị chặn trên bởi số b, dãy (bn ) giảm và bị chặn dưới bởi số a, do đó
an+1 + bn
hai dãy số này hội tụ. Đặt lim an = x, lim bn = y. Từ bn+1 = , ∀n = 1, 2, . . . ,
n→+∞ n→+∞ 2
cho n → +∞ ta được
x+y
y= ⇔ x = y ⇒ lim an = lim bn .
2 n→+∞ n→+∞
Kết luận : Trong mọi trường hợp ta đều có hai dãy số (an ), (bn ) có giới hạn hữu hạn và
lim an = lim bn .
n→+∞ n→+∞
Bài toán 15 (Cộng cùng-điều hoà lệch). Cho trước hai số dương a và b. Xét hai dãy số
(an ) và (bn ) như sau:
a n + bn 2
a1 = a, b1 = b, an+1 = , bn+1 = .
2 1 1
+
an+1 bn
Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và hai giới hạn đó bằng nhau.
1 1
Hướng dẫn. Đặt = xn , = yn . Ta đươc
an bn
2 xn+1 + yn
xn+1 = , yn+1 = .
1 1 2
+
xn yn
Sau đó sử dụng kết quả bài toán 14
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 17
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Bài toán 16 (Nhân cùng-điều hoà lệch). Cho trước hai số dương a và b. Xét hai dãy
số (an ) và (bn ) như sau:
p 2
a1 = a, b1 = b, an+1 = an bn , bn+1 = .
1 1
+
an+1 an
Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và hai giới hạn đó bằng nhau.
1 1
Hướng dẫn. Đặt = xn , = yn . Ta đươc
an bn
√ xn+1 + yn
xn+1 = xn yn , yn+1 = .
2
Sau đó sử dụng kết quả bài toán 13
Bài toán 17 (Trung bình bậc r cùng-nhân lệch). Cho r 6= 0, a > 0, b > 0, xét các dãy
số (an )+∞ +∞
n=0 và (bn )n=0 như sau:
 r 1
an + brn r p
a0 = a, b0 = b, an+1 = , bn+1 = an+1 bn (∀n = 0, 1, 2, . . .) .
2
Tìm lim an và lim bn .
n→+∞ n→+∞
Giải.
Trường hợp 1: r > 0.
Trường hợp 1.1: a = b. Khi đó an = a = bn , ∀n ∈ N. Suy ra
lim an = lim bn = 1.
n→∞ n→∞
Trường hợp 1.2: a < b. Khi đó
ar
a r < br ⇒ 0 < < 1.
br
Do đó đặt
ar  π
= cos v 0 < v < .
br 2
Ta có
a r + br br cos v + br br (1 + cos v) v
ar1 = = = = br cos2 ,
2 2 2 2
p r r r 
2 v 1 v r v

br1 = a1 b = b2 cos r = b cos r = br cos ,
2 2 2
v v v  v 
br cos2 + br cos br cos 1 + cos
r
a2 = 2 2 = 2 2 = br cos v cos2 v ,
2 2 2 22
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 18
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
r r
2 v 2 v v v
p
br2 = a 2 b1 = b cos r cos r 2
2 = br cos cos 2 ,
2 2 2 2
v v v v
br cos cos2 2 + br cos cos 2
r
a3 = 2 2 2 2 = br cos v cos v cos2 v ,
2 2 22 23
p v v v
b3 = a3 b2 = br cos cos 2 cos 3 .
2 2 2
Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được:
 v v v  v
arn = br cos cos 2 · · · cos n−1 cos2 n , ∀n = 2, 3, . . .
2 2 2 2
r r v v v v
bn = b cos cos 2 · · · cos n−1 cos n , ∀n = 2, 3, . . .
2 2 2 2
sin 2x
Theo công thức cos x = (với sin x 6= 0), ta có
2 sin x
v v v
sin v sin sin sin
brn = br 2 ··· 2n−2 . 2n−1 = br sin v .
v. v v v v
2 sin 2 sin 2 2 sin n−1 2 sin n 2n sin n
2 2 2 2 2
Do đó
v
sin v r sin v n sin v
lim brn = br lim v = b v n→∞ lim 2 v = br
n→∞ n→∞ n
2 sin n sin n v
2 2
v
Từ arn = brn cos ta có
2n
 v v sin v
lim arn = lim brn cos n = lim brn . lim cos n = lim brn = br .
n→∞ n→∞ 2 n→∞ n→∞ 2 n→∞ v
Do đó 1

sin v r
lim an = lim bn = b .
n→∞ n→∞ v
ar
Trường hợp 1.3: a > b > 0. Khi đó r > 1. Gọi α là số để
b
ar
= cosh α.
br
Ta có
a r + br br cosh α + br br (1 + cosh α) α
ar1 = = = = br cosh2 ,
2 2 2 2
p r r r
2 α α
br1 = a1 b = b2 cosh r = br cosh ,
2 2
α α α
br cosh2 + br cosh α 1 + cosh
ar2 = 2 2 = br cosh . 2 = br cosh α cosh2 α ,
2 2 2 2 22
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 19
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
r r
2 α 2 α α α
br2 = b2 cosh r cosh r 2 = br cosh cosh 2 ,
2 2 2 2
Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được:
 α α α  α
an = b cosh . cosh 2 . . . cosh n−1 cosh2 n , ∀n = 2, 3, . . .
r r
2 2 2 2
r r α α α α
bn = b cosh . cosh 2 . . . cosh n−1 cosh n , ∀n = 2, 3, . . .
2 2 2 2
sinh 2x
Theo công thức cosh x = (với sinh x 6= 0), ta có
2 sinh x
α α α
sinh α sinh sinh n−2 sinh n−1 br sinh α
brn = br . 2 ··· 2 . 2 =
α α α α α.
2 sinh 2 sinh 2 2 sinh n−1 2 sinh n 2n sinh n
2 2 2 2 2
Do đó
α
r
b sinh α sinh α 2n = br sinh α .
lim brn = lim α = br lim
n→∞ n→∞ n
2 sinh n α n→∞ sinh α α
2 2n
α
Từ arn = brn cosh n ta có
2
α sinh α
lim arn = lim brn . lim cosh = br .
n→∞ n→∞ n→∞ 2n α
Bởi vậy
  r1
sinhα
lim an = lim bn = b .
n→∞ n→∞ α
Trường hợp 2: r < 0.
Trường hợp 2.1: a = b. Khi đó an = a = bn , ∀n ∈ N. Suy ra
lim an = lim bn = 1.
n→∞ n→∞
Trường hợp 2.2: a > b. Khi đó
ar
a r < br ⇒ 0 < < 1.
br
Do đó đặt
ar  π
= cos v 0 < v < .
br 2
Tương tự như trường hợp 1.2, ta chứng minh được
 1
sin v r
lim an = lim bn = b .
n→∞ n→∞ v
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 20
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
ar ar
Trường hợp 2.3: a < b. Khi đó r > 1. Gọi α là số để r = cosh α. Tương tự như trường
b b
hợp 1.3, ta chứng minh được
 1
sinhα r
lim an = lim bn = b .
n→∞ n→∞ α
Lưu ý. Bài toán 9 là trường hợp riêng của bài toán 17 khi r = 1. Bài toán 11 là trường
hợp riêng của bài toán 17 khi r = −1. Bài toán 13 có thể xem là bổ sung cho trường hợp
r = 0 chưa được xét ở bài toán 17.
0.1.3 Phối hợp ba, bốn dãy số.
Bài toán 18. Cho ba số thực a, b, c. Xét 3 dãy số (xn )+∞ +∞ +∞
n=1 , (yn )n=1 , (zn )n=1 như sau:
x1 = a, y1 = b, z1 = c,
yn + z n zn + xn xn + yn
xn+1 = , yn+1 = , zn+1 = , ∀n = 1, 2, . . .
2 2 2
Chứng minh rằng các dãy số này hội tụ và tính giới hạn của chúng.
Giải. Với mọi n = 2, 3, . . . Ta có
yn−1 + zn−1 zn−1 + xn−1 xn−1 + yn−1
xn + yn + z n = + + = xn−1 + yn−1 + zn−1 .
2 2 2
Sử dụng liên tiếp các kết quả trên ta thu được:
xn + yn + zn = xn−1 + yn−1 + zn−1 = · · · = x1 + y1 + z1 = a + b + c. (1)
Đặt M = a + b + c, khi đó từ (1) ta có
zn−1 + xn−1 xn−1 + yn−1 xn−1 + yn−1 + zn−1 xn−1
yn + z n = + = +
2 2 2 2
a + b + c xn−1 M xn−1
= + = + , ∀n = 2, 3, . . .
2 2 2 2
Suy ra
1 1
xn = M − (yn + zn ) = M − xn−1 , ∀n = 2, 3, . . .
2 2
Sử dụng liên tiếp các kết quả trên ta thu được:
   
M xn−1 M 1 M xn−2 1 1 1
xn = − = − − =M − 2 + 2 xn−2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
     
1 1 1 M xn−3 1 1 1 1
=M − 2 + 2 − =M − 2 + 3 − 3 xn−3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 21