Giải hệ phương trình bằng các phương pháp tổ hợp

Giải hệ bằng các phương pháp tổng hợp
Loại 1. Giải hệ bằng phương pháp thế
A. Nội dung phương pháp
Ý tưởng chung:
+) Từ một trong hai phương trình, rút y theo x để được y  f  x  .
+) Thay y  f  x  vào phương trình còn lại, ta được một phương trình đối với x . Giải
phương trình này để tìm x .
+) Với mỗi x tìm được, ta suy ra y tương ứng.
B. Một số ví dụ
 1 1
x   y 
Ví dụ 1. [ĐHA03] Giải hệ  x y.
 2 y  x3  1

Giải
Điều kiện: x  0 , y  0 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
y  x
2 2 
x y  y  xy  x  xy  x  y    x  y   0   xy  1 x  y   0   1.
 y   x
+) Thế y  x vào phương trình thứ hai của hệ ta có
x  1
2 x  x  1  x  2 x  1  0   x  1  x  x  1  0  
3 3 2
.
 x  1  5
 2
1
+) Thế y   vào phương trình thứ hai của hệ ta có
x
2
  x3  1  x 4  x  2  0  x  .
x
2 2
 1  1 3
( x  x  2   x  x  1   x  x  1   x 2     x     0 x )
4 4 2 2
 2  2 2
  
Vậy hệ đã cho có ba nghiệm  x; y   1;1 ,  x; y   12 5 ; 12 5 , 1 5
2 
; 12 5 .
Nhận xét. Ở Ví dụ 1, phương trình thứ nhất của hệ có dạng f  x   f  y  . Phương trình dạng
này bao giờ cũng đưa được về dạng  x  y  g  x; y   0 .
1
 3 x  y  x  y
Ví dụ 2. [ĐHB02] Giải hệ  .
 x  y  x  y  2
Giải
Điều kiện: x  y . Mũ 6 hai vế phương trình thứ nhất của hệ ta được
2 3 2 y  x
 x  y   x  y   x  y   x  y  1  0   .
 y  x 1
Thế y  x vào phương trình còn lại của hệ ta được
x  0
2x  2x  2   2  x  1 ,  y  1 (thỏa mãn).
2 x  x  1
Thế y  x  1 vào phương trình còn lại của hệ ta được
 x  12 3 1
2x 1  2 x  1   2  x   y  (thỏa mãn).
4 x  4 x  1  2 x  1 2 2
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là  x; y   1;1 ,  x; y    32 ; 12  .
log 1  y  x   log 4 1y  1
Ví dụ 3. [ĐHA04] Giải hệ  4 .
2 2
 x  y  25
Giải
y  0
Điều kiện:  . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
y  x
3
log 1  y  x   log 1 y  log 1 14  log 1  y  x   log 1 4y  y  x  4y  x  y.
4 4 4 4 4
4
3
Thay x  y vào phương trình còn lại của hệ ta đươc
4
2
3  2 y  4
 y   y  25    x  3 (thỏa mãn).
4   y  4  loaï i 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x; y    3; 4  .
2 2
 xy  x  y  x  2 y
Ví dụ 4. Giải hệ [ĐHD08]  .
 x 2 y  y x  1  2 x  2 y
Giải
Điều kiện: y  0 , x  1 .
Coi phương trình thư nhất của hệ là phương trình bậc hai đối với x :
2
x 2   y  1 x  2 y 2  y  0 .  *
2 2
Ta có    y  1  4  2 y 2  y    3 y  1 . Do đó
  y  1   3 y  1   y
x 
2
 *   .
  y  1   3 y  1
x   2y 1
 2
Ta thấy trường hợp x   y không thỏa mãn điều kiện. Thay x  2 y  1 vào phương trình còn lại
của hệ ta được
 2 y  1 2 y  y 2 y  2 y  2   y  1 2 y  2  y  1   y  1  2 y  2   0
 y  1 (loaïi)
   x  5 (thỏa mãn).
y  2
Nhận xét. Ở ví dụ trên, phương trình thứ nhất của hệ có dạng ax 2  bxy  cy 2  dx  ey  f  0 .
Ta thường xử lý phương trình này như sau: coi phương trình là phương trình bậc hai đối với x ,
từ đó ta có thể giải x theo y . Tương tự, nếu coi phương trình là phương trình bậc hai đối với y
thì ta cũng có thể giải y theo x .
 x 4  2 x 3 y  x 2 y 2  2 x  9
Ví dụ 5. [ĐHB08] Giải hệ  2 .
 x  2 xy  6 x  6
Giải
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với
1
xy 
2
 x2  6x  6 . 1
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
2
 x  xy   2 x  9 .
2
 2
Thế 1 vào  2  ta có
2 2
 2 1  1 2 
 x  2   x  6 x  6   2 x  9   2 x  3x  3   2 x  9
2
   
3 x  0
 x 4  12 x3  48 x 2  64 x  0  x  x  4   0   .
 x  4
Ta thấy x  0 không thỏa mãn 1 .
17
Thay x  4 vào 1 suy ra y  .
4
3
 17 
Vậy hệ có nghiệm suy nhất là  x; y    4;  .
 4
Nhận xét. Trong ví dụ trên, phép thế được thực hiện cho cả cụm xy . Để làm xuất hiện “cụm
thế” ta cần thực hiện một vài phép biến đổi. Các ví dụ tiếp theo sẽ làm rõ hơn điều này.
23 x  5 y 2  4 y
Ví dụ 6. [ĐHD02] Giải hệ  4 x  2 x1 .
 2 x  2  y
Giải
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với
4 x  2 x1 
2x 2x  2 
2x  2
y  2x  2
 y  2x  y . 1
( y  0)
Phương trình thứ nhát của hệ tương đương với
x 3
2   5y  4 y .
2
 2
Thế 1 vào  2  ta được
 y  0  loaïi 

y3  5 y 2  4 y  y3  5 y2  4 y  0   y  1 .
y  4

Thay y  1 vào 1 ta được x  0 , y  4 vào 1 ta được x  2 .
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là  x; y    0;1 ,  x; y    2; 4  .
4
C. Bài tập
 x  1  2  y  1
Bài 1. [ĐHB05]  . ĐS: 1;1 ,  2; 2  .
3log 9  9 x   log 3 y  3
2 3
 x 2  4 x  y  2  0
Bài 2. [ĐHB10]  . ĐS:  3;1 .
2 log 2  x  2   log 2 y  0
log 2  3 y  1  x
Bài 3. [ĐHB10]  x x 2
. ĐS:  1; 12  .
4  2  3 y
5 x 2 y  4 xy 2  3 y 3  2  x  y   0
Bài 4. [ĐHA11]  2
.
 xy  x 2
 y 2
  2   x  y 
ĐS: 1;1 ,  1; 1 ,  2 10
5  
; 510 ,  2 510 ;  510 
 x 3  2 xy 2  12 y  0
Bài 5.  2 2
. ĐS:  2; 1 ,  2;1 .
8 y  x  12
2 3 4 2 3 4
 x  x  x  x  y  y  y  y
Bài 6.  2 2
.
 x  y  1
 1 1   1 1 
ĐS:  ; ,  ;  ,  0; 1 ,  1;0  .
 2 2  2 2
 x 2  xy  2  3x  y
Bài 7.  2 2
. ĐS: 1; 1 , 1;1 .
 x  y  2
 y x 26
  
Bài 8.  x y 5 . ĐS:  5;1 ,  5; 1 .
 x 2  y 2  24

5
Loại 2. Phương pháp ẩn phụ
A. Một số ví dụ
 x  x  y  1  3  0
Ví dụ 1. [ĐHD09] Giải hệ  2
.
 x  y   x 2  1  0
5
Giải
Điều kiện: x  0 .
Chia hai vế của phương trình thứ nhất của hệ cho x ta được
1
 x  y   3.  1  0 .
x
u  x  y

Đặt  1  v  0 và hệ đã cho trở thành
v  x
u  3v  1  0 1
 2 2
.
u  5v  1  0  2
Từ 1 , ta rút được u theo v
u  3v  1 .  3
Thế  3 vào  2  ta được
v  1
2
 3v  1  5v  1  0  4v  6v  2  0   1 .
2 2
v
 2
x  1
+) v  1    x  y 1.
u  2
x  2 x  2
1  
+) v    1   3.
2 u  2  y   2
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là  x; y   1;1 và  x; y    2;  32  .
 xy  x  1  7 y
Ví dụ 2. [ĐHB09] Giải hệ  2 2 2
.
 x y  xy  1  13 y
Giải
6
Thay y  0 vào phương trình thứ hai của hệ ta được 1  0  x  . Chia hai vế của phương
trình thứ nhất cho y và chia hai vế của phương trình thứ hai cho y 2 , ta được hệ phương trình
tương đương
 x 1  1 x
x  y  y  7  x     7
  y y
   2
.
 x 2  x  1  13  1  x
 y y2  x  y   y  13
 
1 x
Đặt u  x  , v  , hệ nói trên trở thành
y y
u  v  7 v  7  u u  4 u  5
 2   2   hoặc  .
u  v  13 u   7  u   13 v  3 v  12
 1
 x  4  1 x  1
u  4  y 3 y   4 x  3 
+)      y   hoặc  1.
v  3 x 3 x  3y  y  1  y 
3
 y 
 1
 x   5  1
u  5  y 12 y   5
+)      y   x; y   
v  12 x
  12  x  12 y

 y
1
(vì 12 y   5  12 y 2  5 y  1  0 vô nghiệm).
y
 1
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm  x; y    3;1 và  x; y    1;  .
 3
 2 3 2 5
 x  y  x y  xy  xy  
4.
Ví dụ 3. [ĐHA08] Giải hệ 
 x 4  y 2  xy 1  2 x    5
 4
Giải
Hệ đã cho tương đương với
 2 5
 x  y   xy  x  y   xy   4
2
 .
 x 2  y 2  xy   5
 4
7
u  x 2  y
Đặt  , hệ đã cho trở thành
v  xy
 5   5 2  5 2 5
u  uv  v   4 u  u   4  u     4  u    4
     

u 2  v   5 v   5  u 2
 4  4
  5 2  5 2 5  3 1
u  u   4  u     4  u    4  u  u2  u  0
     4
   
v   5  u 2 v   5  u 2
 4  4
 1
u  0  u
  2.
  5 hoặc 
v   4 v   3
 2
 5
u  0 x2  y  0  y   x2 x  3
    4
+)  5   5   3 5   .
v   4  xy    x    y   1 3 25
 4  4  2 2
 1  2 1  1  1
u   x  y    y  x2  y   x2  x  1
 2 
 2  2 
 2 
+)          3.
v   3  xy   3  2 1 
x  x     3 x  x   0
3 1 3  y  
   2
2 2   2 2 2 2
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm  x; y    ;   ,  x; y   1;   .
3 5
4
3 25
16
3
2
8