Đồ thi hàm số chẵn, hàm số lẻ và hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
- 7 trang
- file .pdf
Loại 3. Đồ thị hàm số chẵn, hàm số lẻ và hàm số chứa dấu giá trị
tuyệt đối
A. Phương pháp giải toán
1. Đồ thị hàm số chẵn, hàm số lẻ
Cho hàm số y f x xác định trên D .
x D
Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu: x D : .
f x f x
x D
Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu: x D : .
f x f x
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ
làm tâm đối xứng.
2. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Để vẽ Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng hai nguyên tắc sau đây:
Nguyên tắc 1: (về sự phân chia đồ thị hàm số) Đồ thị hàm số
f1 x neáu x D1
f 2 x neáu x D2
y f x
...
f x neáu x D
n n
là hợp của n đồ thị hàm số y f k x với x Dk ( k 1, 2, n ).
Nguyên tắc 2: (về sự đổi dấu hàm số) Đồ thị hàm số y f x , x D và Đồ thị hàm số
y f x , x D đối xứng nhau qua Ox .
Hai trường hợp đặc biệt:
6
y f x laø haøm chaün
* Đồ thị hàm số y f x : vì nên Đồ thị hàm số y f x gồm hai
f x f x x 0
phần:
+) Phần 1: là phần Đồ thị hàm số y f x nằm bên phải Oy .
+) Phần 2: đối xứng với phần 1 qua Oy .
f x neáu f x 0
* Đồ thị hàm số y f x : vì f x nên Đồ thị hàm số y f x
f x neáu f x 0
gồm hai phần:
+) Phần 1: là phần Đồ thị hàm số y f x nằm phía trên trục hoành.
+) Phần 2: đối xứng với phần Đồ thị hàm số y f x ở phía dưới trục hoành qua
trục hoành.
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Vẽ Đồ thị hàm số f x x 1 x 2 x 3 .
Giải
Ta có
y
3 x 6 neáu x<1
x 4 neáu 1 x 2
f x
x neáu 2 x 3 6
3x 6 neáu x 3
Đồ thị hàm số y f x là hợp của bốn 3
2
phần
O
+ Đồ thị hàm số y 3 x 6 với x 1 , 1 2 3 x
y=x y=-x+4
y=3x-6 y=-3x+6
+ Đồ thị hàm số y x 4 với 1 x 2 ,
+ Đồ thị hàm số y x 4 với 2 x 3 ,
7
+ Đồ thị hàm số y 3 x 6 với x 3 .
Ví dụ 2. Vẽ Đồ thị hàm số y f x x 2 2 | x 1 | 2 .
Giải
Ta có
y
x 2 2x neáu x<1
f x . y = x2 2∙x + 4
x 2 2x 4 neáu x 1 y = x2 + 2∙x
4
Đồ thị hàm số y f (x) là hợp của hai
3
phần
+ Đồ thị hàm số y x2 2x với x 1 ,
+ Đồ thị hàm số y x2 2x 4 với x 1 . -2 -1 O 1 x
-1
Ví dụ 3. Vẽ các đồ thị hàm số
1) y f x x 2 4x 3 , 2) y g x x 2 4 x 3 ,
3) y h x x 2 4x 3 , 4) y k x x 2 4 x 3 .
Giải
1) 2) 3)
y = x2 4∙x + 3 y y
3
3
1
-3 -2 -1 O 1 2 3
-1
O 1 2 3 x
y = x2 4∙x + 3
-1
8
y
4
O 1 2 3 x
-1
4) Ta thấy k x g x h x nên ta có thể thu được Đồ thị hàm số y k x từ Đồ thị
hàm số y g x hoặc y h x .
y
3
1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
Ví dụ 4. Vẽ các đồ thị hàm số
x 1 x 1
1) f1 x
x 1
C1 ; 2) f 2 x C2 ; 3) f3 x x 1 C3 ;
x 1 x 1
x 1 x 1
4) f 4 x C4 ; 5) f5 x x 1 C5 .
x 1
Giải
x 1
Trước hết, ta vẽ đồ thị C của hàm số f x (hình 0);
x 1
f x neáu f x 0
1) Ta có f1 x f x . Do đó đồ thị C1 gồm hai phần (hình 1):
f x neáu f x 0
9
Phần 1: là phần đồ thị C nằm trên Ox ;
Phần 2: đối xứng với phần đồ thị C nằm dưới Ox qua Ox .
2) Ta có f 2 x f x là hàm chẵn, đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng. Lại có f 2 x f x
với mọi x 0 . Do đó đồ thị C2 gồm hai phần (hình 2):
Phần 1: là phần đồ thị C nằm bên phải Oy ;
Phần 2: đối xứng với phần 1 qua Oy .
f 2 x neáu f 2 x 0
3) Ta có f3 x f 2 x . Do đó đồ thị C3 gồm hai phần (hình 3):
f 2 x neáu f 2 x 0
Phần 1: là phần đồ thị C2 nằm trên Ox ;
Phần 2: đối xứng với phần đồ thị C2 nằm dưới Ox qua Ox .
f x neáu x 1
4) Ta có f 4 x . Do đó đồ thị C4 gồm hai phần (hình 4):
f x neáu x 1
Phần 1: là phần đồ thị C ứng với x 1 ;
Phần 2: đối xứng với phần đồ thị C ứng với x 1 qua Ox .
f x neáu x 1
5) Ta có f5 x . Do đó đồ thị C5 gồm hai phần (hình 5):
f x neáu x 1
Phần 1: là phần đồ thị C ứng với x 1 ;
Phần 2: đối xứng với phần đồ thị C ứng với x 1 qua Ox .
10
tuyệt đối
A. Phương pháp giải toán
1. Đồ thị hàm số chẵn, hàm số lẻ
Cho hàm số y f x xác định trên D .
x D
Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu: x D : .
f x f x
x D
Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu: x D : .
f x f x
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ
làm tâm đối xứng.
2. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Để vẽ Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng hai nguyên tắc sau đây:
Nguyên tắc 1: (về sự phân chia đồ thị hàm số) Đồ thị hàm số
f1 x neáu x D1
f 2 x neáu x D2
y f x
...
f x neáu x D
n n
là hợp của n đồ thị hàm số y f k x với x Dk ( k 1, 2, n ).
Nguyên tắc 2: (về sự đổi dấu hàm số) Đồ thị hàm số y f x , x D và Đồ thị hàm số
y f x , x D đối xứng nhau qua Ox .
Hai trường hợp đặc biệt:
6
y f x laø haøm chaün
* Đồ thị hàm số y f x : vì nên Đồ thị hàm số y f x gồm hai
f x f x x 0
phần:
+) Phần 1: là phần Đồ thị hàm số y f x nằm bên phải Oy .
+) Phần 2: đối xứng với phần 1 qua Oy .
f x neáu f x 0
* Đồ thị hàm số y f x : vì f x nên Đồ thị hàm số y f x
f x neáu f x 0
gồm hai phần:
+) Phần 1: là phần Đồ thị hàm số y f x nằm phía trên trục hoành.
+) Phần 2: đối xứng với phần Đồ thị hàm số y f x ở phía dưới trục hoành qua
trục hoành.
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Vẽ Đồ thị hàm số f x x 1 x 2 x 3 .
Giải
Ta có
y
3 x 6 neáu x<1
x 4 neáu 1 x 2
f x
x neáu 2 x 3 6
3x 6 neáu x 3
Đồ thị hàm số y f x là hợp của bốn 3
2
phần
O
+ Đồ thị hàm số y 3 x 6 với x 1 , 1 2 3 x
y=x y=-x+4
y=3x-6 y=-3x+6
+ Đồ thị hàm số y x 4 với 1 x 2 ,
+ Đồ thị hàm số y x 4 với 2 x 3 ,
7
+ Đồ thị hàm số y 3 x 6 với x 3 .
Ví dụ 2. Vẽ Đồ thị hàm số y f x x 2 2 | x 1 | 2 .
Giải
Ta có
y
x 2 2x neáu x<1
f x . y = x2 2∙x + 4
x 2 2x 4 neáu x 1 y = x2 + 2∙x
4
Đồ thị hàm số y f (x) là hợp của hai
3
phần
+ Đồ thị hàm số y x2 2x với x 1 ,
+ Đồ thị hàm số y x2 2x 4 với x 1 . -2 -1 O 1 x
-1
Ví dụ 3. Vẽ các đồ thị hàm số
1) y f x x 2 4x 3 , 2) y g x x 2 4 x 3 ,
3) y h x x 2 4x 3 , 4) y k x x 2 4 x 3 .
Giải
1) 2) 3)
y = x2 4∙x + 3 y y
3
3
1
-3 -2 -1 O 1 2 3
-1
O 1 2 3 x
y = x2 4∙x + 3
-1
8
y
4
O 1 2 3 x
-1
4) Ta thấy k x g x h x nên ta có thể thu được Đồ thị hàm số y k x từ Đồ thị
hàm số y g x hoặc y h x .
y
3
1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
Ví dụ 4. Vẽ các đồ thị hàm số
x 1 x 1
1) f1 x
x 1
C1 ; 2) f 2 x C2 ; 3) f3 x x 1 C3 ;
x 1 x 1
x 1 x 1
4) f 4 x C4 ; 5) f5 x x 1 C5 .
x 1
Giải
x 1
Trước hết, ta vẽ đồ thị C của hàm số f x (hình 0);
x 1
f x neáu f x 0
1) Ta có f1 x f x . Do đó đồ thị C1 gồm hai phần (hình 1):
f x neáu f x 0
9
Phần 1: là phần đồ thị C nằm trên Ox ;
Phần 2: đối xứng với phần đồ thị C nằm dưới Ox qua Ox .
2) Ta có f 2 x f x là hàm chẵn, đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng. Lại có f 2 x f x
với mọi x 0 . Do đó đồ thị C2 gồm hai phần (hình 2):
Phần 1: là phần đồ thị C nằm bên phải Oy ;
Phần 2: đối xứng với phần 1 qua Oy .
f 2 x neáu f 2 x 0
3) Ta có f3 x f 2 x . Do đó đồ thị C3 gồm hai phần (hình 3):
f 2 x neáu f 2 x 0
Phần 1: là phần đồ thị C2 nằm trên Ox ;
Phần 2: đối xứng với phần đồ thị C2 nằm dưới Ox qua Ox .
f x neáu x 1
4) Ta có f 4 x . Do đó đồ thị C4 gồm hai phần (hình 4):
f x neáu x 1
Phần 1: là phần đồ thị C ứng với x 1 ;
Phần 2: đối xứng với phần đồ thị C ứng với x 1 qua Ox .
f x neáu x 1
5) Ta có f5 x . Do đó đồ thị C5 gồm hai phần (hình 5):
f x neáu x 1
Phần 1: là phần đồ thị C ứng với x 1 ;
Phần 2: đối xứng với phần đồ thị C ứng với x 1 qua Ox .
10