Định lý viét và những ứng dụng
- 12 trang
- file .pdf
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà
ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN
I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
1. Dạng đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*) Ù a.12 + b.1 + c = 0 Ù a + b + c = 0
c
Như vây phương trình có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm còn lại là x2 =
a
2
b) Nếu cho x = − 1 thì ta có (*) Ù a.( − 1) + b( − 1) + c = 0 Ù a − b + c = 0
−c
Như vậy phương trình có một nghiệm là x1 = −1 và nghiệm còn lại là x2 =
a
Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
1) 2 x 2 + 5 x + 3 = 0 (1) 2) 3 x 2 + 8 x − 11 = 0 (2)
Ta thấy :
−3
Phương trình (1) có dạng a − b + c = 0 nên có nghiệm x1 = −1 và x2 =
2
−11
Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm x1 = 1 và x2 =
3
Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
1. 35 x 2 − 37 x + 2 = 0 2. 7 x 2 + 500 x − 507 = 0
3. x 2 − 49 x − 50 = 0 4. 4321x 2 + 21x − 4300 = 0
2. Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số
của phương trình :
Vídụ: a) Phương trình x 2 − 2 px + 5 = 0 . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.
b) Phương trình x 2 + 5 x + q = 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.
c) Cho phương trình : x 2 − 7 x + q = 0 , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của
phương trình.
d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x 2 − qx + 50 = 0 , biết phương trình có 2 nghiệm và có
một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Bài giải:
a) Thay x1 = 2 v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc :
9
4−4p +5 = 0 ⇒ p =
4
5 5
T ừ x1 x2 = 5 suy ra x2 = =
x1 2
b) Thay x1 = 5 v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc
25 + 25 + q = 0 ⇒ q = −50
−50 −50
T ừ x1 x2 = −50 suy ra x2 = = = −10
x1 5
c) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 − x2 = 11 và theo VI-ÉT ta có x1 + x2 = 7 , ta
⎧ x − x = 11 ⎧ x1 = 9
giải hệ sau: ⎨ 1 2 ⇔⎨
⎩ x1 + x2 = 7 ⎩ x2 = −2
1
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà
Suy ra q = x1 x2 = −18
d) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 = 2 x2 và theo VI-ÉT ta có x1 x2 = 50 . Suy ra
⎡ x2 = −5
2 x22 = 50 ⇔ x22 = 52 ⇔ ⎢
⎣ x2 = 5
Với x2 = −5 th ì x1 = −10
Với x2 = 5 th ì x1 = 10
II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ; x2
Ví dụ : Cho x1 = 3 ; x2 = 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
⎧ S = x1 + x2 = 5
Theo hệ thức VI-ÉT ta có ⎨ vậy x1 ; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:
⎩ P = x1 x2 = 6
x 2 − Sx + P = 0 ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0
Bài tập áp dụng:
1. x1 = 8 vµ x2 = -3
2. x1 = 3a vµ x2 = a
3. x1 = 36 vµ x2 = -104
4. x1 = 1 + 2 vµ x2 = 1 − 2
2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương
trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình : x 2 − 3x + 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Không giải phương trình trên, hãy
1 1
lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y1 = x2 + và y2 = x1 +
x1 x2
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
1 1 ⎛1 1⎞ x +x 3 9
S = y1 + y2 = x2 + + x1 + = ( x1 + x2 ) + ⎜ + ⎟ = ( x1 + x2 ) + 1 2 = 3 + =
x1 x2 ⎝ x1 x2 ⎠ x1 x2 2 2
1 1 1 1 9
P = y1 y2 = ( x2 + )( x1 + ) = x1 x2 + 1 + 1 + = 2 +1+1+ =
x1 x2 x1 x2 2 2
Vậy phương trình cần lập có dạng: y 2 − Sy + P = 0
9 9
hay y2 − y + = 0 ⇔ 2 y2 − 9 y + 9 = 0
2 2
V í dụ: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của PT : 2 x − 5 x + 1 = 0 .Hãy lập phương trình bậc hai một ẩn y thoả mãn
2
x x
y1 = 1 ; y2 = 2
x2 + 1 x1 + 1
Bài giải:
⎧ 5
⎪⎪ x1 + x2 = 2
Áp dung viét ta có : ⎨
⎪x x = 1
⎪⎩ 1 2 2
Bài tập áp dụng:
2
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà
1/ Cho phương trình 3 x + 5 x − 6 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Không giải phương trình, Hãy lập
2
1 1
phương trình bậc hai có các nghiệm y1 = x1 + và y2 = x2 +
x2 x1
5 1
(Đáp số: y 2 + y − = 0 hay 6 y 2 + 5 y − 3 = 0 )
6 2
2/ Cho phương trình : x 2 − 5 x − 1 = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn
y1 = x14 và y2 = x24 (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho).
(Đáp số : y 2 − 727 y + 1 = 0 )
3/ Cho phương trình bậc hai: x 2 − 2 x − m 2 = 0 có các nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương trình bậc hai có
các nghiệm y1 ; y2 sao cho :
a) y1 = x1 − 3 và y2 = x2 − 3 b) y1 = 2 x1 −1 và y2 = 2 x2 − 1
(Đáp số a) y 2 − 4 y + 3 − m 2 = 0 b) y 2 − 2 y − (4m 2 − 3) = 0 )
III. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :
x 2 − Sx + P = 0 (điều kiện để có hai số đó là S2 − 4P ≥ 0 )
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = − 3 và tích P = ab = − 4
Vì a + b = − 3 và ab = − 4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : x 2 + 3x − 4 = 0
giải phương trình trên ta được x1 = 1 và x2 = −4
Vậy nếu a = 1 thì b = − 4
nếu a = − 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P
1. S = 3 và P=2
2. S = − 3 và P=6
3. S = 9 và P = 20
4. S = 2x và P = x2 − y2
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41
2. a − b = 5 và ab = 36
3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích
của a v à b.
Từx
⎡x = 4
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : x 2 − 9 x + 20 = 0 ⇔ ⎢ 1
⎣ x2 = 5
Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
nếu a = 5 thì b = 4
2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c = − b ta có : a + c = 5 và a.c = − 36
⎡ x = −4
Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : x 2 − 5 x − 36 = 0 ⇔ ⎢ 1
⎣ x2 = 9
Do đó nếu a = − 4 thì c = 9 nên b = − 9
3
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà
nếu a = 9 thì c = −4 nên b = 4
Cách 2: Từ ( a − b ) = ( a + b ) − 4ab ⇒ ( a + b ) = ( a − b ) + 4ab = 169
2 2 2 2
⎡ a + b = −13
⇒ ( a + b ) = 132 ⇒ ⎢
2
⎣ a + b = 13
⎡ x = −4
*) Với a + b = −13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x 2 + 13 x + 36 = 0 ⇔ ⎢ 1
⎣ x2 = −9
Vậy a = −4 thì b = −9
⎡x = 4
*) Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x 2 − 13 x + 36 = 0 ⇔ ⎢ 1
⎣ x2 = 9
Vậy a = 9 thì b = 4
3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
⎡ a + b = −11
T ừ: a2 + b2 = 61 ⇒ ( a + b ) = a 2 + b 2 + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 112 ⇒ ⎢
2
⎣ a + b = 11
⎡ x = −5
*) Nếu a + b = −11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: x 2 + 11x + 30 = 0 ⇔ ⎢ 1
⎣ x2 = −6
Vậy nếu a = −5 thì b = −6 ; nếu a = −6 thì b = −5
⎡x = 5
*) Nếu a + b = 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : x 2 − 11x + 30 = 0 ⇔ ⎢ 1
⎣ x2 = 6
Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.
IV. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về
biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức
1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1 + x2 ) và x1 x2
Ví dụ 1 a) x12 + x22 = ( x12 + 2 x1 x2 + x22 ) − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2
b) x13 + x23 = ( x1 + x2 ) ( x12 − x1 x2 + x22 ) = ( x1 + x2 ) ⎡( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 ⎤
2
⎣ ⎦
c) x14 + x24 = ( x12 ) 2 + ( x22 )2 = ( x12 + x22 ) − 2 x12 x22 = ⎡⎣( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 ⎤⎦ − 2 x12 x22
2 2
1 1 x1 + x2
d) + =
x1 x2 x1 x2
Ví dụ 2 x1 − x2 = ?
Ta biết ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 ⇒ x1 − x2 = ± ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2
2 2 2
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
1. x12 − x22 ( = ( x1 − x2 )( x1 + x2 ) =…….)
( = ( x1 − x2 ) ( x12 + x1 x2 + x22 ) = ( x1 − x2 ) ⎡( x1 + x2 ) − x1 x2 ⎤ =……. )
2
2. x13 − x23
⎣ ⎦
3. x14 − x24 ( = ( x1 + x2 )( x1 − x2 ) =…… )
2 2 2 2
4. x16 + x26 ( = ( x12 )3 + ( x22 )3 = ( x12 + x22 )( x14 − x12 x22 + x24 ) = ……..)
Bài tập áp dụng
4
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà
1 1
5. x16 − x26 6. x15 + x25 7. x17 + x27 8. +
x1 − 1 x2 − 1
2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : x 2 − 8 x + 15 = 0 Không giải phương trình, hãy tính
1 1 ⎛8⎞
1. x12 + x22 (34) 2. + ⎜ ⎟
x1 x2 ⎝ 15 ⎠
x1 x2 ⎛ 34 ⎞
4. ( x1 + x2 )
2
3. + ⎜ ⎟ (46)
x2 x1 ⎝ 15 ⎠
b) Cho phương trình : 8 x 2 − 72 x + 64 = 0 Không giải phương trình, hãy tính:
1 1 ⎛9⎞
1. + ⎜ ⎟ 2. x12 + x22 (65)
x1 x2 ⎝8⎠
c) Cho phương trình : x 2 − 14 x + 29 = 0 Không giải phương trình, hãy tính:
1 1 ⎛ 14 ⎞
1. + ⎜ ⎟ 2. x12 + x22 (138)
x1 x2 ⎝ 29 ⎠
d) Cho phương trình : 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 Không giải phương trình, hãy tính:
1 1 1 − x1 1 − x2
1. + (3) 2. + (1)
x1 x2 x1 x2
x1 x ⎛5⎞
3. x12 + x22 (1) 4. + 2 ⎜ ⎟
x2 + 1 x1 + 1 ⎝6⎠
e) Cho phương trình x 2 − 4 3 x + 8 = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính
6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x22
Q=
5 x1 x23 + 5 x13 x2
6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x22 6( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 6.(4 3) 2 − 2.8 17
HD: Q = = = =
5 x1 x2 + 5 x1 x2 5 x1 x2 ⎡( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 ⎤ 5.8 ⎡⎣(4 3) − 2.8⎤⎦ 80
3 3 2 2
⎣ ⎦
V. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI
NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)
- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm
x1 và x2.
Ví dụ 1: Cho phương trình : ( m − 1) x 2 − 2mx + m − 4 = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 . Lập hệ thức liên hệ
giữa x1 ; x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :
5
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà
⎧m ≠ 1
⎧m − 1 ≠ 0 ⎧m ≠ 1 ⎧m ≠ 1 ⎪
⎨ ⇔⎨ 2 ⇔⎨ ⇔⎨ 4
⎩ '≥0 ⎩m − (m − 1)(m − 4) ≥ 0 ⎩5m − 4 ≥ 0 ⎪⎩ m ≥ 5
Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :
⎧ 2m ⎧ 2
⎪⎪ x1 + x2 = m − 1 ⎪⎪ x1 + x2 = 2 + m − 1 (1)
⎨ ⇔⎨
⎪ x .x = m − 4 ⎪ x .x = 1 − 3 (2)
⎩⎪ ⎩⎪
1 2 1 2
m −1 m −1
Rút m từ (1) ta có :
2 2
= x1 + x2 − 2 ⇔ m − 1 = (3)
m −1 x1 + x2 − 2
Rút m từ (2) ta có :
3 3
= 1 − x1 x2 ⇔ m − 1 = (4)
m −1 1 − x1 x2
Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:
2 3
= ⇔ 2 (1 − x1 x2 ) = 3 ( x1 + x2 − 2 ) ⇔ 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 0
x1 + x2 − 2 1 − x1 x2
Ví dụ 2: Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : ( m − 1) x 2 − 2mx + m − 4 = 0 . Chứng minh rằng biểu thức
A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 không phụ thuộc giá trị của m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :
⎧m ≠ 1
⎧m − 1 ≠ 0 ⎧m ≠ 1 ⎧m ≠ 1 ⎪
⎨ ⇔⎨ 2 ⇔⎨ ⇔⎨ 4
⎩ '≥0 ⎩m − (m − 1)(m − 4) ≥ 0 ⎩5m − 4 ≥ 0 ⎪⎩ m ≥ 5
Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :
⎧ 2m
⎪⎪ x1 + x2 =
m −1
⎨ thay v ào A ta c ó:
⎪ x .x = m − 4
⎪⎩ 1 2 m − 1
2m m−4 6m + 2m − 8 − 8(m − 1) 0
A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 3. + 2. −8 = = =0
m −1 m −1 m −1 m −1
4
Vậy A = 0 với mọi m ≠ 1 và m ≥ . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m
5
Nhận xét:
- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm
- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất
các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
Bài tập áp dụng:
6
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà
1. Cho phương trình : x − ( m + 2 ) x + ( 2m − 1) = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2
2
sao cho x1 ; x2 độc lập đối với m.
Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = ( m + 2 ) − 4 ( 2m − 1) = m 2 − 4m + 8 = ( m − 2 ) + 4 > 0
2 2
do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
⎧m = x1 + x2 − 2(1)
⎧ x1 + x2 = m + 2 ⎪
⎨ ⇔⎨ x1 x2 + 1
⎩ x1.x2 = 2m − 1 ⎪⎩m = 2 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
x1 x2 + 1
x1 + x2 − 2 = ⇔ 2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 − 5 = 0
2
2. Cho phương trình : x 2 + ( 4m + 1) x + 2 ( m − 4 ) = 0 .
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = (4m + 1) 2 − 4.2(m − 4) = 16m 2 + 33 > 0 do đó phương trình đã cho luôn có 2
nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
⎧ x1 + x2 = −(4m + 1) ⎧4m = −( x1 + x2 ) − 1(1)
⎨ ⇔⎨
⎩ x1.x2 = 2(m − 4) ⎩4m = 2 x1 x2 + 16(2)
Từ (1) và (2) ta có:
−( x1 + x2 ) − 1 = 2 x1 x2 + 16 ⇔ 2 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = 0
VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM
ĐÃ CHO
Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Cho phương trình : mx 2 − 6 ( m − 1) x + 9 ( m − 3) = 0
Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2
Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :
⎧⎪m ≠ 0 ⎧⎪ m ≠ 0 ⎧⎪m ≠ 0 ⎧m ≠ 0
⎨ ⇔⎨ ⇔ ⎨ ⇔⎨
⎩⎪∆ ' = ⎣⎡3 ( m − 21) ⎦⎤ − 9(m − 3)m ≥ 0 ⎩⎪ ∆ ' = 9 ( m − 2m + 1) − 9m + 27 ≥ 0 ⎩⎪∆ ' = 9 ( m − 1) ≥ 0
2
⎩ m ≥ −1
2 2
⎧ 6(m − 1)
⎪⎪ x1 + x2 = m
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: ⎨ v à t ừ gi ả thi ết: x1 + x2 = x1 x2 . Suy ra:
⎪ x x = 9(m − 3)
⎪⎩ 1 2 m
6(m − 1) 9(m − 3)
= ⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 6m − 6 = 9m − 27 ⇔ 3m = 21 ⇔ m = 7
m m
7
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà
(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2
Ví dụ 2: Cho phương trình : x 2 − ( 2m + 1) x + m2 + 2 = 0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 & x2 là :
∆ ' = (2m + 1) 2 − 4(m 2 + 2) ≥ 0
⇔ 4m 2 + 4m + 1 − 4m 2 − 8 ≥ 0
7
⇔ 4m − 7 ≥ 0 ⇔ m ≥
4
⎧ x + x2 = 2m + 1
Theo hệ thức VI-ÉT ta có: ⎨ 1 và từ giả thiết 3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0 . Suy ra
⎩ x1 x2 = m + 2
2
3(m 2 + 2) − 5(2m + 1) + 7 = 0
⇔ 3m 2 + 6 − 10m − 5 + 7 = 0
⎡ m = 2(TM )
⇔ 3m − 10m + 8 = 0 ⇔ ⎢
2
⎢ m = 4 ( KTM )
⎣ 3
Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0
Bài tập áp dụng
1. Cho phương trình : mx 2 + 2 ( m − 4 ) x + m + 7 = 0
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 − 2 x2 = 0
2. Cho phương trình : x 2 + ( m − 1) x + 5m − 6 = 0
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 4 x1 + 3 x2 = 1
3. Cho phương trình : 3x 2 − ( 3m − 2 ) x − ( 3m + 1) = 0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3 x1 − 5 x2 = 6
Hướng dẫn cách giải:
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1 và ví dụ 2 ở chỗ
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1 + x2 và tích nghiệm x1 x2 nên ta có thể vận
dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.
+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây
là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 + x2 và tích nghiệm
x1 x2 rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2.
16
BT1: - ĐKX Đ: m ≠ 0 & m ≤
15
8
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà
⎧ −(m − 4)
⎪⎪ x1 + x2 = m
-Theo VI-ÉT: ⎨ (1)
⎪x x = m + 7
⎪⎩ 1 2 m
⎧ x + x = 3 x2
- Từ x1 − 2 x2 = 0 Suy ra: ⎨ 1 2 ⇒ 2( x1 + x2 ) 2 = 9 x1 x2 (2)
2( x
⎩ 1 2 + x ) = 3 x1
- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: m 2 + 127m − 128 = 0 ⇒ m1 = 1; m2 = −128
BT2: - ĐKXĐ: ∆ = m 2 − 22m + 25 ≥ 0 ⇔ 11 − 96 ≤ m ≤ 11 + 96
⎧ x + x2 = 1 − m
- Theo VI-ÉT: ⎨ 1 (1)
⎩ x1 x2 = 5m − 6
⎧ x1 = 1 − 3( x1 + x2 )
⎨ ⇒ x1 x2 = [1 − 3( x1 + x2 ) ] .[ 4( x1 + x2 ) − 1]
- Từ : 4 x1 + 3 x2 = 1 . Suy ra: ⎩ x2 = 4( x1 + x2 ) − 1 (2)
⇔ x1 x2 = 7( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) 2 − 1
⎡m = 0
- Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m − 1) = 0 ⇔ ⎢ (thoả mãn ĐKXĐ)
⎣m = 1
BT3: - Vì ∆ = (3m − 2) 2 + 4.3(3m + 1) = 9m 2 + 24m + 16 = (3m + 4) 2 ≥ 0 với mọi số thực m nên phương
trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
⎧ 3m − 2
⎪⎪ x1 + x2 = 3
- -Theo VI-ÉT: ⎨ (1)
⎪x x = − (3m + 1)
⎪⎩ 1 2 3
⎧8 x1 = 5( x1 + x2 ) + 6
⎨ ⇒ 64 x1 x2 = [5( x1 + x2 ) + 6] .[3( x1 + x2 ) − 6]
- Từ giả thiết: 3 x1 − 5 x2 = 6 . Suy ra: ⎩8 x2 = 3( x1 + x2 ) − 6 (2)
⇔ 64 x1 x2 = 15( x1 + x2 ) 2 − 12( x1 + x2 ) − 36
⎡m = 0
- Thế (1) vào (2) ta được phương trình: m(45m + 96) = 0 ⇔ ⎢ (thoả mãn )
⎢ m = − 32
⎣ 15
VII. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2
nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….
Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm x1 x2 S = x1 + x2 P = x1 x2 ∆ Điều kiện chung
trái dấu ± ∓ P<0 ∆≥0 ∆ ≥ 0 ; P < 0.
cùng dấu, ± ± P>0 ∆≥0 ∆≥0 ;P>0
cùng dương, + + S>0 P>0 ∆≥0 ∆≥0 ;P>0;S>0
cùng âm − − S<0 P>0 ∆≥0 ∆ ≥ 0 ; P > 0 ; S < 0.
Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình:
9
ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN
I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
1. Dạng đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*) Ù a.12 + b.1 + c = 0 Ù a + b + c = 0
c
Như vây phương trình có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm còn lại là x2 =
a
2
b) Nếu cho x = − 1 thì ta có (*) Ù a.( − 1) + b( − 1) + c = 0 Ù a − b + c = 0
−c
Như vậy phương trình có một nghiệm là x1 = −1 và nghiệm còn lại là x2 =
a
Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
1) 2 x 2 + 5 x + 3 = 0 (1) 2) 3 x 2 + 8 x − 11 = 0 (2)
Ta thấy :
−3
Phương trình (1) có dạng a − b + c = 0 nên có nghiệm x1 = −1 và x2 =
2
−11
Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm x1 = 1 và x2 =
3
Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
1. 35 x 2 − 37 x + 2 = 0 2. 7 x 2 + 500 x − 507 = 0
3. x 2 − 49 x − 50 = 0 4. 4321x 2 + 21x − 4300 = 0
2. Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số
của phương trình :
Vídụ: a) Phương trình x 2 − 2 px + 5 = 0 . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.
b) Phương trình x 2 + 5 x + q = 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.
c) Cho phương trình : x 2 − 7 x + q = 0 , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của
phương trình.
d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x 2 − qx + 50 = 0 , biết phương trình có 2 nghiệm và có
một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Bài giải:
a) Thay x1 = 2 v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc :
9
4−4p +5 = 0 ⇒ p =
4
5 5
T ừ x1 x2 = 5 suy ra x2 = =
x1 2
b) Thay x1 = 5 v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc
25 + 25 + q = 0 ⇒ q = −50
−50 −50
T ừ x1 x2 = −50 suy ra x2 = = = −10
x1 5
c) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 − x2 = 11 và theo VI-ÉT ta có x1 + x2 = 7 , ta
⎧ x − x = 11 ⎧ x1 = 9
giải hệ sau: ⎨ 1 2 ⇔⎨
⎩ x1 + x2 = 7 ⎩ x2 = −2
1
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà
Suy ra q = x1 x2 = −18
d) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 = 2 x2 và theo VI-ÉT ta có x1 x2 = 50 . Suy ra
⎡ x2 = −5
2 x22 = 50 ⇔ x22 = 52 ⇔ ⎢
⎣ x2 = 5
Với x2 = −5 th ì x1 = −10
Với x2 = 5 th ì x1 = 10
II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ; x2
Ví dụ : Cho x1 = 3 ; x2 = 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
⎧ S = x1 + x2 = 5
Theo hệ thức VI-ÉT ta có ⎨ vậy x1 ; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:
⎩ P = x1 x2 = 6
x 2 − Sx + P = 0 ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0
Bài tập áp dụng:
1. x1 = 8 vµ x2 = -3
2. x1 = 3a vµ x2 = a
3. x1 = 36 vµ x2 = -104
4. x1 = 1 + 2 vµ x2 = 1 − 2
2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương
trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình : x 2 − 3x + 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Không giải phương trình trên, hãy
1 1
lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y1 = x2 + và y2 = x1 +
x1 x2
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
1 1 ⎛1 1⎞ x +x 3 9
S = y1 + y2 = x2 + + x1 + = ( x1 + x2 ) + ⎜ + ⎟ = ( x1 + x2 ) + 1 2 = 3 + =
x1 x2 ⎝ x1 x2 ⎠ x1 x2 2 2
1 1 1 1 9
P = y1 y2 = ( x2 + )( x1 + ) = x1 x2 + 1 + 1 + = 2 +1+1+ =
x1 x2 x1 x2 2 2
Vậy phương trình cần lập có dạng: y 2 − Sy + P = 0
9 9
hay y2 − y + = 0 ⇔ 2 y2 − 9 y + 9 = 0
2 2
V í dụ: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của PT : 2 x − 5 x + 1 = 0 .Hãy lập phương trình bậc hai một ẩn y thoả mãn
2
x x
y1 = 1 ; y2 = 2
x2 + 1 x1 + 1
Bài giải:
⎧ 5
⎪⎪ x1 + x2 = 2
Áp dung viét ta có : ⎨
⎪x x = 1
⎪⎩ 1 2 2
Bài tập áp dụng:
2
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà
1/ Cho phương trình 3 x + 5 x − 6 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Không giải phương trình, Hãy lập
2
1 1
phương trình bậc hai có các nghiệm y1 = x1 + và y2 = x2 +
x2 x1
5 1
(Đáp số: y 2 + y − = 0 hay 6 y 2 + 5 y − 3 = 0 )
6 2
2/ Cho phương trình : x 2 − 5 x − 1 = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn
y1 = x14 và y2 = x24 (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho).
(Đáp số : y 2 − 727 y + 1 = 0 )
3/ Cho phương trình bậc hai: x 2 − 2 x − m 2 = 0 có các nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương trình bậc hai có
các nghiệm y1 ; y2 sao cho :
a) y1 = x1 − 3 và y2 = x2 − 3 b) y1 = 2 x1 −1 và y2 = 2 x2 − 1
(Đáp số a) y 2 − 4 y + 3 − m 2 = 0 b) y 2 − 2 y − (4m 2 − 3) = 0 )
III. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :
x 2 − Sx + P = 0 (điều kiện để có hai số đó là S2 − 4P ≥ 0 )
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = − 3 và tích P = ab = − 4
Vì a + b = − 3 và ab = − 4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : x 2 + 3x − 4 = 0
giải phương trình trên ta được x1 = 1 và x2 = −4
Vậy nếu a = 1 thì b = − 4
nếu a = − 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P
1. S = 3 và P=2
2. S = − 3 và P=6
3. S = 9 và P = 20
4. S = 2x và P = x2 − y2
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41
2. a − b = 5 và ab = 36
3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích
của a v à b.
Từx
⎡x = 4
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : x 2 − 9 x + 20 = 0 ⇔ ⎢ 1
⎣ x2 = 5
Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
nếu a = 5 thì b = 4
2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c = − b ta có : a + c = 5 và a.c = − 36
⎡ x = −4
Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : x 2 − 5 x − 36 = 0 ⇔ ⎢ 1
⎣ x2 = 9
Do đó nếu a = − 4 thì c = 9 nên b = − 9
3
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà
nếu a = 9 thì c = −4 nên b = 4
Cách 2: Từ ( a − b ) = ( a + b ) − 4ab ⇒ ( a + b ) = ( a − b ) + 4ab = 169
2 2 2 2
⎡ a + b = −13
⇒ ( a + b ) = 132 ⇒ ⎢
2
⎣ a + b = 13
⎡ x = −4
*) Với a + b = −13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x 2 + 13 x + 36 = 0 ⇔ ⎢ 1
⎣ x2 = −9
Vậy a = −4 thì b = −9
⎡x = 4
*) Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x 2 − 13 x + 36 = 0 ⇔ ⎢ 1
⎣ x2 = 9
Vậy a = 9 thì b = 4
3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
⎡ a + b = −11
T ừ: a2 + b2 = 61 ⇒ ( a + b ) = a 2 + b 2 + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 112 ⇒ ⎢
2
⎣ a + b = 11
⎡ x = −5
*) Nếu a + b = −11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: x 2 + 11x + 30 = 0 ⇔ ⎢ 1
⎣ x2 = −6
Vậy nếu a = −5 thì b = −6 ; nếu a = −6 thì b = −5
⎡x = 5
*) Nếu a + b = 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : x 2 − 11x + 30 = 0 ⇔ ⎢ 1
⎣ x2 = 6
Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.
IV. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về
biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức
1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1 + x2 ) và x1 x2
Ví dụ 1 a) x12 + x22 = ( x12 + 2 x1 x2 + x22 ) − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2
b) x13 + x23 = ( x1 + x2 ) ( x12 − x1 x2 + x22 ) = ( x1 + x2 ) ⎡( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 ⎤
2
⎣ ⎦
c) x14 + x24 = ( x12 ) 2 + ( x22 )2 = ( x12 + x22 ) − 2 x12 x22 = ⎡⎣( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 ⎤⎦ − 2 x12 x22
2 2
1 1 x1 + x2
d) + =
x1 x2 x1 x2
Ví dụ 2 x1 − x2 = ?
Ta biết ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 ⇒ x1 − x2 = ± ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2
2 2 2
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
1. x12 − x22 ( = ( x1 − x2 )( x1 + x2 ) =…….)
( = ( x1 − x2 ) ( x12 + x1 x2 + x22 ) = ( x1 − x2 ) ⎡( x1 + x2 ) − x1 x2 ⎤ =……. )
2
2. x13 − x23
⎣ ⎦
3. x14 − x24 ( = ( x1 + x2 )( x1 − x2 ) =…… )
2 2 2 2
4. x16 + x26 ( = ( x12 )3 + ( x22 )3 = ( x12 + x22 )( x14 − x12 x22 + x24 ) = ……..)
Bài tập áp dụng
4
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà
1 1
5. x16 − x26 6. x15 + x25 7. x17 + x27 8. +
x1 − 1 x2 − 1
2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : x 2 − 8 x + 15 = 0 Không giải phương trình, hãy tính
1 1 ⎛8⎞
1. x12 + x22 (34) 2. + ⎜ ⎟
x1 x2 ⎝ 15 ⎠
x1 x2 ⎛ 34 ⎞
4. ( x1 + x2 )
2
3. + ⎜ ⎟ (46)
x2 x1 ⎝ 15 ⎠
b) Cho phương trình : 8 x 2 − 72 x + 64 = 0 Không giải phương trình, hãy tính:
1 1 ⎛9⎞
1. + ⎜ ⎟ 2. x12 + x22 (65)
x1 x2 ⎝8⎠
c) Cho phương trình : x 2 − 14 x + 29 = 0 Không giải phương trình, hãy tính:
1 1 ⎛ 14 ⎞
1. + ⎜ ⎟ 2. x12 + x22 (138)
x1 x2 ⎝ 29 ⎠
d) Cho phương trình : 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 Không giải phương trình, hãy tính:
1 1 1 − x1 1 − x2
1. + (3) 2. + (1)
x1 x2 x1 x2
x1 x ⎛5⎞
3. x12 + x22 (1) 4. + 2 ⎜ ⎟
x2 + 1 x1 + 1 ⎝6⎠
e) Cho phương trình x 2 − 4 3 x + 8 = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính
6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x22
Q=
5 x1 x23 + 5 x13 x2
6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x22 6( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 6.(4 3) 2 − 2.8 17
HD: Q = = = =
5 x1 x2 + 5 x1 x2 5 x1 x2 ⎡( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 ⎤ 5.8 ⎡⎣(4 3) − 2.8⎤⎦ 80
3 3 2 2
⎣ ⎦
V. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI
NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)
- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm
x1 và x2.
Ví dụ 1: Cho phương trình : ( m − 1) x 2 − 2mx + m − 4 = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 . Lập hệ thức liên hệ
giữa x1 ; x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :
5
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà
⎧m ≠ 1
⎧m − 1 ≠ 0 ⎧m ≠ 1 ⎧m ≠ 1 ⎪
⎨ ⇔⎨ 2 ⇔⎨ ⇔⎨ 4
⎩ '≥0 ⎩m − (m − 1)(m − 4) ≥ 0 ⎩5m − 4 ≥ 0 ⎪⎩ m ≥ 5
Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :
⎧ 2m ⎧ 2
⎪⎪ x1 + x2 = m − 1 ⎪⎪ x1 + x2 = 2 + m − 1 (1)
⎨ ⇔⎨
⎪ x .x = m − 4 ⎪ x .x = 1 − 3 (2)
⎩⎪ ⎩⎪
1 2 1 2
m −1 m −1
Rút m từ (1) ta có :
2 2
= x1 + x2 − 2 ⇔ m − 1 = (3)
m −1 x1 + x2 − 2
Rút m từ (2) ta có :
3 3
= 1 − x1 x2 ⇔ m − 1 = (4)
m −1 1 − x1 x2
Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:
2 3
= ⇔ 2 (1 − x1 x2 ) = 3 ( x1 + x2 − 2 ) ⇔ 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 0
x1 + x2 − 2 1 − x1 x2
Ví dụ 2: Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : ( m − 1) x 2 − 2mx + m − 4 = 0 . Chứng minh rằng biểu thức
A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 không phụ thuộc giá trị của m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :
⎧m ≠ 1
⎧m − 1 ≠ 0 ⎧m ≠ 1 ⎧m ≠ 1 ⎪
⎨ ⇔⎨ 2 ⇔⎨ ⇔⎨ 4
⎩ '≥0 ⎩m − (m − 1)(m − 4) ≥ 0 ⎩5m − 4 ≥ 0 ⎪⎩ m ≥ 5
Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :
⎧ 2m
⎪⎪ x1 + x2 =
m −1
⎨ thay v ào A ta c ó:
⎪ x .x = m − 4
⎪⎩ 1 2 m − 1
2m m−4 6m + 2m − 8 − 8(m − 1) 0
A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 3. + 2. −8 = = =0
m −1 m −1 m −1 m −1
4
Vậy A = 0 với mọi m ≠ 1 và m ≥ . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m
5
Nhận xét:
- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm
- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất
các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
Bài tập áp dụng:
6
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà
1. Cho phương trình : x − ( m + 2 ) x + ( 2m − 1) = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2
2
sao cho x1 ; x2 độc lập đối với m.
Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = ( m + 2 ) − 4 ( 2m − 1) = m 2 − 4m + 8 = ( m − 2 ) + 4 > 0
2 2
do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
⎧m = x1 + x2 − 2(1)
⎧ x1 + x2 = m + 2 ⎪
⎨ ⇔⎨ x1 x2 + 1
⎩ x1.x2 = 2m − 1 ⎪⎩m = 2 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
x1 x2 + 1
x1 + x2 − 2 = ⇔ 2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 − 5 = 0
2
2. Cho phương trình : x 2 + ( 4m + 1) x + 2 ( m − 4 ) = 0 .
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = (4m + 1) 2 − 4.2(m − 4) = 16m 2 + 33 > 0 do đó phương trình đã cho luôn có 2
nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
⎧ x1 + x2 = −(4m + 1) ⎧4m = −( x1 + x2 ) − 1(1)
⎨ ⇔⎨
⎩ x1.x2 = 2(m − 4) ⎩4m = 2 x1 x2 + 16(2)
Từ (1) và (2) ta có:
−( x1 + x2 ) − 1 = 2 x1 x2 + 16 ⇔ 2 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = 0
VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM
ĐÃ CHO
Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Cho phương trình : mx 2 − 6 ( m − 1) x + 9 ( m − 3) = 0
Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2
Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :
⎧⎪m ≠ 0 ⎧⎪ m ≠ 0 ⎧⎪m ≠ 0 ⎧m ≠ 0
⎨ ⇔⎨ ⇔ ⎨ ⇔⎨
⎩⎪∆ ' = ⎣⎡3 ( m − 21) ⎦⎤ − 9(m − 3)m ≥ 0 ⎩⎪ ∆ ' = 9 ( m − 2m + 1) − 9m + 27 ≥ 0 ⎩⎪∆ ' = 9 ( m − 1) ≥ 0
2
⎩ m ≥ −1
2 2
⎧ 6(m − 1)
⎪⎪ x1 + x2 = m
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: ⎨ v à t ừ gi ả thi ết: x1 + x2 = x1 x2 . Suy ra:
⎪ x x = 9(m − 3)
⎪⎩ 1 2 m
6(m − 1) 9(m − 3)
= ⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 6m − 6 = 9m − 27 ⇔ 3m = 21 ⇔ m = 7
m m
7
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà
(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2
Ví dụ 2: Cho phương trình : x 2 − ( 2m + 1) x + m2 + 2 = 0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 & x2 là :
∆ ' = (2m + 1) 2 − 4(m 2 + 2) ≥ 0
⇔ 4m 2 + 4m + 1 − 4m 2 − 8 ≥ 0
7
⇔ 4m − 7 ≥ 0 ⇔ m ≥
4
⎧ x + x2 = 2m + 1
Theo hệ thức VI-ÉT ta có: ⎨ 1 và từ giả thiết 3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0 . Suy ra
⎩ x1 x2 = m + 2
2
3(m 2 + 2) − 5(2m + 1) + 7 = 0
⇔ 3m 2 + 6 − 10m − 5 + 7 = 0
⎡ m = 2(TM )
⇔ 3m − 10m + 8 = 0 ⇔ ⎢
2
⎢ m = 4 ( KTM )
⎣ 3
Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0
Bài tập áp dụng
1. Cho phương trình : mx 2 + 2 ( m − 4 ) x + m + 7 = 0
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 − 2 x2 = 0
2. Cho phương trình : x 2 + ( m − 1) x + 5m − 6 = 0
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 4 x1 + 3 x2 = 1
3. Cho phương trình : 3x 2 − ( 3m − 2 ) x − ( 3m + 1) = 0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3 x1 − 5 x2 = 6
Hướng dẫn cách giải:
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1 và ví dụ 2 ở chỗ
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1 + x2 và tích nghiệm x1 x2 nên ta có thể vận
dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.
+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây
là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 + x2 và tích nghiệm
x1 x2 rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2.
16
BT1: - ĐKX Đ: m ≠ 0 & m ≤
15
8
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà
⎧ −(m − 4)
⎪⎪ x1 + x2 = m
-Theo VI-ÉT: ⎨ (1)
⎪x x = m + 7
⎪⎩ 1 2 m
⎧ x + x = 3 x2
- Từ x1 − 2 x2 = 0 Suy ra: ⎨ 1 2 ⇒ 2( x1 + x2 ) 2 = 9 x1 x2 (2)
2( x
⎩ 1 2 + x ) = 3 x1
- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: m 2 + 127m − 128 = 0 ⇒ m1 = 1; m2 = −128
BT2: - ĐKXĐ: ∆ = m 2 − 22m + 25 ≥ 0 ⇔ 11 − 96 ≤ m ≤ 11 + 96
⎧ x + x2 = 1 − m
- Theo VI-ÉT: ⎨ 1 (1)
⎩ x1 x2 = 5m − 6
⎧ x1 = 1 − 3( x1 + x2 )
⎨ ⇒ x1 x2 = [1 − 3( x1 + x2 ) ] .[ 4( x1 + x2 ) − 1]
- Từ : 4 x1 + 3 x2 = 1 . Suy ra: ⎩ x2 = 4( x1 + x2 ) − 1 (2)
⇔ x1 x2 = 7( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) 2 − 1
⎡m = 0
- Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m − 1) = 0 ⇔ ⎢ (thoả mãn ĐKXĐ)
⎣m = 1
BT3: - Vì ∆ = (3m − 2) 2 + 4.3(3m + 1) = 9m 2 + 24m + 16 = (3m + 4) 2 ≥ 0 với mọi số thực m nên phương
trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
⎧ 3m − 2
⎪⎪ x1 + x2 = 3
- -Theo VI-ÉT: ⎨ (1)
⎪x x = − (3m + 1)
⎪⎩ 1 2 3
⎧8 x1 = 5( x1 + x2 ) + 6
⎨ ⇒ 64 x1 x2 = [5( x1 + x2 ) + 6] .[3( x1 + x2 ) − 6]
- Từ giả thiết: 3 x1 − 5 x2 = 6 . Suy ra: ⎩8 x2 = 3( x1 + x2 ) − 6 (2)
⇔ 64 x1 x2 = 15( x1 + x2 ) 2 − 12( x1 + x2 ) − 36
⎡m = 0
- Thế (1) vào (2) ta được phương trình: m(45m + 96) = 0 ⇔ ⎢ (thoả mãn )
⎢ m = − 32
⎣ 15
VII. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2
nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….
Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm x1 x2 S = x1 + x2 P = x1 x2 ∆ Điều kiện chung
trái dấu ± ∓ P<0 ∆≥0 ∆ ≥ 0 ; P < 0.
cùng dấu, ± ± P>0 ∆≥0 ∆≥0 ;P>0
cùng dương, + + S>0 P>0 ∆≥0 ∆≥0 ;P>0;S>0
cùng âm − − S<0 P>0 ∆≥0 ∆ ≥ 0 ; P > 0 ; S < 0.
Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình:
9