Đề thi học sinh giỏi toán 12 thpt năm 2018 – 2019 sở gd&đt cần thơ

NHÓM TOÁN VD – VDC Đề thi học sinh giỏi
SỞ GD&ĐT CẦN THƠ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT
ĐỀ CHÍNH THỨC CẤP THÀNH PHỐ LỚP 12
NĂM HỌC 2018 - 2019
Ngày thi : 27/02/2019 MÔN: TOÁN
Đề thi có 02 trang Thời gian: 180 phút
NHÓM TOÁN VD – VDC
Họ và tên: .......................................................................................... SBD: ................................................. .
Câu 1: (3 điểm) Cho hàm số y  x 4  8mx 2  16m 2  m  1  m  R  có đồi thị  C  và điểm H  0;1 . Tìm
tất cả giá trị m để đồ thị  C  có ba cực trị A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC .
Câu 2: (2 điểm) Một xe khách chất lượng cao đi từ Cần thơ đến Hà Nội chở được nhiều nhất 50 hành
khách trên một chuyến đi. Theo tính toán của nhà xe, nếu xe chở được k khách thì giá tiềm mà
2
 3k 
mỗi khách phải trả khi đi tuyến đường này là 180   trăm đồng. Tính số hành khách trên
 2 
mỗi chuyến xe sao cho tổng số tiền thu được từ hành khách nhiều nhất. Tính số tiền đó.
Câu 3: (4 điểm) Giải các phương trình sau:
a) log 3 x 2  x  1  log 1 1  2 x   2 x  1  x 2  x  1
3
cos x  3 cos x  6sin x.cos x   sin x  cos x   sin 2 x  sin x
2 2
b)
Câu 4: ( 3 điểm)
a) Một chiếc xe ô tô đang chạy với vận tốc v0 (m/s) thì người lái xe đạp phanh. Kể từ thời điểm
đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   4t  v0 (m/s), trong đó t (tính bằng giây)
NHÓM TOÁN VD – VDC
là khoảng thời gian kể từ lúc người lái xe đạp phanh. Tính vận tốc v0 , biết rằng từ lúc đạp phanh
đến khi dừng hẳn ô tô còn chạy tiếp một quãng đường dài 8 mét.
b) Một lớp học trong một trường đại học có 60 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên học tiếng
Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp và 20 sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu
nhiên 2 sinh viên của lớp học này. Tính xác suất để 2 sinh viên được chọn không học ngoại
ngữ. Biết rằng trường này chỉ dạy hai ngoại ngữ là tiếng Anh và tiếng Pháp.
Câu 5: (4,0 điểm). Cho hình lăng trụ ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD  120
. Biết các đường thẳng AA, AB, AC cùng tạo với mặt phẳng  ABCD  một góc bằng 60 . Gọi
M , N lần lượt là trung điểm của BB, CC .
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD. ABC D .
b) Tính khoảng cách giữa AD và mặt phẳng  DMN 
Câu 6: (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp
đường tròn tâm I . Gọi E , M lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC ; các điểm F và
D tương ứng là hình chiếu vuông góc của A và B trên các đường thẳng BC và AI .
a) Chứng minh rằng ME là đường trung trực của đoạn thẳng DF .
9 8
b) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết rằng M  2; 1 , D  ;   và đường thẳng
5 5
AC có phương trình x  y  5  0 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1
NHÓM TOÁN VD – VDC Đề thi học sinh giỏi
Câu 7: (2 điểm) Một nhà sản xuất sữa bột dành cho trẻ em cần thiết kế bao bì cho loại sản phẩm mới.
Theo yêu cầu của lãnh đạo nhà máy, hộp sữa mới có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình
vuông hoặc có dạng một hình trụ. Biết rằng hộp sữa mới có thể tích bằng 1dm 3 . Hãy giuýp lãnh
đạo nhà máy thiết kế hộp sữa này sao cho vật liệu sử dụng làm bao bì là ít nhất.
Câu 8: (1 điểm)
Năm bạn học sinh Tính, Nghĩa, Tuấn, Phú và Thuận ở chung một phòng trong ký túc xá của
một trường trung học phô thông. Một hôm, người quản lý ký túc xá đến phòng của năm học
sinh này để xác định lại hộ khẩu nhà của từng học sinh. Vì đều là học sinh giỏi toán nên các
NHÓM TOÁN VD – VDC
học sinh không trả lời trực tiệp mà nói với người quản lý ký túc xá như sau:
- Tính: “Nhà bạn Phú ở Thới Lai còn nhà em ở Cờ Đỏ”
- Nghĩa: “Nhà em cũng ở Cờ Đỏ còn nhà bạn Tuấn ở Ô Môn”
- Tuấn: “Nhà em cũng ở Cờ Đỏ còn nhà bạn Phú ở Thốt Nốt”
- Phú: “Nhà em ở Thới Lai còn nhà bạn Thuận ở Ninh Kiều”
- Thuận: “Nhà em ở Ninh Kiều còn nhà bạn Tính ở Thốt Nốt
Em hãy giúp người quản lý ký túc xá xác định đúng hộ khẩu nhà của các học sinh trên.
Biết răng trong câu trả lời của mỗi học sinh đều có một phân đúng và một phần sai đồng thời
mỗi địa phương là địa chỉ hộ khâu của đúng một học sinh.
----- HẾT -----
NHÓM TOÁN VD – VDC
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2
NHÓM TOÁN VD – VDC Đề thi học sinh giỏi
SỞ GD&ĐT CẦN THƠ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
ĐỀ CHÍNH THỨC CẤP THÀNH PHỐ LỚP 12
NĂM HỌC 2018 - 2019
Câu 1: (3 điểm) Cho hàm số y  x 4  8mx 2  16m 2  m  1  m  R  có đồi thị  C  và điểm H  0;1 .
NHÓM TOÁN VD – VDC
Tìm tất cả giá trị m để đồ thị  C  có ba cực trị A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC .
Lời giải
TXĐ: D  ; y  4 x3 16mx  4x  x 2  4m  .
x  0
y  0   2 .
 x  4m
 C  có 3 cực trị khi m  0 (1)
Không mất tính tổng quát, giả sử các điểm cực trị của hàm số là A  0;16m2  m  1 ,
  
B 2 m ;1  m , C 2 m ;1  m . 
   
AH  0; m  16m2  ; BC 4 m ;0 ; CH 2 m ; m ; AB 2 m ;  16m .  
 AH .BC  0
Do H là trực tâm tam giác ABC nên 
 
0. 4 m   m  16m 2  .0  0


CH . AB  0 2 m .2 m  m  16m   0
m  0  lo¹i 
 4m 16m  0 
2  (Do kết hợp với điều kiện (1)).
 m  1  nhËn 
 4
NHÓM TOÁN VD – VDC
1
Vậy m  là giá trị cần tìm.
4
Câu 2: (2 điểm) Một xe khách chất lượng cao đi từ Cần thơ đến Hà Nội chở được nhiều nhất 50 hành
khách trên một chuyến đi. Theo tính toán của nhà xe, nếu xe chở được k khách thì giá tiềm mà
2
 3k 
mỗi khách phải trả khi đi tuyến đường này là 180   trăm đồng. Tính số hành khách trên
 2 
mỗi chuyến xe sao cho tổng số tiền thu được từ hành khách nhiều nhất. Tính số tiền đó.
Lời giải
2
 3 
Số tiền thu được trên mỗi chuyến xe là : T  k 180  k  ; 0  k  50
 2 
2
 3 
 
Gọi T k  k  180  k 
 2 
2
 3 
 
Bài toán trở thành : Tìm k để T k  k  180  k  đạt GTLN, với 0  k  50 .
 2 
 3  9 
 
Ta có : T  k  180  k   180  k 
 2  2 
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3
NHÓM TOÁN VD – VDC Đề thi học sinh giỏi
 
 k  120  0; 50
T' k  0  
 
 k  40
Bảng biến thiên:
NHÓM TOÁN VD – VDC
Vậy: Số tiền thu được nhiều nhất khi xe chở 40 hành khách và số tiền thu được là 576000 trăm
đồng ( 57.600.000 đồng).
Câu 3: (4 điểm) Giải các phương trình sau:
a) log 3 x 2  x  1  log 1 1  2 x   2 x  1  x 2  x  1
3
cos x  3 cos x  6sin x.cos x   sin x  cos x   sin 2 x  sin x
2 2
b)
Lời giải
1
a) Điều kiện: x  .
2
Ta có: log 3 x 2  x  1  log 1 1  2 x   2 x  1  x 2  x  1
3
 log3 x 2  x  1  log3 1  2 x   2 x  1  x 2  x  1
NHÓM TOÁN VD – VDC
 log3 x 2  x  1  x 2  x  1  log3 1  2 x   1  2 x *
1
Xét hàm số f  t   log3 t  t , t  0. Ta thấy f '  t    1  0 t  0. Suy ra hàm số f  t 
t ln 3
đồng biến  t  0.
Do đó: f  x  x  1  f 1  2 x   x  x  1  1  2 x nên phương trình * tương đương
2 2
1  2 x  0  1
x 
với phương trình: x  x  1  1  2 x   2
2
2   2  x  0.
 x  x  1  1  2 x   x2  x  0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  0 .
cos2 x  3 cos x  6sin x cos x  sin x  cos x   sin 2 x  sin x
2
b) Ta có:
 cos 2 x  3 cos x  3sin 2 x  1  sin 2 x  sin 2 x  sin x
  3 cos x  2sin 2 x   sin x
3 1
 sin 2 x  cos x  sin x
2 2
 
 sin 2 x  sin   x 
3 
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 4
NHÓM TOÁN VD – VDC Đề thi học sinh giỏi
    2
 2 x   x  k 2 x  k
3  9 3
 
 2 x       x   k 2  x  2  k 2
   
3  3
 2 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x   k ;x  k 2 với  k   .
9 3 3
( 3 điểm)
NHÓM TOÁN VD – VDC
Câu 4:
a) Một chiếc xe ô tô đang chạy với vận tốc v0 (m/s) thì người lái xe đạp phanh. Kể từ thời điểm
đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   4t  v0 (m/s), trong đó t (tính bằng giây)
là khoảng thời gian kể từ lúc người lái xe đạp phanh. Tính vận tốc v0 , biết rằng từ lúc đạp phanh
đến khi dừng hẳn ô tô còn chạy tiếp một quãng đường dài 8 mét.
b) Một lớp học trong một trường đại học có 60 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên học tiếng
Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp và 20 sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu
nhiên 2 sinh viên của lớp học này. Tính xác suất để 2 sinh viên được chọn không học ngoại
ngữ. Biết rằng trường này chỉ dạy hai ngoại ngữ là tiếng Anh và tiếng Pháp.
Lời giải
v0
a) Với vận tốc chuyển động chậm dần đều v  t   4t  v0 , thì sau thời gian ô tô mới dừng
4
v0 v0
v02
hẳn. Khi đó ô tô đã đi được quảng đường s    4t  v0  dt   2t  v0t    m  .
4 2 4
0 0 8
Theo yêu cầu bài toán, ô tô chạy thêm được quãng đường 8  m  , ta có phương trình:
v02 v0  8
8  .
v0  8
NHÓM TOÁN VD – VDC
8
Vì ban đầu vận chuyển động có vận tốc, sau đó mới hãm phanh, ta chọn v0  8  m/s  .
b)
Cách 1:
Sử dụng biểu đồ ven như hình vẽ bên dưới
Như vậy lớp học đại học đã cho có 10 học sinh không học ngoại ngữ.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5
NHÓM TOÁN VD – VDC Đề thi học sinh giỏi
Ta xét phép thử: Chọn 2 học sinh bất kỳ trong số 60 học sinh của lớp học.
Số khả năng xảy ra của phép thử là n     C602 .
Xét biến cố A : Chọn ra 2 học sinh không học ngoại ngữ.
Như vậy điều kiện thuận lợi của biến cố A là chọn 2 học sinh trong 10 học sinh không học
ngoại ngữ. Do đó n  A  C102 .
NHÓM TOÁN VD – VDC
n  A C102 3
Suy ra xác suất để chọn được 2 học sinh không học ngoại ngữ là P  A   2  .
n    C60 118
Cách 2:
Gọi A, P, K lần lượt là tập hợp sinh viên học tiếng Anh, học tiếng Pháp và không học ngoại
ngữ. Khi đó n  A  P  K   60 n  A  40 , n  P   30 , n  A  P   20 .
Ta có
n  A  P  K   n  A  n  B   n  K   n  A  P   n  A  K   n  P  K   n  A  P  K 
Nên 60  40  30  n  K   20  0  0  0  n  K   10 .
Gọi X là biến cố “ 2 sinh viên được chọn không học ngoại ngữ”.
Ta có n     C60
2
, n  X   C10
2
.
n  X  C10
2
3
Do đó P  X    2  .
n    C60 118
NHÓM TOÁN VD – VDC
Câu 5: (4,0 điểm). Cho hình lăng trụ ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD  120
. Biết các đường thẳng AA, AB, AC cùng tạo với mặt phẳng  ABCD  một góc bằng 60 . Gọi
M , N lần lượt là trung điểm của BB, CC .
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD. ABC D .
b) Tính khoảng cách giữa AD và mặt phẳng  DMN  .
Lời giải
A' D'
B' C'
M
A N
D
H
B
C
E F
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 6
NHÓM TOÁN VD – VDC Đề thi học sinh giỏi
Gọi H là hình chiếu của A' trên  ABC  , do các đường thẳng A ' A, A ' B, A ' C cùng hợp với
mặt phẳng  ABCD  một góc 600 nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Do đáy ABCD
là hình thoi và BAD  120 nên ABC là tam giác đều, suy ra điểm H cũng là trực tâm, trọng
2 a 3 a 3
tâm của ABC  AH  .  .
3 2 3
NHÓM TOÁN VD – VDC
 AH   ABCD 

Do 
 AA   ABCD   A

 góc giữa A ' A với mặt phẳng  ABCD  là góc AAH  AAH  60 .
a 3
A ' HA vuông tại H  A ' H  HA.tan 600  . 3a
3
a2 3 a3 3
Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' là: V  S ABCD . A ' H  2. .a  .
4 2
b) Tính khoảng cách giữa đường thẳng AD và mặt phẳng  D ' MN  .
Cách 1:
Gọi E  A ' M  AB, F  D ' N  DC  EF / / BC / / AD và B,C lần lượt là trung điểm của
đoạn AE, DF .
Ta có d  AD,  D ' MN    d  A,  A 'E F   
d  H ,  A 'E F   .
3
2
Vì AH  B C nên AH  EF hay HF  EF  d  H ,  A 'EF   bằng chiều cao h của tam
giác A ' HF ,
NHÓM TOÁN VD – VDC
2
2a 3  2a 3  a 21
trong đó A ' H  a, HF  2.HA  , A' F  A ' H  HF  a  
2 2 2
  .
3  3  3
HA '.HF 2a
Xét A ' HF vuông tại H  h   .
A' F 7
Vậy d  AD,  D ' MN    d  A,  A' EF    d  H,  A' EF    .
3 3 2a 3a
 .
2 2 7 7
Cách 2:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho I  O  0;0;0  , B   ;0;0  , C  ; 0; 0  ,
a a
 2  2 
 a 3   a 3   a 3 
H  0; ;0  , A  0; ;0  , A  0; ; a 
 6   2   2 .
 a a 3  a a 3 
Do AA  BB  CC   B   ;  ; a  , C   ;  ; a  .
 2 3  2 3 
 a 3 
BC  AD  D  a; ; a  .
 6
 
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 7
NHÓM TOÁN VD – VDC Đề thi học sinh giỏi
 3a a 3 a  a
MN   a;0;0   a 1;0;0   ai, MD   ; ;
 2 3 2 6   9; 2 
3;3 
a
6

m.
 

Véc tơ pháp tuyến của  DMN  là n  i; m   0; 3; 2 3 . 
3a 3
Mặt phẳng  DMN  có phương trình 3 y  2 3 z   0.
2
NHÓM TOÁN VD – VDC
Vì AD song song với MN nên AD song song với  DMN  .
Ta có d  AD,  DMN    d  A,  DMN   
3a
.
7
Câu 6: (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp
đường tròn tâm I . Gọi E , M lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC ; các điểm F và
D tương ứng là hình chiếu vuông góc của A và B trên các đường thẳng BC và AI .
a) Chứng minh rằng ME là đường trung trực của đoạn thẳng DF .
9 8
b) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết rằng M  2; 1 , D  ;   và đường thẳng
5 5
AC có phương trình x  y  5  0 .
Lời giải
NHÓM TOÁN VD – VDC
a) Ta có BFA  BDA  90 , suy ra tứ giác ABFD nội tiếp đường tròn tâm E , đường kính AB .
Mặt khác IEB  IDB  IMB  90 , suy ra ngũ giác BEIDM nội tiếp đường tròn đường kính BI .
Từ đó ta có DEM  DBM  DBF ( cùng chắn cung DM )
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 8