Đề cương toán đại số 10, học kỳ 1
- 14 trang
- file .pdf
MATHVN.COM | www.mathvn.com
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ 1 MÔN TOÁN LỚP 10
Năm học 2010- 2011
PHẦN I: ĐẠI SỐ
CHƯƠNG I. TẬP HỢP. MỆNH ĐỀ (Dành cho phần trắc nghiệm)
Bài 1: Các mệnh đề sau đúng hay sai ? lập mệnh đề phủ định của mệnh đề đó:
1/ " n Î N*, n2 + n + 1 lµ sè nguyªn tè. 2/ " x Î Z , x2 ³ x .
3/ $ k Î Z , k2 + k + 1 lµ mét sè ch½n. 4/ " n Î N , n3 - n chia hÕt cho 3.
2x
5/ " x Î R , x < 3 Þ x2 < 9. 6/ $ x Î R , >1.
x +1
2
3x + 2
7/ $ x Î Q, ÎZ . 8/ "x Î N , x2 chia hÕt cho 3 Þ x chia hÕt cho 3.
x2 +1
Bµi 2. Cho A = {1 , 2 , 3, 4 , 5 , 6 , 9} ; B = {0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 9} ; C = {3 , 4 , 5 , 6 , 7} .
1/ T×m A Ç B; B \ C ; A È B; A \ B .
2/ Chøng minh: A Ç ( B \ C ) = ( A Ç B ) \ C .
Bài 3: Liệt kê các phần tử của các tập hợp sau.
a/ A = {3k -1| k Î Z , -5 £ k £ 3} b/ B = {x Î Z / x2 - 9 = 0}
c/ C = {x Î R / (x - 1)(x2 + 6x + 5) = 0} d/ D = {x Î Z / |x |£ 3}
e/ E = {x / x = 2k với k Î Z và -3 < x < 13}
Bài 4: Tìm tất cả các tập hợp con của tập: a/ A = {a, b} b/ B = {a, b, c}
c/ C = {a, b, c, d}
Bài 5: Tìm A Ç B ; A È B ; A \ B ; B \ A , biết rằng :
a/ A = (2, + ¥) ; B = [-1, 3]
b/ A = (-¥, 4] ; B = (1, +¥)
c/ A = {x Î R / -1 £ x £ 5}B = {x Î R / 2 < x £ 8}
CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI (Dành cho tự luận và trắc nghiệm)
VẤN ĐỀ 1. Tìm tập xác định
· Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) là tìm tất cả những giá trị của biến số x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa:
D = { x Î R f ( x) coù nghóa} .
· Điều kiện xác định của một số hàm số thường gặp:
P ( x)
1) Hàm số y = Q( x) : Điều kiện xác định: Q(x) ¹ 0.
2) Hàm số y = R( x) : Điều kiện xác định: R(x) ³ 0.
Chú ý: + Đôi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau.
+ Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là A Ì D.
ìA¹ 0
+ A.B ¹ 0 Û íî B ¹ 0 .
www.MATHVN.com 1
MATHVN.COM | www.mathvn.com
VẤN ĐỀ 2. Xét tính chẳn lẻ của hàm số
Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau:
· Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không.
· Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D).
+ Nếu f(–x) = f(x), "x Î D thì f là hàm số chẵn.
+ Nếu f(–x) = –f(x), "x Î D thì f là hàm số lẻ.
Chú ý: + Tập đối xứng là tập thoả mãn điều kiện: Với "x Î D thì –x Î D.
+ Nếu $x Î D mà f(–x) ¹ ± f(x) thì f là hàm số không chẵn không lẻ.
VẤN ĐỀ 3. Sự biến thiên của hàm số
Cho hàm số f xác định trên K.
· y = f(x) đồng biến trên K Û "x1 , x2 Î K : x1 < x2 Þ f ( x1 ) < f ( x2 )
f ( x2 ) - f ( x1 )
Û "x1 , x2 Î K : x1 ¹ x2 Þ x2 - x1
>0
· y = f(x) nghịch biến trên K Û "x1 , x2 Î K : x1 < x2 Þ f ( x1 ) > f ( x2 )
f ( x2 ) - f ( x1 )
Û "x1 , x2 Î K : x1 ¹ x2 Þ x2 - x1
<0
VẤN ĐỀ 4. Hàm số bậc nhất
1. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ¹ 0)
· Tập xác định: D = R.
· Sự biến thiên: + Khi a > 0, hàm số đồng biến trên R.
+ Khi a < 0, hàm số nghịch biến trên R.
· Đồ thị là đường thẳng có hệ số góc bằng a, cắt trục tung tại điểm B(0; b).
Chú ý: Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b và (d¢): y = a¢x + b¢:
+ (d) song song với (d¢) Û a = a¢ và b ¹ b¢.
+ (d) trùng với (d¢) Û a = a¢ và b = b¢.
+ (d) cắt (d¢) Û a ¹ a¢.
2. Hàm số y = ax + b (a ¹ 0)
ì b
ïïax + b khi x ³ -
a
y = ax + b = í
ï-(ax + b) b
khi x < -
ïî a
Chú ý: Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b ta có thể vẽ hai đường thẳng y = ax + b và y = –ax – b, rồi xoá
đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành.
2
VẤN ĐỀ 5. Hàm số bậc hai y = ax + bx + c (a ¹ 0)
· Tập xác định: D = R
· Sự biến thiên:
æ b Dö b
· Đồ thị là một parabol có đỉnh I çè - 2a ; - 4a ÷ø , nhận đường thẳng x = - 2a làm trục đối xứng, hướng bề
lõm lên trên khi a > 0, xuông dưới khi a < 0.
www.MATHVN.com 2
MATHVN.COM | www.mathvn.com
Chú ý: Để vẽ đường parabol ta có thể thực hiện các bước như sau:
æ b Dö
– Xác định toạ độ đỉnh I çè - 2a ; - 4a ÷ø .
b
– Xác định trục đối xứng x = - 2a và hướng bề lõm của parabol.
– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các
điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng).
– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
- 3x 3- x
1) y = 2) y = 12-3x 3) y =
x+2 x-4
x 5- x
4) y = 5) y = x + 2 + 7 - x 6) y =
( x - 1) 3 - x 2
x - 3 x - 10
Bµi 2. Tìm a để hàm số xác định trên tập K đã chỉ ra:
x-a
1) y = x - a + 2 x - a - 1 ; K = (0; +¥). 2) y = 2 x - 3a + 4 + ; K = (0; +¥).
x + a -1
x + 2a 1
3) y = ; K = (–1; 0). 4) y = + - x + 2a + 6 ; K = (–1; 0).
x - a +1 x-a
Bài 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số :
1) y = 4x3 + 3x 2) y = x4 - 3x2 - 1 3) y = x 4 - 2 x + 5
Bµi 4. XÐt tÝnh ®ång biÕn; nghÞch biÕn cña hµm sè:
4
2) y = x x ; x Î (0;+¥ ) ; x Î (2;+¥ )
3
1) y = 3) y =
x +1 2- x
Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
2x - 5
a) y = 3x-2 b) y -2x + 5 c) y =
3
Bài 6: Xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b để:
a) Đi qua hai điểm A(0;1) và B(2;-3)
2
b/ Đi qua C(4, -3) và song song với đt y = - x + 1
3
c/ Đi qua D(1, 2) và có hệ số góc bằng 2
1
d/ Đi qua E(4, 2) và vuông góc với đt y = - x + 5
2
Bài 7: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau :
a/ y = x 2 - 4x+3 b/ y = -x2 – x + 2 c/ y = -x2 + 2x - 3 d) y = x2 + 2x
e/ y = x2 + 3x + 4 f/ y = 2x2 – x – 1 g/ y = - x2 + 4x + 5 h/ y = -x2 + 4x
Bài 8: Tìm tọa độ giao điểm các của các đồ thị hàm số sau:
1/ y = x - 1 vµ y = x 2 - 2 x - 1 (KQ: (3;2), (0;-1))
2/ y = - x + 3 vµ y = - x 2 - 4 x + 1 (KQ: (-1;4), (-2;5))
www.MATHVN.com 3
MATHVN.COM | www.mathvn.com
3/ y = 2 x - 5 và y = x 2 - 4 x + 4 (KQ: Tiếp xúc tại (3;1))
Bài 9: Xác định parabol y= ax2+ bx+1 biết parabol đó:
a) Qua A(1;2) và B(-2;11)
b) Có đỉnh I(1;0)
c) Qua M(1;6) và có trục đối xứng có phương trình là x=-2
d) Qua N(1;4) có tung độ đỉnh là 0.
Bài 10: Tìm Parabol y = ax2 - 4x + c, biết rằng Parabol đó:
a/ Đi qua hai điểm A(1; -2) và B(2; 3)
b/ Có đỉnh I(-2; -2)
c/ Có hoành độ đỉnh là -3 và đi qua điểm P(-2; 1)
d/ Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 và cắt trục hoành tại điểm (3; 0)
CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( Dành cho tự luận)
VẤN ĐỀ 1. Khái niệm phương trình
1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1)
· x0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x0) = g(x0)" là một mệnh đề đúng.
· Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
· Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình.
Chú ý:
+ Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau:
1
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P ( x) thì cần điều kiện P(x) ¹ 0.
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P ( x) thì cần điều kiện P(x) ³ 0.
+ Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x).
2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả
Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1
và f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2.
· (1) Û (2) khi và chỉ khi S1 = S2.
· (1) Þ (2) khi và chỉ khi S1 Ì S2.
3. Phép biến đổi tương đương
· Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương
trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau:
– Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức.
– Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0.
· Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả. Khi đó ta phải
kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
Bài 1: Giải các phương trình sau :
1/ x - 3 + x = 1+ x - 3 2/ x - 2 = 2 - x +1
3/ x x - 1 = 2 x - 1 4/ 3 x 2 + 5x - 7 = 3x + 14
5/ x+4 =2 6/ x - 1 (x2 - x - 6) = 0
3x 2 + 1 4 x 2 + 3x + 4
7/ = 8/ = x+4
x-1 x-1 x+4
Bài 2: Giải các phương trình sau :
2 2x - 2 1 7 - 2x x -2 1 2
1/ x - 1 + = 2/ 1 + = 3/ - =
x-2 x -2 x -3 x -3 x + 2 x x ( x - 2)
www.MATHVN.com 4
MATHVN.COM | www.mathvn.com
x2 + x - 2
4/ x 4 - 8x 2 - 9 = 0 5/ = 10 6/ x - 3 x + 2 = 0
x+2
VẤN ĐỀ 2. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
é ì f ( x) ³ 0
C1 ê í C2 ì g( x) ³ 0
î f ( x) = g( x) ï
· Dạng 1: f ( x) = g( x) Û ê ì f ( x) < 0 Û í é f ( x) = g( x)
êí ïî êë f ( x) = - g( x)
êë î- f ( x) = g( x)
C1 C2
2 2 é f ( x) = g( x)
· Dạng 2: f ( x) = g( x) Û [ f ( x)] = [ g( x)] Ûê
ë f ( x) = - g( x)
· Dạng 3: a f ( x) + b g( x) = h( x)
Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải.
VẤN ĐỀ 3. Phương trình chứa ẩn trong dấu căn
Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:
– Nâng luỹ thừa hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định.
ìï f ( x) = g( x) 2
f ( x) = g( x) [ ]
Dạng 1: Ûí
ïî g( x) ³ 0
ì f ( x) = g( x)
Dạng 2: f ( x) = g( x) Û íî f ( x) ³ 0 (hay g( x) ³ 0)
ìït = f ( x), t ³ 0
Dạng 3: af ( x) + b f ( x) + c = 0 Û í 2
ïîat + bt + c = 0
Bài 3: Giải các phương trình sau :
1/ 2 x + 1 = x - 3 2/ |2x - 2| = x2 - 5x + 6 3/ |x + 3| = 2x + 1
4/ |x - 2| = 3x2 - x - 2 5/ x - 2x - 5 = 4 6/ 2 x - 4 = x - 1
7/ 2 x + 5 = 3 x - 2 8/ x 2 - 7 x + 10 = 3 x - 1 9/ 3 x - 2 = x - 2 + 2
10/ x 2 - 3x - 1 + 7 = 2 x 11/ x 2 + x 2 - x - 9 = x + 3 12/ 3x 2 - 9x + 1 = x - 2
13/ 3x 2 - 9x + 1 = x - 2 14/ x - 2x - 5 = 4
VẤN ĐỀ 4. Phương trình bậc nhất
ax + b = 0 (1)
Hệ số Kết luận
b
a¹0 (1) có nghiệm duy nhất x = -
a
b¹0 (1) vô nghiệm
a=0
b=0 (1) nghiệm đúng với mọi x
www.MATHVN.com 5
MATHVN.COM | www.mathvn.com
Bài 4: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :
1/ 2mx + 3 = m - x 2/ (m - 1)(x + 2) + 1 = m2 3/ (m2 + m)x = m2 - 1
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau :
ì7 4
ì2 x + 3 y = 5 ì -2 x + y = 3 ì x + 2 y = -3 ïï 3 x + 3 y = 41
a. í b. í c. í d. í
î3 x + y = -3 î4 x - 2 y = -6 î -2 x - 4 y = 1 ï 3 x - 5 y = -11
ïî 5 2
VẤN ĐỀ 5. Phương trình bậc hai
1. Cách giải
ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (1)
2 Kết luận
D = b - 4ac
-b ± D
D>0 (1) có 2 nghiệm phân biệt x1,2 =
2a
b
D=0 (1) có nghiệm kép x = -
2a
D<0 (1) vô nghiệm
c
Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = a .
c
– Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = - a .
¢ b
– Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với b = 2 .
2. Định lí Vi–et
2
Hai số x1, x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 khi và chỉ khi chúng thoả mãn các hệ
b c
thức S = x1 + x2 = - a và P = x1 x2 = a .
Bài 6: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m2 - 3m = 0. Định m để phương trình:
a/ Có hai nghiệm phân biệt b/ Có hai nghiệm
c/ Có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.
d/ Có một nghiệm bằng -1 tính nghiệm còn lại
e/ Có hai nghiệm thoả 3(x1+x2)=- 4 x1 x2 f/ Có hai nghiệm thoả x1=3x2
Bài 7: Cho pt x2 + (m - 1)x + m + 2 = 0
a/ Giải phương trình với m = -8
b/ Tìm m để pt có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó
c/ Tìm m để PT có hai nghiệm trái dấu
d/ Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x12 + x22 = 9
www.MATHVN.com 6
MATHVN.COM | www.mathvn.com
PHẦN II: HÌNH HỌC
CHƯƠNG I. VÉC TƠ (Dành cho trắc nghiệm và tự luận)
I/ KHÁI NIỆM VÉC TƠ .
1. Các định nghĩa uuur
· Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB .
· Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
uuur
· Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB .
r
0
· Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu .
· Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
· Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
· Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
r r
Chú ý: a
+ Ta còn sử dụng kí hiệu , b ,... để biểu diễn vectơ.
r
0
+ Qui ước: Vectơ cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
r
Mọi vectơ 0 đều bằng nhau.
2. Các phép toán trên vectơ
a) Tổng của hai vectơ uuur uuur uuur
· Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB + BC uuu
= AC .
r uuur uuur
· Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB + AD = AC .
r r r r r r r r ( r r) r r r
· Tính chất: a + b = b + a ;
( a + b ) + c = a + b + c ; a +0=a
b) Hiệu của hai vectơ
r r r r r r r
a b
· Vectơ đối của là vectơ sao cho + b = 0 . Kí hiệu vectơ đối của a là - a .
a
r r
· Vectơ đối của 0 là 0 .
r r r ( r)
· - b = a + -b .
a
uuur uuur uuur
· Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB - OA = AB .
c) Tích của một vectơ với một số
r r
· Cho vectơ a và số k Î R. ka là một vectơ được xác định như sau:
r r r r
+ ka cùng hướng với a nếu k ³ 0, ka ngược hướng với a nếu k < 0.
r r
+ ka = k . a .
( r r) r r r r r r r
· Tính chất: k a + b = ka + kb ; (k + l)a = ka + la ; k ( la ) = (kl)a
r r r r
ka = 0 Û k = 0 hoặc a = 0 .
r r r r r r
· Điều kiện để hai vectơ cùng phương: a vaø b ( a ¹ 0 ) cuøn g phöông Û $ k Î R : b = ka
uuur uuur
· Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng Û $k ¹ 0: AB = kAC .
r r r
· Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương , b và x tuỳ ý.
a
r r r
Khi đó $! m, n Î R: x = ma + nb .
Chú ý:
· Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: uuur uuur r uuur uuur uuur
M là trung điểm của đoạn thẳng AB Û MA + MB = 0 Û OA + OB = 2 OM (O tuỳ ý).
· Hệ thức trọng tâm tam giác:
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur
G là trọng tâm DABC Û GA + GB + GC = 0 Û OA + OB + OC = 3OG (O tuỳ ý).
www.MATHVN.com 7
MATHVN.COM | www.mathvn.com
II/ TỌA ĐỘ
1. Trục toạ độ
r
· Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị e . Kí hiệu
(O; er ) .
r r r
· Toạ độ của vectơ trên trục: u = (a ) Ûuuur
u = a.e .
r
· Toạ độ của điểm trên trục: M(k) Û OM = k.euuu .r
r
· Độ dài đại số của vectơ trên trục: AB = a Û AB = a.e .
uuur r
AB cuøng höôùng vôùi e thì AB = AB .
+ Nếu uuu
Chú ý: r r
Nếu AB ngöôïc höôùng vôùi e thì AB = - AB .
+ Nếu A(a), B(b) thì AB = b - a .
+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta có: AB + BC = AC .
2. Hệ trục toạ độ r r
· Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là , j . O là gốc toạ độ,
i
Ox là trục hoành, Oy là trục tung. r r
r r
· Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: u = ( x; y) Û u = x.i + y. j .
uuur r r
· Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: M( x; y) Û OM = x.i + y. j .
r r
· Tính chất: Cho a = ( x; y), b = ( x¢ ; y¢ ), k Î R , A( xA; yA), B( xB ; yB ), C ( xC ; yC ) :
r r ìï x = x¢ r r r
a = b Û í a ± b = ( x ± x¢ ; y ± y¢ ) ka = (kx; ky)
ïî y = y¢
+ + +
r r r ¢ ¢
+ cùng phương với ¹ 0
b a Û $k Î R: x = kx vaø y = ky .
x¢ y¢
Û x = y (nếu x ¹ 0, y ¹ 0).
uuur
+ AB = ( xB - xA; yB - yA ) .
xA + xB yA + yB
+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: xI = 2
; yI =
2 .
xA + xB + xC yA + yB + yC
+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: xG = 3
; yG =
3 .
xA - kxB yA - kyB
+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ¹ 1: xM = 1 - k ; yM =
1- k .
uuur uuur
( M chia đoạn AB theo tỉ số k Û MA = kMB ).
Bài 1: Cho 6 điểm phân biệt A, B, C, D, E, F chứng minh :
uur uuur uuur uur uur uur uuur uur
a ) AB + DC = AC + DB b) AB + ED = AD + EB
uur uur uuur uur uuur uur uuur uur uur
c ) AB - CD = AC - BD d ) AD + CE + DC = AB - EB
uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
e) AC+ DE - DC - CE + CB = AB f ) AD + BE + CF = AE + BF + CD = AF + BD + CE
Bài 2: Cho tam giác MNP có MQ là trung tuyến của tam giác . Gọi R Là trung điểm của MQ. Cmr
uuur uuur uur r uuur uuur uur uur
a ) 2 RM + RN + RP = 0 b) ON + 2OM + OP = 4OR, "O bÊt k×
c) Dựng điểm S sao cho tứ giác MNPS là hình bình hành. Chứng tỏ rằng
www.MATHVN.com 8
MATHVN.COM | www.mathvn.com
uuur uuur uuur uuur
MS + MN - PM = 2 MP
uuur uuur uuuur uuur
d)Với điểm O tùy ý, hãy chứng minh rằng: ON + OS = OM + OP ;
uuur uuuur uuur uuur uur
ON + OM + OP + OS = 4OI
Bài 3:.Cho 4 điểm bất kì A,B,C,D và M,N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB,CD.Chứng minh rằng:
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur
a) CA + DB = CB + DA = 2MN b) AD + BD + AC + BC = 4 MN
uur uur uur uur uur
c) Gọi I là trung điểm của BC.Chứng minh rằng: 2( AB + AI + NA + DA) = 3DB
uuur uur uur r
Bài 4:. Cho tam giác MNP có MQ ,NS,PI lần lượt là trung tuyến của tam giác. Chứng minh rằng:
a ) MQ + NS + PI = 0
b) Chứng minh rằng hai tam giác MNP và tam giác SQI có cùng trọng tâm .
c) Gọi M’ Là điểm đối xứng với M qua N , N’ Là điểm đối xứng với N qua P , P’ Là điểm
đối xứng với P qua M. Chứng minh rằng với mọi điểm O bất kì ta luôn có:
uuur uuur uur uuur' uuuur' uuur'
ON + OM + OP = ON + OM + OP
Bài 5: Gọi G và G ¢ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A¢B ¢C¢ .
uuur uuur uuuur uuuur
Chứng minh rằng AA¢ + BB ¢ + CC¢ = 3GG ¢
Bài 6: Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của AB, N là một điểm trên AC sao cho NC=2NA,
gọi K là trung điểm của MN
uuur 1 uuur 1 uuur
a ) CMR: AK= AB + AC
4 6
uuur 1 uuuur 1 uuur
b) Gäi D lµ trung ®iÓm cña BC, chøng minh : KD= AB + AC
4 3
uuur uur uuur
Bài 7: a) Cho MK và NQ là trung tuyến của tam giác MNP.Hãy phân tích các véctơ MN , NP , PM
r uuuur r uuur
theo hai véctơ u = MK , v = NQ
uuur uur
b) Trên đường thẳng NP của tam giác MNP lấy một điểm S sao cho SN = 3SP . Hãy phân
uuur r uuuur r uuur
tích véctơ MS theo hai véctơ u = MN , v = MP
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MNP .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MG và H là
1 uur uuur uur uuur
điểm trên cạnh MN sao cho MH = MN .Hãy phân tích các véctơ MI , MH , PI , PH theo hai véctơ
r uuuur r uuur 5
u = PM , v = PN
Bài 8: Cho 3 điểm A(1,2), B(-2, 6), C(4, 4)
a) Chứng minh A, B,C không thẳng hàng
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC
d) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình Bình hành
e) Tìm toạ độ điểm N sao cho B là trung điểm của đoạn AN
f) Tìm toạ độ các điêm H, Q, K sao cho C là trọng tâm của tam giác ABH, B là trọng tâm của tam
giác ACQ, A là trọng tâm của tam giác BCK.
g) Tìm toạ độ điểm T sao cho 2 điểm A và T đối xứng nhau qua B, qua C.
uuur uuur uuur uuur
h) T × m to¹ ®é ®iÓm U sao cho AB = 3BU ; 2 AC = -5 BU
uuur uuur uuur uuur uuur
k) H·y ph©n tich AB, theo 2 vec t¬ AU vµ CB ; theo 2 vect¬ AC vµ CN
Bài 9: Cho tam giác ABC có M(1,4), N(3,0); P(-1,1) lần lượt là trung điểm của các cạnh: BC, CA,
AB. Tìm toạ độ A, B, C.
Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy.Chứng minh rằng các điểm:
a) A(1;1), B(-1; 7), C(0; 4) thẳng hàng.
b) M(-1; 1), N(1; 3), P(-2; 0) thẳng hàng.
c) Q(-1; 1), R(0; 3), S(-4; 5) không thẳng hàng.
Bài 11: Trong hệ trục tọa cho hai điểm A(2; 1) và B(6; -1) Tìm tọa độ:
a) Điểm M thuộc Ox sao cho A,B,M thẳng hàng.
b) Điểm N thuộc Oy sao cho A,B,N thẳng hàng.
www.MATHVN.com 9
MATHVN.COM | www.mathvn.com
CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG
I/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC BẤT KỲ TỪ 0O ĐẾN 180O
1. Định nghĩa
·
Lấy M trên nöûa ñöôøng troøn ñôn vò taâm O. Xeùt goùc nhoïn a = xOM . Giaû söû M(x; y).
sina = y (tung ñoä)
cosa = x (hoaønh ñoä) y
y æ tung ñoä ö
tana = ç ÷ (x ¹ 0) y M
x è hoaønh ñoä ø
x1
x æ hoaønh ñoä ö -1 O x
cota = y ç tung ñoä ÷ (y ¹ 0)
è ø
Chú ý: – Nếu a tù thì cosa < 0, tana < 0, cota < 0.
– tana chỉ xác định khi a ¹ 900, cota chỉ xác định khi a ¹ 00 và a ¹ 1800.
2. Tính chất
· Góc phụ nhau · Góc bù nhau
sin(900 - a ) = cos a sin(1800 - a ) = sin a
cos(900 - a ) = sin a cos(1800 - a ) = - cos a
tan(900 - a ) = cot a tan(1800 - a ) = - tan a
cot(900 - a ) = tan a cot(1800 - a ) = - cot a
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
00 300 450 600 900 1800
1 2 3
sina 0 1 0
2 2 2
3 2 1
cosa 1 0 –1
2 2 2
3
tana 0 1 3 || 0
3
3
cota || 3 1 0 ||
3
II/ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ
r r
1. Góc giữa hai vectơ a b
r r r uuur r uuur r r A
a
Cho a , b ¹ 0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA = a , OB = b .
r r ·
O
( ) · r
Khi đó , b = AOB với 00 £ AOB £ 1800.
a b B
Chú ý:
r r r r
+ ( a , b ) = 90 Û ^ b
0 a
r r r r
+ ( a , b ) a
= 0 Û , b cùng hướng
0
r r r r
+ ( a , b ) = 1800 Û a , b ngược hướng
r r r r
+ ( a , b ) = ( b ,a)
2. Tích vô hướng của hai vectơ
rr r r r r
· Định nghĩa: a .b = a . b .cos ( a ,b) .
rr r r2
Đặc biệt: a .a = a 2 = a .
www.MATHVN.com 10
MATHVN.COM | www.mathvn.com
r r r
· Tính chất: Với , b , c bất kì và "kÎR, ta có:
a
rr rr r r r rr rr
+ a.b = b.a ; a ( b + c ) = a.b + a.c ;
r r r
( kar ) .b = k ( ar.b ) = ar. ( kb ) ; r r r r
a 2 ³ 0; a 2 = 0 Û a = 0 .
r r 2 r rr r r r r
( ar - b )2 = ar 2 - 2ar.b + b 2 ;
+ ( a + b ) = a 2 + 2a.b + b 2 ;
r r r r r r
a 2 - b 2 = ( a - b )( a + b ) .
rr r r rr r r
+ a .b > 0 Û ( a , b ) nhoïn + a .b < 0 Û ( a , b ) tuø
rr r r
a .b = 0 Û ( a , b ) vuoâng.
3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
r r rr
a b
· Cho = (a , a ), = (b , b ). Khi đó: a .b = a1b1 + a2 b2 .
1 2 1 2
r 2 2 r r a1b1 + a2 b2 r r
· a = a1 + a2 ; cos(a , b ) = ; a ^ b Û a1b1 + a2 b2 = 0
a12 + a22 . b12 + b22
· Cho A( xA; yA), B( xB ; yB ) . Khi đó: AB = ( xB - xA)2 + ( yB - yA)2 .
Bài tập
Baøi 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) a sin 0 0 + b cos 00 + c sin 900 b) a cos 900 + b sin 900 + c sin180 0
c) a 2 sin 90 0 + b2 cos 90 0 + c2 cos1800 d) 3 - sin 2 90 0 + 2 cos2 600 - 3 tan2 450
e) 4a 2 sin2 450 - 3(a tan 450 )2 + (2a cos 450 )2
Baøi 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) sin x + cos x khi x bằng 00; 450; 600. b) 2 sin x + cos 2 x khi x bằng 450; 300.
Baøi 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng:
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
a) AB. AC b) AC.CB c) AB.BC
Baøi 4. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
a) AB. AC b) AC.CB c) AB.BC
Baøi 5. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì.
uuur uuur uuur uur uuur uuur
a) Chứng minh: DA.BC + DB.CA + DC . AB = 0 .
b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".
Baøi 6. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh:
uuur uuur uur uuur uuur uuur
BC. AD + CA.BE + AB.CF = 0 .
Baøi 7. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).
a) Tính chu vi và nhận dạnguuur tam giác uuurABC.
uuur
b) Tìm toạ độ điểm M biết CM = 2 AB - 3 AC .
c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Baøi 8. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).
uuur uuur
a) Tính AB. AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.
f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.
g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.
www.MATHVN.com 11
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ 1 MÔN TOÁN LỚP 10
Năm học 2010- 2011
PHẦN I: ĐẠI SỐ
CHƯƠNG I. TẬP HỢP. MỆNH ĐỀ (Dành cho phần trắc nghiệm)
Bài 1: Các mệnh đề sau đúng hay sai ? lập mệnh đề phủ định của mệnh đề đó:
1/ " n Î N*, n2 + n + 1 lµ sè nguyªn tè. 2/ " x Î Z , x2 ³ x .
3/ $ k Î Z , k2 + k + 1 lµ mét sè ch½n. 4/ " n Î N , n3 - n chia hÕt cho 3.
2x
5/ " x Î R , x < 3 Þ x2 < 9. 6/ $ x Î R , >1.
x +1
2
3x + 2
7/ $ x Î Q, ÎZ . 8/ "x Î N , x2 chia hÕt cho 3 Þ x chia hÕt cho 3.
x2 +1
Bµi 2. Cho A = {1 , 2 , 3, 4 , 5 , 6 , 9} ; B = {0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 9} ; C = {3 , 4 , 5 , 6 , 7} .
1/ T×m A Ç B; B \ C ; A È B; A \ B .
2/ Chøng minh: A Ç ( B \ C ) = ( A Ç B ) \ C .
Bài 3: Liệt kê các phần tử của các tập hợp sau.
a/ A = {3k -1| k Î Z , -5 £ k £ 3} b/ B = {x Î Z / x2 - 9 = 0}
c/ C = {x Î R / (x - 1)(x2 + 6x + 5) = 0} d/ D = {x Î Z / |x |£ 3}
e/ E = {x / x = 2k với k Î Z và -3 < x < 13}
Bài 4: Tìm tất cả các tập hợp con của tập: a/ A = {a, b} b/ B = {a, b, c}
c/ C = {a, b, c, d}
Bài 5: Tìm A Ç B ; A È B ; A \ B ; B \ A , biết rằng :
a/ A = (2, + ¥) ; B = [-1, 3]
b/ A = (-¥, 4] ; B = (1, +¥)
c/ A = {x Î R / -1 £ x £ 5}B = {x Î R / 2 < x £ 8}
CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI (Dành cho tự luận và trắc nghiệm)
VẤN ĐỀ 1. Tìm tập xác định
· Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) là tìm tất cả những giá trị của biến số x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa:
D = { x Î R f ( x) coù nghóa} .
· Điều kiện xác định của một số hàm số thường gặp:
P ( x)
1) Hàm số y = Q( x) : Điều kiện xác định: Q(x) ¹ 0.
2) Hàm số y = R( x) : Điều kiện xác định: R(x) ³ 0.
Chú ý: + Đôi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau.
+ Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là A Ì D.
ìA¹ 0
+ A.B ¹ 0 Û íî B ¹ 0 .
www.MATHVN.com 1
MATHVN.COM | www.mathvn.com
VẤN ĐỀ 2. Xét tính chẳn lẻ của hàm số
Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau:
· Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không.
· Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D).
+ Nếu f(–x) = f(x), "x Î D thì f là hàm số chẵn.
+ Nếu f(–x) = –f(x), "x Î D thì f là hàm số lẻ.
Chú ý: + Tập đối xứng là tập thoả mãn điều kiện: Với "x Î D thì –x Î D.
+ Nếu $x Î D mà f(–x) ¹ ± f(x) thì f là hàm số không chẵn không lẻ.
VẤN ĐỀ 3. Sự biến thiên của hàm số
Cho hàm số f xác định trên K.
· y = f(x) đồng biến trên K Û "x1 , x2 Î K : x1 < x2 Þ f ( x1 ) < f ( x2 )
f ( x2 ) - f ( x1 )
Û "x1 , x2 Î K : x1 ¹ x2 Þ x2 - x1
>0
· y = f(x) nghịch biến trên K Û "x1 , x2 Î K : x1 < x2 Þ f ( x1 ) > f ( x2 )
f ( x2 ) - f ( x1 )
Û "x1 , x2 Î K : x1 ¹ x2 Þ x2 - x1
<0
VẤN ĐỀ 4. Hàm số bậc nhất
1. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ¹ 0)
· Tập xác định: D = R.
· Sự biến thiên: + Khi a > 0, hàm số đồng biến trên R.
+ Khi a < 0, hàm số nghịch biến trên R.
· Đồ thị là đường thẳng có hệ số góc bằng a, cắt trục tung tại điểm B(0; b).
Chú ý: Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b và (d¢): y = a¢x + b¢:
+ (d) song song với (d¢) Û a = a¢ và b ¹ b¢.
+ (d) trùng với (d¢) Û a = a¢ và b = b¢.
+ (d) cắt (d¢) Û a ¹ a¢.
2. Hàm số y = ax + b (a ¹ 0)
ì b
ïïax + b khi x ³ -
a
y = ax + b = í
ï-(ax + b) b
khi x < -
ïî a
Chú ý: Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b ta có thể vẽ hai đường thẳng y = ax + b và y = –ax – b, rồi xoá
đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành.
2
VẤN ĐỀ 5. Hàm số bậc hai y = ax + bx + c (a ¹ 0)
· Tập xác định: D = R
· Sự biến thiên:
æ b Dö b
· Đồ thị là một parabol có đỉnh I çè - 2a ; - 4a ÷ø , nhận đường thẳng x = - 2a làm trục đối xứng, hướng bề
lõm lên trên khi a > 0, xuông dưới khi a < 0.
www.MATHVN.com 2
MATHVN.COM | www.mathvn.com
Chú ý: Để vẽ đường parabol ta có thể thực hiện các bước như sau:
æ b Dö
– Xác định toạ độ đỉnh I çè - 2a ; - 4a ÷ø .
b
– Xác định trục đối xứng x = - 2a và hướng bề lõm của parabol.
– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các
điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng).
– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
- 3x 3- x
1) y = 2) y = 12-3x 3) y =
x+2 x-4
x 5- x
4) y = 5) y = x + 2 + 7 - x 6) y =
( x - 1) 3 - x 2
x - 3 x - 10
Bµi 2. Tìm a để hàm số xác định trên tập K đã chỉ ra:
x-a
1) y = x - a + 2 x - a - 1 ; K = (0; +¥). 2) y = 2 x - 3a + 4 + ; K = (0; +¥).
x + a -1
x + 2a 1
3) y = ; K = (–1; 0). 4) y = + - x + 2a + 6 ; K = (–1; 0).
x - a +1 x-a
Bài 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số :
1) y = 4x3 + 3x 2) y = x4 - 3x2 - 1 3) y = x 4 - 2 x + 5
Bµi 4. XÐt tÝnh ®ång biÕn; nghÞch biÕn cña hµm sè:
4
2) y = x x ; x Î (0;+¥ ) ; x Î (2;+¥ )
3
1) y = 3) y =
x +1 2- x
Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
2x - 5
a) y = 3x-2 b) y -2x + 5 c) y =
3
Bài 6: Xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b để:
a) Đi qua hai điểm A(0;1) và B(2;-3)
2
b/ Đi qua C(4, -3) và song song với đt y = - x + 1
3
c/ Đi qua D(1, 2) và có hệ số góc bằng 2
1
d/ Đi qua E(4, 2) và vuông góc với đt y = - x + 5
2
Bài 7: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau :
a/ y = x 2 - 4x+3 b/ y = -x2 – x + 2 c/ y = -x2 + 2x - 3 d) y = x2 + 2x
e/ y = x2 + 3x + 4 f/ y = 2x2 – x – 1 g/ y = - x2 + 4x + 5 h/ y = -x2 + 4x
Bài 8: Tìm tọa độ giao điểm các của các đồ thị hàm số sau:
1/ y = x - 1 vµ y = x 2 - 2 x - 1 (KQ: (3;2), (0;-1))
2/ y = - x + 3 vµ y = - x 2 - 4 x + 1 (KQ: (-1;4), (-2;5))
www.MATHVN.com 3
MATHVN.COM | www.mathvn.com
3/ y = 2 x - 5 và y = x 2 - 4 x + 4 (KQ: Tiếp xúc tại (3;1))
Bài 9: Xác định parabol y= ax2+ bx+1 biết parabol đó:
a) Qua A(1;2) và B(-2;11)
b) Có đỉnh I(1;0)
c) Qua M(1;6) và có trục đối xứng có phương trình là x=-2
d) Qua N(1;4) có tung độ đỉnh là 0.
Bài 10: Tìm Parabol y = ax2 - 4x + c, biết rằng Parabol đó:
a/ Đi qua hai điểm A(1; -2) và B(2; 3)
b/ Có đỉnh I(-2; -2)
c/ Có hoành độ đỉnh là -3 và đi qua điểm P(-2; 1)
d/ Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 và cắt trục hoành tại điểm (3; 0)
CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( Dành cho tự luận)
VẤN ĐỀ 1. Khái niệm phương trình
1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1)
· x0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x0) = g(x0)" là một mệnh đề đúng.
· Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
· Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình.
Chú ý:
+ Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau:
1
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P ( x) thì cần điều kiện P(x) ¹ 0.
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P ( x) thì cần điều kiện P(x) ³ 0.
+ Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x).
2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả
Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1
và f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2.
· (1) Û (2) khi và chỉ khi S1 = S2.
· (1) Þ (2) khi và chỉ khi S1 Ì S2.
3. Phép biến đổi tương đương
· Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương
trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau:
– Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức.
– Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0.
· Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả. Khi đó ta phải
kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
Bài 1: Giải các phương trình sau :
1/ x - 3 + x = 1+ x - 3 2/ x - 2 = 2 - x +1
3/ x x - 1 = 2 x - 1 4/ 3 x 2 + 5x - 7 = 3x + 14
5/ x+4 =2 6/ x - 1 (x2 - x - 6) = 0
3x 2 + 1 4 x 2 + 3x + 4
7/ = 8/ = x+4
x-1 x-1 x+4
Bài 2: Giải các phương trình sau :
2 2x - 2 1 7 - 2x x -2 1 2
1/ x - 1 + = 2/ 1 + = 3/ - =
x-2 x -2 x -3 x -3 x + 2 x x ( x - 2)
www.MATHVN.com 4
MATHVN.COM | www.mathvn.com
x2 + x - 2
4/ x 4 - 8x 2 - 9 = 0 5/ = 10 6/ x - 3 x + 2 = 0
x+2
VẤN ĐỀ 2. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
é ì f ( x) ³ 0
C1 ê í C2 ì g( x) ³ 0
î f ( x) = g( x) ï
· Dạng 1: f ( x) = g( x) Û ê ì f ( x) < 0 Û í é f ( x) = g( x)
êí ïî êë f ( x) = - g( x)
êë î- f ( x) = g( x)
C1 C2
2 2 é f ( x) = g( x)
· Dạng 2: f ( x) = g( x) Û [ f ( x)] = [ g( x)] Ûê
ë f ( x) = - g( x)
· Dạng 3: a f ( x) + b g( x) = h( x)
Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải.
VẤN ĐỀ 3. Phương trình chứa ẩn trong dấu căn
Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:
– Nâng luỹ thừa hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định.
ìï f ( x) = g( x) 2
f ( x) = g( x) [ ]
Dạng 1: Ûí
ïî g( x) ³ 0
ì f ( x) = g( x)
Dạng 2: f ( x) = g( x) Û íî f ( x) ³ 0 (hay g( x) ³ 0)
ìït = f ( x), t ³ 0
Dạng 3: af ( x) + b f ( x) + c = 0 Û í 2
ïîat + bt + c = 0
Bài 3: Giải các phương trình sau :
1/ 2 x + 1 = x - 3 2/ |2x - 2| = x2 - 5x + 6 3/ |x + 3| = 2x + 1
4/ |x - 2| = 3x2 - x - 2 5/ x - 2x - 5 = 4 6/ 2 x - 4 = x - 1
7/ 2 x + 5 = 3 x - 2 8/ x 2 - 7 x + 10 = 3 x - 1 9/ 3 x - 2 = x - 2 + 2
10/ x 2 - 3x - 1 + 7 = 2 x 11/ x 2 + x 2 - x - 9 = x + 3 12/ 3x 2 - 9x + 1 = x - 2
13/ 3x 2 - 9x + 1 = x - 2 14/ x - 2x - 5 = 4
VẤN ĐỀ 4. Phương trình bậc nhất
ax + b = 0 (1)
Hệ số Kết luận
b
a¹0 (1) có nghiệm duy nhất x = -
a
b¹0 (1) vô nghiệm
a=0
b=0 (1) nghiệm đúng với mọi x
www.MATHVN.com 5
MATHVN.COM | www.mathvn.com
Bài 4: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :
1/ 2mx + 3 = m - x 2/ (m - 1)(x + 2) + 1 = m2 3/ (m2 + m)x = m2 - 1
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau :
ì7 4
ì2 x + 3 y = 5 ì -2 x + y = 3 ì x + 2 y = -3 ïï 3 x + 3 y = 41
a. í b. í c. í d. í
î3 x + y = -3 î4 x - 2 y = -6 î -2 x - 4 y = 1 ï 3 x - 5 y = -11
ïî 5 2
VẤN ĐỀ 5. Phương trình bậc hai
1. Cách giải
ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (1)
2 Kết luận
D = b - 4ac
-b ± D
D>0 (1) có 2 nghiệm phân biệt x1,2 =
2a
b
D=0 (1) có nghiệm kép x = -
2a
D<0 (1) vô nghiệm
c
Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = a .
c
– Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = - a .
¢ b
– Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với b = 2 .
2. Định lí Vi–et
2
Hai số x1, x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 khi và chỉ khi chúng thoả mãn các hệ
b c
thức S = x1 + x2 = - a và P = x1 x2 = a .
Bài 6: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m2 - 3m = 0. Định m để phương trình:
a/ Có hai nghiệm phân biệt b/ Có hai nghiệm
c/ Có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.
d/ Có một nghiệm bằng -1 tính nghiệm còn lại
e/ Có hai nghiệm thoả 3(x1+x2)=- 4 x1 x2 f/ Có hai nghiệm thoả x1=3x2
Bài 7: Cho pt x2 + (m - 1)x + m + 2 = 0
a/ Giải phương trình với m = -8
b/ Tìm m để pt có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó
c/ Tìm m để PT có hai nghiệm trái dấu
d/ Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x12 + x22 = 9
www.MATHVN.com 6
MATHVN.COM | www.mathvn.com
PHẦN II: HÌNH HỌC
CHƯƠNG I. VÉC TƠ (Dành cho trắc nghiệm và tự luận)
I/ KHÁI NIỆM VÉC TƠ .
1. Các định nghĩa uuur
· Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB .
· Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
uuur
· Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB .
r
0
· Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu .
· Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
· Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
· Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
r r
Chú ý: a
+ Ta còn sử dụng kí hiệu , b ,... để biểu diễn vectơ.
r
0
+ Qui ước: Vectơ cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
r
Mọi vectơ 0 đều bằng nhau.
2. Các phép toán trên vectơ
a) Tổng của hai vectơ uuur uuur uuur
· Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB + BC uuu
= AC .
r uuur uuur
· Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB + AD = AC .
r r r r r r r r ( r r) r r r
· Tính chất: a + b = b + a ;
( a + b ) + c = a + b + c ; a +0=a
b) Hiệu của hai vectơ
r r r r r r r
a b
· Vectơ đối của là vectơ sao cho + b = 0 . Kí hiệu vectơ đối của a là - a .
a
r r
· Vectơ đối của 0 là 0 .
r r r ( r)
· - b = a + -b .
a
uuur uuur uuur
· Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB - OA = AB .
c) Tích của một vectơ với một số
r r
· Cho vectơ a và số k Î R. ka là một vectơ được xác định như sau:
r r r r
+ ka cùng hướng với a nếu k ³ 0, ka ngược hướng với a nếu k < 0.
r r
+ ka = k . a .
( r r) r r r r r r r
· Tính chất: k a + b = ka + kb ; (k + l)a = ka + la ; k ( la ) = (kl)a
r r r r
ka = 0 Û k = 0 hoặc a = 0 .
r r r r r r
· Điều kiện để hai vectơ cùng phương: a vaø b ( a ¹ 0 ) cuøn g phöông Û $ k Î R : b = ka
uuur uuur
· Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng Û $k ¹ 0: AB = kAC .
r r r
· Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương , b và x tuỳ ý.
a
r r r
Khi đó $! m, n Î R: x = ma + nb .
Chú ý:
· Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: uuur uuur r uuur uuur uuur
M là trung điểm của đoạn thẳng AB Û MA + MB = 0 Û OA + OB = 2 OM (O tuỳ ý).
· Hệ thức trọng tâm tam giác:
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur
G là trọng tâm DABC Û GA + GB + GC = 0 Û OA + OB + OC = 3OG (O tuỳ ý).
www.MATHVN.com 7
MATHVN.COM | www.mathvn.com
II/ TỌA ĐỘ
1. Trục toạ độ
r
· Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị e . Kí hiệu
(O; er ) .
r r r
· Toạ độ của vectơ trên trục: u = (a ) Ûuuur
u = a.e .
r
· Toạ độ của điểm trên trục: M(k) Û OM = k.euuu .r
r
· Độ dài đại số của vectơ trên trục: AB = a Û AB = a.e .
uuur r
AB cuøng höôùng vôùi e thì AB = AB .
+ Nếu uuu
Chú ý: r r
Nếu AB ngöôïc höôùng vôùi e thì AB = - AB .
+ Nếu A(a), B(b) thì AB = b - a .
+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta có: AB + BC = AC .
2. Hệ trục toạ độ r r
· Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là , j . O là gốc toạ độ,
i
Ox là trục hoành, Oy là trục tung. r r
r r
· Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: u = ( x; y) Û u = x.i + y. j .
uuur r r
· Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: M( x; y) Û OM = x.i + y. j .
r r
· Tính chất: Cho a = ( x; y), b = ( x¢ ; y¢ ), k Î R , A( xA; yA), B( xB ; yB ), C ( xC ; yC ) :
r r ìï x = x¢ r r r
a = b Û í a ± b = ( x ± x¢ ; y ± y¢ ) ka = (kx; ky)
ïî y = y¢
+ + +
r r r ¢ ¢
+ cùng phương với ¹ 0
b a Û $k Î R: x = kx vaø y = ky .
x¢ y¢
Û x = y (nếu x ¹ 0, y ¹ 0).
uuur
+ AB = ( xB - xA; yB - yA ) .
xA + xB yA + yB
+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: xI = 2
; yI =
2 .
xA + xB + xC yA + yB + yC
+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: xG = 3
; yG =
3 .
xA - kxB yA - kyB
+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ¹ 1: xM = 1 - k ; yM =
1- k .
uuur uuur
( M chia đoạn AB theo tỉ số k Û MA = kMB ).
Bài 1: Cho 6 điểm phân biệt A, B, C, D, E, F chứng minh :
uur uuur uuur uur uur uur uuur uur
a ) AB + DC = AC + DB b) AB + ED = AD + EB
uur uur uuur uur uuur uur uuur uur uur
c ) AB - CD = AC - BD d ) AD + CE + DC = AB - EB
uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
e) AC+ DE - DC - CE + CB = AB f ) AD + BE + CF = AE + BF + CD = AF + BD + CE
Bài 2: Cho tam giác MNP có MQ là trung tuyến của tam giác . Gọi R Là trung điểm của MQ. Cmr
uuur uuur uur r uuur uuur uur uur
a ) 2 RM + RN + RP = 0 b) ON + 2OM + OP = 4OR, "O bÊt k×
c) Dựng điểm S sao cho tứ giác MNPS là hình bình hành. Chứng tỏ rằng
www.MATHVN.com 8
MATHVN.COM | www.mathvn.com
uuur uuur uuur uuur
MS + MN - PM = 2 MP
uuur uuur uuuur uuur
d)Với điểm O tùy ý, hãy chứng minh rằng: ON + OS = OM + OP ;
uuur uuuur uuur uuur uur
ON + OM + OP + OS = 4OI
Bài 3:.Cho 4 điểm bất kì A,B,C,D và M,N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB,CD.Chứng minh rằng:
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur
a) CA + DB = CB + DA = 2MN b) AD + BD + AC + BC = 4 MN
uur uur uur uur uur
c) Gọi I là trung điểm của BC.Chứng minh rằng: 2( AB + AI + NA + DA) = 3DB
uuur uur uur r
Bài 4:. Cho tam giác MNP có MQ ,NS,PI lần lượt là trung tuyến của tam giác. Chứng minh rằng:
a ) MQ + NS + PI = 0
b) Chứng minh rằng hai tam giác MNP và tam giác SQI có cùng trọng tâm .
c) Gọi M’ Là điểm đối xứng với M qua N , N’ Là điểm đối xứng với N qua P , P’ Là điểm
đối xứng với P qua M. Chứng minh rằng với mọi điểm O bất kì ta luôn có:
uuur uuur uur uuur' uuuur' uuur'
ON + OM + OP = ON + OM + OP
Bài 5: Gọi G và G ¢ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A¢B ¢C¢ .
uuur uuur uuuur uuuur
Chứng minh rằng AA¢ + BB ¢ + CC¢ = 3GG ¢
Bài 6: Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của AB, N là một điểm trên AC sao cho NC=2NA,
gọi K là trung điểm của MN
uuur 1 uuur 1 uuur
a ) CMR: AK= AB + AC
4 6
uuur 1 uuuur 1 uuur
b) Gäi D lµ trung ®iÓm cña BC, chøng minh : KD= AB + AC
4 3
uuur uur uuur
Bài 7: a) Cho MK và NQ là trung tuyến của tam giác MNP.Hãy phân tích các véctơ MN , NP , PM
r uuuur r uuur
theo hai véctơ u = MK , v = NQ
uuur uur
b) Trên đường thẳng NP của tam giác MNP lấy một điểm S sao cho SN = 3SP . Hãy phân
uuur r uuuur r uuur
tích véctơ MS theo hai véctơ u = MN , v = MP
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MNP .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MG và H là
1 uur uuur uur uuur
điểm trên cạnh MN sao cho MH = MN .Hãy phân tích các véctơ MI , MH , PI , PH theo hai véctơ
r uuuur r uuur 5
u = PM , v = PN
Bài 8: Cho 3 điểm A(1,2), B(-2, 6), C(4, 4)
a) Chứng minh A, B,C không thẳng hàng
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC
d) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình Bình hành
e) Tìm toạ độ điểm N sao cho B là trung điểm của đoạn AN
f) Tìm toạ độ các điêm H, Q, K sao cho C là trọng tâm của tam giác ABH, B là trọng tâm của tam
giác ACQ, A là trọng tâm của tam giác BCK.
g) Tìm toạ độ điểm T sao cho 2 điểm A và T đối xứng nhau qua B, qua C.
uuur uuur uuur uuur
h) T × m to¹ ®é ®iÓm U sao cho AB = 3BU ; 2 AC = -5 BU
uuur uuur uuur uuur uuur
k) H·y ph©n tich AB, theo 2 vec t¬ AU vµ CB ; theo 2 vect¬ AC vµ CN
Bài 9: Cho tam giác ABC có M(1,4), N(3,0); P(-1,1) lần lượt là trung điểm của các cạnh: BC, CA,
AB. Tìm toạ độ A, B, C.
Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy.Chứng minh rằng các điểm:
a) A(1;1), B(-1; 7), C(0; 4) thẳng hàng.
b) M(-1; 1), N(1; 3), P(-2; 0) thẳng hàng.
c) Q(-1; 1), R(0; 3), S(-4; 5) không thẳng hàng.
Bài 11: Trong hệ trục tọa cho hai điểm A(2; 1) và B(6; -1) Tìm tọa độ:
a) Điểm M thuộc Ox sao cho A,B,M thẳng hàng.
b) Điểm N thuộc Oy sao cho A,B,N thẳng hàng.
www.MATHVN.com 9
MATHVN.COM | www.mathvn.com
CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG
I/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC BẤT KỲ TỪ 0O ĐẾN 180O
1. Định nghĩa
·
Lấy M trên nöûa ñöôøng troøn ñôn vò taâm O. Xeùt goùc nhoïn a = xOM . Giaû söû M(x; y).
sina = y (tung ñoä)
cosa = x (hoaønh ñoä) y
y æ tung ñoä ö
tana = ç ÷ (x ¹ 0) y M
x è hoaønh ñoä ø
x1
x æ hoaønh ñoä ö -1 O x
cota = y ç tung ñoä ÷ (y ¹ 0)
è ø
Chú ý: – Nếu a tù thì cosa < 0, tana < 0, cota < 0.
– tana chỉ xác định khi a ¹ 900, cota chỉ xác định khi a ¹ 00 và a ¹ 1800.
2. Tính chất
· Góc phụ nhau · Góc bù nhau
sin(900 - a ) = cos a sin(1800 - a ) = sin a
cos(900 - a ) = sin a cos(1800 - a ) = - cos a
tan(900 - a ) = cot a tan(1800 - a ) = - tan a
cot(900 - a ) = tan a cot(1800 - a ) = - cot a
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
00 300 450 600 900 1800
1 2 3
sina 0 1 0
2 2 2
3 2 1
cosa 1 0 –1
2 2 2
3
tana 0 1 3 || 0
3
3
cota || 3 1 0 ||
3
II/ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ
r r
1. Góc giữa hai vectơ a b
r r r uuur r uuur r r A
a
Cho a , b ¹ 0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA = a , OB = b .
r r ·
O
( ) · r
Khi đó , b = AOB với 00 £ AOB £ 1800.
a b B
Chú ý:
r r r r
+ ( a , b ) = 90 Û ^ b
0 a
r r r r
+ ( a , b ) a
= 0 Û , b cùng hướng
0
r r r r
+ ( a , b ) = 1800 Û a , b ngược hướng
r r r r
+ ( a , b ) = ( b ,a)
2. Tích vô hướng của hai vectơ
rr r r r r
· Định nghĩa: a .b = a . b .cos ( a ,b) .
rr r r2
Đặc biệt: a .a = a 2 = a .
www.MATHVN.com 10
MATHVN.COM | www.mathvn.com
r r r
· Tính chất: Với , b , c bất kì và "kÎR, ta có:
a
rr rr r r r rr rr
+ a.b = b.a ; a ( b + c ) = a.b + a.c ;
r r r
( kar ) .b = k ( ar.b ) = ar. ( kb ) ; r r r r
a 2 ³ 0; a 2 = 0 Û a = 0 .
r r 2 r rr r r r r
( ar - b )2 = ar 2 - 2ar.b + b 2 ;
+ ( a + b ) = a 2 + 2a.b + b 2 ;
r r r r r r
a 2 - b 2 = ( a - b )( a + b ) .
rr r r rr r r
+ a .b > 0 Û ( a , b ) nhoïn + a .b < 0 Û ( a , b ) tuø
rr r r
a .b = 0 Û ( a , b ) vuoâng.
3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
r r rr
a b
· Cho = (a , a ), = (b , b ). Khi đó: a .b = a1b1 + a2 b2 .
1 2 1 2
r 2 2 r r a1b1 + a2 b2 r r
· a = a1 + a2 ; cos(a , b ) = ; a ^ b Û a1b1 + a2 b2 = 0
a12 + a22 . b12 + b22
· Cho A( xA; yA), B( xB ; yB ) . Khi đó: AB = ( xB - xA)2 + ( yB - yA)2 .
Bài tập
Baøi 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) a sin 0 0 + b cos 00 + c sin 900 b) a cos 900 + b sin 900 + c sin180 0
c) a 2 sin 90 0 + b2 cos 90 0 + c2 cos1800 d) 3 - sin 2 90 0 + 2 cos2 600 - 3 tan2 450
e) 4a 2 sin2 450 - 3(a tan 450 )2 + (2a cos 450 )2
Baøi 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) sin x + cos x khi x bằng 00; 450; 600. b) 2 sin x + cos 2 x khi x bằng 450; 300.
Baøi 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng:
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
a) AB. AC b) AC.CB c) AB.BC
Baøi 4. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
a) AB. AC b) AC.CB c) AB.BC
Baøi 5. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì.
uuur uuur uuur uur uuur uuur
a) Chứng minh: DA.BC + DB.CA + DC . AB = 0 .
b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".
Baøi 6. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh:
uuur uuur uur uuur uuur uuur
BC. AD + CA.BE + AB.CF = 0 .
Baøi 7. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).
a) Tính chu vi và nhận dạnguuur tam giác uuurABC.
uuur
b) Tìm toạ độ điểm M biết CM = 2 AB - 3 AC .
c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Baøi 8. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).
uuur uuur
a) Tính AB. AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.
f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.
g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.
www.MATHVN.com 11