Đề cương hình học 10
- 17 trang
- file .pdf
Mục lục
1 VECTƠ 1
1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Định nghĩa tổng của hai vectơ và qui tắc tìm tổng . . . . 2
1.2.2 Định nghĩa vectơ đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.3 Định nghĩa hiệu của hai vectơ và qui tắc tìm hiệu . . . . 2
1.2.4 Tính chất của phép cộng các vectơ . . . . . . . . . . . . 3
1.3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ . . . . . . . . . . . . 3
1.4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.1 Trục và độ dài đại số trên trục . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.2 Hệ trục tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 6
2.1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN
1800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Các hệ thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt . . . . . . . . . . 7
2.1.4 Góc giữa hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2 Các tính chất của tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.3 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng . . . . . . . . . . . . 8
2.3 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM
GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Định lí côsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.2 Định lí sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.3 Độ dài đường trung tuyến của tam giác . . . . . . . . . . 10
2.3.4 Diện tích tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 11
3.1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.1 Phương trình tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.2 Phương trình tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng . . . . . . . . . . . 12
3.1.4 Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.5 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng . . . . . 13
3.2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.1 Phương trình đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn . . . . . . . . . 14
3.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
i
LÍ THUYẾT HÌNH HỌC 10
TRẦN UY ĐÔNG ∗
TTGDTX Bảo Yên Lào Cai
[email protected]
05/2008
Tóm tắt nội dung
Đề cương bao gồm toàn bộ lí thuyết hình học lớp 10. Gồm ba phần:
- Phần 1: Vectơ
- Phần 2: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Và Ứng Dụng
- Phần 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng
1 VECTƠ
1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA
Định nghĩa 1.1. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng
- Để xác định một vectơ ta cần biết một trong hai điều kiện sau:
+ Điểm đầu và điểm cuối của vectơ
+ Độ dài và hướng
Định nghĩa 1.2. Hai vectơ ~a và ~b gọi là cùng phương nếu giá của chúng song
song hoặc trùng nhau
- Nếu hai vectơ ~a và ~b cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược
hướng.
Định nghĩa 1.3. Độ dài của một vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm
cuối của vectơ đó
Định nghĩa 1.4. ~a = ~b khi và chỉ khi |~a| = |~b| và ~a, ~b cùng hướng
∗
actemits
1
Lí thuyết hình học 10 E 2
−→
Định nghĩa 1.5. Với mỗi điểm A ta gọi AA là vectơ - không. Vectơ không kí
hiệu là ~0 và qui ước |~0| = 0.
- Vectơ ~0 cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ
1.2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
1.2.1 Định nghĩa tổng của hai vectơ và qui tắc tìm tổng
−→
Định nghĩa 1.6. Cho hai vectơ tùy ý ~a và ~b. Lấy điểm A tùy ý, dựng AB = ~a,
−−→ ~ −→
BC = b. Khi đó →
−
a + ~b = AC
Qui tắc ba điểm
- Với ba điểm bất kì M , N , P ta có:
−−→ −−→ −−→
(1.1) MN + NP = MP
Qui tắc hình bình hành
- Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì
−→ −−→ −→
(1.2) AB + AD = AC
BGhi nhớ
- Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì
−−→ −−→ ~
(1.3) MA + MB = 0
- Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì
−→ −−→ −→ ~
(1.4) GA + GB + GC = 0
1.2.2 Định nghĩa vectơ đối
Định nghĩa 1.7. Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với ~a được gọi là vectơ
đố của ~a, kí hiệu là −~a
−→ −→
Mỗi vectơ đều có vectơ đối. Vectơ đối của AB là BA. Vectơ đối của ~0 là ~0.
1.2.3 Định nghĩa hiệu của hai vectơ và qui tắc tìm hiệu
Định nghĩa 1.8. Hiệu của hai vectơ ~a và ~b, kí hiệu ~a − ~b, là tổng của ~a và
vectơ đối của ~b, tức là
(1.5) ~a − ~b = ~a + (−~b)
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 2
Lí thuyết hình học 10 E 3
Qui−−tắc
→
về hiệu vectơ
- Nếu M N là một vectơ đã cho thì với điểm O bất kì, ta luôn có
−−→ −−→ −−→
(1.6) M N = ON − OM
1.2.4 Tính chất của phép cộng các vectơ
Với ba vectơ ~a, ~b, ~c bất kì ta có
• ~a + ~b = ~b + ~a (tính chất giao hoán)
• (~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c) (tính chất kết hợp)
• ~a + ~0 = ~0 + ~a = ~a (tính chất của vectơ - không)
• ~a + (−~a) = −~a + ~a = ~0
1.3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Định nghĩa 1.9. Tích của vectơ ~a với số thực k là một vectơ, kí hiệu là k~a,
được xác định như sau
a) Nếu k ≥ 0 thì vectơ k~a cùng hướng với vectơ ~a
Nếu k < 0 thì vectơ k~a ngược hướng với vectơ ~a
b) Độ dài của vectơ k~a bằng |k||~a|
Tính chất
- Với hai vectơ bất kì ~a, ~b và mọi số thực k, l, ta có
1. k(l~a) = (kl)~a
2. (k + l)~a = k~a + l~a
3. k(~a + ~b) = k~a + k~b; k(~a − ~b) = k~a − k~b
"
k=0
4. k~a = ~0 ⇔
~a = ~0
Điều kiện để~ hai~ vectơ cùng phương
- Hai vectơ ~a và b (b 6= 0) cùng phương ⇔ ∃ k ∈ R để ~a = k~b
~
Điều kiện để ba điểm thẳng hàng −→ −→
- Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃ k ∈ R để AB = k AC
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 3
Lí thuyết hình học 10 E 4
Tính chất của trung điểm
- Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi
−
→ −→
(1.7) IA + IB = ~0
- Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm O ta có
−→ −→ −−→
(1.8) 2OI = OA + OB
Tính chất của trọng tâm tam giác
- Điểm G là trọng tâm 4ABC khi và chỉ khi
−→ −−→ −→ ~
(1.9) GA + GB + GC = 0
- Nếu G là trọng tâm của 4ABC thì với mọi điểm O ta có
−→ −→ −−→ −→
(1.10) 3OG = OA + OB + OC
Biểu thị một vectơ theo hai vectơ~không cùng phương
- Cho hai vectơ không cùng phương ~a và b. Khi đó với vectơ ~x bất kì, luôn có
cặp số duy nhất m và n sao cho
(1.11) ~x = m~a + n~b
1.4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1.4.1 Trục và độ dài đại số trên trục
Định nghĩa 1.10. Trục tọa độ (còn gọi là trục hay trục số) là một đường
thẳng trên đó đã xác định được một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn
vị ~e
Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục
- Cho vectơ ~u nằm trên trục (O; ~e). Khi đó có số a xác định để ~u = a~e. Số a
như thế gọi là tọa độ của vectơ ~u đối với trục (O; ~e)
−−→
- Cho điểm M nằm trên trục (O; ~e). Khi đó có số m xác định để OM = m~e.
Số m như thế gọi là tọa độ của điểm M đối với trục (O; ~e) (cũng là tọa độ của
−−→
OM )
Độ dài đại số của vectơ trên trục
−→
- Cho hai điểm A, B trên trục (O; ~e). Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = a~e.
−→
Ta gọi số a đó là độ dài đại số của AB đối với trục đã cho và kí hiệu là a = AB
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 4
Lí thuyết hình học 10 E 5
1.4.2 Hệ trục tọa độ
Định nghĩa 1.11. Hệ trục tọa độ (O;~i; ~j) gồm hai trục (O;~i) và (O; ~j) vuông
góc với nhau. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục (O;~i) gọi
là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục (O; ~j) gọi là trục tung và kí hiệu là Oy.
Các vectơ ~i và ~j là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và |~i| = |~j| = 1. Hệ trục
tọa độ (O;~i; ~j) còn được kí hiệu là Oxy.
Định nghĩa 1.12. Đối với hệ trục tọa độ (O;~i, ~j), nếu ~a = x~i + y~j thì cặp số
(x; y) được gọi là tọa độ của vectơ ~a, kí hiệu là ~a = (x; y) hay ~a(x; y). Số thứ
nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ ~a
- Như vậy: ~a(x; y) ⇔ ~a = x~i + y~j
Nhận xét: Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau
khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ, nghĩa là
(
x = x0
~a(x; y) = ~b(x0 ; y 0 ) ⇔
y = y0
−−→
Định nghĩa 1.13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM được
gọi là tọa độ của điểm M
−−→
- Khi đó: M (x; y) ⇔ OM (x; y)
x = OM1 , y = OM2 , với M1 , M2 lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M
xuống Ox và Oy
Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng
- Cho hai điểm M (xM ; yM ) và N (xN ; yN ) thì
−−→
(1.12) M N = (xN − xM ; yN − yM )
Biểu thức tọa độ~ của các phép toán vectơ
- Cho ~a = (x; y) và b = (x0 ; y 0 ). Khi đó
• ~a + ~b = (x + x0 ; y + y 0 ); ~a − ~b = (x − x0 ; y − y 0 )
• k~a = (kx; ky) với k ∈ R
• Vectơ ~b cùng phương với vectơ ~a 6= ~0 khi và chỉ khi có số k sao cho
x0 = kx, y 0 = ky
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 5
Lí thuyết hình học 10 E 6
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam
giác
- Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:
xA + xB yA + yB
(1.13) xI = ; yI =
2 2
- Nếu G là trọng tâm của 4ABC thì:
xA + xB + x C yA + yB + yC
(1.14) xG = ; yG =
3 3
2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ
ỨNG DỤNG
2.1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ
TỪ 00 ĐẾN 1800
2.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 2.1. Trên hệ trục Oxy, cho nửa đường tròn tâm O bán kính
R = 1, nằm phía trên trục Ox. Ta gọi nó là nửa đường tròn đơn vị
Định nghĩa 2.2. Với mỗi góc α (00 ≤ α ≤ 1800 ), ta xác định điểm M trên
nửa đường tròn đơn vị sao cho M \ Ox = α. Giả sử điểm M có tọa độ (x; y).
Khi đó
Tung độ y của điểm M gọi là sin của góc α, kí hiệu là sin α;
Hoành độ x của điểm M gọi là côsin của góc α, kí hiệ là cos α;
y
Tỉ số (với x 6= 0) gọi là tang của góc α, kí hiệu là tan α;
x
x
Tỉ số (với y 6= 0) gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cot α.
y
- Các số sin α, cos α, tan α, cot α gọi là các giá trị lượng giác của góc α.
2.1.2 Các hệ thức lượng giác
1. Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
(2.1a) sin α = sin(1800 − α)
(2.1b) cos α = − cos(1800 − α)
(2.1c) tan α = − tan(1800 − α) (α 6= 900 )
(2.1d) cot α = − cot(1800 − α) (00 < α < 1800 )
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 6
Lí thuyết hình học 10 E 7
2. Các hệ thức lượng giác cơ bản
Từ định nghĩa giá trị lượng giác của góc α ta suy ra các hệ thức:
(2.2a) sin2 α + cos2 α = 1
sin α
(2.2b) = tan α
cos α
cos α
(2.2c) = cot α
sin α
1
(2.2d) cot α =
tan α
1
(2.2e) 1 + tan2 α =
cos2 α
1
(2.2f) 1 + cot2 α =
sin2 α
2.1.3 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Góc 00 300 45
√
0
60
√
0
900 120
√
0
135
√
0
1500 1800
1 2 3 3 2 1
sin 0 1 0
√2 √2 2 2 2
√ 2
√
3 2 1 1 2 3
cos 1 0 − − − −1
√2 2 2 2 2 √2
3 √ √ 3
tan 0 1 3 || − 3 −1 − 0
3 √ √ 3
√ 3 3 √
cot || 3 1 0 − −1 − 3 ||
3 3
2.1.4 Góc giữa hai vectơ
Định nghĩa 2.3. Cho hai vectơ ~a và ~b đều khác ~0. Từ một điểm O bất kì ta
−→ −−→
vẽ OA = ~a và OB = ~b. Góc AOB [ với số đo từ 00 đến 1800 được gọi là góc
giữa hai vectơ ~a và ~b. Kí hiệu là (~a, ~b). Nếu (~a, ~b) = 900 thì ta nói rằng ~a và ~b
vuông góc với nhau, kí hiệu là ~a ⊥ ~b hoặc ~b ⊥ ~a
2.2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
2.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 2.4. Cho hai vectơ ~a và ~b khác ~0. Tích vô hướng của chúng là
một số, được xác định bởi công thức:
(2.3) ~a.~b = |~a||~b|cos(~a, ~b)
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 7
Lí thuyết hình học 10 E 8
Chú ý
• Với ~a, ~b 6= ~0, ta có
~a~b = 0 ⇔ ~a ⊥ ~b
• ~a2 = |~a||~a| cos 00 = |~a|2
2.2.2 Các tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ ~a, ~b, ~c bất kì và mọi số k ta có:
1. ~a.~b = ~b.~a (tính chất giao hoán)
2. ~a(~b + ~c) = ~a.~b + ~a.~c (tính chất phân phối)
3. (k~a).~b = k(~a.~b) = ~a.(k~b)
4. ~a2 ≥ 0
5. ~a2 = 0 ⇔ ~a = ~0
6. (~a + ~b)2 = ~a2 + 2~a.~b + ~b2
7. (~a − ~b)2 = ~a2 − 2~a.~b + ~b2
8. (~a + ~b)(~a − ~b) = (~a2 − ~b2
2.2.3 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Cho hai vectơ ~a = (x; y) và ~b = (x0 ; y 0 ). Khi đó
(2.4) ~a.~b = xx0 + yy 0
p
(2.5) |~a| = x2 + y 2
~a.~b xx0 + yy 0
(2.6) cos (~a, ~b) = =p (~a 6= ~0, ~b 6= ~0)
|~a|.|~b|
p
x2 + y 2 x02 + y 02
Đặc biệt: ~a ⊥ ~b ⇔ xx0 + yy 0 = 0
fHệ Quả
- Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm M (xM ; yM ) và N (xN ; yN )
là
−−→ p
(2.7) M N = |M N | = (xN − xM )2 + (yN − yM )2
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 8
Lí thuyết hình học 10 E 9
2.3 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ
GIẢI TAM GIÁC
Một số hệ thức trong tam giác vuông
A
c b
h
c’ b’
B a C
H
Hình 1:
1. a2 = b2 + c2 (định lí Pitago)
2. b2 = ab0 (b0 là hình chiếu của cạnh b trên cạnh a)
3. c2 = ac0 (c0 là hình chiếu của cạnh c trên cạnh a)
4. h2 = b0 c0 (h là chiều cao tam giác ứng với cạnh huyền )
5. ah = bc = 2SABC (SABC là diện tích tam giác ABC)
1 1 1
6. 2
= 2+ 2
h b c
7. b = a. sin B = a. cos C = c. tan B = c. cot C
8. c = a. sin C = a. cos B = b. tan C = b. cot B
- Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, đường cao AH = h; các
đường trung tuyến AM = ma , BN = mb , CP = mc ; R, r lần lượt là bán kính
a+b+c
đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp; nửa chu vi p =
2
A
ha
Pc ma b
N
B a C
M H
Hình 2:
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 9
Lí thuyết hình học 10 E 10
2.3.1 Định lí côsin
(2.8a) a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
(2.8b) b2 = c2 + a2 − 2ca cos B
(2.8c) c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
fHệ Quả
b2 + c2 − a2
(2.9a) cos A =
2bc
c 2 + a2 − b 2
(2.9b) cos B =
2ca
a2 + b 2 − c 2
(2.9c) cos C =
2ab
2.3.2 Định lí sin
a b c
(2.10) = = = 2R
sin A sin B sin C
2.3.3 Độ dài đường trung tuyến của tam giác
b 2 + c 2 a2 2(b2 + c2 ) − a2
(2.11a) m2 a = − =
2 4 4
c 2 + a2 b 2 2(c2 + a2 ) − b2
(2.11b) m2 b = − =
2 4 4
a2 + b 2 c 2 2(a2 + b2 ) − c2
(2.11c) m2 c = − =
2 4 4
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 10
Lí thuyết hình học 10 E 11
2.3.4 Diện tích tam giác
- Với 4ABC ta kí hiệu S là diện tích, ha , hb , hc là độ dài các đường cao lần
lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB.
1 1 1
(2.12a) S = aha = bhb = chc
2 2 2
1 1 1
(2.12b) S = ab sin C = bc sin A = ca sin B
2 2 2
abc
(2.12c) S=
4R
(2.12d) S = pr
p
(2.12e) S= p(p − a)(p − b)(p − c)
- Công thức cuối gọi là công thức Hê - rông
3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT
PHẲNG
3.1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
3.1.1 Phương trình tham số
Định nghĩa 3.1. Vectơ ~u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆
nếu ~u 6= ~0 và giá của ~u song song hoặc trùng với δ
Định nghĩa 3.2. Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm
M0 (x0 ; y0 ) và có vectơ chỉ phương ~u = (u1 ; u2 ), (u21 + u22 6= 0) là
(
x = x0 + u 1 t
(3.1)
y = y0 + u2 t
Định nghĩa 3.3. Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) và có
hệ số góc k là
(3.2) y − y0 = k(x − x0 )
• Nếu ∆ có vectơ chỉ phương ~u = (u1 ; u2 ) với u1 6= 0 thì hệ số góc của ∆
u2
là k =
u1
• Nếu ∆ có hệ số góc là k thì nó có một vectơ chỉ phương là: ~u = (1; k)
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 11
1 VECTƠ 1
1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Định nghĩa tổng của hai vectơ và qui tắc tìm tổng . . . . 2
1.2.2 Định nghĩa vectơ đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.3 Định nghĩa hiệu của hai vectơ và qui tắc tìm hiệu . . . . 2
1.2.4 Tính chất của phép cộng các vectơ . . . . . . . . . . . . 3
1.3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ . . . . . . . . . . . . 3
1.4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.1 Trục và độ dài đại số trên trục . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.2 Hệ trục tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 6
2.1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN
1800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Các hệ thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt . . . . . . . . . . 7
2.1.4 Góc giữa hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2 Các tính chất của tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.3 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng . . . . . . . . . . . . 8
2.3 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM
GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Định lí côsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.2 Định lí sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.3 Độ dài đường trung tuyến của tam giác . . . . . . . . . . 10
2.3.4 Diện tích tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 11
3.1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.1 Phương trình tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.2 Phương trình tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng . . . . . . . . . . . 12
3.1.4 Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.5 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng . . . . . 13
3.2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.1 Phương trình đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn . . . . . . . . . 14
3.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
i
LÍ THUYẾT HÌNH HỌC 10
TRẦN UY ĐÔNG ∗
TTGDTX Bảo Yên Lào Cai
[email protected]
05/2008
Tóm tắt nội dung
Đề cương bao gồm toàn bộ lí thuyết hình học lớp 10. Gồm ba phần:
- Phần 1: Vectơ
- Phần 2: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Và Ứng Dụng
- Phần 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng
1 VECTƠ
1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA
Định nghĩa 1.1. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng
- Để xác định một vectơ ta cần biết một trong hai điều kiện sau:
+ Điểm đầu và điểm cuối của vectơ
+ Độ dài và hướng
Định nghĩa 1.2. Hai vectơ ~a và ~b gọi là cùng phương nếu giá của chúng song
song hoặc trùng nhau
- Nếu hai vectơ ~a và ~b cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược
hướng.
Định nghĩa 1.3. Độ dài của một vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm
cuối của vectơ đó
Định nghĩa 1.4. ~a = ~b khi và chỉ khi |~a| = |~b| và ~a, ~b cùng hướng
∗
actemits
1
Lí thuyết hình học 10 E 2
−→
Định nghĩa 1.5. Với mỗi điểm A ta gọi AA là vectơ - không. Vectơ không kí
hiệu là ~0 và qui ước |~0| = 0.
- Vectơ ~0 cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ
1.2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
1.2.1 Định nghĩa tổng của hai vectơ và qui tắc tìm tổng
−→
Định nghĩa 1.6. Cho hai vectơ tùy ý ~a và ~b. Lấy điểm A tùy ý, dựng AB = ~a,
−−→ ~ −→
BC = b. Khi đó →
−
a + ~b = AC
Qui tắc ba điểm
- Với ba điểm bất kì M , N , P ta có:
−−→ −−→ −−→
(1.1) MN + NP = MP
Qui tắc hình bình hành
- Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì
−→ −−→ −→
(1.2) AB + AD = AC
BGhi nhớ
- Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì
−−→ −−→ ~
(1.3) MA + MB = 0
- Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì
−→ −−→ −→ ~
(1.4) GA + GB + GC = 0
1.2.2 Định nghĩa vectơ đối
Định nghĩa 1.7. Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với ~a được gọi là vectơ
đố của ~a, kí hiệu là −~a
−→ −→
Mỗi vectơ đều có vectơ đối. Vectơ đối của AB là BA. Vectơ đối của ~0 là ~0.
1.2.3 Định nghĩa hiệu của hai vectơ và qui tắc tìm hiệu
Định nghĩa 1.8. Hiệu của hai vectơ ~a và ~b, kí hiệu ~a − ~b, là tổng của ~a và
vectơ đối của ~b, tức là
(1.5) ~a − ~b = ~a + (−~b)
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 2
Lí thuyết hình học 10 E 3
Qui−−tắc
→
về hiệu vectơ
- Nếu M N là một vectơ đã cho thì với điểm O bất kì, ta luôn có
−−→ −−→ −−→
(1.6) M N = ON − OM
1.2.4 Tính chất của phép cộng các vectơ
Với ba vectơ ~a, ~b, ~c bất kì ta có
• ~a + ~b = ~b + ~a (tính chất giao hoán)
• (~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c) (tính chất kết hợp)
• ~a + ~0 = ~0 + ~a = ~a (tính chất của vectơ - không)
• ~a + (−~a) = −~a + ~a = ~0
1.3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Định nghĩa 1.9. Tích của vectơ ~a với số thực k là một vectơ, kí hiệu là k~a,
được xác định như sau
a) Nếu k ≥ 0 thì vectơ k~a cùng hướng với vectơ ~a
Nếu k < 0 thì vectơ k~a ngược hướng với vectơ ~a
b) Độ dài của vectơ k~a bằng |k||~a|
Tính chất
- Với hai vectơ bất kì ~a, ~b và mọi số thực k, l, ta có
1. k(l~a) = (kl)~a
2. (k + l)~a = k~a + l~a
3. k(~a + ~b) = k~a + k~b; k(~a − ~b) = k~a − k~b
"
k=0
4. k~a = ~0 ⇔
~a = ~0
Điều kiện để~ hai~ vectơ cùng phương
- Hai vectơ ~a và b (b 6= 0) cùng phương ⇔ ∃ k ∈ R để ~a = k~b
~
Điều kiện để ba điểm thẳng hàng −→ −→
- Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃ k ∈ R để AB = k AC
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 3
Lí thuyết hình học 10 E 4
Tính chất của trung điểm
- Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi
−
→ −→
(1.7) IA + IB = ~0
- Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm O ta có
−→ −→ −−→
(1.8) 2OI = OA + OB
Tính chất của trọng tâm tam giác
- Điểm G là trọng tâm 4ABC khi và chỉ khi
−→ −−→ −→ ~
(1.9) GA + GB + GC = 0
- Nếu G là trọng tâm của 4ABC thì với mọi điểm O ta có
−→ −→ −−→ −→
(1.10) 3OG = OA + OB + OC
Biểu thị một vectơ theo hai vectơ~không cùng phương
- Cho hai vectơ không cùng phương ~a và b. Khi đó với vectơ ~x bất kì, luôn có
cặp số duy nhất m và n sao cho
(1.11) ~x = m~a + n~b
1.4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1.4.1 Trục và độ dài đại số trên trục
Định nghĩa 1.10. Trục tọa độ (còn gọi là trục hay trục số) là một đường
thẳng trên đó đã xác định được một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn
vị ~e
Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục
- Cho vectơ ~u nằm trên trục (O; ~e). Khi đó có số a xác định để ~u = a~e. Số a
như thế gọi là tọa độ của vectơ ~u đối với trục (O; ~e)
−−→
- Cho điểm M nằm trên trục (O; ~e). Khi đó có số m xác định để OM = m~e.
Số m như thế gọi là tọa độ của điểm M đối với trục (O; ~e) (cũng là tọa độ của
−−→
OM )
Độ dài đại số của vectơ trên trục
−→
- Cho hai điểm A, B trên trục (O; ~e). Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = a~e.
−→
Ta gọi số a đó là độ dài đại số của AB đối với trục đã cho và kí hiệu là a = AB
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 4
Lí thuyết hình học 10 E 5
1.4.2 Hệ trục tọa độ
Định nghĩa 1.11. Hệ trục tọa độ (O;~i; ~j) gồm hai trục (O;~i) và (O; ~j) vuông
góc với nhau. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục (O;~i) gọi
là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục (O; ~j) gọi là trục tung và kí hiệu là Oy.
Các vectơ ~i và ~j là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và |~i| = |~j| = 1. Hệ trục
tọa độ (O;~i; ~j) còn được kí hiệu là Oxy.
Định nghĩa 1.12. Đối với hệ trục tọa độ (O;~i, ~j), nếu ~a = x~i + y~j thì cặp số
(x; y) được gọi là tọa độ của vectơ ~a, kí hiệu là ~a = (x; y) hay ~a(x; y). Số thứ
nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ ~a
- Như vậy: ~a(x; y) ⇔ ~a = x~i + y~j
Nhận xét: Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau
khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ, nghĩa là
(
x = x0
~a(x; y) = ~b(x0 ; y 0 ) ⇔
y = y0
−−→
Định nghĩa 1.13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM được
gọi là tọa độ của điểm M
−−→
- Khi đó: M (x; y) ⇔ OM (x; y)
x = OM1 , y = OM2 , với M1 , M2 lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M
xuống Ox và Oy
Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng
- Cho hai điểm M (xM ; yM ) và N (xN ; yN ) thì
−−→
(1.12) M N = (xN − xM ; yN − yM )
Biểu thức tọa độ~ của các phép toán vectơ
- Cho ~a = (x; y) và b = (x0 ; y 0 ). Khi đó
• ~a + ~b = (x + x0 ; y + y 0 ); ~a − ~b = (x − x0 ; y − y 0 )
• k~a = (kx; ky) với k ∈ R
• Vectơ ~b cùng phương với vectơ ~a 6= ~0 khi và chỉ khi có số k sao cho
x0 = kx, y 0 = ky
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 5
Lí thuyết hình học 10 E 6
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam
giác
- Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:
xA + xB yA + yB
(1.13) xI = ; yI =
2 2
- Nếu G là trọng tâm của 4ABC thì:
xA + xB + x C yA + yB + yC
(1.14) xG = ; yG =
3 3
2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ
ỨNG DỤNG
2.1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ
TỪ 00 ĐẾN 1800
2.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 2.1. Trên hệ trục Oxy, cho nửa đường tròn tâm O bán kính
R = 1, nằm phía trên trục Ox. Ta gọi nó là nửa đường tròn đơn vị
Định nghĩa 2.2. Với mỗi góc α (00 ≤ α ≤ 1800 ), ta xác định điểm M trên
nửa đường tròn đơn vị sao cho M \ Ox = α. Giả sử điểm M có tọa độ (x; y).
Khi đó
Tung độ y của điểm M gọi là sin của góc α, kí hiệu là sin α;
Hoành độ x của điểm M gọi là côsin của góc α, kí hiệ là cos α;
y
Tỉ số (với x 6= 0) gọi là tang của góc α, kí hiệu là tan α;
x
x
Tỉ số (với y 6= 0) gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cot α.
y
- Các số sin α, cos α, tan α, cot α gọi là các giá trị lượng giác của góc α.
2.1.2 Các hệ thức lượng giác
1. Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
(2.1a) sin α = sin(1800 − α)
(2.1b) cos α = − cos(1800 − α)
(2.1c) tan α = − tan(1800 − α) (α 6= 900 )
(2.1d) cot α = − cot(1800 − α) (00 < α < 1800 )
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 6
Lí thuyết hình học 10 E 7
2. Các hệ thức lượng giác cơ bản
Từ định nghĩa giá trị lượng giác của góc α ta suy ra các hệ thức:
(2.2a) sin2 α + cos2 α = 1
sin α
(2.2b) = tan α
cos α
cos α
(2.2c) = cot α
sin α
1
(2.2d) cot α =
tan α
1
(2.2e) 1 + tan2 α =
cos2 α
1
(2.2f) 1 + cot2 α =
sin2 α
2.1.3 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Góc 00 300 45
√
0
60
√
0
900 120
√
0
135
√
0
1500 1800
1 2 3 3 2 1
sin 0 1 0
√2 √2 2 2 2
√ 2
√
3 2 1 1 2 3
cos 1 0 − − − −1
√2 2 2 2 2 √2
3 √ √ 3
tan 0 1 3 || − 3 −1 − 0
3 √ √ 3
√ 3 3 √
cot || 3 1 0 − −1 − 3 ||
3 3
2.1.4 Góc giữa hai vectơ
Định nghĩa 2.3. Cho hai vectơ ~a và ~b đều khác ~0. Từ một điểm O bất kì ta
−→ −−→
vẽ OA = ~a và OB = ~b. Góc AOB [ với số đo từ 00 đến 1800 được gọi là góc
giữa hai vectơ ~a và ~b. Kí hiệu là (~a, ~b). Nếu (~a, ~b) = 900 thì ta nói rằng ~a và ~b
vuông góc với nhau, kí hiệu là ~a ⊥ ~b hoặc ~b ⊥ ~a
2.2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
2.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 2.4. Cho hai vectơ ~a và ~b khác ~0. Tích vô hướng của chúng là
một số, được xác định bởi công thức:
(2.3) ~a.~b = |~a||~b|cos(~a, ~b)
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 7
Lí thuyết hình học 10 E 8
Chú ý
• Với ~a, ~b 6= ~0, ta có
~a~b = 0 ⇔ ~a ⊥ ~b
• ~a2 = |~a||~a| cos 00 = |~a|2
2.2.2 Các tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ ~a, ~b, ~c bất kì và mọi số k ta có:
1. ~a.~b = ~b.~a (tính chất giao hoán)
2. ~a(~b + ~c) = ~a.~b + ~a.~c (tính chất phân phối)
3. (k~a).~b = k(~a.~b) = ~a.(k~b)
4. ~a2 ≥ 0
5. ~a2 = 0 ⇔ ~a = ~0
6. (~a + ~b)2 = ~a2 + 2~a.~b + ~b2
7. (~a − ~b)2 = ~a2 − 2~a.~b + ~b2
8. (~a + ~b)(~a − ~b) = (~a2 − ~b2
2.2.3 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Cho hai vectơ ~a = (x; y) và ~b = (x0 ; y 0 ). Khi đó
(2.4) ~a.~b = xx0 + yy 0
p
(2.5) |~a| = x2 + y 2
~a.~b xx0 + yy 0
(2.6) cos (~a, ~b) = =p (~a 6= ~0, ~b 6= ~0)
|~a|.|~b|
p
x2 + y 2 x02 + y 02
Đặc biệt: ~a ⊥ ~b ⇔ xx0 + yy 0 = 0
fHệ Quả
- Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm M (xM ; yM ) và N (xN ; yN )
là
−−→ p
(2.7) M N = |M N | = (xN − xM )2 + (yN − yM )2
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 8
Lí thuyết hình học 10 E 9
2.3 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ
GIẢI TAM GIÁC
Một số hệ thức trong tam giác vuông
A
c b
h
c’ b’
B a C
H
Hình 1:
1. a2 = b2 + c2 (định lí Pitago)
2. b2 = ab0 (b0 là hình chiếu của cạnh b trên cạnh a)
3. c2 = ac0 (c0 là hình chiếu của cạnh c trên cạnh a)
4. h2 = b0 c0 (h là chiều cao tam giác ứng với cạnh huyền )
5. ah = bc = 2SABC (SABC là diện tích tam giác ABC)
1 1 1
6. 2
= 2+ 2
h b c
7. b = a. sin B = a. cos C = c. tan B = c. cot C
8. c = a. sin C = a. cos B = b. tan C = b. cot B
- Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, đường cao AH = h; các
đường trung tuyến AM = ma , BN = mb , CP = mc ; R, r lần lượt là bán kính
a+b+c
đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp; nửa chu vi p =
2
A
ha
Pc ma b
N
B a C
M H
Hình 2:
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 9
Lí thuyết hình học 10 E 10
2.3.1 Định lí côsin
(2.8a) a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
(2.8b) b2 = c2 + a2 − 2ca cos B
(2.8c) c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
fHệ Quả
b2 + c2 − a2
(2.9a) cos A =
2bc
c 2 + a2 − b 2
(2.9b) cos B =
2ca
a2 + b 2 − c 2
(2.9c) cos C =
2ab
2.3.2 Định lí sin
a b c
(2.10) = = = 2R
sin A sin B sin C
2.3.3 Độ dài đường trung tuyến của tam giác
b 2 + c 2 a2 2(b2 + c2 ) − a2
(2.11a) m2 a = − =
2 4 4
c 2 + a2 b 2 2(c2 + a2 ) − b2
(2.11b) m2 b = − =
2 4 4
a2 + b 2 c 2 2(a2 + b2 ) − c2
(2.11c) m2 c = − =
2 4 4
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 10
Lí thuyết hình học 10 E 11
2.3.4 Diện tích tam giác
- Với 4ABC ta kí hiệu S là diện tích, ha , hb , hc là độ dài các đường cao lần
lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB.
1 1 1
(2.12a) S = aha = bhb = chc
2 2 2
1 1 1
(2.12b) S = ab sin C = bc sin A = ca sin B
2 2 2
abc
(2.12c) S=
4R
(2.12d) S = pr
p
(2.12e) S= p(p − a)(p − b)(p − c)
- Công thức cuối gọi là công thức Hê - rông
3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT
PHẲNG
3.1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
3.1.1 Phương trình tham số
Định nghĩa 3.1. Vectơ ~u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆
nếu ~u 6= ~0 và giá của ~u song song hoặc trùng với δ
Định nghĩa 3.2. Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm
M0 (x0 ; y0 ) và có vectơ chỉ phương ~u = (u1 ; u2 ), (u21 + u22 6= 0) là
(
x = x0 + u 1 t
(3.1)
y = y0 + u2 t
Định nghĩa 3.3. Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) và có
hệ số góc k là
(3.2) y − y0 = k(x − x0 )
• Nếu ∆ có vectơ chỉ phương ~u = (u1 ; u2 ) với u1 6= 0 thì hệ số góc của ∆
u2
là k =
u1
• Nếu ∆ có hệ số góc là k thì nó có một vectơ chỉ phương là: ~u = (1; k)
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 11