Chuyên đề về số phức
- 9 trang
- file .doc
1. SỐ PHỨC. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC
1.1. Dạng đại số của số phức
Số phức là biểu thức có dạng trong đó là những số thực và
Kí hiệu: số phức với là phần thực, là phần ảo, là đơn vị ảo.
Tập hợp các số phức kí hiệu là
1.2. Số phức bằng nhau
Cho hai số phức và Khi đó,
1.3. Biểu diễn hình học của số phức
Trên mặt phẳng Oxy, mỗi số phức được biểu diễn bởi điểm
1.4. Mođul của số phức
Mođul của số phức là
1.5. Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của số phức là số phức
1.6. Cộng, trừ số phức
Cho hai số phức và Khi đó,
1.7. Phép nhân số phức
Cho và Khi đó,
1.8. Phép chia số phức
Cho hai số phức và
Khi đó,
2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2.1. Căn bậc hai của số thực âm
Cho là số thực âm. Khi đó, có hai căn bậc hai đối nhau là
2.2. Căn bậc hai của số phức
Cho số phức mỗi số phức thoả được gọi là một căn bậc
hai của Khi đó, và
2.3. Phương trình bậc hai hệ số thực :
( là một số thực)
Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt
Phương trình có nghiệm thực (nghiệm kép).
Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt
2.4. Phương trình bậc hai hệ số phức:
( là một số phức)
PT có nghiệm kép
PT có hai nghiệm với là một căn bậc hai của
3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
3.1. Acgumen của số phức
3.1.1. Khái niệm
1
Cho số phức Gọi là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn của số phức
Số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu tia cuối được gọi là
một acgumen của
3.1.2. Nhận xét
Nếu là một acgumen của thì mọi acgumen của có dạng
Acgumen của và sai khác nhau với
3.2. Dạng lượng giác của số phức
3.2.1. Khái niệm
Cho số phức Kí hiệu là môđun của và là một
acgumen của Khi đó, được gọi là dạng lượng giác của
số phức
3.2.2. Chú ý
3.3. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác
Cho và Khi đó
3.4. Công thức Moa–vrơ
3.5. Căn bậc hai số phức dạng lượng giác
Số phức có hai căn bậc hai là và
BÀI TẬP
1. Tìm các số thực biết
1.1.
1.2.
1.3.
2. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức thỏa
2.1. Phần thực của bằng
2.2. Phần ảo của bằng 3
2.3. Phần thực của thuộc khoảng
2.4. Phần ảo của thuộc đoạn [1; 3]
2.5. Phần thực và phần ảo của đều thuộc đoạn [–2; 2]
2.6. là số thực âm
2.7. là số ảo
2.8. là số ảo
2.9. là số thực dương
2.10. là số ảo
2
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19. ( là số thực dương cho trước).
2.20.
2.21.
2.22.
3. Thực hiện các phép tính sau
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
4. Cho Tính
5. Tìm phần thực và phần ảo của số phức biết
5.1.
5.2.
5.3. và
5.4.
5.5.
5.6. và
5.7. và phần ảo của bằng 1
3
6. Giải phương trình sau
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.
6.13.
6.14.
6.15.
6.16.
6.17.
6.18.
6.19.
6.20.
6.21.
6.22.
6.23.
6.24.
6.25.
6.26.
6.27.
6.28.
6.29.
6.30.
6.31.
7. Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ trong mặt
phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số
8. Chứng minh rằng
8.1. Phần thực của số phức bằng , phần ảo của số phức bằng
4
8.2. Số phức là số ảo khi và chỉ khi .
8.3. Số phức là số thực khi và chỉ khi .
8.4. Với mọi số phức z, z¢, ta có và nếu z ¹ 0 thì
9. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m, ta có
10. Chứng minh rằng
10.1. Nếu điểm biểu diễn số phức z thì và từ đó nếu hai điểm theo thứ tự biểu
diễn số phức thì
10.2. Với mọi số phức z, z¢, ta có |z.z¢| = |z|.|z¢| và khi z ¹ 0 thì
10.3. Với mọi số phức z, z¢, ta có
11. Chứng minh rằng với mọi số phức z ¹ 1, ta có
12. Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)
12.1.
12.2.
12.3.
13. Gọi là ba điểm theo thứ tự biểu diễn số phức Tìm số phức được biểu diễn bởi
trọng tâm tam giác
14. Gọi là ba điểm theo thứ tự biểu diễn số phức thỏa Chứng minh
rằng là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi
15. Giả sử là hai nghiệm phương trình với là các số thực và b
Tính và theo
16. Cho số phức Tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận và làm nghiệm.
17. Chứng minh rằng nếu là một căn bậc hai của thì
18. Các phát biểu sau là đúng hay sai? Tại sao?
18.1. Công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực vẫn đúng cho phương trình bậc hai
với hệ số phức không.
18.2. Nếu mọi phương trình bậc hai có hai nghiệm là hai số phức liên hợp
không thực thì có các hệ số là số thực.
18.3. Nếu mọi phương trình bậc hai có các hệ số là số thực thì phương
trình có hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực.
19. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).
20. Tìm số phức B để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
21. Tìm các số thực b, c để phương trình nhận làm nghiệm.
22. Tìm các số thực a, b, c để phương trình nhận và z = 2 làm nghiệm.
23. Dùng công thức khai triển nhị thức và công thức Moavrơ, tính .
24. Cho số phức .
24.1. Tìm các số nguyên dương để là số thực.
24.2. Tìm các số nguyên dương để là số ảo.
25. Các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức Chứng minh rằng
5
25.1.
25.2. vuông góc khi và chỉ khi
26. Tìm số phức thỏa mãn đồng thời và
27. Giải hệ phương trình hai ẩn phức
27.1.
27.2.
28. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau
28.1.
28.2.
28.3.
28.4.
29. Cho phương trình Chứng minh rằng các điểm biểu diễn nghiệm
phương trình đã cho thuộc đường tròn đơn vị
30. Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức là số thực, là số ảo?
31. Viết dạng lượng giác số . Suy ra căn bậc hai số phức
BÀI TẬP TỰ RÈN
1. Tìm các số thực x, y sao cho
1.1. 3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i
1.2. 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i
2. Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt quá môđun của nó.
3. Giải phương trình sau trên tập phức
3.1. (3 + 4i)z + (1 –3i) = 2 + 5i
3.2. (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
6
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
3.26.
3.27.
3.28.
3.29.
3.30.
3.31.
3.32. z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0
3.33. z3iz22iz2 = 0
3.34. z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0
4. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3, tích của chúng bằng 4.
5. Cho hai số phức . Biết rằng là hai số thực. Chứng tỏ là hai nghiệm một
phương trình bậc hai với hệ số thực.
6. Chứng minh rằng nếu thì số là số thực.
7. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
7.1. z= . Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực.
7.2.
7.3. .
7.4. .
7.5. 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20.
8. Thực hiện các phép tính
8.1.
8.2.
8.3.
9. Biết và là hai nghiệm của phương trình . Hãy tính:
9.1.
7
1.1. Dạng đại số của số phức
Số phức là biểu thức có dạng trong đó là những số thực và
Kí hiệu: số phức với là phần thực, là phần ảo, là đơn vị ảo.
Tập hợp các số phức kí hiệu là
1.2. Số phức bằng nhau
Cho hai số phức và Khi đó,
1.3. Biểu diễn hình học của số phức
Trên mặt phẳng Oxy, mỗi số phức được biểu diễn bởi điểm
1.4. Mođul của số phức
Mođul của số phức là
1.5. Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của số phức là số phức
1.6. Cộng, trừ số phức
Cho hai số phức và Khi đó,
1.7. Phép nhân số phức
Cho và Khi đó,
1.8. Phép chia số phức
Cho hai số phức và
Khi đó,
2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2.1. Căn bậc hai của số thực âm
Cho là số thực âm. Khi đó, có hai căn bậc hai đối nhau là
2.2. Căn bậc hai của số phức
Cho số phức mỗi số phức thoả được gọi là một căn bậc
hai của Khi đó, và
2.3. Phương trình bậc hai hệ số thực :
( là một số thực)
Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt
Phương trình có nghiệm thực (nghiệm kép).
Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt
2.4. Phương trình bậc hai hệ số phức:
( là một số phức)
PT có nghiệm kép
PT có hai nghiệm với là một căn bậc hai của
3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
3.1. Acgumen của số phức
3.1.1. Khái niệm
1
Cho số phức Gọi là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn của số phức
Số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu tia cuối được gọi là
một acgumen của
3.1.2. Nhận xét
Nếu là một acgumen của thì mọi acgumen của có dạng
Acgumen của và sai khác nhau với
3.2. Dạng lượng giác của số phức
3.2.1. Khái niệm
Cho số phức Kí hiệu là môđun của và là một
acgumen của Khi đó, được gọi là dạng lượng giác của
số phức
3.2.2. Chú ý
3.3. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác
Cho và Khi đó
3.4. Công thức Moa–vrơ
3.5. Căn bậc hai số phức dạng lượng giác
Số phức có hai căn bậc hai là và
BÀI TẬP
1. Tìm các số thực biết
1.1.
1.2.
1.3.
2. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức thỏa
2.1. Phần thực của bằng
2.2. Phần ảo của bằng 3
2.3. Phần thực của thuộc khoảng
2.4. Phần ảo của thuộc đoạn [1; 3]
2.5. Phần thực và phần ảo của đều thuộc đoạn [–2; 2]
2.6. là số thực âm
2.7. là số ảo
2.8. là số ảo
2.9. là số thực dương
2.10. là số ảo
2
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19. ( là số thực dương cho trước).
2.20.
2.21.
2.22.
3. Thực hiện các phép tính sau
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
4. Cho Tính
5. Tìm phần thực và phần ảo của số phức biết
5.1.
5.2.
5.3. và
5.4.
5.5.
5.6. và
5.7. và phần ảo của bằng 1
3
6. Giải phương trình sau
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.
6.13.
6.14.
6.15.
6.16.
6.17.
6.18.
6.19.
6.20.
6.21.
6.22.
6.23.
6.24.
6.25.
6.26.
6.27.
6.28.
6.29.
6.30.
6.31.
7. Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ trong mặt
phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số
8. Chứng minh rằng
8.1. Phần thực của số phức bằng , phần ảo của số phức bằng
4
8.2. Số phức là số ảo khi và chỉ khi .
8.3. Số phức là số thực khi và chỉ khi .
8.4. Với mọi số phức z, z¢, ta có và nếu z ¹ 0 thì
9. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m, ta có
10. Chứng minh rằng
10.1. Nếu điểm biểu diễn số phức z thì và từ đó nếu hai điểm theo thứ tự biểu
diễn số phức thì
10.2. Với mọi số phức z, z¢, ta có |z.z¢| = |z|.|z¢| và khi z ¹ 0 thì
10.3. Với mọi số phức z, z¢, ta có
11. Chứng minh rằng với mọi số phức z ¹ 1, ta có
12. Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)
12.1.
12.2.
12.3.
13. Gọi là ba điểm theo thứ tự biểu diễn số phức Tìm số phức được biểu diễn bởi
trọng tâm tam giác
14. Gọi là ba điểm theo thứ tự biểu diễn số phức thỏa Chứng minh
rằng là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi
15. Giả sử là hai nghiệm phương trình với là các số thực và b
Tính và theo
16. Cho số phức Tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận và làm nghiệm.
17. Chứng minh rằng nếu là một căn bậc hai của thì
18. Các phát biểu sau là đúng hay sai? Tại sao?
18.1. Công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực vẫn đúng cho phương trình bậc hai
với hệ số phức không.
18.2. Nếu mọi phương trình bậc hai có hai nghiệm là hai số phức liên hợp
không thực thì có các hệ số là số thực.
18.3. Nếu mọi phương trình bậc hai có các hệ số là số thực thì phương
trình có hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực.
19. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).
20. Tìm số phức B để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
21. Tìm các số thực b, c để phương trình nhận làm nghiệm.
22. Tìm các số thực a, b, c để phương trình nhận và z = 2 làm nghiệm.
23. Dùng công thức khai triển nhị thức và công thức Moavrơ, tính .
24. Cho số phức .
24.1. Tìm các số nguyên dương để là số thực.
24.2. Tìm các số nguyên dương để là số ảo.
25. Các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức Chứng minh rằng
5
25.1.
25.2. vuông góc khi và chỉ khi
26. Tìm số phức thỏa mãn đồng thời và
27. Giải hệ phương trình hai ẩn phức
27.1.
27.2.
28. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau
28.1.
28.2.
28.3.
28.4.
29. Cho phương trình Chứng minh rằng các điểm biểu diễn nghiệm
phương trình đã cho thuộc đường tròn đơn vị
30. Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức là số thực, là số ảo?
31. Viết dạng lượng giác số . Suy ra căn bậc hai số phức
BÀI TẬP TỰ RÈN
1. Tìm các số thực x, y sao cho
1.1. 3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i
1.2. 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i
2. Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt quá môđun của nó.
3. Giải phương trình sau trên tập phức
3.1. (3 + 4i)z + (1 –3i) = 2 + 5i
3.2. (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
6
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
3.26.
3.27.
3.28.
3.29.
3.30.
3.31.
3.32. z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0
3.33. z3iz22iz2 = 0
3.34. z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0
4. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3, tích của chúng bằng 4.
5. Cho hai số phức . Biết rằng là hai số thực. Chứng tỏ là hai nghiệm một
phương trình bậc hai với hệ số thực.
6. Chứng minh rằng nếu thì số là số thực.
7. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
7.1. z= . Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực.
7.2.
7.3. .
7.4. .
7.5. 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20.
8. Thực hiện các phép tính
8.1.
8.2.
8.3.
9. Biết và là hai nghiệm của phương trình . Hãy tính:
9.1.
7