Chuyên đề về mặt cầu
- 5 trang
- file .pdf
Mặt cầu
A. Tóm tắt lý thuyết
I. Định nghĩa mặt cầu
Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi được gọi là
mặt cầu tâm O , bán kính R . Ký hiệu: S O; R .
II. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S O; R và mặt phẳng P , gọi d là khoảng cách từ O tới P và H là hình
chiếu của O lên P . Khi, đó ta có các trường hợp sau
d R : P cắt mặt cầu S O; R theo giao tuyến là một đường tròn nằm trong P có
tâm là H và bán kính r R 2 d 2 .
d R : P cắt mặt cầu S O; R tại một điểm duy nhất H .
d R : P không cắt mặt cấu S O; R .
III. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S O; R và đường thẳng , gọi d là khoảng cách từ O tới và H là hình chiếu
của O lên . Khi đó:
Nếu d R thì cắt mặt cấu S O; R tại hai điểm A , B phân biệt. Đoạn thẳng
AB nhận H là trung điểm và AB 2 R 2 d 2 .
Nếu d R thì cắt mặt cấu S O; R tại một điểm duy nhất H .
Nếu d R thì không cắt mặt cấu S O; R .
Định lý. Qua điểm A nằm ngoài mặt cấu S O; R có vô số tiếp với mặt cầu. Hơn nữa
Độ dài các đọan thẳng nối A với các tiếp điểm bẳng nhau;
Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.
IV. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
4
Mặt cầu bán kính R có thể tích là 4 R 2 . Khối cầu bán kính R có thể tích là R3 .
3
B. Một số ví dụ
1
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông cân tại B , cạnh góc vuông có độ dài bằng a . Trên đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC tại A lấy điểm S khác A . Mặt phẳng Q đi qua A
và vuông góc với SC , cắt SB và SC lần lượt tại H và K .
1) Xác định tâm và bán kính mặt cầu S1 đi qua 4 điểm S , A , H , K . Xác định vị trí tương
đối của mặt cầu này với mặt phẳng ABC .
2) Chứng minh rằng khi S chuyển động trên đường thẳng thì 5 điểm A , B , C , K , H luôn
nằm trên một mặt cầu cố định, còn mặt phẳng Q luôn quay quanh một đường thẳng cố định.
Giải.
BC AB S
1) * Ta có BC SAB
BC SA
AH BC 1 . Giả thiết AH SB 2 . O K
1 , 2 AH SBC AH SB 3 .
H
Cũng từ giả thiết AK SC 4 . A
I
C
3 , 4
AHS
AKS 90 S , A , H , K cùng
B
thuộc mặt cầu tâm O ( O là trung điểm của SA ), bán
kính R SA2 S1 O; R . R
* Ta thấy OA chính là khoảng cách từ O đến ABC
S1 tiếp xúc với ABC .
2) * 4 AH HC . Do đó ABC
AHC
AKC 90 A , B , C , A , H , K cùng
a 2
thuộc mặt cầu tâm I ( I là trung điểm của AC ), bán kính R ' AC
2 2 (mặt cầu này cố định).
* AHK SC AHK SAC 5 . Lại có ABC SA ABC SAC 6 ,
AR AHK ABC 7 . 5 , 6 , 7 AR SAC AR là đường thẳng cố định.
Vậy Q luôn quay quanh một đường thẳng AR cố định.
Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
ABCD tại A lấy điểm S khác A . Mặt phẳng Q đi qua A và vuông góc với SC lần lượt
cắt SB , SC , SD tại B1 , C1 , D1 .
1) Chứng minh rằng 7 điểm A , B , C , D , B1 , C1 , D1 cùng nằm trên một mặt cầu. Tính diện
tích của mặt cầu này và thể tích của khối cầu tương ứng.
2
2) Xác định vị trí của S trên sao cho thể tích khối đa diện ABCDC1 đạt giá trị lớn nhất. Khi
đó hãy xác định thể tích khối đa diện nói trên.
Giải.
CD SA S
1) * Ta có CD SDA
CD AD
AD1 CD 1 . Giả thiết AD1 SC 2 . Từ 1 ,
C1 D1
2 AD1 SCD AD1 CD1 . Một cách tương B1 A
D
H O
tự ta cũng chứng minh được AB1 CB1 .
Do đó
ABC
ADC
AB1C AD1C 90
7 điểm B C
A , B , C , D , B1 , C1 , D1 cùng nằm trên mặt cầu tâm O
( O AC BD ), bán kính R a 2 2 .
* Diện tích măt cầu S 4 R 2 2 a 2 . Thể tích mặt cầu
3
V 43 R 3 a 3 2 .
2 2 2 3
2) Hạ C1 H AC C1 H ABCD . VABCDC1 13 S ABCD .C1H a3 .C1H a3 .C1O a3 . a 2 2 a 6 2
3
VABCDC1 a 6 2 . Đẳng thức xảy ra H O C1 AC vuông cân tại C1 SAC vuông
cân tại A SA AC a 2 . Vậy VABCDC1 đạt giá trị lớn nhất SA a 2 . Khi đó
3
VABCDC1 a 6 2 .
Ví dụ 3. Cho tam giác vuông cân ABC vuông tại A , có các cạnh góc vuông bằng a . Từ B , C
dựng các đoạn thẳng BD , CE vuông góc với mặt phẳng ABC ở về cùng một phía của mặt
phẳng ABC sao cho BD CE a . Chứng minh 5 điểm A , B , C , D , E cùng nằm trên một
mặt cầu. Tính diện tích của mặt cầu này và tính thể tích khối cầu tương ứng.
Giải.
3
AB AC D E
* Ta có AB ACE AB AE .
AB CE
Từ BAE BDE
BCE 90 A , B , C , D , E cùng
O
a a
nằm trên mặt cầu đường kính BE . Mặt cầu này có bán
BC 2 CE 2 AB 2 AC 2 CE 2
kính R BE2 2 2 a 23 .
B C
* Diện tích măt cầu S 4 R 2 3 a 2 . Thể tích mặt cầu
3
a a
V 43 R 3 a 2 3 .
A
Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có các cạnh đáy bằng a , tất cả các mặt bên đều tạo
với đáy góc . Xác định tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích mặt cầu
và thể tích của khối cầu tương ứng.
Chú ý. (Cách xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp-mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình
chóp)
Hình chóp S . A1 A2 ... An có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi A1 A2 ... An là đa giác nội tiếp một
đường tròn. Khi đó để xác định mặt cầu ngoại tiếp S O; R của hình chóp, ta làm như sau:
xác định tâm đường tròn ngoại tiếp I của S
đáy; Δ
dựng đường thẳng vuông góc với đáy
P
tại I ;
O
An
dựng mặt phẳng trung trực P của đoạn
thẳng SA1 (có thể thay SA1 bằng SA2 , …, I
A1
SAn ); A2
ta có O P , R OA1 OA2 OAn .
Trường hợp hay gặp. SA 1 và đồng phẳng. Ta làm như sau:
trong mặt phẳng SA 1 , dựng đường trung trực d của SA 1 ;
ta có O d , R OA1 OA2 OAn .
4
S
Δ
S
Δ
O
An
O
I An
A1
A2 I
A1
( SA1 A1 An ... An ) A2
( SA1 cắt )
C. Bài tập
Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có các cạnh đáy bằng a , tất cả các cạnh bên đều tạo
với đáy góc . Xác định tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích mặt cầu
và thể tích của khối cầu tương ứng.
120 , cạnh
Bài 2. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác cân có AB AC a , BAC
bên SA 2a vuông góc với đáy. Xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB a , BC a 3 . Cạnh bên
SA a 5 , vuông góc với đáy. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là nửa lục giác đều, AB BC CD a , AD 2a .
Cạnh bên SA 2a 3 vuông góc với đáy. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp.
Bài 5. Cho hình vuông ABCD cạnh a , Gọi H là trung điểm của AB . Trên đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng ABCD tại H lấy điểm S sao cho SH a 2 3 . Xác định tâm và bán kính
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD .
Bài 6. Cho tứ diện SABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc, SA 2a , SB a 2 ,
SC a 3 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
5
A. Tóm tắt lý thuyết
I. Định nghĩa mặt cầu
Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi được gọi là
mặt cầu tâm O , bán kính R . Ký hiệu: S O; R .
II. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S O; R và mặt phẳng P , gọi d là khoảng cách từ O tới P và H là hình
chiếu của O lên P . Khi, đó ta có các trường hợp sau
d R : P cắt mặt cầu S O; R theo giao tuyến là một đường tròn nằm trong P có
tâm là H và bán kính r R 2 d 2 .
d R : P cắt mặt cầu S O; R tại một điểm duy nhất H .
d R : P không cắt mặt cấu S O; R .
III. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S O; R và đường thẳng , gọi d là khoảng cách từ O tới và H là hình chiếu
của O lên . Khi đó:
Nếu d R thì cắt mặt cấu S O; R tại hai điểm A , B phân biệt. Đoạn thẳng
AB nhận H là trung điểm và AB 2 R 2 d 2 .
Nếu d R thì cắt mặt cấu S O; R tại một điểm duy nhất H .
Nếu d R thì không cắt mặt cấu S O; R .
Định lý. Qua điểm A nằm ngoài mặt cấu S O; R có vô số tiếp với mặt cầu. Hơn nữa
Độ dài các đọan thẳng nối A với các tiếp điểm bẳng nhau;
Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.
IV. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
4
Mặt cầu bán kính R có thể tích là 4 R 2 . Khối cầu bán kính R có thể tích là R3 .
3
B. Một số ví dụ
1
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông cân tại B , cạnh góc vuông có độ dài bằng a . Trên đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC tại A lấy điểm S khác A . Mặt phẳng Q đi qua A
và vuông góc với SC , cắt SB và SC lần lượt tại H và K .
1) Xác định tâm và bán kính mặt cầu S1 đi qua 4 điểm S , A , H , K . Xác định vị trí tương
đối của mặt cầu này với mặt phẳng ABC .
2) Chứng minh rằng khi S chuyển động trên đường thẳng thì 5 điểm A , B , C , K , H luôn
nằm trên một mặt cầu cố định, còn mặt phẳng Q luôn quay quanh một đường thẳng cố định.
Giải.
BC AB S
1) * Ta có BC SAB
BC SA
AH BC 1 . Giả thiết AH SB 2 . O K
1 , 2 AH SBC AH SB 3 .
H
Cũng từ giả thiết AK SC 4 . A
I
C
3 , 4
AHS
AKS 90 S , A , H , K cùng
B
thuộc mặt cầu tâm O ( O là trung điểm của SA ), bán
kính R SA2 S1 O; R . R
* Ta thấy OA chính là khoảng cách từ O đến ABC
S1 tiếp xúc với ABC .
2) * 4 AH HC . Do đó ABC
AHC
AKC 90 A , B , C , A , H , K cùng
a 2
thuộc mặt cầu tâm I ( I là trung điểm của AC ), bán kính R ' AC
2 2 (mặt cầu này cố định).
* AHK SC AHK SAC 5 . Lại có ABC SA ABC SAC 6 ,
AR AHK ABC 7 . 5 , 6 , 7 AR SAC AR là đường thẳng cố định.
Vậy Q luôn quay quanh một đường thẳng AR cố định.
Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
ABCD tại A lấy điểm S khác A . Mặt phẳng Q đi qua A và vuông góc với SC lần lượt
cắt SB , SC , SD tại B1 , C1 , D1 .
1) Chứng minh rằng 7 điểm A , B , C , D , B1 , C1 , D1 cùng nằm trên một mặt cầu. Tính diện
tích của mặt cầu này và thể tích của khối cầu tương ứng.
2
2) Xác định vị trí của S trên sao cho thể tích khối đa diện ABCDC1 đạt giá trị lớn nhất. Khi
đó hãy xác định thể tích khối đa diện nói trên.
Giải.
CD SA S
1) * Ta có CD SDA
CD AD
AD1 CD 1 . Giả thiết AD1 SC 2 . Từ 1 ,
C1 D1
2 AD1 SCD AD1 CD1 . Một cách tương B1 A
D
H O
tự ta cũng chứng minh được AB1 CB1 .
Do đó
ABC
ADC
AB1C AD1C 90
7 điểm B C
A , B , C , D , B1 , C1 , D1 cùng nằm trên mặt cầu tâm O
( O AC BD ), bán kính R a 2 2 .
* Diện tích măt cầu S 4 R 2 2 a 2 . Thể tích mặt cầu
3
V 43 R 3 a 3 2 .
2 2 2 3
2) Hạ C1 H AC C1 H ABCD . VABCDC1 13 S ABCD .C1H a3 .C1H a3 .C1O a3 . a 2 2 a 6 2
3
VABCDC1 a 6 2 . Đẳng thức xảy ra H O C1 AC vuông cân tại C1 SAC vuông
cân tại A SA AC a 2 . Vậy VABCDC1 đạt giá trị lớn nhất SA a 2 . Khi đó
3
VABCDC1 a 6 2 .
Ví dụ 3. Cho tam giác vuông cân ABC vuông tại A , có các cạnh góc vuông bằng a . Từ B , C
dựng các đoạn thẳng BD , CE vuông góc với mặt phẳng ABC ở về cùng một phía của mặt
phẳng ABC sao cho BD CE a . Chứng minh 5 điểm A , B , C , D , E cùng nằm trên một
mặt cầu. Tính diện tích của mặt cầu này và tính thể tích khối cầu tương ứng.
Giải.
3
AB AC D E
* Ta có AB ACE AB AE .
AB CE
Từ BAE BDE
BCE 90 A , B , C , D , E cùng
O
a a
nằm trên mặt cầu đường kính BE . Mặt cầu này có bán
BC 2 CE 2 AB 2 AC 2 CE 2
kính R BE2 2 2 a 23 .
B C
* Diện tích măt cầu S 4 R 2 3 a 2 . Thể tích mặt cầu
3
a a
V 43 R 3 a 2 3 .
A
Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có các cạnh đáy bằng a , tất cả các mặt bên đều tạo
với đáy góc . Xác định tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích mặt cầu
và thể tích của khối cầu tương ứng.
Chú ý. (Cách xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp-mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình
chóp)
Hình chóp S . A1 A2 ... An có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi A1 A2 ... An là đa giác nội tiếp một
đường tròn. Khi đó để xác định mặt cầu ngoại tiếp S O; R của hình chóp, ta làm như sau:
xác định tâm đường tròn ngoại tiếp I của S
đáy; Δ
dựng đường thẳng vuông góc với đáy
P
tại I ;
O
An
dựng mặt phẳng trung trực P của đoạn
thẳng SA1 (có thể thay SA1 bằng SA2 , …, I
A1
SAn ); A2
ta có O P , R OA1 OA2 OAn .
Trường hợp hay gặp. SA 1 và đồng phẳng. Ta làm như sau:
trong mặt phẳng SA 1 , dựng đường trung trực d của SA 1 ;
ta có O d , R OA1 OA2 OAn .
4
S
Δ
S
Δ
O
An
O
I An
A1
A2 I
A1
( SA1 A1 An ... An ) A2
( SA1 cắt )
C. Bài tập
Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có các cạnh đáy bằng a , tất cả các cạnh bên đều tạo
với đáy góc . Xác định tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích mặt cầu
và thể tích của khối cầu tương ứng.
120 , cạnh
Bài 2. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác cân có AB AC a , BAC
bên SA 2a vuông góc với đáy. Xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB a , BC a 3 . Cạnh bên
SA a 5 , vuông góc với đáy. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là nửa lục giác đều, AB BC CD a , AD 2a .
Cạnh bên SA 2a 3 vuông góc với đáy. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp.
Bài 5. Cho hình vuông ABCD cạnh a , Gọi H là trung điểm của AB . Trên đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng ABCD tại H lấy điểm S sao cho SH a 2 3 . Xác định tâm và bán kính
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD .
Bài 6. Cho tứ diện SABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc, SA 2a , SB a 2 ,
SC a 3 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
5