Chuyên đề về dường tròn
- 21 trang
- file .pdf
Đường tròn
Dạng 1. Phương trình đường tròn
A. Tóm tắt lý thuyết
2 2
* Phương trình chính tắc: Phương trình x a y b R 2 ( R 0 )
là phương trình chính tắc đường tròn tâm I a;b , bán kính R .
* Phương trình tổng quát: Phương trình x2 y 2 2ax 2by c 0 ( a 2 b 2 c 0 ) là
phương trình tổng quát của đường tròn tâm I a;b , bán kính R a 2 b 2 c .
* Chú ý (điều kiện tiếp xúc giữa đường thẳng và đường tròn): Cho đường tròn C có tâm
I , bán kính R và đường thẳng . Khi đó:
C tiếp xúc với R d I, .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Lập phương trình đường tròn C tâm I 1; 2 trong các trường hợp sau
1) C có bán kính bằng 5 .
2) C đi qua điểm A 2;7 .
3) C tiếp xúc với đường thẳng : 3x 2y 12 0 .
Giải
2 2
1) C có tâm I 1; 2 , bán kính bằng 5 C : x 1 y 2 25 .
2) Gọi R là bán kính của C . A C R 2 IA 2 32 92 90 .
2 2
Vậy C : x 1 y 2 90 .
3.1 2. 2 12
3) Gọi R là bán kính của C . C tiếp xúc với R d I, 19 .
3 2 22 13
2 2
Vậy C : x 1 y 2 361 .
13
Ví dụ 2. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A 2;0 , B 3; 1 , C 3; 3 .
Giải
Gọi C là đường tròn đi qua ba điểm A 2;0 , B 3; 1 , C 3; 3 .
1
IA 2 IB 2
I a;b là tâm của C
IB 2 IC2
a 2 2 b 2 a 3 2 b 1 2
a 3 2 b 1 2 a 3 2 b 3 2
a b 3
b 2
a 1
b 2
I 1; 2 .
2 2
R là bán kính của C R 2 IA 2 5 . Vậy C : x 1 y 2 5 .
Ví dụ 3. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A 1;4 , B 1;6 và có tâm thuộc
đường thẳng : x 2y 4 0 .
Giải
Giả sử C là đường tròn cần lập phương trình và C có tâm I , bán kính R .
Cách 1: I tọa độ I có dạng I 2a 4;a .
2 2
Ta có IA 2a 3; a 4 IA 2 2a 3 a 4 5a2 20a 25 .
2 2
IB 2a 5; a 6 IB 2 2a 5 a 6 5a 2 32a 61 .
Từ A , B C IA 2 IB 2 (cùng bằng R 2 )
5a 2 20a 25 5a 2 32a 61
a3
I 2;3 .
2 2
Lại có R 2 IA 2 32 12 10 . Vậy C : x 2 y 3 10 .
Cách 2: Gọi M là trung điểm của AB IM AB (bán kính đi qua trung điểm của dây cung
thì vuông góc với dây cung).
Ta có M là trung điểm của AB M 0;5 , AB 2;2 .
2
B IM qua M 0;5
IM : x y 5 0
M IM AB 2;2 1; 1
A
IM : x y 5 0 .
I
Δ
x y 5 0
I IM I : I 2;3 .
x 2y 4 0
2 2
R 2 IA 2 32 12 10 . Vậy C : x 2 y 3 10 .
Ví dụ 4. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A 2;9 , B 3;10 và tiếp xúc với
đường thẳng : 3x 2y 2 0 .
Giải
Giả sử C là đường tròn cần lập phương trình và C có tâm I a;b , bán kính R .
2 2
Ta có IA 2 a;9 b IA 2 a 2 b 9 ,
2 2
IB 3 a;10 b IB 2 a 3 b 10 ,
3a 2b 2
d I, .
13
2 2 2 2
Từ IA 2 IB 2 (cùng bằng R 2 ) a 2 b 9 a 3 b 10
b 5a 12 1 .
2 2 3a 2b 2 2
Lại có IA 2 d2 I, (cũng cùng bằng R 2 ) a 2 b 9 2 .
13
Thay 1 vào 2 ta thu được
2
2 2 3a 2 5a 12 2 2 2 2
a 2 5a 12 9 13
a 2 5a 3 13 a 2
a 2 2a 3 0
a 1
a 3
+) Thay a 1 vào 1 ta có b 7 I 1;7 . R 2 IA 2 32 22 13 . Vậy trong trường
2 2
hợp này C có phương trình x 1 y 7 13 .
3
+) Thay a 3 vào 1 ta có b 27 I 3;27 . R 2 IA 2 12 182 325 . Vậy trong
2 2
trường hợp này C có phương trình x 3 y 27 325 .
2 2 2 2
Tóm lại C : x 1 y 7 13 hoặc C : x 3 y 27 325 .
4
C. Bài tập
Bài 1. Lập phương trình đường tròn C biết
1) C có tâm I 1;3 , bán kính R 4 .
2) C có tâm I 2;3 , A 1; 2 C .
3) C đi qua các điểm A 1;2 , B 2; 3 và tâm I thuộc đường thẳng d : x 3y 1 0 .
4) C đi qua các điểm A 1;4 , B 4;0 và C 2; 2 .
5) C Có đường kính là đoạn thẳng AB với A 3;4 , B 2;7 .
6) C có tâm I 1;2 , tiếp xúc với đường thẳng d : 3x 4y 1 0 .
7) C có tâm I 2;3 , cắt đường thẳng d : 3x 4y 1 0 theo một dây cung có độ dài bằng 2 .
8) C đi qua A 2; 1 và tiếp xúc với các trục tọa độ.
9) C là đường tròn ngoại tiếp tam giác có các cạnh nằm trên các đường thẳng 5y x 2 ,
y x 2 và y 8 x .
10) C nội tiếp tam giác OAB với A 4;0 , B 0;3 .
Bài 2. [ĐHA07] Cho tam giác ABC có A 0;2 , B 2; 2 và C 4; 2 . Gọi H là chân
đường cao kẻ từ B ; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC . Viết phương
trình đường tròn đi qua các điểm H , M , N .
Bài 3. Cho ABC có AB : x y 2 0 , AC : 2x 6y 3 0 và M 1;1 là trung điểm cạnh
BC . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC .
Bài 4. [ĐHB09Chuẩn] Cho C : x 2 2 y 2 45 và hai đường thẳng 1 :x – y 0 ,
2 :x – 7y 0 . Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn C' biết C' tiếp xúc
với các đường thẳng 1 , 2 và tâm K thuộc (C) .
Bài 5. [ĐHB05] Cho hai điểm A 2;0 và B 6;4 . Viết phương trình đường tròn C tiếp xúc
với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của C đến điểm B bằng 5 .
Bài 6. Cho A 3;1 , B 0;7 , C 5;2 .
1) Chứng minh rằng ABC vuông và tính diện tích tam giác.
2) Giả sử điểm M chạy trên đường tròn ngoại tiếp ABC . Chứng minh rằng khi đó trọng tâm
G của MBC chạy trên một đường tròn, viết phương trình đường tròn đó.
5
Bài 7. [ĐHA10Chuẩn] Cho hai đường thẳng d1 : 3x y 0 và d 2 : 3x y 0 . Gọi T là
đường tròn tiếp xúc với d1 tại A , cắt d 2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông
3
tại B . Viết phương trình của T , biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có
2
hoành độ dương.
2
Bài 8. [ĐHD09NC] Cho C : x 1 y 2 1 . Gọi I là tâm của C . Tìm tọa độ điểm M
30o .
thuộc C sao cho IMO
D. Đáp số
Bài 1 1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
Bài 2 x2 y 2 x y 2 0 .
Bài 3 x2 y 2 x 3y 65 0 .
8
2 2
Bài 4 C' : x 85 y 54 258 .
Bài 5 C : x 2 2 y 7 2 49 hoặc C : x 2 2 y 1 2 1 .
2 2
Bài 6 1) S ABC 15
2
2) x 5
2
y 7 25 .
2 18
2 2
Bài 7 T : x 2 1 3 y 32 1 .
Bài 8 M 3 ; 3 .
2 2
6
Dạng 2. Vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng với đường tròn
A. Tóm tắt lý thuyết
* Vị trí tương đối giữa điểm và đường tròn: Xét đường tròn C có tâm I , bán kính R và
điểm M . Đặt d IM . Ta có
+) M nằm ngoài C d R .
+) M C d R .
+) M nằm trong C d R .
* Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn: Xét đường tròn C có tâm I , bán kính
R và đường thẳng . Đặt d d I, . Ta có
+) không có điểm chung với C d R .
+) tiếp xúc với C ( là tiếp tuyến của C ) d R .
+) cắt C tại 2 điểm phân biệt d R .
* Chú ý: Xét đường tròn C và điểm M . Ta có mối liên hệ giữa vị trí tương đối giữa M và
C với số tiếp tuyến qua M của C :
+) M nằm ngoài C : qua M tồn tại hai tiếp tuyến của C .
+) M C : qua M tồn tại duy nhất một tiếp tuyến của C . Tiếp tuyến
này nhận M làm tiếp điểm.
+) M nằm trong C : qua M không tồn tại tiếp tuyến của C .
B. Một số ví dụ
2 2
Ví dụ 1. Cho đường tròn C : x 1 y 2 16 và điểm A 1;6 . Chứng minh A nằm
ngoài C và viết phương trình các tiếp tuyến qua A 1;6 của C .
Giải
Ta có C là đường tròn tâm I 1;2 , bán kính R 4 .
IA 2;4 IA 4 16 2 5 R qua A có hai tiếp tuyến của C .
là đường thẳng qua A phương trình có dạng:
: a x 1 b y 6 0 : ax by a 6b 0 ( a 2 b 2 0 ).
7
a 2b a 6b 2 a 2b
Có d I, . là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi
a2 b2 a2 b2
2 a 0
2 a 2b 4b 2 2
d I, R 4 a 4ab
2 b2
4 3a 4ab 0 4b .
2
a b 2 a a
3
+) a 0 : b y 6 0 : y 6 0 ( a 0 b 0 ).
+) Từ a 4b , cho b 3 a 4 : 4x 3y 22 0
3
Vậy : y 6 0 hoặc : 4x 3y 22 0 .
Ví dụ 2. Cho C : x 2 y 2 2x 6y 9 0 .Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) biết:
1) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x y 0 .
2) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 3x 4y 0 .
3) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : 2x y 0 góc 45 .
Giải
2 2
Ta có C : x 1 y 3 1 C có tâm I 1;3 , bán kính R 1 . Gọi là tiếp tuyến
cần tìm.
1) d phương trình có dạng : x y c 0 .
1 3 c c 2
Ta có d I, . Do đó: là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi
2 2
c 2
d I, R 1
2
c2 2
c 2 2
c 2 2
c 2 2 2
c 2 2 2
: x y 2 2 2 0
.
: x y 2 2 2 0
Vậy : x y 2 2 2 0 hoặc : x y 2 2 2 0 .
2) d phương trình có dạng : 4x 3y c 0 .
8
4 9 c c 13
Ta có d I, . Do đó: là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi
5 5
c 13
d I, R 1
5
c 13 5
c 13 5
c 13 5
c 8
c 18
: 4x 3y 8 0
.
: 4x 3y 18 0
Vậy : 4x 3y 8 0 hoặc : 4x 3y 18 0 .
3) Xét đường thẳng nhận n a;b ( a 2 b 2 0 ) là một véc-tơ pháp tuyến. Ta có
,d 45 cos ,d cos 45
2a b
2
2
5 a2 b 2
2 2
4a 4ab b 1
5 a2 b 2 2
3a2 8ab 3b 2 0 1
* Thay b 0 vào 1 a 0 (loại).
* b 0 : chia cả hai vế 1 cho b 2 , đặt t a ta được
b
3t 2 8t 3 0
t 3
1.
t 3
+) t 3 a 3 a 3b . Cho b 1 a 3 Phương trình có dạng
b
: 3x y c 0 .
3 3 c c 6
d I, .
10 10
9
Do đó: là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi
c 6
d I, R 1
10
c 6 10
c 6 10
c 6 10
c 6 10
c 6 10
: x 3y 6 10 0
.
: x 3y 6 10 0
+) t 1 a 1 b 3a . Cho a 1 b 3 Phương trình có dạng
3 b 3
: x 3y c 0 .
1 9 c c8
d I, .
10 10
Do đó: là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi
c 8
d I, R 1
10
c 8 10
c 8 10
c 8 10
c 8 10
c 8 10
: x 3y 8 10 0
.
: x 3y 8 10 0
Vậy : 3x y 6 10 0 , hoặc : 3x y 6 10 0 ,
hoặc : x 3y 8 10 0 , hoặc x 3y 8 10 0 .
Ví dụ 3. Cho A 0; 3 và đường tròn C : x 2 y 2 6x 6y 7 0 . Lập PTĐT qua A , cắt
C theo một dây cung có độ dài bằng 10 .
10
Giải
2 2
Ta có C : x 3 y 3 25 C có tâm I 3;3 , bán kính R 5 .
là đường thẳng qua A
phương trình có dạng:
: ax b y 3 0
I N
hay : ax by 3b 0 ( a 2 b 2 0 ).
E
Giả sử cắt C tại M , N . Lấy I là trung
M
điểm của MN IE (bán kính đi qua
Δ
trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây
A
cung).
2
Ta có: d I, IE IM 2 ME 2 25 210 3 210 1 .
3a 3b 3b 3 a 2b
Lại có d I, 2 .
a2 b 2 a 2 b2
3 a 2b 2 2
Từ 1 , 2 suy ra 3 10 a 4ab
2
4b
2
52 3a 2 8ab 3b2 0 3 .
2
a2 b 2 a b
* Thay b 0 vào 3 a 0 (loại).
* b 0 : chia cả hai vế 3 cho b 2 , đặt t a ta được
b
3t 2 8t 3 0
t 1
3 .
t 3
+) t 1 a 1 b 3a . Cho a 1 b 3 : x 3y 9 0 .
3 b 3
+) t 3 a 3 a 3b . Cho b 1 a 3 : 3x y 3 0 .
b
Vậy : x 3y 9 0 hoặc : 3x y 3 0 .
11
Ví dụ 4. [ĐHA09NC] Cho C : x 2 y 2 4x 4y 6 0 và đường thẳng
: x my 2m 3 0 , với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn C . TÌm m để
cắt C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.
Ví dụ 5. [ĐHD11NC] Cho A 1;0 và đường tròn C : x 2 y 2 2x 4y 5 0 . Viết PTĐT
cắt C tại hai điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A .
Giải
2 2
Ta có C : x 1 y 2 10 C có tâm I 1; 2 , bán kính R 10 .
(C) IM IN cuøng baèng R
A
AM AN giaû thieát
IA là đường trung trực của MN
I
Δ IA 0;2
M N
phương trình có dạng y m .
Trước hết ta tìm điều kiện để cắt C tại hai điểm phân biệt 1 . Xét hệ
x 2 y 2 2x 4y 5 0 2
.
y m 3
Thay 3 vào 2 ta có x2 m 2 2x 4m 5 0
x2 2x m 2 4m 5 0 4 ( ' m 2 4m 6 ).
Do đó: 1 4 có hai nghiệm phân biệt ' 0 m 2 4m 6 0 5 .
x1 x 2 2
Gọi x1 , x 2 là các nghiệm của 4 2
6 .
x1x 2 m 4m 5
M x1;m
Khi đó
N x2 ;m
AM 1 x1 ; m
AN 1 x2 ; m
AM.AN 1 x1 1 x2 m m x1x 2 x1 x2 1 m 2 7 .
12
Thay 6 vào 7 ta có AM.AN m 2 4m 5 2 m 2 2m 2 4m 6 .
Do đó
AMN vuông tại A
AM.AN 0
2m 2 4m 6 0
m 1
(thỏa mãn 5 ).
m 3
: y 1
(thỏa mãn 5 ).
: y 3
Vậy : y 1 hoặc : y 3 .
Ví dụ 6. [ĐH11A11Chuẩn] Cho đường thẳng :xy2 0 và đường tròn
C : x 2 y 2 4x 2y 0 . Gọi I là tâm của C , M là một điểm thuộc . Qua điểm M kẻ
các tiếp tuyến MA và MB đến C ( A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ của điểm M biết
tứ giác MAIB có diện tích bằng 10 .
Giải
M 2 2
Ta có C : x 2 y 1 5 C có tâm I 2;1 , bán
x kính R 5 .
x A
Đặt x MA MB . Theo tính chất của tiếp tuyến đường tròn
B MBI
90 . Do đó
thì MAI
I SMAIB 2SMAI MA.IA x 5 .
Từ giả thiết suy ra: x 5 10 x2 5
MI 2 IA 2 MA 2 25 1 .
M tọa độ M có dạng
M m; m 2
IM m 2; m 3
2 2
MI 2 m 2 m 3 2m 2 2m 13 2 .
13
m 2 M 2; 4
Từ 1 và 2 suy ra: 2m 2 2m 13 25 m 2 m 6 0 .
m 3 M 3;1
Vậy M 2; 4 hoặc M 3;1 .
2 2
Ví dụ 7. [ĐHD07] Cho C : x 1 y 2 9 và d : 3x 4y m 0 . Tìm m để trên d
có duy nhất một điểm P sao cho từ P kẻ được đúng hai tiếp tuyến PA , PB tới C ( A , B là
các tiếp điểm) sao cho PAB đều.
Giải
Ta thấy C có tâm là I 1; 2 , bán kính R 3 .
Theo tính chất của hai tiếp tuyến kẻ từ
một điểm nằm ngoài đường tròn tới đường
(C') tròn thì PAB là tam giác cân tại P .
P
A 30o Ta có
(C) 60
PAB đều APB
o
60
30
API
I
B d
60
AIP
IP 2AI 2R 6
P thuộc đường
tròn C' có tâm I , bán kính R ' 6 .
Như vậy P d C' . Do đó
điểm P tồn tại duy nhất
d tiếp xúc với C'
d I,d R '
3 8 m
6
5
11 m 30
11 m 30
11 m 30
14
m 19
.
m 41
Vậy m 19 hoặc m 41 .
15
C. Bài tập
Bài 1. Xét vị trí tương đối giữa điểm M và đường tròn (C)
1) M 1;2 , C : x 2 y 2 2x 4y 4 0 ,
2) M 0; 1 , C : x 2 y 2 2x 4y 4 0 ,
3) M 1;2 , C : x 2 y 2 2x 4y 20 0 .
Bài 2. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn (C)
1) : 3x 4y 5 0 , C : x 2 y 2 4x 6y 12 0 .
2) : 3x 4y 23 0 , C : x 2 y 2 4x 6y 12 0 .
3) : 3x 4y 20 0 , C : x 2 y 2 4x 6y 12 0 .
Bài 3. Cho (C) : x 2 y 2 2x 8y 8 0 .Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) biết:
1) Tiếp tuyến đi qua A 4;0 .
2) Tiếp tuyến đi qua A 4; 6 .
Bài 4. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với Ox và đi qua điểm 0;1 . Tìm quỹ tích tâm
đường tròn đó.
D. Đáp số
Bài 1 1) 2) 3)
Bài 2 1) 2) 3)
Bài 3 1) 3x 4y 12 0 . 2) 3x 4y 12 0 , x 4 0 .
Bài 4 P : x2 2y 1 0 .
Ví dụ 4 m 0 hoặc m 8 .
15
16
Dạng 1. Phương trình đường tròn
A. Tóm tắt lý thuyết
2 2
* Phương trình chính tắc: Phương trình x a y b R 2 ( R 0 )
là phương trình chính tắc đường tròn tâm I a;b , bán kính R .
* Phương trình tổng quát: Phương trình x2 y 2 2ax 2by c 0 ( a 2 b 2 c 0 ) là
phương trình tổng quát của đường tròn tâm I a;b , bán kính R a 2 b 2 c .
* Chú ý (điều kiện tiếp xúc giữa đường thẳng và đường tròn): Cho đường tròn C có tâm
I , bán kính R và đường thẳng . Khi đó:
C tiếp xúc với R d I, .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Lập phương trình đường tròn C tâm I 1; 2 trong các trường hợp sau
1) C có bán kính bằng 5 .
2) C đi qua điểm A 2;7 .
3) C tiếp xúc với đường thẳng : 3x 2y 12 0 .
Giải
2 2
1) C có tâm I 1; 2 , bán kính bằng 5 C : x 1 y 2 25 .
2) Gọi R là bán kính của C . A C R 2 IA 2 32 92 90 .
2 2
Vậy C : x 1 y 2 90 .
3.1 2. 2 12
3) Gọi R là bán kính của C . C tiếp xúc với R d I, 19 .
3 2 22 13
2 2
Vậy C : x 1 y 2 361 .
13
Ví dụ 2. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A 2;0 , B 3; 1 , C 3; 3 .
Giải
Gọi C là đường tròn đi qua ba điểm A 2;0 , B 3; 1 , C 3; 3 .
1
IA 2 IB 2
I a;b là tâm của C
IB 2 IC2
a 2 2 b 2 a 3 2 b 1 2
a 3 2 b 1 2 a 3 2 b 3 2
a b 3
b 2
a 1
b 2
I 1; 2 .
2 2
R là bán kính của C R 2 IA 2 5 . Vậy C : x 1 y 2 5 .
Ví dụ 3. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A 1;4 , B 1;6 và có tâm thuộc
đường thẳng : x 2y 4 0 .
Giải
Giả sử C là đường tròn cần lập phương trình và C có tâm I , bán kính R .
Cách 1: I tọa độ I có dạng I 2a 4;a .
2 2
Ta có IA 2a 3; a 4 IA 2 2a 3 a 4 5a2 20a 25 .
2 2
IB 2a 5; a 6 IB 2 2a 5 a 6 5a 2 32a 61 .
Từ A , B C IA 2 IB 2 (cùng bằng R 2 )
5a 2 20a 25 5a 2 32a 61
a3
I 2;3 .
2 2
Lại có R 2 IA 2 32 12 10 . Vậy C : x 2 y 3 10 .
Cách 2: Gọi M là trung điểm của AB IM AB (bán kính đi qua trung điểm của dây cung
thì vuông góc với dây cung).
Ta có M là trung điểm của AB M 0;5 , AB 2;2 .
2
B IM qua M 0;5
IM : x y 5 0
M IM AB 2;2 1; 1
A
IM : x y 5 0 .
I
Δ
x y 5 0
I IM I : I 2;3 .
x 2y 4 0
2 2
R 2 IA 2 32 12 10 . Vậy C : x 2 y 3 10 .
Ví dụ 4. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A 2;9 , B 3;10 và tiếp xúc với
đường thẳng : 3x 2y 2 0 .
Giải
Giả sử C là đường tròn cần lập phương trình và C có tâm I a;b , bán kính R .
2 2
Ta có IA 2 a;9 b IA 2 a 2 b 9 ,
2 2
IB 3 a;10 b IB 2 a 3 b 10 ,
3a 2b 2
d I, .
13
2 2 2 2
Từ IA 2 IB 2 (cùng bằng R 2 ) a 2 b 9 a 3 b 10
b 5a 12 1 .
2 2 3a 2b 2 2
Lại có IA 2 d2 I, (cũng cùng bằng R 2 ) a 2 b 9 2 .
13
Thay 1 vào 2 ta thu được
2
2 2 3a 2 5a 12 2 2 2 2
a 2 5a 12 9 13
a 2 5a 3 13 a 2
a 2 2a 3 0
a 1
a 3
+) Thay a 1 vào 1 ta có b 7 I 1;7 . R 2 IA 2 32 22 13 . Vậy trong trường
2 2
hợp này C có phương trình x 1 y 7 13 .
3
+) Thay a 3 vào 1 ta có b 27 I 3;27 . R 2 IA 2 12 182 325 . Vậy trong
2 2
trường hợp này C có phương trình x 3 y 27 325 .
2 2 2 2
Tóm lại C : x 1 y 7 13 hoặc C : x 3 y 27 325 .
4
C. Bài tập
Bài 1. Lập phương trình đường tròn C biết
1) C có tâm I 1;3 , bán kính R 4 .
2) C có tâm I 2;3 , A 1; 2 C .
3) C đi qua các điểm A 1;2 , B 2; 3 và tâm I thuộc đường thẳng d : x 3y 1 0 .
4) C đi qua các điểm A 1;4 , B 4;0 và C 2; 2 .
5) C Có đường kính là đoạn thẳng AB với A 3;4 , B 2;7 .
6) C có tâm I 1;2 , tiếp xúc với đường thẳng d : 3x 4y 1 0 .
7) C có tâm I 2;3 , cắt đường thẳng d : 3x 4y 1 0 theo một dây cung có độ dài bằng 2 .
8) C đi qua A 2; 1 và tiếp xúc với các trục tọa độ.
9) C là đường tròn ngoại tiếp tam giác có các cạnh nằm trên các đường thẳng 5y x 2 ,
y x 2 và y 8 x .
10) C nội tiếp tam giác OAB với A 4;0 , B 0;3 .
Bài 2. [ĐHA07] Cho tam giác ABC có A 0;2 , B 2; 2 và C 4; 2 . Gọi H là chân
đường cao kẻ từ B ; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC . Viết phương
trình đường tròn đi qua các điểm H , M , N .
Bài 3. Cho ABC có AB : x y 2 0 , AC : 2x 6y 3 0 và M 1;1 là trung điểm cạnh
BC . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC .
Bài 4. [ĐHB09Chuẩn] Cho C : x 2 2 y 2 45 và hai đường thẳng 1 :x – y 0 ,
2 :x – 7y 0 . Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn C' biết C' tiếp xúc
với các đường thẳng 1 , 2 và tâm K thuộc (C) .
Bài 5. [ĐHB05] Cho hai điểm A 2;0 và B 6;4 . Viết phương trình đường tròn C tiếp xúc
với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của C đến điểm B bằng 5 .
Bài 6. Cho A 3;1 , B 0;7 , C 5;2 .
1) Chứng minh rằng ABC vuông và tính diện tích tam giác.
2) Giả sử điểm M chạy trên đường tròn ngoại tiếp ABC . Chứng minh rằng khi đó trọng tâm
G của MBC chạy trên một đường tròn, viết phương trình đường tròn đó.
5
Bài 7. [ĐHA10Chuẩn] Cho hai đường thẳng d1 : 3x y 0 và d 2 : 3x y 0 . Gọi T là
đường tròn tiếp xúc với d1 tại A , cắt d 2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông
3
tại B . Viết phương trình của T , biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có
2
hoành độ dương.
2
Bài 8. [ĐHD09NC] Cho C : x 1 y 2 1 . Gọi I là tâm của C . Tìm tọa độ điểm M
30o .
thuộc C sao cho IMO
D. Đáp số
Bài 1 1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
Bài 2 x2 y 2 x y 2 0 .
Bài 3 x2 y 2 x 3y 65 0 .
8
2 2
Bài 4 C' : x 85 y 54 258 .
Bài 5 C : x 2 2 y 7 2 49 hoặc C : x 2 2 y 1 2 1 .
2 2
Bài 6 1) S ABC 15
2
2) x 5
2
y 7 25 .
2 18
2 2
Bài 7 T : x 2 1 3 y 32 1 .
Bài 8 M 3 ; 3 .
2 2
6
Dạng 2. Vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng với đường tròn
A. Tóm tắt lý thuyết
* Vị trí tương đối giữa điểm và đường tròn: Xét đường tròn C có tâm I , bán kính R và
điểm M . Đặt d IM . Ta có
+) M nằm ngoài C d R .
+) M C d R .
+) M nằm trong C d R .
* Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn: Xét đường tròn C có tâm I , bán kính
R và đường thẳng . Đặt d d I, . Ta có
+) không có điểm chung với C d R .
+) tiếp xúc với C ( là tiếp tuyến của C ) d R .
+) cắt C tại 2 điểm phân biệt d R .
* Chú ý: Xét đường tròn C và điểm M . Ta có mối liên hệ giữa vị trí tương đối giữa M và
C với số tiếp tuyến qua M của C :
+) M nằm ngoài C : qua M tồn tại hai tiếp tuyến của C .
+) M C : qua M tồn tại duy nhất một tiếp tuyến của C . Tiếp tuyến
này nhận M làm tiếp điểm.
+) M nằm trong C : qua M không tồn tại tiếp tuyến của C .
B. Một số ví dụ
2 2
Ví dụ 1. Cho đường tròn C : x 1 y 2 16 và điểm A 1;6 . Chứng minh A nằm
ngoài C và viết phương trình các tiếp tuyến qua A 1;6 của C .
Giải
Ta có C là đường tròn tâm I 1;2 , bán kính R 4 .
IA 2;4 IA 4 16 2 5 R qua A có hai tiếp tuyến của C .
là đường thẳng qua A phương trình có dạng:
: a x 1 b y 6 0 : ax by a 6b 0 ( a 2 b 2 0 ).
7
a 2b a 6b 2 a 2b
Có d I, . là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi
a2 b2 a2 b2
2 a 0
2 a 2b 4b 2 2
d I, R 4 a 4ab
2 b2
4 3a 4ab 0 4b .
2
a b 2 a a
3
+) a 0 : b y 6 0 : y 6 0 ( a 0 b 0 ).
+) Từ a 4b , cho b 3 a 4 : 4x 3y 22 0
3
Vậy : y 6 0 hoặc : 4x 3y 22 0 .
Ví dụ 2. Cho C : x 2 y 2 2x 6y 9 0 .Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) biết:
1) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x y 0 .
2) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 3x 4y 0 .
3) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : 2x y 0 góc 45 .
Giải
2 2
Ta có C : x 1 y 3 1 C có tâm I 1;3 , bán kính R 1 . Gọi là tiếp tuyến
cần tìm.
1) d phương trình có dạng : x y c 0 .
1 3 c c 2
Ta có d I, . Do đó: là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi
2 2
c 2
d I, R 1
2
c2 2
c 2 2
c 2 2
c 2 2 2
c 2 2 2
: x y 2 2 2 0
.
: x y 2 2 2 0
Vậy : x y 2 2 2 0 hoặc : x y 2 2 2 0 .
2) d phương trình có dạng : 4x 3y c 0 .
8
4 9 c c 13
Ta có d I, . Do đó: là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi
5 5
c 13
d I, R 1
5
c 13 5
c 13 5
c 13 5
c 8
c 18
: 4x 3y 8 0
.
: 4x 3y 18 0
Vậy : 4x 3y 8 0 hoặc : 4x 3y 18 0 .
3) Xét đường thẳng nhận n a;b ( a 2 b 2 0 ) là một véc-tơ pháp tuyến. Ta có
,d 45 cos ,d cos 45
2a b
2
2
5 a2 b 2
2 2
4a 4ab b 1
5 a2 b 2 2
3a2 8ab 3b 2 0 1
* Thay b 0 vào 1 a 0 (loại).
* b 0 : chia cả hai vế 1 cho b 2 , đặt t a ta được
b
3t 2 8t 3 0
t 3
1.
t 3
+) t 3 a 3 a 3b . Cho b 1 a 3 Phương trình có dạng
b
: 3x y c 0 .
3 3 c c 6
d I, .
10 10
9
Do đó: là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi
c 6
d I, R 1
10
c 6 10
c 6 10
c 6 10
c 6 10
c 6 10
: x 3y 6 10 0
.
: x 3y 6 10 0
+) t 1 a 1 b 3a . Cho a 1 b 3 Phương trình có dạng
3 b 3
: x 3y c 0 .
1 9 c c8
d I, .
10 10
Do đó: là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi
c 8
d I, R 1
10
c 8 10
c 8 10
c 8 10
c 8 10
c 8 10
: x 3y 8 10 0
.
: x 3y 8 10 0
Vậy : 3x y 6 10 0 , hoặc : 3x y 6 10 0 ,
hoặc : x 3y 8 10 0 , hoặc x 3y 8 10 0 .
Ví dụ 3. Cho A 0; 3 và đường tròn C : x 2 y 2 6x 6y 7 0 . Lập PTĐT qua A , cắt
C theo một dây cung có độ dài bằng 10 .
10
Giải
2 2
Ta có C : x 3 y 3 25 C có tâm I 3;3 , bán kính R 5 .
là đường thẳng qua A
phương trình có dạng:
: ax b y 3 0
I N
hay : ax by 3b 0 ( a 2 b 2 0 ).
E
Giả sử cắt C tại M , N . Lấy I là trung
M
điểm của MN IE (bán kính đi qua
Δ
trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây
A
cung).
2
Ta có: d I, IE IM 2 ME 2 25 210 3 210 1 .
3a 3b 3b 3 a 2b
Lại có d I, 2 .
a2 b 2 a 2 b2
3 a 2b 2 2
Từ 1 , 2 suy ra 3 10 a 4ab
2
4b
2
52 3a 2 8ab 3b2 0 3 .
2
a2 b 2 a b
* Thay b 0 vào 3 a 0 (loại).
* b 0 : chia cả hai vế 3 cho b 2 , đặt t a ta được
b
3t 2 8t 3 0
t 1
3 .
t 3
+) t 1 a 1 b 3a . Cho a 1 b 3 : x 3y 9 0 .
3 b 3
+) t 3 a 3 a 3b . Cho b 1 a 3 : 3x y 3 0 .
b
Vậy : x 3y 9 0 hoặc : 3x y 3 0 .
11
Ví dụ 4. [ĐHA09NC] Cho C : x 2 y 2 4x 4y 6 0 và đường thẳng
: x my 2m 3 0 , với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn C . TÌm m để
cắt C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.
Ví dụ 5. [ĐHD11NC] Cho A 1;0 và đường tròn C : x 2 y 2 2x 4y 5 0 . Viết PTĐT
cắt C tại hai điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A .
Giải
2 2
Ta có C : x 1 y 2 10 C có tâm I 1; 2 , bán kính R 10 .
(C) IM IN cuøng baèng R
A
AM AN giaû thieát
IA là đường trung trực của MN
I
Δ IA 0;2
M N
phương trình có dạng y m .
Trước hết ta tìm điều kiện để cắt C tại hai điểm phân biệt 1 . Xét hệ
x 2 y 2 2x 4y 5 0 2
.
y m 3
Thay 3 vào 2 ta có x2 m 2 2x 4m 5 0
x2 2x m 2 4m 5 0 4 ( ' m 2 4m 6 ).
Do đó: 1 4 có hai nghiệm phân biệt ' 0 m 2 4m 6 0 5 .
x1 x 2 2
Gọi x1 , x 2 là các nghiệm của 4 2
6 .
x1x 2 m 4m 5
M x1;m
Khi đó
N x2 ;m
AM 1 x1 ; m
AN 1 x2 ; m
AM.AN 1 x1 1 x2 m m x1x 2 x1 x2 1 m 2 7 .
12
Thay 6 vào 7 ta có AM.AN m 2 4m 5 2 m 2 2m 2 4m 6 .
Do đó
AMN vuông tại A
AM.AN 0
2m 2 4m 6 0
m 1
(thỏa mãn 5 ).
m 3
: y 1
(thỏa mãn 5 ).
: y 3
Vậy : y 1 hoặc : y 3 .
Ví dụ 6. [ĐH11A11Chuẩn] Cho đường thẳng :xy2 0 và đường tròn
C : x 2 y 2 4x 2y 0 . Gọi I là tâm của C , M là một điểm thuộc . Qua điểm M kẻ
các tiếp tuyến MA và MB đến C ( A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ của điểm M biết
tứ giác MAIB có diện tích bằng 10 .
Giải
M 2 2
Ta có C : x 2 y 1 5 C có tâm I 2;1 , bán
x kính R 5 .
x A
Đặt x MA MB . Theo tính chất của tiếp tuyến đường tròn
B MBI
90 . Do đó
thì MAI
I SMAIB 2SMAI MA.IA x 5 .
Từ giả thiết suy ra: x 5 10 x2 5
MI 2 IA 2 MA 2 25 1 .
M tọa độ M có dạng
M m; m 2
IM m 2; m 3
2 2
MI 2 m 2 m 3 2m 2 2m 13 2 .
13
m 2 M 2; 4
Từ 1 và 2 suy ra: 2m 2 2m 13 25 m 2 m 6 0 .
m 3 M 3;1
Vậy M 2; 4 hoặc M 3;1 .
2 2
Ví dụ 7. [ĐHD07] Cho C : x 1 y 2 9 và d : 3x 4y m 0 . Tìm m để trên d
có duy nhất một điểm P sao cho từ P kẻ được đúng hai tiếp tuyến PA , PB tới C ( A , B là
các tiếp điểm) sao cho PAB đều.
Giải
Ta thấy C có tâm là I 1; 2 , bán kính R 3 .
Theo tính chất của hai tiếp tuyến kẻ từ
một điểm nằm ngoài đường tròn tới đường
(C') tròn thì PAB là tam giác cân tại P .
P
A 30o Ta có
(C) 60
PAB đều APB
o
60
30
API
I
B d
60
AIP
IP 2AI 2R 6
P thuộc đường
tròn C' có tâm I , bán kính R ' 6 .
Như vậy P d C' . Do đó
điểm P tồn tại duy nhất
d tiếp xúc với C'
d I,d R '
3 8 m
6
5
11 m 30
11 m 30
11 m 30
14
m 19
.
m 41
Vậy m 19 hoặc m 41 .
15
C. Bài tập
Bài 1. Xét vị trí tương đối giữa điểm M và đường tròn (C)
1) M 1;2 , C : x 2 y 2 2x 4y 4 0 ,
2) M 0; 1 , C : x 2 y 2 2x 4y 4 0 ,
3) M 1;2 , C : x 2 y 2 2x 4y 20 0 .
Bài 2. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn (C)
1) : 3x 4y 5 0 , C : x 2 y 2 4x 6y 12 0 .
2) : 3x 4y 23 0 , C : x 2 y 2 4x 6y 12 0 .
3) : 3x 4y 20 0 , C : x 2 y 2 4x 6y 12 0 .
Bài 3. Cho (C) : x 2 y 2 2x 8y 8 0 .Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) biết:
1) Tiếp tuyến đi qua A 4;0 .
2) Tiếp tuyến đi qua A 4; 6 .
Bài 4. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với Ox và đi qua điểm 0;1 . Tìm quỹ tích tâm
đường tròn đó.
D. Đáp số
Bài 1 1) 2) 3)
Bài 2 1) 2) 3)
Bài 3 1) 3x 4y 12 0 . 2) 3x 4y 12 0 , x 4 0 .
Bài 4 P : x2 2y 1 0 .
Ví dụ 4 m 0 hoặc m 8 .
15
16