Chuyên đề về dường tròn

  • 21 trang
  • file .pdf
Đường tròn
Dạng 1. Phương trình đường tròn
A. Tóm tắt lý thuyết
2 2
* Phương trình chính tắc: Phương trình  x  a    y  b   R 2 ( R  0 )
là phương trình chính tắc đường tròn tâm I  a;b  , bán kính R .
* Phương trình tổng quát: Phương trình x2  y 2  2ax  2by  c  0 ( a 2  b 2  c  0 ) là
phương trình tổng quát của đường tròn tâm I  a;b  , bán kính R  a 2  b 2  c .
* Chú ý (điều kiện tiếp xúc giữa đường thẳng và đường tròn): Cho đường tròn  C  có tâm
I , bán kính R và đường thẳng  . Khi đó:
 C  tiếp xúc với   R  d  I,   .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Lập phương trình đường tròn  C  tâm I  1; 2  trong các trường hợp sau
1)  C  có bán kính bằng 5 .
2)  C  đi qua điểm A  2;7  .
3)  C  tiếp xúc với đường thẳng  : 3x  2y  12  0 .
Giải
2 2
1)  C  có tâm I  1; 2  , bán kính bằng 5   C  :  x  1   y  2   25 .
2) Gọi R là bán kính của  C  . A   C   R 2  IA 2  32  92  90 .
2 2
Vậy  C  :  x  1   y  2   90 .
3.1 2. 2   12
3) Gọi R là bán kính của  C  .  C  tiếp xúc với   R  d  I,     19 .
3 2  22 13
2 2
Vậy  C  :  x  1   y  2   361 .
13
Ví dụ 2. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A  2;0  , B  3; 1 , C  3; 3  .
Giải
Gọi  C  là đường tròn đi qua ba điểm A  2;0  , B  3; 1 , C  3; 3  .
1
IA 2  IB 2
I  a;b  là tâm của  C   
IB 2  IC2
 a  2  2  b 2   a  3  2   b  1 2

 
 a  3  2   b  1 2   a  3  2   b  3 2
a  b  3
 
 b  2
a  1
 
 b  2
 I  1; 2  .
2 2
R là bán kính của  C   R 2  IA 2  5 . Vậy  C  :  x  1   y  2   5 .
Ví dụ 3. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A  1;4  , B  1;6  và có tâm thuộc
đường thẳng  : x  2y  4  0 .
Giải
Giả sử  C  là đường tròn cần lập phương trình và  C  có tâm I , bán kính R .
Cách 1: I    tọa độ I có dạng I  2a  4;a  .
 2 2
Ta có IA  2a  3; a  4   IA 2   2a  3    a  4   5a2  20a  25 .
 2 2
IB  2a  5;  a  6   IB 2   2a  5    a  6   5a 2  32a  61 .
Từ A , B   C   IA 2  IB 2 (cùng bằng R 2 )
 5a 2  20a  25  5a 2  32a  61
 a3
 I  2;3  .
2 2
Lại có R 2  IA 2  32  12  10 . Vậy  C  :  x  2    y  3   10 .
Cách 2: Gọi M là trung điểm của AB  IM  AB (bán kính đi qua trung điểm của dây cung
thì vuông góc với dây cung).

Ta có M là trung điểm của AB  M  0;5  , AB  2;2  .
2
B IM qua M  0;5 
   IM : x   y  5   0
M IM  AB  2;2    1; 1
A
 IM : x  y  5  0 .
I
Δ
x  y  5  0
I  IM    I :   I  2;3  .
 x  2y  4  0
2 2
R 2  IA 2  32  12  10 . Vậy  C  :  x  2    y  3   10 .
Ví dụ 4. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A  2;9  , B  3;10  và tiếp xúc với
đường thẳng  : 3x  2y  2  0 .
Giải
Giả sử  C  là đường tròn cần lập phương trình và  C  có tâm I  a;b  , bán kính R .
 2 2
Ta có IA   2  a;9  b   IA 2   a  2    b  9  ,
 2 2
IB   3  a;10  b   IB 2   a  3    b  10  ,
3a  2b  2
d  I,    .
13
2 2 2 2
Từ IA 2  IB 2 (cùng bằng R 2 )   a  2    b  9    a  3    b  10 
 b  5a  12  1 .
2 2  3a  2b  2  2
Lại có IA 2  d2  I,   (cũng cùng bằng R 2 )   a  2    b  9    2 .
13
Thay  1 vào  2  ta thu được
2
2 2  3a  2 5a  12   2  2 2 2
 a  2    5a  12   9    13
  a  2    5a  3   13  a  2 
 a 2  2a  3  0
a  1
 
a  3
+) Thay a  1 vào  1 ta có b  7  I  1;7  . R 2  IA 2  32  22  13 . Vậy trong trường
2 2
hợp này  C  có phương trình  x  1   y  7   13 .
3
+) Thay a  3 vào  1 ta có b  27  I  3;27  . R 2  IA 2  12  182  325 . Vậy trong
2 2
trường hợp này  C  có phương trình  x  3    y  27   325 .
2 2 2 2
Tóm lại  C  :  x  1   y  7   13 hoặc  C  :  x  3    y  27   325 .
4
C. Bài tập
Bài 1. Lập phương trình đường tròn  C  biết
1)  C  có tâm I  1;3  , bán kính R  4 .
2)  C  có tâm I  2;3  , A  1; 2    C  .
3)  C  đi qua các điểm A  1;2  , B  2; 3  và tâm I thuộc đường thẳng d : x  3y  1  0 .
4)  C  đi qua các điểm A  1;4  , B  4;0  và C  2; 2  .
5)  C  Có đường kính là đoạn thẳng AB với A  3;4  , B  2;7  .
6)  C  có tâm I  1;2  , tiếp xúc với đường thẳng d : 3x  4y  1  0 .
7)  C  có tâm I  2;3  , cắt đường thẳng d : 3x  4y  1  0 theo một dây cung có độ dài bằng 2 .
8)  C  đi qua A  2; 1 và tiếp xúc với các trục tọa độ.
9)  C  là đường tròn ngoại tiếp tam giác có các cạnh nằm trên các đường thẳng 5y  x  2 ,
y  x  2 và y  8  x .
10)  C  nội tiếp tam giác OAB với A  4;0  , B  0;3  .
Bài 2. [ĐHA07] Cho tam giác ABC có A  0;2  , B  2; 2  và C  4; 2  . Gọi H là chân
đường cao kẻ từ B ; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC . Viết phương
trình đường tròn đi qua các điểm H , M , N .
Bài 3. Cho ABC có AB : x  y  2  0 , AC : 2x  6y  3  0 và M  1;1 là trung điểm cạnh
BC . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC .
Bài 4. [ĐHB09Chuẩn] Cho  C  :  x  2  2  y 2  45 và hai đường thẳng 1 :x – y  0 ,
 2 :x – 7y  0 . Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn  C' biết  C' tiếp xúc
với các đường thẳng 1 ,  2 và tâm K thuộc (C) .
Bài 5. [ĐHB05] Cho hai điểm A  2;0  và B  6;4  . Viết phương trình đường tròn  C  tiếp xúc
với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của  C  đến điểm B bằng 5 .
Bài 6. Cho A  3;1 , B  0;7  , C  5;2  .
1) Chứng minh rằng ABC vuông và tính diện tích tam giác.
2) Giả sử điểm M chạy trên đường tròn ngoại tiếp ABC . Chứng minh rằng khi đó trọng tâm
G của MBC chạy trên một đường tròn, viết phương trình đường tròn đó.
5
Bài 7. [ĐHA10Chuẩn] Cho hai đường thẳng d1 : 3x  y  0 và d 2 : 3x  y  0 . Gọi  T  là
đường tròn tiếp xúc với d1 tại A , cắt d 2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông
3
tại B . Viết phương trình của  T  , biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có
2
hoành độ dương.
2
Bài 8. [ĐHD09NC] Cho  C  :  x  1  y 2  1 . Gọi I là tâm của  C  . Tìm tọa độ điểm M
  30o .
thuộc  C  sao cho IMO
D. Đáp số
Bài 1 1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
Bài 2 x2  y 2  x  y  2  0 .
Bài 3 x2  y 2  x  3y  65  0 .
8
2 2
Bài 4  C'  :  x  85    y  54   258 .
Bài 5  C :  x  2  2   y  7  2  49 hoặc  C :  x  2  2   y  1 2  1 .
2 2
Bài 6 1) S ABC  15
2 
2) x  5
2
  y  7   25 .
2 18
2 2
Bài 7  T  :  x  2 1 3    y  32   1 .
 
Bài 8 M  3 ;  3  .
2 2 
6
Dạng 2. Vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng với đường tròn
A. Tóm tắt lý thuyết
* Vị trí tương đối giữa điểm và đường tròn: Xét đường tròn  C  có tâm I , bán kính R và
điểm M . Đặt d  IM . Ta có
+) M nằm ngoài  C   d  R .
+) M   C   d  R .
+) M nằm trong  C   d  R .
* Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn: Xét đường tròn  C  có tâm I , bán kính
R và đường thẳng  . Đặt d  d  I,   . Ta có
+)  không có điểm chung với  C   d  R .
+)  tiếp xúc với  C  (  là tiếp tuyến của  C  )  d  R .
+)  cắt  C  tại 2 điểm phân biệt  d  R .
* Chú ý: Xét đường tròn  C  và điểm M . Ta có mối liên hệ giữa vị trí tương đối giữa M và
 C  với số tiếp tuyến qua M của  C  :
+) M nằm ngoài  C  : qua M tồn tại hai tiếp tuyến của  C  .
+) M   C  : qua M tồn tại duy nhất một tiếp tuyến của  C  . Tiếp tuyến
này nhận M làm tiếp điểm.
+) M nằm trong  C  : qua M không tồn tại tiếp tuyến của  C  .
B. Một số ví dụ
2 2
Ví dụ 1. Cho đường tròn  C  :  x  1   y  2   16 và điểm A  1;6  . Chứng minh A nằm
ngoài  C  và viết phương trình các tiếp tuyến qua A  1;6  của  C  .
Giải
Ta có  C  là đường tròn tâm I  1;2  , bán kính R  4 .

IA  2;4   IA  4  16  2 5  R  qua A có hai tiếp tuyến của  C  .
 là đường thẳng qua A  phương trình  có dạng:
 : a  x  1  b  y  6   0   : ax  by  a  6b  0 ( a 2  b 2  0 ).
7
a  2b  a  6b 2 a  2b
Có d  I,     .  là tiếp tuyến của  C  khi và chỉ khi
a2  b2 a2  b2
2 a  0
2 a  2b  4b 2 2
d  I,    R   4  a  4ab
2  b2
 4  3a  4ab  0   4b .
2
a b 2 a  a  
 3
+) a  0   : b  y  6   0   : y  6  0 ( a  0  b  0 ).
+) Từ a   4b , cho b  3  a  4   : 4x  3y  22  0
3
Vậy  : y  6  0 hoặc  : 4x  3y  22  0 .
Ví dụ 2. Cho  C  : x 2  y 2  2x  6y  9  0 .Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) biết:
1) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x  y  0 .
2) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 3x  4y  0 .
3) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : 2x  y  0 góc 45 .
Giải
2 2
Ta có  C  :  x  1   y  3   1   C  có tâm I  1;3  , bán kính R  1 . Gọi  là tiếp tuyến
cần tìm.
1)   d  phương trình  có dạng  : x  y  c  0 .
1 3  c c 2
Ta có d  I,     . Do đó:  là tiếp tuyến của  C  khi và chỉ khi
2 2
c 2
d  I,    R  1
2
 c2  2
c  2  2
 
 c  2   2
c  2  2 2
 
 c  2  2 2
 : x  y  2  2 2  0
  .
  : x  y  2  2 2  0
Vậy  : x  y  2  2 2  0 hoặc  : x  y  2  2 2  0 .
2)   d  phương trình  có dạng  : 4x  3y  c  0 .
8
4 9 c c  13
Ta có d  I,     . Do đó:  là tiếp tuyến của  C  khi và chỉ khi
5 5
c  13
d  I,    R  1
5
 c  13  5
 c  13  5
 
 c  13  5
c  8
 
 c   18
  : 4x  3y  8  0
  .
  : 4x  3y  18  0
Vậy  : 4x  3y  8  0 hoặc  : 4x  3y  18  0 .

3) Xét đường thẳng  nhận n  a;b  ( a 2  b 2  0 ) là một véc-tơ pháp tuyến. Ta có
  ,d   45  cos   ,d   cos 45
2a  b
  2
2

5 a2  b 2 
2 2
 4a  4ab  b  1

5 a2  b 2  2
 3a2  8ab  3b 2  0  1
* Thay b  0 vào  1  a  0 (loại).
* b  0 : chia cả hai vế  1 cho b 2 , đặt t  a ta được
b
3t 2  8t  3  0
t  3
  1.
 t   3
+) t  3  a  3  a  3b . Cho b  1  a  3  Phương trình  có dạng
b
 : 3x  y  c  0 .
3 3 c c 6
 d  I,     .
10 10
9
Do đó:  là tiếp tuyến của  C  khi và chỉ khi
c 6
d  I,    R  1
10
 c  6  10
 c  6  10
 
 c  6   10
 c  6  10
 
 c  6  10
  : x  3y  6  10  0
  .
  : x  3y  6  10  0
+) t   1  a   1  b  3a . Cho a  1  b  3  Phương trình  có dạng
3 b 3
 : x  3y  c  0 .
1 9  c c8
 d  I,     .
10 10
Do đó:  là tiếp tuyến của  C  khi và chỉ khi
c 8
d  I,    R  1
10
 c  8  10
 c  8  10
 
 c  8   10
 c  8  10
 
 c  8  10
  : x  3y  8  10  0
  .
  : x  3y  8  10  0
Vậy  : 3x  y  6  10  0 , hoặc  : 3x  y  6  10  0 ,
hoặc  : x  3y  8  10  0 , hoặc x  3y  8  10  0 .
Ví dụ 3. Cho A  0; 3  và đường tròn  C  : x 2  y 2  6x  6y  7  0 . Lập PTĐT qua A , cắt
 C  theo một dây cung có độ dài bằng 10 .
10
Giải
2 2
Ta có  C  :  x  3    y  3   25   C  có tâm I  3;3  , bán kính R  5 .
 là đường thẳng qua A
 phương trình  có dạng:
 : ax  b  y  3   0
I N
hay  : ax  by  3b  0 ( a 2  b 2  0 ).
E
Giả sử  cắt  C  tại M , N . Lấy I là trung
M
điểm của MN  IE   (bán kính đi qua
Δ
trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây
A
cung).
2
Ta có: d  I,    IE  IM 2  ME 2  25   210   3 210  1 .
 
3a  3b  3b 3 a  2b
Lại có d  I,      2 .
a2  b 2 a 2  b2
3 a  2b 2 2
Từ  1 ,  2  suy ra  3 10  a  4ab
2
 4b
2
 52  3a 2  8ab  3b2  0  3  .
2
a2  b 2 a b
* Thay b  0 vào  3   a  0 (loại).
* b  0 : chia cả hai vế  3  cho b 2 , đặt t  a ta được
b
3t 2  8t  3  0
t  1
  3 .
 t   3
+) t  1  a  1  b  3a . Cho a  1  b  3   : x  3y  9  0 .
3 b 3
+) t   3  a  3  a   3b . Cho b  1  a  3   : 3x  y  3  0 .
b
Vậy  : x  3y  9  0 hoặc  : 3x  y  3  0 .
11
Ví dụ 4. [ĐHA09NC] Cho  C : x 2  y 2  4x  4y  6  0 và đường thẳng
 : x  my  2m  3  0 , với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn  C  . TÌm m để
 cắt  C  tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.
Ví dụ 5. [ĐHD11NC] Cho A  1;0  và đường tròn  C  : x 2  y 2  2x  4y  5  0 . Viết PTĐT 
cắt  C  tại hai điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A .
Giải
2 2
Ta có  C  :  x  1   y  2   10   C  có tâm I  1; 2  , bán kính R  10 .
(C) IM  IN  cuøng baèng R 
A 
 AM  AN  giaû thieát 
 IA là đường trung trực của MN
I 
Δ    IA  0;2 
M N
 phương trình  có dạng y  m .
Trước hết ta tìm điều kiện để  cắt  C  tại hai điểm phân biệt  1 . Xét hệ
 x 2  y 2  2x  4y  5  0  2
 .
 y  m  3
Thay  3  vào  2  ta có x2  m 2  2x  4m  5  0
 x2  2x  m 2  4m  5  0  4  (  '   m 2  4m  6 ).
Do đó:  1   4  có hai nghiệm phân biệt   '  0  m 2  4m  6  0  5  .
 x1  x 2  2
Gọi x1 , x 2 là các nghiệm của  4    2
 6 .
 x1x 2  m  4m  5
M  x1;m 
Khi đó 
 N  x2 ;m 

 AM  1  x1 ;  m 
  
 AN  1  x2 ;  m 
 
 AM.AN   1  x1  1  x2    m   m   x1x 2   x1  x2   1  m 2  7  .
12
 
 
Thay  6  vào  7  ta có AM.AN  m 2  4m  5  2  m 2  2m 2  4m  6 .
Do đó
 AMN vuông tại A
 
 AM.AN  0
 2m 2  4m  6  0
m  1
  (thỏa mãn  5  ).
 m  3
 : y  1
  (thỏa mãn  5  ).
  : y  3
Vậy  : y  1 hoặc  : y  3 .
Ví dụ 6. [ĐH11A11Chuẩn] Cho đường thẳng :xy2  0 và đường tròn
 C : x 2  y 2  4x  2y  0 . Gọi I là tâm của  C  , M là một điểm thuộc  . Qua điểm M kẻ
các tiếp tuyến MA và MB đến  C  ( A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ của điểm M biết
tứ giác MAIB có diện tích bằng 10 .
Giải
M 2 2
Ta có  C  :  x  2    y  1  5   C  có tâm I  2;1  , bán
x kính R  5 .
x A
Đặt x  MA  MB . Theo tính chất của tiếp tuyến đường tròn
B   MBI
  90 . Do đó
thì MAI
I SMAIB  2SMAI  MA.IA  x 5 .
Từ giả thiết suy ra: x 5  10  x2 5 
MI 2  IA 2  MA 2  25  1 .
M    tọa độ M có dạng
M  m;  m  2 

 IM  m  2; m  3 
2 2
 MI 2   m  2    m  3   2m 2  2m  13  2  .
13
m  2  M  2;  4 
Từ  1 và  2  suy ra: 2m 2  2m  13  25  m 2  m  6  0     .
 m  3  M  3;1
Vậy M  2; 4  hoặc M  3;1 .
2 2
Ví dụ 7. [ĐHD07] Cho  C  :  x  1   y  2   9 và d : 3x  4y  m  0 . Tìm m để trên d
có duy nhất một điểm P sao cho từ P kẻ được đúng hai tiếp tuyến PA , PB tới  C  ( A , B là
các tiếp điểm) sao cho PAB đều.
Giải
Ta thấy  C  có tâm là I  1; 2  , bán kính R  3 .
Theo tính chất của hai tiếp tuyến kẻ từ
một điểm nằm ngoài đường tròn tới đường
(C') tròn thì PAB là tam giác cân tại P .
P
A 30o Ta có
(C)   60
PAB đều  APB
o
60
  30
 API
I
B d
  60
 AIP
 IP  2AI  2R  6
  P  thuộc đường
tròn  C' có tâm I , bán kính R '  6 .
Như vậy P  d   C' . Do đó
điểm P tồn tại duy nhất
 d tiếp xúc với  C'
 d  I,d   R '
3  8 m
 6
5
 11  m  30
11  m  30
 
11  m  30
14
 m  19
  .
 m  41
Vậy m  19 hoặc m  41 .
15
C. Bài tập
Bài 1. Xét vị trí tương đối giữa điểm M và đường tròn (C)
1) M  1;2  ,  C  : x 2  y 2  2x  4y  4  0 ,
2) M  0; 1 ,  C  : x 2  y 2  2x  4y  4  0 ,
3) M  1;2  ,  C  : x 2  y 2  2x  4y  20  0 .
Bài 2. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng  và đường tròn (C)
1)  : 3x  4y  5  0 ,  C  : x 2  y 2  4x  6y  12  0 .
2)  : 3x  4y  23  0 ,  C  : x 2  y 2  4x  6y  12  0 .
3)  : 3x  4y  20  0 ,  C  : x 2  y 2  4x  6y  12  0 .
Bài 3. Cho (C) : x 2  y 2  2x  8y  8  0 .Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) biết:
1) Tiếp tuyến đi qua A  4;0  .
2) Tiếp tuyến đi qua A  4; 6  .
Bài 4. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với Ox và đi qua điểm  0;1 . Tìm quỹ tích tâm
đường tròn đó.
D. Đáp số
Bài 1 1) 2) 3)
Bài 2 1) 2) 3)
Bài 3 1) 3x  4y  12  0 . 2) 3x  4y  12  0 , x  4  0 .
Bài 4  P  : x2  2y  1  0 .
Ví dụ 4 m  0 hoặc m  8 .
15
16