Chuyên đề tiếp tuyến và sự tiếp xúc
- 22 trang
- file .pdf
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
Loại 1. Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm
A. Tóm tắt lý thuyết
Cho y f x C .
1. Tiếp tuyến tại một điểm y (C)
Tiếp tuyến với C tại M x0 ; f x0 là đường thẳng đi qua Δ
M và có hệ số góc f ' x0 . Như vậy, phương trình tiếp tuyến
với C tại M là
M(x0;f(x0))
: y f ' x0 x x0 f x0 .
O x
Ta cũng nói rằng: tiếp xúc với C hay C tiếp xúc hoặc
và C tiếp xúc nhau.
Chú ý. Khi nói đến tiếp tuyến của C tại M , ta phải hiểu rằng M thuộc C và M là nơi xảy
ra sự tiếp xúc.
2. Tiếp tuyến qua một điểm
Tiếp tuyến qua M của C là tiếp tuyến với C tại một điểm N nào đó. Chú ý rằng điểm M
có thể thuộc C hoặc không, trong trường hợp thuộc C thì M lại có thể là tiếp điểm hoặc
không (xem các hình vẽ ở dưới).
M
M
N N M≡N
(C) (C) (C)
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
B. Một số ví dụ
x2 x 1
Ví dụ 1. Cho y C . Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M có hoành độ
3x2 1
bằng 1 .
3x2 4 x 1
Giải. Ta có y ' 2
. Lần lượt thay x 1 vào các biểu thức của y và y ' , ta được
3x 2 1
1 1
y ' 1 và y 1 . Suy ra phương trình tiếp tuyến với C tại M là:
8 4
1 1 1 3
: y x 1 : y x .
8 4 8 8
Chú ý. Ta có thể dùng ký hiệu y và y ' thay cho f và f ' trong trường hợp bài toán chỉ đề cập
đến một hàm số.
Ví dụ 2. Cho y x 3 4 x 2 5 x 2 C . Viết phương trình các tiếp tuyến của C tại những
giao điểm của C với trục hoành.
Giải. Từ phương trình của C , cho y 0 ta được:
2 x 2
x 3 4 x 2 5 x 2 0 x 2 x 1 0 .
x 1
Suy ra C có hai giao điểm với trục hoành là M 1 2; 0 và M 2 1; 0 .
Từ y ' 3 x 2 8 x 5 suy ra y ' 2 1 , y ' 1 0 . Do đó phương trình tiếp tuyến với C tại
các điểm M 1 , M 2 lần lượt là:
1 : y 1. x 2 0 1 : y x 2 ,
2 : y 0. x 1 0 2 : y 0 .
2 3
Ví dụ 3. Cho y x x 2 2 x 2 C . Viết phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2
3
của C .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
Giải. Ta có
x0 1
y ' x0 2 2 x02 2 x0 2 2 x02 x0 2 0 .
x0 2
7 2
Ta có y 1 , y 2 . Suy ra các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
3 3
7 13
1 : y 2 x 1 1 : y 2 x ,
3 3
2 14
2 : y 2 x 2 2 : y 2x .
3 3
Ví dụ 4. Cho y x3 3x 2 12 x 5 C . Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của
C .
Giải. Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 của C là:
2
k f ' x0 3 x02 6 x0 12 3 x0 1 15 15 k 15 .
Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi x0 1 . Do đó k nhỏ nhất bằng 15 , đạt được khi và chỉ khi
x0 1 . Ta có f 1 9 , suy ra tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của C là:
: y 15 x 1 9 : y 15 x 6 .
Ví dụ 5. [ĐHB08] Cho y 4 x3 6 x 2 1 C . Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm
M 1; 9 của C .
Giải. Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x0 là:
: y y ' x0 x x0 f x0 : y 12 x02 12 x0 x x0 4 x03 6 x02 1 .
Điều kiện đi qua M 1; 9 tương đương với
5
x0
9 12 x 12 x0 1 x0 4 x 6 x 1 8 x 6 x 12 x0 10 0
2
0
3
0
2
0
3
0
2
0 4 .
x0 1
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
15
y ' x0
5 4 15 5 9 15 21
x0 : y x : y x .
4 y x0 9 4 4 16 4 4
16
y ' x0 24
x0 1 : y 24 x 1 9 : y 24 x 15 .
y x0 9
15 21
Vậy phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm M của C là : y x , : y 24 x 15 .
4 4
1 x
Ví dụ 6. Cho y x C . Chứng minh qua điểm I 1; 1 không tồn tại tiếp tuyến của
x 1
C .
Giải. Xét tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 của C
2 1 x0
: y f ' x0 x x0 f x0 : y 2 x x0 .
x0 1 x0 1
Điều kiện đi qua I 1; 1 nghĩa là
2 1 x0 2 1 x0
1 2 1 x0 1
x0 1 x0 1 x0 1 x0 1
3 x0 x0 1 3 x0
1 x0 .
x0 1 x0 1 0
Vậy không tồn tại x0 để đi qua I . Nói cách khác qua I không tồn tại tiếp tuyến của C .
Ví dụ 7. Cho y 4 x 2 3mx 6 C . Tìm m để C có tiếp tuyến đi qua A 1; 2 .
Giải. Phương trình tiếp tuyến với C tại điểm có hoành độ x0 là:
: y y ' x0 x x0 y x0 : y 8 x0 3m x x0 4 x02 3mx0 6 .
C có tiếp tuyến đi qua A 1; 2 khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với x0 :
2 8 x0 3m 1 x0 4 x02 3mx0 6 . *
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
Ta có
* 4 x02 8 x0 3m 8 0 ( ' 12m 48 ).
Do đó * có nghiệm khi và chỉ khi
' 0 12m 48 0 m 4 .
Vậy C có tiếp tuyến đi qua A 1; 2 khi và chỉ khi m 4 .
2x 1
Ví dụ 8. Cho y C . Tìm trên đường thẳng x 3 các điểm mà qua đó có tiếp tuyến của
x2
C .
Giải. Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x0 ( x0 2 ) là:
5 2 x0 1
: y y ' x0 x x0 y x0 : y 2 x x0 .
x0 2 x0 2
Điểm A nằm trên đường thẳng x 3 tọa độ A có dạng A 3; a .
Qua A có tiếp tuyến tới C khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với x0 :
5 2 x0 1
:a 2 3 x0 . 1
x0 2 x0 2
Ta thấy
a x0 2 2 5 3 x0 2 x0 1 x0 2 x0 2 0
1
x0 2 0
2
a x0 2 5 3 x0 2 x0 1 x0 2
a 2 x02 2 2a 1 x0 4a 17 0 . 2
Trường hợp 1. a 2 0 a 2 . Khi đó 2 trở thành
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
5
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
21
10 x0 21 0 x0 .
10
Trong trường hợp này 2 có nghiệm 1 có nghiệm.
Trường hợp 2. a 2 0 a 2 . Khi đó 2 là phương trình bậc hai có 5a 35 . Do đó,
trong trường hợp này 1 có nghiệm khi và chỉ khi 2 có nghiệm, tức là
0 5a 35 0 a 7 .
Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là A 3; a a 7 .
Ví dụ 9. [ĐHD02] Cho y x
2m 1 x m2
C và d : y x . Tìm m để C tiếp xúc với
x 1
d.
Giải. Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x0 ( x0 1 ) là:
2
m 1 2m 1 x0 m 2
: y y ' x0 x x0 y x0 : y x x0
x0 1 x0 1
2 2
m 1 m 1 2m 1 x0 m 2
: y x x0 .
x0 1 x0 1 x0 1
C tiếp xúc với d khi và chỉ khi tồn tại x0 sao cho hai đường thẳng và d trùng nhau. Tức là
hệ sau đây có nghiệm đối với x0
m 1 2
1
x0 1
2
. *
m 1 2m 1 x0 m2
x0 0
x0 1 x0 1
Ta có
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
m 1 2
1 1
x0 1
* .
2m 1 x0 m 2
x0 0 2
x0 1
x0 1 x0 1
1 x0 1 m 1 x0 m .
x 1 1 m x 2 m
0 0
m 1 m 2 m 1 1 vô nghiệm * vô nghiệm.
x0 m
m 1 : 1 . Thay x0 m vào vế trái của 2 ta có
x0 2 m
VT 2 m
2m 1 m m2 0
m 1
x0 m là một nghiệm của * * có nghiệm.
Vậy C tiếp xúc với d khi và chỉ khi m 1 .
Ví dụ 10. Cho y x 4 8 x 2 7 C . Tìm m để đường thẳng d : y 60 x m tiếp xúc với C .
Với mỗi m tìm được, hãy chỉ ra hoành độ tiếp điểm của d và C .
Giải
Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x0 là:
: y y ' x0 x x0 y x0 : y y ' x0 x x0 y ' x0 y x0 .
C tiếp xúc với d khi và chỉ khi tồn tại x0 sao cho và d trùng nhau, điều đó có nghĩa là hệ
sau đây có nghiệm đối với x0
y ' x0 60 y ' x0 60 1
.
x0 y ' x0 y x0 m m 60 x0 y x0 2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
7
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
1 4 x03 16 x0 60 x0 3 . Thay x0 3 vào 2 ta có m 164 .
Vậy d tiếp xúc với C khi và chỉ khi m 164 . Khi đó hoành độ tiếp điểm là x0 3 .
C. Bài tập
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của C biết rằng
1) C là đồ thị hàm số y x 4 2 x 2 3 và hoành độ tiếp điểm bằng 2 .
x2 3x 4
2) C là đồ thị hàm số y và tiếp điểm là giao điểm của C với trục tung.
x 1
19
3) C là đồ thị hàm số y 2 x3 3x 2 5 và tiếp tuyến đi qua A ; 4 .
12
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của C biết
1) C là đồ thị hàm số y x3 3x 2 5 x 1 , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
1
2) C là đồ thị hàm số y x 3 x 2 5 x 2 , tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
3
3) C là đồ thị hàm số y x 5 5 x 4 , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
4) C là đồ thị hàm số y x5 10 x 2 , tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
1 3
Bài 3. Cho y x mx 2 x m 1 C . Tìm m để hệ số góc của tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ
3
nhất của đồ thị là 10 . Viết phương trình các tiếp tuyến đó.
Bài 4. Cho y 2 x3 3 x 2 12 x 1 C . Tìm những điểm thuộc C mà tiếp tuyến tại đó đi qua
gốc tọa độ.
x
Bài 5. Cho y C . Chứng minh rằng qua I 1;1 của C , không tồn tại tiếp tuyến nào
x 1
của C .
xm
Bài 6. Tìm m sao cho đồ thị hàm số y có tiếp tuyến đi qua điểm A 0; 2 .
x 1 m
D. Hướng dẫn và đáp số
21 645
Bài 1. 1) y 24 x 43 . 2) y 7 x 4 . 3) y 12 x 15 , y 32 x 128 , y 4.
Bài 2. 1) y 2 x 2 . 2) y 6 x 73 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
8
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
3) Hướng dẫn: f ' x0 5 x04 20 x03 5 x03 x0 4 . f ' x0 min 4 x0 0 . Áp dụng BĐT
Cô-si cho các số dương x0 , x0 , x0 , 3 x0 12 ta có:
4
x x0 x0 3x0 12
x0 x0 x0 3x0 12 0 81
4
f ' x0 135 , dấu “ ” xảy ra x0 3 .
phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của C là d : y 135 x 243 .
4) d : y 15 x 6 .
2
Bài 3. Hướng dẫn: ta có y ' x 2 2mx 1 x m m 2 1 m 2 1 . Dấu “ ” xảy ra
x m . Vậy tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng
m và hệ số góc của tiếp tuyến này là m 2 1 . Ta có m 2 1 10 m 3 . Với m 3 , tiếp
tuyến cần tìm là d1 : y 10 x 11 . Với m 3 , tiếp tuyến cần tìm là d 2 : y 10 x 13 .
Bài 4. M 1;12 .
2
Bài 6. m 1.
3
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
9
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
Loại 2. Một số tính chất hình học của tiếp tuyến
A. Tóm tắt lý thuyết
Phần này sử dụng một số kiến thức sau:
1. Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc
Cho 1 : y k1 x m1 và 2 : y k2 x m2 . Ta có:
k k2
1 2 1 ;
m
1 m 2
k k2
1 2 1 ;
m1 m2
1 2 k1k2 1 ;
Cho 0 ;90 , ta có
k1 k2
1 tạo với 2 góc tan ;
1 k1k2
Đặc biệt nếu k2 0 thì: 1 tạo với 2 góc k1 tan .
2. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
Cho điểm M x0 ; y0 và đường thẳng : ax by c 0 ( a 2 b 2 0 ). Ta có công thức tính
khoảng cách từ M đến :
ax0 by0 c
d M ; .
a 2 b2
3. Giao điểm của hai đường thẳng
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ gồm các phương trình đường thẳng.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
10
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHD10] Cho y x 4 x 2 6 C . Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường
1
thẳng d : y x 1 của C .
6
Giải. là tiếp tuyến với C tại điểm có hoành độ x0 thì có hệ số góc là f ' x0 .
1
d f ' x0 1 f ' x0 6 4 x03 2 x0 6 x0 1 .
6
x0 1 f x0 4 : y 6 x 1 4 : y 6 x 10 .
Vậy tiếp tuyến vuông góc với d của C là : y 6 x 10 .
1 3 m 2 1
Ví dụ 2. [ĐHD05] Cho y x x Cm . Gọi M là điểm thuộc Cm có hoành độ
3 2 3
bằng 1 . Tìm m để tiếp tuyến tại M của Cm song song với đường thẳng d : 5 x y 0 .
Giải. Phương trình tiếp tuyến tại M của Cm là:
m m
: y f ' 1 x 1 f 1 : y m 1 x 1 : y m 1 x 1 .
2 2
m 1 5
Ta có d : y 5 x . Do đó d m m4.
2 1 0
Vậy tiếp tuyến tại M của Cm song song với đường thẳng d m 4 .
Ví dụ 3. Cho y 2 x3 4 x 2 x C . Viết phương trình các tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến
tạo với Ox góc 45 .
Giải. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 của C là:
k f ' x0 6 x02 8 x0 1 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
11
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
k 1
, Ox 45 k tan 45 .
k 1
x0 0
k 1 6 x02 8 x0 1 1 4
.
x0 3
+) x0 0 f x0 0 : y x .
+) x0 43 f x0 27
28
: y 1. x 43 27
28
: y x 64
27 .
x0 1
k 1 6 x02 8 x0 1 1 1
.
x0 3
+) x0 1 f x0 1 : y x 1 1 : y x .
+) x0 13 f x0 271 : y x 13 271 : y x 278 .
Các tiếp tuyến tạo với Ox góc 45 của C là: y x , : y x 64 8
27 , y x , y x 27 .
Ví dụ 4. Cho f x mx 4 3m 241 x 2 2 Cm . Gọi A và B lần lượt là các điểm có hoành
độ bằng 1 và 2 của Cm . Tìm m để các tiếp tuyến của Cm tại A và B vuông góc với
nhau.
Giải. Ta có f ' x 4mx 3 6m 121 x hệ số góc các tiếp tuyến của Cm tại A và B lần
lượt là: f ' 1 10m 121 và f ' 2 44m 16 . Do đó các tiếp tuyến của Cm tại A và B
vuông góc với nhau khi và chỉ khi
m 241
f ' 1 . f ' 2 1 10m 121 44m 61 1 440m 2 163 m 72
71
0 71
.
m 1320
1 x
Ví dụ 5. Cho y C . Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến cách
2x 1
1 1 3
I ; một khoảng bằng .
2 2 10
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
12
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
1
Giải. Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x0 ( x0 ) là:
2
1 x
: y f ' x0 x x0 f x0 : y 3 2 x x0 2 x0 01
2 x 1 0
1 x 2
: y 2 x31 2 x x0 2 x0 01 : 3x 2 x0 1 y 2 x02 4 x0 1 0 .
0
2
32 12 2 x0 1 2 x02 4 x0 1 3 2 x0 1
d I; 4
4
.
9 2 x0 1 9 2 x0 1
Do đó:
3 2 x0 1 4 2
d A; 310 4
3
10 2 x0 1 10 2 x0 1 9 0
9 2 x0 1
x0 0
2 x0 1 1 2 x 1
0
.
2 x0 1 2 9 x0 1
x0 2
f ' x0 3
x0 0 : y 3 x 1 .
f x0 1
f ' x0 3
x0 1 : y 3 x 1 2 : y 3x 5 .
f x0 2
f ' x0 13
x0 1 : y 13 x 1 : y 13 x 31 .
f x0 0
f ' x0 3 1
x0 2 : y 13 x 2 1 : y 13 x 53 .
f x0 1
Vậy có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y 3x 1 , y 3 x 5 , y 13 x 13 ,
y 13 x 35 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
13
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
Ví dụ 6. Cho f x 3x21x C .Viết PTTT của C biết tiếp tuyến cách đều các điểm A 7; 6
và B 3;10 .
Giải. PTTT của C tại điểm có hoành độ x0 ( x0 1 ) là:
3 2 x
: y f ' x0 x x0 f x0 : y 5 2 x x0 x0 10
x 1 0
2
: 5 x x0 1 y 2 x02 6 x0 3 0 .
cách đều các điểm A và B khi và chỉ khi:
2 2
35 6 x0 1 2 x02 6 x0 3 15 10 x0 1 2 x02 6 x0 3
d A, d B ,
4 4
25 x0 1 25 x0 1
8 x02 6 x0 32 12 x02 14 x0 8 4 x02 3 x0 16 6 x02 7 x0 4
4 x02 3x0 16 6 x02 7 x0 4 x02 2 x0 6 0 ' 5 0 voâ nghieäm
2 2
4 x0 3x0 16 6 x0 7 x0 4
2
x0 x0 2 0
x0 1
.
x0 2
f ' x0 4 5
x0 1 : y 54 x 1 12 : y 54 x 74 .
f x0 2
1
f ' x0 5
x0 2 : y 5 x 2 7 : y 5 x 17 .
f x0 7
Vậy phương trình các tiếp tuyến cách đều A và B của C là: y 54 x 74 , y 5 x 17 .
Ví dụ 7. Cho f x 2xx11 C . Tìm tọa độ điểm M C sao cho khoảng cách từ điểm I 1; 2
tới tiếp tuyến của C tại M đạt giá trị lớn nhất.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
14
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
Giải. Giả sử x0 là hoành độ của M tiếp tuyến tại M của (C ) có phương trình:
3
: y f ' x0 x x0 f x0 : y 3
x0 12
x x0 2
x0 1
2
3 x x0 1 y 2 x02 x0 5 0
2
3 2 x0 1 2 x02 2 x0 1 6 x0 1
d I , 4
4
6
2
.
9 x0 1 9 x0 1 9
2
x0 1
x0 1
2
Theo bất đẳng thức Cô-si: 9
x0 1 2 9 6 , vậy d I , 6 . Đẳng thức xảy ra khi
x0 12
và chỉ khi
9 2 2
2
x0 1 x0 1 3 x0 1 3 .
x0 1
Vậy khoảng cách d I , lớn nhất bằng 6 , đạt được khi và chỉ khi x0 1 3
M 1 3 ; 2 3 hoặc M 1 3 ; 2 3
Ví dụ 8. [ĐHD07] Cho f x x2x1 C . Tìm tọa độ điểm M thuộc C biết tiếp tuyến của C
1
tại M cắt hai trục Ox , Oy tại A , B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng .
4
2
Giải. Ta có y ' 2
. Xét điểm M C , M có hoành độ x0 . Ta có PTTT với C tại M :
x 1
2
: y f x0 x x0 f x0 : y 2
x0 12
x x0 x2 x1 : y x 2x1 x2 x1 .
0
0
0
2
0
0
2
2
y 2 x 2 2 x0 2
A Ox A : x0 1
0
x0 1 A x 2 ; 0 ,
y 0
2
y 2 x 2 2 x0 2
B Oy B : x0 1
x 0
x0 1 B 0; 2 x0
2
x0 12
.
2 4
Ta có OA x02 , OB x2 x01 2 S ABC OA2.OB x x01 2 .
0 0
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
15
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
x04 4 2 2 x02 x0 1
SOAB 1
4 1
4 4x x0 1
0 2
x0 12
2 x0 x0 1
M 1;1
2 x02 x0 1 0 x0 1
2 1 .
2 x0 x0 1 0 7 0 voâ nghieäm
1
x
0 2 M ; 2
2
C. Bài tập
Bài 1. Viết PTTT của C biết rằng
2
1) [ĐHB06] C là ĐTHS y x xx21 và tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y x 1 .
2) C là ĐTHS y 12x2x1 và tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 4 x y 1 0 .
3) C là ĐTHS y 12 x3 21 x 2 2 x 1 và tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x 3 y 1 0 góc
45 .
Bài 2. Tìm tất cả các điểm trên đồ thị C của hàm số y 13 x3 x 32 mà tiếp tuyến tại đó vuông
góc với đường thẳng d : y 13 x 23 .
Bài 3. Cho y mx 4 12 2m x 2 3 Cm . Tìm m để tiếp tuyến của Cm tại các điểm có
3
hoành độ bằng 1 và 3 tạo với nhau một góc có cô-sin bằng 13
.
Bài 4. Cho y 13 mx3 m 1 x 2 3m 4 x 1 Cm . Tìm điều kiện của m để C m có tiếp
tuyến vuông góc với đường thẳng y x 2012 .
Bài 5. Cho y 3x x4 C . Viết PTTT của C biết tiếp tuyến cách A 4; 1 một khoảng bằng
7 2
5 .
Bài 6. Cho f x 3xx14 C . Viết PTTT của C biết khoảng cách từ điểm I 43 ; 13 tới tiếp
tuyến đạt giá trị lớn nhất.
Bài 7. [ĐHA09] Cho f x 2xx23 C . Viết PTTT của C biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ
tại các điểm A , B sao cho tam giác OAB cân tại O .
Bài 8. Cho f x 2xx31 C . Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến cắt các trục
tọa độ tại các điểm A , B sao cho trung trực của đoạn thẳng AB đi qua gốc tọa độ O .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
16
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
Bài 9. Cho f x x2x2 C . Viết PTTT của C biết rằng tiếp tuyến cắt các trục tọa độ Ox ,
Oy lần lượt tại hai điểm A , B phân biệt sao cho AB OA 2 .
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 1. 1) Có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là y x 2 2 5 , y x 2 2 5 .
2) Chỉ có một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y 4 x 7 .
3) Có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
y 12 x 21 , y 12 x 229 29
54 , y 2 x 1 , y 2 x 27 .
4
Bài 2. Trên C có hai điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với d là 2;0 và 2; .
3
7
Bài 3. m 481 hoặc m 240 .
Bài 4. Cm có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x 2012 phương trình
1
mx02 2 m 1 x0 3m 4 1 có nghiệm đối với x0 m 1 .
2
Bài 5. Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y 7 x 15 , y 7 x 43 , y 17 x 73 ,
y 17 x 257 .
Bài 6. Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y x 1 , y x 73 .
Bài 7. Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là y x 2 .
3 5
Bài 8. Các tiếp tuyến thõa mãn yêu cầu bài toán là y x , y x .
2 2
Bài 9. Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là y x 4 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
17
TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
Loại 1. Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm
A. Tóm tắt lý thuyết
Cho y f x C .
1. Tiếp tuyến tại một điểm y (C)
Tiếp tuyến với C tại M x0 ; f x0 là đường thẳng đi qua Δ
M và có hệ số góc f ' x0 . Như vậy, phương trình tiếp tuyến
với C tại M là
M(x0;f(x0))
: y f ' x0 x x0 f x0 .
O x
Ta cũng nói rằng: tiếp xúc với C hay C tiếp xúc hoặc
và C tiếp xúc nhau.
Chú ý. Khi nói đến tiếp tuyến của C tại M , ta phải hiểu rằng M thuộc C và M là nơi xảy
ra sự tiếp xúc.
2. Tiếp tuyến qua một điểm
Tiếp tuyến qua M của C là tiếp tuyến với C tại một điểm N nào đó. Chú ý rằng điểm M
có thể thuộc C hoặc không, trong trường hợp thuộc C thì M lại có thể là tiếp điểm hoặc
không (xem các hình vẽ ở dưới).
M
M
N N M≡N
(C) (C) (C)
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
B. Một số ví dụ
x2 x 1
Ví dụ 1. Cho y C . Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M có hoành độ
3x2 1
bằng 1 .
3x2 4 x 1
Giải. Ta có y ' 2
. Lần lượt thay x 1 vào các biểu thức của y và y ' , ta được
3x 2 1
1 1
y ' 1 và y 1 . Suy ra phương trình tiếp tuyến với C tại M là:
8 4
1 1 1 3
: y x 1 : y x .
8 4 8 8
Chú ý. Ta có thể dùng ký hiệu y và y ' thay cho f và f ' trong trường hợp bài toán chỉ đề cập
đến một hàm số.
Ví dụ 2. Cho y x 3 4 x 2 5 x 2 C . Viết phương trình các tiếp tuyến của C tại những
giao điểm của C với trục hoành.
Giải. Từ phương trình của C , cho y 0 ta được:
2 x 2
x 3 4 x 2 5 x 2 0 x 2 x 1 0 .
x 1
Suy ra C có hai giao điểm với trục hoành là M 1 2; 0 và M 2 1; 0 .
Từ y ' 3 x 2 8 x 5 suy ra y ' 2 1 , y ' 1 0 . Do đó phương trình tiếp tuyến với C tại
các điểm M 1 , M 2 lần lượt là:
1 : y 1. x 2 0 1 : y x 2 ,
2 : y 0. x 1 0 2 : y 0 .
2 3
Ví dụ 3. Cho y x x 2 2 x 2 C . Viết phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2
3
của C .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
Giải. Ta có
x0 1
y ' x0 2 2 x02 2 x0 2 2 x02 x0 2 0 .
x0 2
7 2
Ta có y 1 , y 2 . Suy ra các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
3 3
7 13
1 : y 2 x 1 1 : y 2 x ,
3 3
2 14
2 : y 2 x 2 2 : y 2x .
3 3
Ví dụ 4. Cho y x3 3x 2 12 x 5 C . Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của
C .
Giải. Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 của C là:
2
k f ' x0 3 x02 6 x0 12 3 x0 1 15 15 k 15 .
Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi x0 1 . Do đó k nhỏ nhất bằng 15 , đạt được khi và chỉ khi
x0 1 . Ta có f 1 9 , suy ra tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của C là:
: y 15 x 1 9 : y 15 x 6 .
Ví dụ 5. [ĐHB08] Cho y 4 x3 6 x 2 1 C . Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm
M 1; 9 của C .
Giải. Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x0 là:
: y y ' x0 x x0 f x0 : y 12 x02 12 x0 x x0 4 x03 6 x02 1 .
Điều kiện đi qua M 1; 9 tương đương với
5
x0
9 12 x 12 x0 1 x0 4 x 6 x 1 8 x 6 x 12 x0 10 0
2
0
3
0
2
0
3
0
2
0 4 .
x0 1
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
15
y ' x0
5 4 15 5 9 15 21
x0 : y x : y x .
4 y x0 9 4 4 16 4 4
16
y ' x0 24
x0 1 : y 24 x 1 9 : y 24 x 15 .
y x0 9
15 21
Vậy phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm M của C là : y x , : y 24 x 15 .
4 4
1 x
Ví dụ 6. Cho y x C . Chứng minh qua điểm I 1; 1 không tồn tại tiếp tuyến của
x 1
C .
Giải. Xét tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 của C
2 1 x0
: y f ' x0 x x0 f x0 : y 2 x x0 .
x0 1 x0 1
Điều kiện đi qua I 1; 1 nghĩa là
2 1 x0 2 1 x0
1 2 1 x0 1
x0 1 x0 1 x0 1 x0 1
3 x0 x0 1 3 x0
1 x0 .
x0 1 x0 1 0
Vậy không tồn tại x0 để đi qua I . Nói cách khác qua I không tồn tại tiếp tuyến của C .
Ví dụ 7. Cho y 4 x 2 3mx 6 C . Tìm m để C có tiếp tuyến đi qua A 1; 2 .
Giải. Phương trình tiếp tuyến với C tại điểm có hoành độ x0 là:
: y y ' x0 x x0 y x0 : y 8 x0 3m x x0 4 x02 3mx0 6 .
C có tiếp tuyến đi qua A 1; 2 khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với x0 :
2 8 x0 3m 1 x0 4 x02 3mx0 6 . *
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
Ta có
* 4 x02 8 x0 3m 8 0 ( ' 12m 48 ).
Do đó * có nghiệm khi và chỉ khi
' 0 12m 48 0 m 4 .
Vậy C có tiếp tuyến đi qua A 1; 2 khi và chỉ khi m 4 .
2x 1
Ví dụ 8. Cho y C . Tìm trên đường thẳng x 3 các điểm mà qua đó có tiếp tuyến của
x2
C .
Giải. Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x0 ( x0 2 ) là:
5 2 x0 1
: y y ' x0 x x0 y x0 : y 2 x x0 .
x0 2 x0 2
Điểm A nằm trên đường thẳng x 3 tọa độ A có dạng A 3; a .
Qua A có tiếp tuyến tới C khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với x0 :
5 2 x0 1
:a 2 3 x0 . 1
x0 2 x0 2
Ta thấy
a x0 2 2 5 3 x0 2 x0 1 x0 2 x0 2 0
1
x0 2 0
2
a x0 2 5 3 x0 2 x0 1 x0 2
a 2 x02 2 2a 1 x0 4a 17 0 . 2
Trường hợp 1. a 2 0 a 2 . Khi đó 2 trở thành
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
5
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
21
10 x0 21 0 x0 .
10
Trong trường hợp này 2 có nghiệm 1 có nghiệm.
Trường hợp 2. a 2 0 a 2 . Khi đó 2 là phương trình bậc hai có 5a 35 . Do đó,
trong trường hợp này 1 có nghiệm khi và chỉ khi 2 có nghiệm, tức là
0 5a 35 0 a 7 .
Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là A 3; a a 7 .
Ví dụ 9. [ĐHD02] Cho y x
2m 1 x m2
C và d : y x . Tìm m để C tiếp xúc với
x 1
d.
Giải. Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x0 ( x0 1 ) là:
2
m 1 2m 1 x0 m 2
: y y ' x0 x x0 y x0 : y x x0
x0 1 x0 1
2 2
m 1 m 1 2m 1 x0 m 2
: y x x0 .
x0 1 x0 1 x0 1
C tiếp xúc với d khi và chỉ khi tồn tại x0 sao cho hai đường thẳng và d trùng nhau. Tức là
hệ sau đây có nghiệm đối với x0
m 1 2
1
x0 1
2
. *
m 1 2m 1 x0 m2
x0 0
x0 1 x0 1
Ta có
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
m 1 2
1 1
x0 1
* .
2m 1 x0 m 2
x0 0 2
x0 1
x0 1 x0 1
1 x0 1 m 1 x0 m .
x 1 1 m x 2 m
0 0
m 1 m 2 m 1 1 vô nghiệm * vô nghiệm.
x0 m
m 1 : 1 . Thay x0 m vào vế trái của 2 ta có
x0 2 m
VT 2 m
2m 1 m m2 0
m 1
x0 m là một nghiệm của * * có nghiệm.
Vậy C tiếp xúc với d khi và chỉ khi m 1 .
Ví dụ 10. Cho y x 4 8 x 2 7 C . Tìm m để đường thẳng d : y 60 x m tiếp xúc với C .
Với mỗi m tìm được, hãy chỉ ra hoành độ tiếp điểm của d và C .
Giải
Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x0 là:
: y y ' x0 x x0 y x0 : y y ' x0 x x0 y ' x0 y x0 .
C tiếp xúc với d khi và chỉ khi tồn tại x0 sao cho và d trùng nhau, điều đó có nghĩa là hệ
sau đây có nghiệm đối với x0
y ' x0 60 y ' x0 60 1
.
x0 y ' x0 y x0 m m 60 x0 y x0 2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
7
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
1 4 x03 16 x0 60 x0 3 . Thay x0 3 vào 2 ta có m 164 .
Vậy d tiếp xúc với C khi và chỉ khi m 164 . Khi đó hoành độ tiếp điểm là x0 3 .
C. Bài tập
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của C biết rằng
1) C là đồ thị hàm số y x 4 2 x 2 3 và hoành độ tiếp điểm bằng 2 .
x2 3x 4
2) C là đồ thị hàm số y và tiếp điểm là giao điểm của C với trục tung.
x 1
19
3) C là đồ thị hàm số y 2 x3 3x 2 5 và tiếp tuyến đi qua A ; 4 .
12
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của C biết
1) C là đồ thị hàm số y x3 3x 2 5 x 1 , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
1
2) C là đồ thị hàm số y x 3 x 2 5 x 2 , tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
3
3) C là đồ thị hàm số y x 5 5 x 4 , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
4) C là đồ thị hàm số y x5 10 x 2 , tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
1 3
Bài 3. Cho y x mx 2 x m 1 C . Tìm m để hệ số góc của tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ
3
nhất của đồ thị là 10 . Viết phương trình các tiếp tuyến đó.
Bài 4. Cho y 2 x3 3 x 2 12 x 1 C . Tìm những điểm thuộc C mà tiếp tuyến tại đó đi qua
gốc tọa độ.
x
Bài 5. Cho y C . Chứng minh rằng qua I 1;1 của C , không tồn tại tiếp tuyến nào
x 1
của C .
xm
Bài 6. Tìm m sao cho đồ thị hàm số y có tiếp tuyến đi qua điểm A 0; 2 .
x 1 m
D. Hướng dẫn và đáp số
21 645
Bài 1. 1) y 24 x 43 . 2) y 7 x 4 . 3) y 12 x 15 , y 32 x 128 , y 4.
Bài 2. 1) y 2 x 2 . 2) y 6 x 73 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
8
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
3) Hướng dẫn: f ' x0 5 x04 20 x03 5 x03 x0 4 . f ' x0 min 4 x0 0 . Áp dụng BĐT
Cô-si cho các số dương x0 , x0 , x0 , 3 x0 12 ta có:
4
x x0 x0 3x0 12
x0 x0 x0 3x0 12 0 81
4
f ' x0 135 , dấu “ ” xảy ra x0 3 .
phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của C là d : y 135 x 243 .
4) d : y 15 x 6 .
2
Bài 3. Hướng dẫn: ta có y ' x 2 2mx 1 x m m 2 1 m 2 1 . Dấu “ ” xảy ra
x m . Vậy tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng
m và hệ số góc của tiếp tuyến này là m 2 1 . Ta có m 2 1 10 m 3 . Với m 3 , tiếp
tuyến cần tìm là d1 : y 10 x 11 . Với m 3 , tiếp tuyến cần tìm là d 2 : y 10 x 13 .
Bài 4. M 1;12 .
2
Bài 6. m 1.
3
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
9
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
Loại 2. Một số tính chất hình học của tiếp tuyến
A. Tóm tắt lý thuyết
Phần này sử dụng một số kiến thức sau:
1. Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc
Cho 1 : y k1 x m1 và 2 : y k2 x m2 . Ta có:
k k2
1 2 1 ;
m
1 m 2
k k2
1 2 1 ;
m1 m2
1 2 k1k2 1 ;
Cho 0 ;90 , ta có
k1 k2
1 tạo với 2 góc tan ;
1 k1k2
Đặc biệt nếu k2 0 thì: 1 tạo với 2 góc k1 tan .
2. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
Cho điểm M x0 ; y0 và đường thẳng : ax by c 0 ( a 2 b 2 0 ). Ta có công thức tính
khoảng cách từ M đến :
ax0 by0 c
d M ; .
a 2 b2
3. Giao điểm của hai đường thẳng
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ gồm các phương trình đường thẳng.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
10
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHD10] Cho y x 4 x 2 6 C . Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường
1
thẳng d : y x 1 của C .
6
Giải. là tiếp tuyến với C tại điểm có hoành độ x0 thì có hệ số góc là f ' x0 .
1
d f ' x0 1 f ' x0 6 4 x03 2 x0 6 x0 1 .
6
x0 1 f x0 4 : y 6 x 1 4 : y 6 x 10 .
Vậy tiếp tuyến vuông góc với d của C là : y 6 x 10 .
1 3 m 2 1
Ví dụ 2. [ĐHD05] Cho y x x Cm . Gọi M là điểm thuộc Cm có hoành độ
3 2 3
bằng 1 . Tìm m để tiếp tuyến tại M của Cm song song với đường thẳng d : 5 x y 0 .
Giải. Phương trình tiếp tuyến tại M của Cm là:
m m
: y f ' 1 x 1 f 1 : y m 1 x 1 : y m 1 x 1 .
2 2
m 1 5
Ta có d : y 5 x . Do đó d m m4.
2 1 0
Vậy tiếp tuyến tại M của Cm song song với đường thẳng d m 4 .
Ví dụ 3. Cho y 2 x3 4 x 2 x C . Viết phương trình các tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến
tạo với Ox góc 45 .
Giải. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 của C là:
k f ' x0 6 x02 8 x0 1 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
11
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
k 1
, Ox 45 k tan 45 .
k 1
x0 0
k 1 6 x02 8 x0 1 1 4
.
x0 3
+) x0 0 f x0 0 : y x .
+) x0 43 f x0 27
28
: y 1. x 43 27
28
: y x 64
27 .
x0 1
k 1 6 x02 8 x0 1 1 1
.
x0 3
+) x0 1 f x0 1 : y x 1 1 : y x .
+) x0 13 f x0 271 : y x 13 271 : y x 278 .
Các tiếp tuyến tạo với Ox góc 45 của C là: y x , : y x 64 8
27 , y x , y x 27 .
Ví dụ 4. Cho f x mx 4 3m 241 x 2 2 Cm . Gọi A và B lần lượt là các điểm có hoành
độ bằng 1 và 2 của Cm . Tìm m để các tiếp tuyến của Cm tại A và B vuông góc với
nhau.
Giải. Ta có f ' x 4mx 3 6m 121 x hệ số góc các tiếp tuyến của Cm tại A và B lần
lượt là: f ' 1 10m 121 và f ' 2 44m 16 . Do đó các tiếp tuyến của Cm tại A và B
vuông góc với nhau khi và chỉ khi
m 241
f ' 1 . f ' 2 1 10m 121 44m 61 1 440m 2 163 m 72
71
0 71
.
m 1320
1 x
Ví dụ 5. Cho y C . Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến cách
2x 1
1 1 3
I ; một khoảng bằng .
2 2 10
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
12
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
1
Giải. Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x0 ( x0 ) là:
2
1 x
: y f ' x0 x x0 f x0 : y 3 2 x x0 2 x0 01
2 x 1 0
1 x 2
: y 2 x31 2 x x0 2 x0 01 : 3x 2 x0 1 y 2 x02 4 x0 1 0 .
0
2
32 12 2 x0 1 2 x02 4 x0 1 3 2 x0 1
d I; 4
4
.
9 2 x0 1 9 2 x0 1
Do đó:
3 2 x0 1 4 2
d A; 310 4
3
10 2 x0 1 10 2 x0 1 9 0
9 2 x0 1
x0 0
2 x0 1 1 2 x 1
0
.
2 x0 1 2 9 x0 1
x0 2
f ' x0 3
x0 0 : y 3 x 1 .
f x0 1
f ' x0 3
x0 1 : y 3 x 1 2 : y 3x 5 .
f x0 2
f ' x0 13
x0 1 : y 13 x 1 : y 13 x 31 .
f x0 0
f ' x0 3 1
x0 2 : y 13 x 2 1 : y 13 x 53 .
f x0 1
Vậy có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y 3x 1 , y 3 x 5 , y 13 x 13 ,
y 13 x 35 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
13
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
Ví dụ 6. Cho f x 3x21x C .Viết PTTT của C biết tiếp tuyến cách đều các điểm A 7; 6
và B 3;10 .
Giải. PTTT của C tại điểm có hoành độ x0 ( x0 1 ) là:
3 2 x
: y f ' x0 x x0 f x0 : y 5 2 x x0 x0 10
x 1 0
2
: 5 x x0 1 y 2 x02 6 x0 3 0 .
cách đều các điểm A và B khi và chỉ khi:
2 2
35 6 x0 1 2 x02 6 x0 3 15 10 x0 1 2 x02 6 x0 3
d A, d B ,
4 4
25 x0 1 25 x0 1
8 x02 6 x0 32 12 x02 14 x0 8 4 x02 3 x0 16 6 x02 7 x0 4
4 x02 3x0 16 6 x02 7 x0 4 x02 2 x0 6 0 ' 5 0 voâ nghieäm
2 2
4 x0 3x0 16 6 x0 7 x0 4
2
x0 x0 2 0
x0 1
.
x0 2
f ' x0 4 5
x0 1 : y 54 x 1 12 : y 54 x 74 .
f x0 2
1
f ' x0 5
x0 2 : y 5 x 2 7 : y 5 x 17 .
f x0 7
Vậy phương trình các tiếp tuyến cách đều A và B của C là: y 54 x 74 , y 5 x 17 .
Ví dụ 7. Cho f x 2xx11 C . Tìm tọa độ điểm M C sao cho khoảng cách từ điểm I 1; 2
tới tiếp tuyến của C tại M đạt giá trị lớn nhất.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
14
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
Giải. Giả sử x0 là hoành độ của M tiếp tuyến tại M của (C ) có phương trình:
3
: y f ' x0 x x0 f x0 : y 3
x0 12
x x0 2
x0 1
2
3 x x0 1 y 2 x02 x0 5 0
2
3 2 x0 1 2 x02 2 x0 1 6 x0 1
d I , 4
4
6
2
.
9 x0 1 9 x0 1 9
2
x0 1
x0 1
2
Theo bất đẳng thức Cô-si: 9
x0 1 2 9 6 , vậy d I , 6 . Đẳng thức xảy ra khi
x0 12
và chỉ khi
9 2 2
2
x0 1 x0 1 3 x0 1 3 .
x0 1
Vậy khoảng cách d I , lớn nhất bằng 6 , đạt được khi và chỉ khi x0 1 3
M 1 3 ; 2 3 hoặc M 1 3 ; 2 3
Ví dụ 8. [ĐHD07] Cho f x x2x1 C . Tìm tọa độ điểm M thuộc C biết tiếp tuyến của C
1
tại M cắt hai trục Ox , Oy tại A , B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng .
4
2
Giải. Ta có y ' 2
. Xét điểm M C , M có hoành độ x0 . Ta có PTTT với C tại M :
x 1
2
: y f x0 x x0 f x0 : y 2
x0 12
x x0 x2 x1 : y x 2x1 x2 x1 .
0
0
0
2
0
0
2
2
y 2 x 2 2 x0 2
A Ox A : x0 1
0
x0 1 A x 2 ; 0 ,
y 0
2
y 2 x 2 2 x0 2
B Oy B : x0 1
x 0
x0 1 B 0; 2 x0
2
x0 12
.
2 4
Ta có OA x02 , OB x2 x01 2 S ABC OA2.OB x x01 2 .
0 0
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
15
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
x04 4 2 2 x02 x0 1
SOAB 1
4 1
4 4x x0 1
0 2
x0 12
2 x0 x0 1
M 1;1
2 x02 x0 1 0 x0 1
2 1 .
2 x0 x0 1 0 7 0 voâ nghieäm
1
x
0 2 M ; 2
2
C. Bài tập
Bài 1. Viết PTTT của C biết rằng
2
1) [ĐHB06] C là ĐTHS y x xx21 và tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y x 1 .
2) C là ĐTHS y 12x2x1 và tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 4 x y 1 0 .
3) C là ĐTHS y 12 x3 21 x 2 2 x 1 và tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x 3 y 1 0 góc
45 .
Bài 2. Tìm tất cả các điểm trên đồ thị C của hàm số y 13 x3 x 32 mà tiếp tuyến tại đó vuông
góc với đường thẳng d : y 13 x 23 .
Bài 3. Cho y mx 4 12 2m x 2 3 Cm . Tìm m để tiếp tuyến của Cm tại các điểm có
3
hoành độ bằng 1 và 3 tạo với nhau một góc có cô-sin bằng 13
.
Bài 4. Cho y 13 mx3 m 1 x 2 3m 4 x 1 Cm . Tìm điều kiện của m để C m có tiếp
tuyến vuông góc với đường thẳng y x 2012 .
Bài 5. Cho y 3x x4 C . Viết PTTT của C biết tiếp tuyến cách A 4; 1 một khoảng bằng
7 2
5 .
Bài 6. Cho f x 3xx14 C . Viết PTTT của C biết khoảng cách từ điểm I 43 ; 13 tới tiếp
tuyến đạt giá trị lớn nhất.
Bài 7. [ĐHA09] Cho f x 2xx23 C . Viết PTTT của C biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ
tại các điểm A , B sao cho tam giác OAB cân tại O .
Bài 8. Cho f x 2xx31 C . Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến cắt các trục
tọa độ tại các điểm A , B sao cho trung trực của đoạn thẳng AB đi qua gốc tọa độ O .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
16
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
Bài 9. Cho f x x2x2 C . Viết PTTT của C biết rằng tiếp tuyến cắt các trục tọa độ Ox ,
Oy lần lượt tại hai điểm A , B phân biệt sao cho AB OA 2 .
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 1. 1) Có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là y x 2 2 5 , y x 2 2 5 .
2) Chỉ có một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y 4 x 7 .
3) Có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
y 12 x 21 , y 12 x 229 29
54 , y 2 x 1 , y 2 x 27 .
4
Bài 2. Trên C có hai điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với d là 2;0 và 2; .
3
7
Bài 3. m 481 hoặc m 240 .
Bài 4. Cm có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x 2012 phương trình
1
mx02 2 m 1 x0 3m 4 1 có nghiệm đối với x0 m 1 .
2
Bài 5. Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y 7 x 15 , y 7 x 43 , y 17 x 73 ,
y 17 x 257 .
Bài 6. Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y x 1 , y x 73 .
Bài 7. Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là y x 2 .
3 5
Bài 8. Các tiếp tuyến thõa mãn yêu cầu bài toán là y x , y x .
2 2
Bài 9. Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là y x 4 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
17