Phương trình mũ
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Hàm số mũ
Định nghĩa: Hàm số mũ là hàm số có dạng y a x , trong đó hằng số a thỏa mãn
0 a 1 được gọi là cơ số.
Tập xác định và tập giá trị:
+) Tập xác đinh: ;
+) Tập giá trị: 0; .
Sự biến thiên: hàm y a x đồng biến khi a 1 , nghịch biến khi 0 a 1 .
Đồ thị:
y y
y=ax (a>1)
y=ax (0
1 1
O O x
x
Tính chất:
+) Với mọi 0 a 1 , x , y , n 2,3, ta có:
x
ax y
a x a y a x y ;
ay
a x y ; a x a xy ; n
ax an .
+) Với mọi 0 a , b 1 , x , ta có:
x
x ax a
a b ab ;
x x
.
bx b
2. Phương trình mũ cơ bản
Với 0 a 1 , ta có a f x a g x f x g x .
Với 0 a 1 , b 0 , ta có a f x b f x log a b .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [TN09] Giải phương trình 25 x 6.5 x 5 0 . 1
2
Ta thấy 5 x 25x . Do đó, nếu đặt t 5 x thì t 0 và 25 x t 2 . Phương trình 1 trở thành
t 1
t 2 6t 5 0 .
t 5
Thay t vào phương trình t 5 x , ta được
1
5 x 1 t 0
x .
5 5 t 1
Vậy tập nghiệm của 1 là 0,1 .
x x
Ví dụ 2. Giải phương trình 7 48 7 48 14 . 1
Giải
Ta thấy
x x x
7 48
7 48 1 1.
7 48 7 48 x
x x
1
Do đó nếu đặt t 7 48 thì t 0 và 7 48 . Khi đó, 1 trở thành
t
1 t 7 48
t 14 t 2 14t 1 0 .
t t 7 48
x
Thay t vào phương trình t 7 48 , ta được
x x
7 48
7 48
7 48 2
7 48
1
x 2 .
x x
7 48 7 48 2
7 48 7 48
Vậy tập nghiệm của 1 là 2 .
Ví dụ 3. Giải phương trình 4 x 1 6 x 18 9 x 0 . 1
Giải
Chia hai vế của 1 cho 9 x , ta được phương trình tương đương
x x
4 2
4 18 0 .
9 3
x x
2 4
Đặt t , suy ra t 0 và t 2 . Phương trình đã cho trở thành
3 9
t 2
4t t 18 0 9 .
2
t
4
Giá trị t 2 không thỏa mãn điều kiện t 0 . Thay giá trị còn lại của t vào phương trình
x
2
t , ta được
3
x x 2
2 9 2 2
x 2 .
3 4 3 3
2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 2 .
3x x
1 1
Ví dụ 4. Giải phương trình 8 x 1 8 3 2 x 3 125 24 . 1
2 2
Giải
Ta có
3 x 1 3 x x 1 x
1 8 2 24 2 125
2 2
x x
1 1
Đặt t 2 , suy ra t 2 2 x 2 và
x
2 2
x 3 3x x 3x 3x
1 1 1 1 1
t 2 x 23 x 3 2 x 23x 3t 23 x t 3 3t .
3
2 2 2 2 2
Với phép đặt ẩn phụ như thế, phương trình đã cho trở thành
5
8 t 3 3t 24t 125 t (thỏa mãn).
2
x
1 x
Thay giá trị tìm được của t vào phương trình t 2 , ta có
2
x
1 5
2x . 2
2 2
Lại đặt u 2 x , suy ra t 0 và 2 trở thành
u 2
1 5
u 2u 5u 2 0
2
.
u 2 u 1
2
Thay các giá trị tìm được của u trở lại phương trình u 2 x , ta được
2x 2
x 1
1 .
2
x
x 1
2
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 1 .
Ví dụ 5. Giải phương trình 6 x 3x 3 2 x 3 0 . 1
Giải
Ta có
1 3x 2x 1 3 2 x 1 0 3x 3 2 x 1 0
3 x 3 x 1
x .
2 1 x 0
3
2 2
Ví dụ 6. Giải phương trình 2 x x 1 21 x 1 2 x 2 8 0 . 1
Giải
Ta có
2
1 2 x 1 2 x 2 4 2 x 2 0 2 x 2 1
4 2x 2 0
2 x2 1 4 0 x2 1 2 x 3
.
2 x 2 0 x 1 x 1
x
Ví dụ 7. Giải phương trình 3x 8 x 2 6 . 1
Giải
Lấy lô-ga cơ số 3 hai vế của phương trình ta được
3x
x log 3 2 1 log 3 2 x 2 x 3 x log 3 2 1 log 3 2 x 2
x2
2
x 2 1 2 log 3 2 x 2 1 log 3 2 0 2 log 3 2 3
x 1
.
x 2 log 3 2 2
Ví dụ 8. Giải phương trình 3x 4 x 5 x . 1
Giải
Chia hai vế của phương trình cho 5x , ta được phương trình tương đương
x x
3 4
1. 2
5 5
x x
3 4 3 4
Ta thấy 0 , 1 nên f x là hàm nghịch biến. Do đó, phương trình 2
5 5 5 5
có nhiều nhất một nghiệm. Lại có f 2 1 , suy ra 2 có nghiệm duy nhất x 2 . Vậy 1
có nghiệm duy nhất x 2 .
x x 2x
Ví dụ 9. Giải phương trình 4 15 4 15 2 2 .
Giải
2x
Ta thấy 2 2 8 . Chia hai vế của phương trình cho 8 , ta được phương trình tương
x x
đương
x x
4 15 4 15
1 . 2
8 8
4
x x
4 15 4 15 4 15 4 15
Ta thấy 0 , 1 nên f x là hàm nghịch biến.
8 8 8 8
Do đó, phương trình 2 có nhiều nhất một nghiệm. Lại có f 1 1 , suy ra 2 có nghiệm
duy nhất x 1 . Vậy 1 có nghiệm duy nhất x 1 .
x 2
Ví dụ 10. Giải phương trình 3 25 3 x 10 5 x 2 3 x 0 . 1
( 2 , 2 log 5 3 )
Giải
Đặt t 5 x 2 , suy ra t 0 và phương trình 1 trở thành
t x 3
3t 3 x 10 t 3 x 0 ( 3 x 8 ) 1
2 2
.
t
3
Thay t x 3 vào phương trình t 5 x 2 , ta có phương trình
5 x 2 x 3 . 2
Ta thấy vế trái của phương trình 2 là hàm đồng biến, còn vế phải là hàm nghịch biến. Do
đó, 2 có tối đa một nghiệm. Dễ thấy x 2 là nghiệm của 2 . Vậy 2 có nghiệm duy
nhất x 2 .
1
Thay t vào phương trình t 5 x 2 , ta được
3
1
5 x2 x 2 log5 3 x 2 log5 3 .
3
Vậy tập nghiệm của phương trình 1 là 2; 2 log 5 3 .
5
C. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình
1) [TN11] 7 2 x 1 8.7 x 1 0 . ĐS: 0 , 1 .
2) 4 x 1 6.2 x 1 8 0 . ĐS: 0 , 1 .
3) 8 x 2.4 x 2 x 2 0 . ĐS: 0 .
4) 4.9 x 12 x 3.16 x 0 . ĐS: 1 .
5) 32 x 1 4.3 x1 27 0 . ĐS: vô nghiệm.
6) 3.25x 2.49 x 5.35 x . ĐS: 0 , log 7 32 .
5
7) 31 x 31 x 10 . ĐS: 1 .
8) 3x 32 x 10 . ĐS: 0 , 2 .
9) 32 x 4 45.6 x 9.2 2 x 2 0 . ĐS: 2 .
10) 32 x1 32 x 108 . ĐS: 2 .
11) 3.4 x 2.6 x 9 x . ĐS: 0 .
12) 64 x 8 x 56 0 . ĐS: 1 .
13) 4 x 3.2 x 2 0 . ĐS: 0 , 1 .
14) 3x 3 x 2 8 0 . ĐS: 0 .
15) 9 x 3x1 4 0 . ĐS: log 3 4 .
16) 2 2 x 1 2 x 3 64 0 . ĐS: 3 .
17) 6.9 x 13.6 x 6.4 x 0 . ĐS: 1 .
18) [A06] 3.8 x 4.12 x 18 x 2.27 x 0 .
2 2
19) [D03] 2 x x 2 2 x x 3 .
20) 4.32 x 9.22 x 5.6 x .
21) 4.32 x 9.22 x 5.6 x .
22) 2.4 x 6 x 9 x 0 .
23) 4 x 2.6 x 3.9 x 0 .
24) 8 x 18x 2.27 x .
25) 125 x 50 x 23 x1 .
x x
26) 2 3 2 3 4 .
x x
27) 1 2 2. 2 1 3 . ĐS: 0 , log1 2 2 .
x x
28) 7 4 3 3. 2 3 2 0
6