Chuyên đề phương trình mũ

  • 8 trang
  • file .pdf
Phương trình mũ
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Hàm số mũ
 Định nghĩa: Hàm số mũ là hàm số có dạng y  a x , trong đó hằng số a thỏa mãn
0  a  1 được gọi là cơ số.
 Tập xác định và tập giá trị:
+) Tập xác đinh:  ;
+) Tập giá trị:  0;   .
 Sự biến thiên: hàm y  a x đồng biến khi a  1 , nghịch biến khi 0  a  1 .
 Đồ thị:
y y
y=ax (a>1)
y=ax (0 1 1
O O x
x
 Tính chất:
+) Với mọi 0  a  1 , x , y   , n  2,3, ta có:
x
ax y
a x  a y  a x y ;
ay
 a x y ;  a x   a xy ; n
ax  an .
+) Với mọi 0  a , b  1 , x   , ta có:
x
x ax  a 
a b   ab  ;
x x
  .
bx  b 
2. Phương trình mũ cơ bản
 Với 0  a  1 , ta có a f  x   a g  x   f  x   g  x  .
 Với 0  a  1 , b  0 , ta có a f  x   b  f  x   log a b .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [TN09] Giải phương trình 25 x  6.5 x  5  0 . 1
2
Ta thấy  5 x   25x . Do đó, nếu đặt t  5 x thì t  0 và 25 x  t 2 . Phương trình 1 trở thành
t  1
t 2  6t  5  0   .
t  5
Thay t vào phương trình t  5 x , ta được
1
5 x  1 t  0
 x   .
5  5 t  1
Vậy tập nghiệm của 1 là 0,1 .
x x
Ví dụ 2. Giải phương trình  7  48    7  48   14 . 1
Giải
Ta thấy
x x x
  7  48  
 7  48   1  1.
 7  48  7  48 x
x x
1
Do đó nếu đặt t   7  48  thì t  0 và  7  48   . Khi đó, 1 trở thành
t
1 t  7  48
t   14  t 2  14t  1  0   .
t t  7  48
x
Thay t vào phương trình t   7  48  , ta được
x x



 7  48  
 7  48

 
7  48 2
 7  48
1

 x  2 .
  
x x

  
7  48  7  48  2
 7  48  7  48  
Vậy tập nghiệm của 1 là 2 .
Ví dụ 3. Giải phương trình 4 x 1  6 x  18  9 x  0 . 1
Giải
Chia hai vế của 1 cho 9 x , ta được phương trình tương đương
x x
4 2
4        18  0 .
9 3
x x
2 4
Đặt t    , suy ra t  0 và    t 2 . Phương trình đã cho trở thành
3 9
t  2
4t  t  18  0   9 .
2
t 
 4
Giá trị t  2 không thỏa mãn điều kiện t  0 . Thay giá trị còn lại của t vào phương trình
x
2
t    , ta được
3
x x 2
2 9  2  2
         x  2 .
3 4  3  3
2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  2 .
3x x
1 1
Ví dụ 4. Giải phương trình 8 x 1  8    3  2 x 3  125  24   . 1
 2 2
Giải
Ta có
 3 x  1 3 x   x  1 x 

1  8  2      24  2      125
  2     2  
x x
1 1
Đặt t  2    , suy ra t  2 2 x     2 và
x
2 2
x 3 3x x 3x 3x
 1  1  1  1 1
t   2 x      23 x     3  2 x      23x     3t  23 x     t 3  3t .
3
  2   2   2   2 2
Với phép đặt ẩn phụ như thế, phương trình đã cho trở thành
5
8  t 3  3t   24t  125  t  (thỏa mãn).
2
x
1 x
Thay giá trị tìm được của t vào phương trình t  2    , ta có
2
x
1 5
2x     .  2
2 2
Lại đặt u  2 x , suy ra t  0 và  2  trở thành
u  2
1 5
u    2u  5u  2  0  
2
.
u 2 u  1
 2
Thay các giá trị tìm được của u trở lại phương trình u  2 x , ta được
2x  2
 x  1
1   .
2 
x
 x  1
 2
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 1 .
Ví dụ 5. Giải phương trình 6 x  3x  3  2 x  3  0 . 1
Giải
Ta có
1  3x  2x  1  3  2 x  1  0   3x  3 2 x  1  0
3 x  3 x  1
  x   .
2  1 x  0
3
2 2
Ví dụ 6. Giải phương trình 2 x  x 1  21 x 1  2 x 2  8  0 . 1
Giải
Ta có
2
1  2 x 1  2 x  2   4  2 x  2   0  2 x 2 1

 4  2x  2  0
 2 x2 1  4  0  x2  1  2 x   3
      .
 2 x  2  0  x  1 x  1
x
Ví dụ 7. Giải phương trình 3x  8 x 2  6 . 1
Giải
Lấy lô-ga cơ số 3 hai vế của phương trình ta được
3x
x log 3 2  1  log 3 2   x  2  x  3 x log 3 2  1  log 3 2  x  2 
x2
2
 x 2  1  2 log 3 2  x  2 1  log 3 2   0    2 log 3 2  3 
x  1
  .
 x  2 log 3 2  2
Ví dụ 8. Giải phương trình 3x  4 x  5 x . 1
Giải
Chia hai vế của phương trình cho 5x , ta được phương trình tương đương
x x
3  4
      1.  2
5 5
x x
3 4 3  4
Ta thấy 0  ,  1 nên f  x        là hàm nghịch biến. Do đó, phương trình  2 
5 5 5  5
có nhiều nhất một nghiệm. Lại có f  2   1 , suy ra  2  có nghiệm duy nhất x  2 . Vậy 1
có nghiệm duy nhất x  2 .
x x 2x
Ví dụ 9. Giải phương trình 4  15     4  15    2 2  .
Giải
2x

Ta thấy 2 2   8 . Chia hai vế của phương trình cho 8 , ta được phương trình tương
x x
đương
x x
 4  15   4  15 
      1 .  2
 8   8 
4
x x
4  15 4  15  4  15   4  15 
Ta thấy 0  ,  1 nên f  x        là hàm nghịch biến.
8 8  8   8 
Do đó, phương trình  2  có nhiều nhất một nghiệm. Lại có f 1  1 , suy ra  2  có nghiệm
duy nhất x  1 . Vậy 1 có nghiệm duy nhất x  1 .
x 2
Ví dụ 10. Giải phương trình 3  25    3 x  10  5 x  2  3  x  0 . 1
( 2 , 2  log 5 3 )
Giải
Đặt t  5 x  2 , suy ra t  0 và phương trình 1 trở thành
t   x  3
3t   3 x  10  t  3  x  0 (    3 x  8  )   1
2 2
.
t 
 3
Thay t   x  3 vào phương trình t  5 x  2 , ta có phương trình
5 x 2   x  3 .  2
Ta thấy vế trái của phương trình  2  là hàm đồng biến, còn vế phải là hàm nghịch biến. Do
đó,  2  có tối đa một nghiệm. Dễ thấy x  2 là nghiệm của  2  . Vậy  2  có nghiệm duy
nhất x  2 .
1
Thay t  vào phương trình t  5 x 2 , ta được
3
1
5 x2   x  2   log5 3  x  2  log5 3 .
3
Vậy tập nghiệm của phương trình 1 là 2; 2  log 5 3 .
5
C. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình
1) [TN11] 7 2 x 1  8.7 x  1  0 . ĐS: 0 , 1 .
2) 4 x 1  6.2 x 1  8  0 . ĐS: 0 , 1 .
3) 8 x  2.4 x  2 x  2  0 . ĐS: 0 .
4) 4.9 x  12 x  3.16 x  0 . ĐS: 1 .
5) 32 x 1  4.3 x1  27  0 . ĐS: vô nghiệm.
6) 3.25x  2.49 x  5.35 x . ĐS: 0 , log 7 32 .
5
7) 31 x  31 x  10 . ĐS: 1 .
8) 3x  32 x  10 . ĐS: 0 , 2 .
9) 32 x  4  45.6 x  9.2 2 x  2  0 . ĐS: 2 .
10) 32 x1  32 x  108 . ĐS: 2 .
11) 3.4 x  2.6 x  9 x . ĐS: 0 .
12) 64 x  8 x  56  0 . ĐS: 1 .
13) 4 x  3.2 x  2  0 . ĐS: 0 , 1 .
14) 3x  3 x  2  8  0 . ĐS: 0 .
15) 9 x  3x1  4  0 . ĐS: log 3 4 .
16) 2 2 x 1  2 x 3  64  0 . ĐS: 3 .
17) 6.9 x  13.6 x  6.4 x  0 . ĐS: 1 .
18) [A06] 3.8 x  4.12 x  18 x  2.27 x  0 .
2 2
19) [D03] 2 x  x  2 2 x  x  3 .
20) 4.32 x  9.22 x  5.6 x .
21) 4.32 x  9.22 x  5.6 x .
22) 2.4 x  6 x  9 x  0 .
23) 4 x  2.6 x  3.9 x  0 .
24) 8 x  18x  2.27 x .
25) 125 x  50 x  23 x1 .
x x

26) 2  3   2  3  4 .
x x

27) 1  2   2. 2  1  3 . ĐS: 0 , log1 2 2 .
x x

28) 7  4 3   3. 2  3   2  0
6