Chuyên đề phương trình logarit
- 6 trang
- file .pdf
Phương trình logarit
A. Tóm tắt lý thuyết
Phương trình logarit cơ bản
f x g x
Với 0 a 1 , ta có: log a f x log a g x .
f x 0
Với 0 a 1 , b , ta có: log a f x b f x a b .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình log 1 2 x 3 x 2 2 log 3 2 x 2 0 . 1
3
Giải
Ta có
2 x x 2 2 x 2
3 2
1 log 3 2 x3 x 2 2 log3 2 x 2
2 x 2 0
2 x3 2 x 2 2 x 4 0
x 2.
x 1
Ví dụ 2. Giải phương trình log4 2log3 1 log 2 1 3log 2 x 12 . 1
Giải
Ta có
1 2log3 1 log 2 1 3log 2 x 2 log3 1 log 2 1 3log 2 x 1
1 log 2 1 3log 2 x 3 log 2 1 3log 2 x 2 1 3log 2 x 4
log 2 x 1 x 2 .
Ví dụ 3. Giải phương trình log 3 x log 4 x log5 x . 1
Giải
Ta có
1 log 3 x log 4 3 log3 x log5 3 log3 x 0 1 log 4 3 log 5 3 log3 x 0
log 3 x 0 x 1 .
Ví dụ 4. Giải phương trình lg 1 x 3lg 1 x lg 1 x 2 2 . 1
Giải
1 x 0
Điều kiện: 1 x 0 1 x 1 .
1 x 2 0
Ta có
1
1 lg 1 x 3lg 1 x lg 1 x lg 1 x 2 lg 1 x 1
1 x 10 1 x 100 x 99 (không thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 5. Giải phương trình x lg 1 2x x lg 5 lg 6 . 1
ĐS: 1 .
Giải
Ta có
1 lg10 x lg 1 2 x lg 5x lg 6 lg 10 x 1 2 x lg 6 5x
10 x 1 2 x 6 5 x 20 x 10 x 6 5 x 0 .
Chia hai vế của phương trình nói trên cho 5x , ta được phương trình tương đương
2
4x 2x 6 0 2x 2x 6 0 2x 2 x 1 .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1 .
Ví dụ 6. Giải phương trình log x x 2 4 x 4 3 . 1
Giải
0 x 1
Điều kiện: 2 2 2 2 x 1 .
x 4x 4 0
1 log x x 2 4 x 4 log x x 3 x 2 4 x 4 x3
x 2 ( loaïi)
x x 4 x 4 0 x 2 (thoûa maõn) .
3 2
x 1 (loaïi)
Vậy 1 có nghiệm duy nhất x 1 .
Ví dụ 7. Giải phương trình log 2 3x 1 .log 2 2.3x 2 2 . 1
Giải
Ta có
1 log 2 3x 1 . 1 log 2 3x 1 2 .
Đặt t log 2 3x 1 , phương trình nói trên trở thành
t 2
t 1 t 2 t 2 t 2 0 .
t 1
Thay các giá trị tìm được của t vào phương trình t log 2 3x 1 , ta được
2
log 2 3x 1 2 x 1 x 5 5
3 1 3 x log 3
4 4 4.
log 2 3x 1 1 x x
3 1 2 3 3 x 1
5
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là log 3 ;1 .
4
2
Ví dụ 8. Giải phương trình 2 log 9 x log 3 x.log 3 2 x 1 1 . 1
Giải
Điều kiện: x 0 . Ta có
1
1
2
log 32 x log 3 x.log3 2 x 1 1 log x log x 2 log 2 x 1 1 0
3 3 3
log 3 x 0 x 1
2 .
log 3 x 2log 3 2x 1 1
x 2x 1 1 2
2 x 2 x 2 2 2 x 1 2 2 x 1 x 2 4 2 x 1 x 2 4 x 4
x 0 (loaïi)
x2 4 x 0 .
x 4 thoûa maõn
Vậy tập nghiệm của 1 là 1; 4 .
Ví dụ 9. Giải phương trình log 2 x 2 x 2 2 . 1
Giải
Vì log 2 x và 2 x là các hàm đồng biến nên vế trái của 1 là hàm đồng biến. Do đó, phương
trình này có nhiều nhất một nghiệm. Dễ thấy x 1 là một nghiệm của phương trình. Vậy
phương trình có nghiệm duy nhất x 1 .
C. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau
1 5
1) log 2 x 2 1 log 1 x 1 . ĐS: .
2 2
2) log cos x 4.log cos2 x 2 1 . ĐS: 2 k , k .
3
2
3) log 2 x 1 2log 2 x3 x 1 . ĐS: 0 .
1
4) log x 3 8 log x 58 log x 2 4 x 4 . ĐS: 9 .
2
3 2 3 3 1 217
5) log 1 x 2 3 log 1 4 x log 1 x 6 . ĐS: .
2 4 4 4 2
6) log 2 x 2 x 1 log 2 x 2 x 1 log 2 x 4 x 2 1 log 2 x 4 x 2 1 . ĐS: 0 , 1 .
3
7) log 2 x 2 3 x 2 log 2 x 2 7 x 12 3 log 2 3 . ĐS: 5 , 0 .
8) log 2 x log3 x log 4 x log x . ĐS: 1 .
9) log x x 6 3 . ĐS: 2 .
2 x 3
log3
x
10) 2 1. ĐS: 3 .
2 3
11) log 4 x 1 2 log 2 4 x log 8 4 x . ĐS: 2 .
12) x 1 log 5 3 log 5 3x 1 3 log 5 11.3 x 9 . ĐS: 0 , 2 .
Bài 2. Giải các phương trình sau
1) log 2 x x 2 1 .log 3 x x 2 1 log6 x x 1 .
2
2) lg 2 x 2 1 x 2 5 lg x 2 1 5 x 2 0 . ĐS: 0 , 99999 .
2
3) log 2 x x 1 log 2 x 2 x 2 0 . ĐS: 2 .
4) 3 log 2 x 2 4 x 5 2 5 log 2 x 2 4 x 5 6 .
5) log 22 x log 2 x 1 1 .
6) log 5 5 x 1 .log 25 5 x1 5 1 .
log 2 4 x 1 3
7) x 1 8 x 1 .
8) log 2 5x 1 .log 2 2.5x 2 2 .
9) 3log2 x x log2 3 6 .
10) log 2 2 log 2 4 x 3 .
x
11) log 22 x 2 x 1 log 2 x 2 x 2 6 x 5 0 .
Bài 3. Giải các phương trình sau
3
1) x
1.
2 1 log 2 x
2) log2 x2 4 x log2 8 x 2 .
3) log 22 x x 5 log 2 x 2 x 6 0 .
4)
log2 x 3log6 x log6 x .
5) 2 log2 x1 x .
6) log 4 5 x 2 2 x 2 log 2 x 2 2 x 3 .
7) x 2 3log2 x x log2 5 .
4
A. Tóm tắt lý thuyết
Phương trình logarit cơ bản
f x g x
Với 0 a 1 , ta có: log a f x log a g x .
f x 0
Với 0 a 1 , b , ta có: log a f x b f x a b .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình log 1 2 x 3 x 2 2 log 3 2 x 2 0 . 1
3
Giải
Ta có
2 x x 2 2 x 2
3 2
1 log 3 2 x3 x 2 2 log3 2 x 2
2 x 2 0
2 x3 2 x 2 2 x 4 0
x 2.
x 1
Ví dụ 2. Giải phương trình log4 2log3 1 log 2 1 3log 2 x 12 . 1
Giải
Ta có
1 2log3 1 log 2 1 3log 2 x 2 log3 1 log 2 1 3log 2 x 1
1 log 2 1 3log 2 x 3 log 2 1 3log 2 x 2 1 3log 2 x 4
log 2 x 1 x 2 .
Ví dụ 3. Giải phương trình log 3 x log 4 x log5 x . 1
Giải
Ta có
1 log 3 x log 4 3 log3 x log5 3 log3 x 0 1 log 4 3 log 5 3 log3 x 0
log 3 x 0 x 1 .
Ví dụ 4. Giải phương trình lg 1 x 3lg 1 x lg 1 x 2 2 . 1
Giải
1 x 0
Điều kiện: 1 x 0 1 x 1 .
1 x 2 0
Ta có
1
1 lg 1 x 3lg 1 x lg 1 x lg 1 x 2 lg 1 x 1
1 x 10 1 x 100 x 99 (không thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 5. Giải phương trình x lg 1 2x x lg 5 lg 6 . 1
ĐS: 1 .
Giải
Ta có
1 lg10 x lg 1 2 x lg 5x lg 6 lg 10 x 1 2 x lg 6 5x
10 x 1 2 x 6 5 x 20 x 10 x 6 5 x 0 .
Chia hai vế của phương trình nói trên cho 5x , ta được phương trình tương đương
2
4x 2x 6 0 2x 2x 6 0 2x 2 x 1 .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1 .
Ví dụ 6. Giải phương trình log x x 2 4 x 4 3 . 1
Giải
0 x 1
Điều kiện: 2 2 2 2 x 1 .
x 4x 4 0
1 log x x 2 4 x 4 log x x 3 x 2 4 x 4 x3
x 2 ( loaïi)
x x 4 x 4 0 x 2 (thoûa maõn) .
3 2
x 1 (loaïi)
Vậy 1 có nghiệm duy nhất x 1 .
Ví dụ 7. Giải phương trình log 2 3x 1 .log 2 2.3x 2 2 . 1
Giải
Ta có
1 log 2 3x 1 . 1 log 2 3x 1 2 .
Đặt t log 2 3x 1 , phương trình nói trên trở thành
t 2
t 1 t 2 t 2 t 2 0 .
t 1
Thay các giá trị tìm được của t vào phương trình t log 2 3x 1 , ta được
2
log 2 3x 1 2 x 1 x 5 5
3 1 3 x log 3
4 4 4.
log 2 3x 1 1 x x
3 1 2 3 3 x 1
5
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là log 3 ;1 .
4
2
Ví dụ 8. Giải phương trình 2 log 9 x log 3 x.log 3 2 x 1 1 . 1
Giải
Điều kiện: x 0 . Ta có
1
1
2
log 32 x log 3 x.log3 2 x 1 1 log x log x 2 log 2 x 1 1 0
3 3 3
log 3 x 0 x 1
2 .
log 3 x 2log 3 2x 1 1
x 2x 1 1 2
2 x 2 x 2 2 2 x 1 2 2 x 1 x 2 4 2 x 1 x 2 4 x 4
x 0 (loaïi)
x2 4 x 0 .
x 4 thoûa maõn
Vậy tập nghiệm của 1 là 1; 4 .
Ví dụ 9. Giải phương trình log 2 x 2 x 2 2 . 1
Giải
Vì log 2 x và 2 x là các hàm đồng biến nên vế trái của 1 là hàm đồng biến. Do đó, phương
trình này có nhiều nhất một nghiệm. Dễ thấy x 1 là một nghiệm của phương trình. Vậy
phương trình có nghiệm duy nhất x 1 .
C. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau
1 5
1) log 2 x 2 1 log 1 x 1 . ĐS: .
2 2
2) log cos x 4.log cos2 x 2 1 . ĐS: 2 k , k .
3
2
3) log 2 x 1 2log 2 x3 x 1 . ĐS: 0 .
1
4) log x 3 8 log x 58 log x 2 4 x 4 . ĐS: 9 .
2
3 2 3 3 1 217
5) log 1 x 2 3 log 1 4 x log 1 x 6 . ĐS: .
2 4 4 4 2
6) log 2 x 2 x 1 log 2 x 2 x 1 log 2 x 4 x 2 1 log 2 x 4 x 2 1 . ĐS: 0 , 1 .
3
7) log 2 x 2 3 x 2 log 2 x 2 7 x 12 3 log 2 3 . ĐS: 5 , 0 .
8) log 2 x log3 x log 4 x log x . ĐS: 1 .
9) log x x 6 3 . ĐS: 2 .
2 x 3
log3
x
10) 2 1. ĐS: 3 .
2 3
11) log 4 x 1 2 log 2 4 x log 8 4 x . ĐS: 2 .
12) x 1 log 5 3 log 5 3x 1 3 log 5 11.3 x 9 . ĐS: 0 , 2 .
Bài 2. Giải các phương trình sau
1) log 2 x x 2 1 .log 3 x x 2 1 log6 x x 1 .
2
2) lg 2 x 2 1 x 2 5 lg x 2 1 5 x 2 0 . ĐS: 0 , 99999 .
2
3) log 2 x x 1 log 2 x 2 x 2 0 . ĐS: 2 .
4) 3 log 2 x 2 4 x 5 2 5 log 2 x 2 4 x 5 6 .
5) log 22 x log 2 x 1 1 .
6) log 5 5 x 1 .log 25 5 x1 5 1 .
log 2 4 x 1 3
7) x 1 8 x 1 .
8) log 2 5x 1 .log 2 2.5x 2 2 .
9) 3log2 x x log2 3 6 .
10) log 2 2 log 2 4 x 3 .
x
11) log 22 x 2 x 1 log 2 x 2 x 2 6 x 5 0 .
Bài 3. Giải các phương trình sau
3
1) x
1.
2 1 log 2 x
2) log2 x2 4 x log2 8 x 2 .
3) log 22 x x 5 log 2 x 2 x 6 0 .
4)
log2 x 3log6 x log6 x .
5) 2 log2 x1 x .
6) log 4 5 x 2 2 x 2 log 2 x 2 2 x 3 .
7) x 2 3log2 x x log2 5 .
4