Chuyên đề phương trình logarit

  • 6 trang
  • file .pdf
Phương trình logarit
A. Tóm tắt lý thuyết
Phương trình logarit cơ bản
 f  x   g  x 
 Với 0  a  1 , ta có: log a f  x   log a g  x    .
 f  x   0
 Với 0  a  1 , b   , ta có: log a f  x   b  f  x   a b .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình log 1  2  x 3  x 2   2   log 3  2 x  2   0 . 1
3
Giải
Ta có
 2  x  x   2  2 x  2
3 2
1  log 3  2  x3  x 2   2   log3  2 x  2   
 2 x  2  0
 2 x3  2 x 2  2 x  4  0
   x 2.
 x  1

Ví dụ 2. Giải phương trình log4 2log3 1  log 2 1  3log 2 x     12 . 1
Giải
Ta có
1  2log3 1  log 2 1  3log 2 x   2  log3 1  log 2 1  3log 2 x   1
 1  log 2 1  3log 2 x   3  log 2 1  3log 2 x   2  1  3log 2 x  4
 log 2 x  1  x  2 .
Ví dụ 3. Giải phương trình log 3 x  log 4 x  log5 x . 1
Giải
Ta có
1  log 3 x  log 4 3  log3 x  log5 3  log3 x  0  1  log 4 3  log 5 3 log3 x  0
 log 3 x  0  x  1 .
Ví dụ 4. Giải phương trình lg 1  x  3lg 1  x  lg 1  x 2  2 . 1
Giải
1  x  0

Điều kiện: 1  x  0  1  x  1 .
1  x 2  0

Ta có
1
1  lg 1  x  3lg 1  x  lg 1  x  lg 1  x  2  lg 1  x  1
 1  x  10  1  x  100  x  99 (không thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 5. Giải phương trình x  lg 1  2x   x lg 5  lg 6 . 1
ĐS: 1 .
Giải
Ta có
1  lg10 x  lg 1  2 x   lg 5x  lg 6  lg 10 x 1  2 x   lg  6  5x 
 10 x 1  2 x   6  5 x  20 x  10 x  6  5 x  0 .
Chia hai vế của phương trình nói trên cho 5x , ta được phương trình tương đương
2
4x  2x  6  0   2x   2x  6  0  2x  2  x  1 .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  1 .
Ví dụ 6. Giải phương trình log x  x 2  4 x  4   3 . 1
Giải
0  x  1
Điều kiện:  2  2  2 2  x  1 .
x  4x  4  0
1  log x  x 2  4 x  4   log x  x 3   x 2  4 x  4  x3
 x  2 ( loaïi)
 x  x  4 x  4  0   x  2 (thoûa maõn) .
3 2
 x  1 (loaïi)
Vậy 1 có nghiệm duy nhất x  1 .
Ví dụ 7. Giải phương trình log 2  3x  1 .log 2  2.3x  2   2 . 1
Giải
Ta có
1  log 2  3x  1 . 1  log 2  3x  1  2 .
Đặt t  log 2  3x  1 , phương trình nói trên trở thành
t  2
t 1  t   2  t 2  t  2  0   .
t  1
Thay các giá trị tìm được của t vào phương trình t  log 2  3x  1 , ta được
2
log 2  3x  1  2  x 1  x 5  5
 3 1   3   x  log 3
  4  4  4.
log 2  3x  1  1  x  x 
 3  1  2 3  3 x  1
 5 
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là log 3 ;1 .
 4 
2
Ví dụ 8. Giải phương trình 2  log 9 x   log 3 x.log 3  2 x  1  1 . 1
Giải
Điều kiện: x  0 . Ta có
1
1 
2
log 32 x  log 3 x.log3  2 x  1 1  log x log x  2 log  2 x  1  1  0
3 3 3
log 3 x  0 x  1
    2 .
log 3 x  2log 3  2x 1 1  
 x  2x  1 1   2
 2   x  2 x  2  2 2 x  1  2 2 x  1  x  2  4  2 x  1  x 2  4 x  4
 x  0 (loaïi)
 x2  4 x  0   .
 x  4  thoûa maõn 
Vậy tập nghiệm của 1 là 1; 4 .
Ví dụ 9. Giải phương trình log 2 x  2 x  2  2 . 1
Giải
Vì log 2 x và 2 x là các hàm đồng biến nên vế trái của 1 là hàm đồng biến. Do đó, phương
trình này có nhiều nhất một nghiệm. Dễ thấy x  1 là một nghiệm của phương trình. Vậy
phương trình có nghiệm duy nhất x  1 .
C. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau
1 5
1) log 2  x 2  1  log 1  x  1 . ĐS: .
2 2

2) log cos x 4.log cos2 x 2  1 . ĐS:   2 k , k   .
3
2
3) log 2  x  1  2log 2  x3  x  1 . ĐS: 0 .
1
4) log  x 3  8   log  x  58   log  x 2  4 x  4  . ĐS: 9 .
2
3 2 3 3 1  217
5) log 1  x  2   3  log 1  4  x   log 1  x  6  . ĐS: .
2 4 4 4 2
6) log 2  x 2  x  1  log 2  x 2  x  1  log 2  x 4  x 2  1  log 2  x 4  x 2  1 . ĐS: 0 , 1 .
3
7) log 2  x 2  3 x  2   log 2  x 2  7 x  12   3  log 2 3 . ĐS: 5 , 0 .
8) log 2 x  log3 x  log 4 x  log x . ĐS: 1 .
9) log x  x  6   3 . ĐS: 2 .
 2 x 3 
log3  
 x 
10) 2  1. ĐS: 3 .
2 3
11) log 4  x  1  2  log 2 4  x  log 8  4  x  . ĐS: 2 .
12)  x  1 log 5 3  log 5  3x 1  3  log 5 11.3 x  9  . ĐS: 0 , 2 .
Bài 2. Giải các phương trình sau
 
1) log 2 x  x 2  1 .log 3 x  x 2  1  log6    x  x  1 .
2
2) lg 2  x 2  1   x 2  5 lg  x 2  1  5 x 2  0 . ĐS: 0 ,  99999 .
2
3) log 2  x  x  1   log 2  x 2  x   2  0 . ĐS: 2 .
 
4) 3  log 2  x 2  4 x  5   2 5  log 2  x 2  4 x  5   6 .
5) log 22 x  log 2 x  1  1 .
6) log 5  5 x  1 .log 25  5 x1  5   1 .
log 2  4 x 1  3
7)  x  1  8  x  1 .
8) log 2  5x  1 .log 2  2.5x  2   2 .
9) 3log2 x  x log2 3  6 .
10) log 2 2  log 2 4 x  3 .
x
11) log 22 x  2  x  1 log 2 x  2 x 2  6 x  5  0 .
Bài 3. Giải các phương trình sau
3
1) x
 1.
2  1  log 2 x
2) log2  x2  4   x  log2 8  x  2   .
3) log 22 x   x  5  log 2 x  2 x  6  0 .
4) 
log2 x  3log6 x  log6 x . 
5) 2 log2  x1  x .
6) log 4 5  x 2  2 x  2   log 2  x 2  2 x  3  .
7) x 2  3log2 x  x log2 5 .
4