Chuyên đề phương trình đường thẳng

  • 18 trang
  • file .pdf
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Phương trình đường thẳng
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Các dạng phương trình đường thẳng
a) Khái niệm véc-tơ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương của đường thẳng
   
 Véc-tơ n  0 là véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng  , ký hiệu n   hoặc   n , nếu

giá của n vuông góc với  .
   
 Véc-tơ u  0 là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng  , ký hiệu u   hoặc   u , nếu

giá của u song song hoặc trùng với  .
b) Các dạng phương trình đường thẳng

Dạng 1. Phương trình tổng quát của đường thẳng nhận n  a; b  làm véc-tơ pháp tuyến có dạng
 : ax  by  c  0 .

Dạng 2. Phương trình tham số của đường thẳng  qua  x0 ; y0  và nhận u  a; b  làm véc-tơ chỉ
phương là
 x  x0  at
: , ( t là tham số).
 y  y0  bt
Chú ý.
 Ý nghĩa của tham số: Mỗi điểm M thuộc đường thẳng  tương ứng với một giá trị cụ
thể của tham số.
 Một đường thẳng có vô số phương trình tham số.

Dạng 3. Phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua điểm M  x0 ; y0  và nhận u  a; b 
làm véc-tơ chỉ phương là
x  x0 y  y0
 ,
a b
ở đây a , b là những số khác 0 .
Chú ý. Chỉ có những đường thẳng với véc-tơ chỉ phương có cả hoành độ và tung độ đều khác 0
mới có phương trình chính tắc.
Dạng 4. Phương trình dạng hệ số góc của đường thẳng  có dạng
 : y  kx  m ,
số k được gọi là hệ số góc của  .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Chú ý.
 Ý nghĩa hình học của hệ số góc: Nếu y
k  0 đặt M    Ox , gọi Mt là nửa t
đường thẳng  ở phía trên Ox . Khi đó
 (Hình 1).
k  tan xMt
 Phương trình tổng quát ax  by  c  0 chỉ
có thể đưa được về dạng hệ số góc nếu
x
O M
b  0 . Như vậy, đường thẳng có phương
thẳng đứng ( b  0 ) không có dạng hệ số
góc. Hình 1
Dạng 5. Phương trình đoạn chắn của đường thẳng  đi qua hai điểm A  a; 0  và B  0; b  là
x y
:  1,
a b
ở đây a , b là những số khác 0 .
Phương trình đoạn chắn cho ta một cách lập phương trình đường thẳng một cách nhanh chóng
khi biết các giao điểm của đường thẳng ấy với các trục tọa độ.
2. Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng
 Phương trình đường thẳng đi qua điểm M  a; b  và vuông góc với trục hoành là x  a .
 Phương trình đường thẳng đi qua điểm M  a; b  và vuông góc với trục tung là y  b .
 Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng ax  by  0 , với a 2  b 2  0 .
 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt: Xét A  x A ; y A  , B  xB ; y B  .
 x  xB
+) Nếu  A thì đường thẳng AB có phương trình chính tắc là
 y A  yB
x  xA y  yA
AB :  .
xB  x A y B  y A
+) Nếu x A  xB thì đường thẳng AB có phương trình là AB : x  x A .
+) Nếu y A  yB thì đường thẳng AB có phương trình là AB : y  y A .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
B. Các dạng toán hay gặp
Dạng 1. Một số bài toán cơ bản về lập phương trình đường thẳng
 Phương pháp giải toán và các ví dụ
Các bài toán cơ bản về lập phương trình đường thẳng cùng với phương pháp giải và ví dụ được
trình bày ngắn gọn trong bảng sau. Chúng tôi yêu cầu học sinh đọc phương pháp và thực hành
bằng cách tự giải các ví dụ cho ở cột thứ ba của bảng.
Bài toán Phương pháp giải Ví dụ

1. Lập phương trình đường Phương trình đường thẳng  Ví dụ 1. M  2; 1 , n  2; 3 .
thẳng  đi qua điểm là
 Đáp số:  : 2 x  3 y  7  0 .
M  x0 ; y0  và nhận n  a; b   : a  x  x0   b  y  y0   0 .
làm véc-tơ pháp tuyến.
2. Lập phương trình đường Phương trình đường thẳng  1  
Ví dụ 2. M  ;3  , u  7; 4  .
thẳng  đi qua điểm là 2 

M  x0 ; y0  và nhận u  a; b   x  x0  at  1
: .  x   7t
y  y  bt Đáp số:  :  2 .
làm véc-tơ chỉ phương.  0
 y  3  4t
3. Lập phương trình đường Nếu điểm M không thuộc Ví dụ 3. M  2;1 ,
thẳng  đi qua điểm đường thẳng  ' thì tồn tại
 ' : x  3y  7  0 .
M  x0 ; y0  và song song với đường thẳng  .  song song
Đáp số:  : x  3 y  1  0 .
với đường thẳng  ' nên nhận
đường thẳng

 ' : ax  by  c  0 . véc-tơ pháp tuyến n  a; b  của
đường thẳng  ' làm véc-tơ
pháp tuyến. Do đó
 : a  x  x0   b  y  y 0   0 .
4. Lập phương trình đường  vuông góc với đường thẳng Ví dụ 4. M  3; 4  ,
thẳng  đi qua điểm  ' nên nhận véc-tơ pháp
  ' : 32 x  y  7  0 .
M  x0 ; y0  và vuông góc với tuyến n  a; b  của đường
 x  3  3t
Đáp số:  :  .
đường thẳng thẳng  ' làm véc-tơ chỉ  y  4  2t
 ' : ax  by  c  0 . phương. Do đó
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
 x  x0  at
: .
 y  y0  bt
5. Lập phương trinh đường Áp dụng phương trình đường Ví dụ 5. A 13; 2  , B  4; 7  .
thẳng đi qua hai điểm A và thẳng đi qua hai điểm.
x  13 y  2
Đáp số: AB :  .
B. 9 5
6. Lập phương trình đường  chính là đường thẳng đi Ví dụ 6. A  2;5  , B  4; 7  .
trung trực  của đoạn thẳng qua trung điểm của đoạn
Đáp số:  : x  y  9  0 .

AB . thẳng AB và nhận véc-tơ AB
làm véc-tơ pháp tuyến.
7. Lập phương trình đường Phương trình đường thẳng  Ví dụ 7. M  2; 4  , k  17 .
thẳng  đi qua điểm là
Đáp số:  : y  17 x  38 .
M  x 0 ; y0  và có hệ số góc  : y  k  x  x0   y0 .
k.
8. Lập phương trình đường Phương trình đường thẳng  Ví dụ 8. M 1; 2  ,   60 .
thẳng  đi qua điểm có dạng
Đáp số:  : y  3x  2  3
M  x 0 ; y0  và tạo với trục  : y  k  x  x0   y0 .
hoặc  : y   3x  2  3 .
hoành góc  . k có hai giá trị là  tan  .
Chú ý. Trong các dạng phương trình đường thẳng thì phương trình tổng quát và phương trình
tham số dễ sử dụng hơn cả. Do đó, trong nhiều tình huống ta cần đưa phương trình đường thẳng
về dạng tổng quát hoặc tham số.
 Tham số hóa để lập phương trình tham số của đường thẳng
7
Ở Ví dụ 1, cho x  3t , suy ra y    2t . Do đó, phương trình tham số của  là
3
 x  3t

: 7 .
 y    2t
3
 Khử tham số từ phương trình tham số
x  12 y  3
Trong Ví dụ 2, khử tham số t , ta được phương trình chính tắc  :  , suy ra
7 4
phương trình tổng quát  : 4 x  7 y  19  0 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Ví dụ 9. Lập phương trình đường thẳng  đi qua điểm C  4; 3 và cắt các trục tọa độ tại hai
điểm A , B sao cho tam giác OAB cân.
Giải
Thấy tam giác OAB vuông tại O nên tam giác chỉ có thể cân tại O , có nghĩa là đường thẳng 
tạo với trục hoành góc 45 . Điều này xảy ra khi và chỉ khi hệ số góc k của  bằng
 tan 45  1 . Đường thẳng  còn đi qua điểm C  4; 3 , suy ra
 : y   x  4   5 , hay  : y  x  9 ; hoặc  : y    x  4   5 , hay  : y   x  1 .
Vậy phương trình đường thẳng  là y  x  9 hoặc y   x  1 .
Ví dụ 10. Lập phương trình đường thẳng  đi qua điểm M  2; 9  và cắt các trục tọa độ tại hai
điểm P , Q sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng PQ .
Giải
Giả sử P , Q lần lượt thuộc trục hoành, trục tung. Suy ra tọa độ của hai điểm này có dạng
P  p; 0  , Q  0; q  . Điểm M là trung điểm của PQ nên
p
 2  2 p  4
 , suy ra  .
 q  9  q  9
 2
x y
Áp dụng phương trình dạng đoạn chắn, suy ra  :   1 .
4 9
 1 
Ví dụ 11. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết M  2; 3 , N   ; 0  , P  7; 4 
 2 
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , CA của tam giác.
Giải
  13  A
AB đi qua M  2; 3 và nhận NP   ; 4  là véc-tơ
 2 
chỉ phương, véc-tơ này cùng phương với véc-tơ
P
M
13; 8  . Do đó
x2 y3
AB :  , hay AB : 8 x  13 y  23  0 .
13 8
B N C
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
5
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
 1  
Tương tự, BC đi qua N   ; 0  và nhận PM  9; 7  làm véc-tơ chỉ phương nên
 2 
x  12 y 7
BC :  , hay BC : 7 x  9 y   0 .
9 7 2

CA đi qua P  7; 4  và nhận MN   52 ;3 là véc-tơ chỉ phương, véc-tơ này cùng phương với
véc-tơ  5; 6  . Do đó
x7 y4
CA :  , hay CA : 6 x  5 y  22  0 .
5 6
 Bài tập tự giải
Bài 1. Lập phương trình đường thẳng  trong các trường hợp sau.

1)  qua M  2; 1 và nhận n  3; 1 làm vectơ pháp tuyến.
 1  
2)  qua M   ;3  và nhận u  2;0  làm vectơ chỉ phương.
 2 
3)  qua M 1; 4  và song song với đường thẳng  ' : x  2 y  12  0 .
 3
4)  qua M  1;   và vuông góc với đường thẳng  ' :  x  3 y  12  0 .
 4
5)  qua M 1; 4  và có hệ số góc bằng 5 .
6)  đi qua hai điểm A  2; 4  và B  2; 1 .
7)  đi qua hai điểm A  3;0  và B  0; 1 .
8)  là trung trực của đoạn thẳng với hai đầu mút A  1; 7  và B  2; 4  .
 2
9)  qua M  3;  và tạo với trục hoành góc 30o .
 3
Đáp số: 1)  : 3 x  y  7  0 . 2)  : y  3 . 3)  : x  2 y  7  0 .
15
4)  : 3 x  y   0. 5)  : y  5 x  1 . 6)  : x  2 .
4
7)  : x  3 y  3  0 . 8)  : 3 x  11 y  15  0 .
1 2 1 2
9)  : y  x  3  hoặc  : y   x 3 .
3 3 3 3
Bài 2. Đưa phương trình đường thẳng  về dạng tổng quát
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1)  : x  2 . x y 1
2)  :   1 . 3)  : y  x7.
2 3 2
x 1 y  2  x  1  2t  x  1  2t
4)  :  . 5)  :  . 6)  :  .
7 5  y  2  5t  y  2
Đáp số: 1)  : x  2  0 . 2)  : 3 x  2 y  6  0 . 3)  : x  2 y  14  0 .
4)  : 5 x  7 y  19  0 . 5)  : 5 x  2 y  9  0 . 6)  : y  2  0 .
Bài 3. Lập phương trình đường thẳng  đi qua điểm M  4; 4  và tạo với hai trục tọa độ tam
giác có diện tích bằng 4 .
Đáp số:  : 2 x  y  4  0 hoặc  : x  2 y  4  0 .
Bài 4. Lập phương trình đường thẳng  đi qua điểm M 1; 4  và tạo với phần dương của hai trục
tọa độ tam giác có diện tích nhỏ nhất.
Đáp số:  : 4x  y 1  0 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
7
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 2. Bài toán tìm điểm
 Nội dung phương pháp
Để giải những bài toán dạng này, ta cần biết cách khai thác sự kiện một điểm thuộc một đường
thẳng.
 Điểm M  x0 ; y0  thuộc đường thẳng  : ax  by  c  0 khi và chỉ khi ax0  by0  c  0 .
Từ đó, ta có thể rút x0 theo y0 hoặc y0 theo x0 . Do đó, việc tìm tọa độ điểm M được
quy về tìm một con số ( x0 hoặc y0 ).
 x  x0  at
 Điểm M thuộc đường thẳng  :  khi và chỉ khi tọa độ của M có dạng
 y  y0  bt
M  x0  at ; y0  bt  . Như vậy, việc tìm điểm M được quy về tìm giá trị của tham số t .
 Một số ví dụ
 x  1  2t
Ví dụ 1. Cho đường thẳng  :  .
 y  1  t
1) Tìm điểm M thuộc đường thẳng  sao cho MA  5 với A  1; 5  .
2) Điểm N  2; 7  có thuộc  không?
Giải
1) Điểm M thuộc đường thẳng  tọa độ nên M có dạng M 1  2t ; 1  t  . Giả thiết MA  5
tương đương với
MA2  25 , hay t 2  1  0 .
Phương trình trên có nghiệm t  1 . Vậy M  3; 2  hoặc M  1;0  .
2) Thay tọa độ điểm N vào phương trình  , ta có
2  1  2t t   32
    t  .
7  1  t t  8
Vậy N không thuộc  .
Ví dụ 2. Cho A  1; 2  và B  3;7  . Tìm điểm C thuộc đường thẳng d : y  x  4 sao cho
1) Tam giác ABC vuông tại C .
2) Tam giác ABC cân tại C .
Giải
1) Điểm C thuộc đường thẳng d nên tọa độ C có dạng C  c; c  4  .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
8
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
 
Ta có CA  CB   c  1 c  3   c  2  c  3   2c  3 c  3  2c 2  3c  9 .
Tam giác ABC vuông tại C khi và chỉ khi C không trùng với A , B và
 
CA.CB  0 , hay 2c 2  3c  9  0 .
3  3 5
Phương trình trên có nghiệm c  3 và c   , suy ra C  3; 7  hoặc C   ;  . Ta thấy hai
2  2 2
điểm C tìm được đều không trùng với A , B nên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2 2 2
2) Ta có CA2   c  1   c  2   2c 2  6c  5 , CB 2  2  c  3  2c 2  12c  18 .
Do đó ABC cân tại C khi và chỉ khi C không thuộc đường thẳng AB và
CA  CB , hay 2c 2  6c  5  2c 2  12c  18 .
13  13 85  
Phương trình trên có nghiệm duy nhất c  , suy ra C  ;  . Khi đó AB  4;5  ,
18  18 18 
  31 49  31 49  13 85 
AC  ;  . Ta thấy 4 :  5 : nên C không thuộc đường thẳng AB . Vậy C  ;  .
 18 18  18 18  18 18 
x2 y  x  2  2t
Ví dụ 3. Cho hai đường thẳng 1 :  và  2 :  . Hãy tìm điểm A thuộc 1 và
3 1 y  t
 13 
B thuộc  2 sao cho đoạn thẳng AB nhận điểm I  ;1 làm trung điểm.
2 
Giải
 x  2  3s
Đường thẳng 1 có phương trình tham số là 1 :  ( s là tham số).
 y  s
A thuộc 1 , B thuộc  2 nên tọa độ của A , B có dạng A  2  3s;  s  , B  2  2t; t  .
  2  3s    2  2t  13
 
AB nhận I là trung điểm khi và chỉ khi  2 2 . Giải hệ ta được s  1 , t  3 .
 s  t  1
 2
Do đó A  5; 1 và B  8;3 .
Chú ý. Trong một bài toán, nếu đồng thời sử dụng phương trình tham số của nhiều hơn một
đường thẳng thì ký hiệu tham số của các đường thẳng khác nhau bắt buộc phải khác nhau. Trong
Ví dụ 3, hai tham số của hai đường thẳng 1 và  2 lần lượt là s và t .
Trong các ví dụ còn lại của phần này, chúng tôi trình bày một số bài toán liên quan đến hình
chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
9
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Ví dụ 4. Cho điểm A  2;7  và đường thẳng  : x  y  1  0 .
1) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên  .
2) Tìm tọa độ điểm A ' đối xứng với A qua  .
Giải

1) Điểm H  a; b  là hình chiếu của A lên  khi và chỉ khi H thuộc  và AH cùng phương

với véc-tơ pháp tuyến n 1;1 của  , tức là
a  b  1  0
  a  b  1  a  5
a  2 b  7      H  5; 4  .
 1   a  b  9 b  4
1
 x  2 xH  x A  8
2) Ta thấy A ' chính là điểm đối xứng với A qua H nên  A' , suy ra A '  8;1 .
 y A '  2 yH  y A  1
Chú ý. Trong Ví dụ 4, ta có thể tính A ' một cách trực tiếp (không thông qua H ) như sau.

A '  a; b  đối xứng với A qua  khi và chỉ khi trung điểm của AB thuộc  và AA ' cùng

phương với véc-tơ pháp tuyến n 1;1 của  , tức là
a  2 b  7
 2  2  1  0
  A '  8;1 .
 a  2 b  7

 1 1
Ví dụ 5. Cho đường thẳng d : 2 x  y  5  0 . Viết phương trình đường thẳng  ' đối xứng với
đường thẳng  : x  3 y  15  0 .
Giải
Xét hệ gồm phương trình của d và 
2 x  y  5  0
 .
 x  3 y  15  0
Hệ này có nghiệm duy nhất x  0 , y  5 . Do đó d cắt  tại A  0;5  .
Từ phương trình  , cho y  0 ta được x  15 . Do đó điểm B  15; 0  thuộc  . Điểm B '  a; b 

đối xứng với B qua d khi và chỉ khi trung điểm của BB ' thuộc d và BB ' cùng phương với

véc-tơ pháp tuyến n  2; 1 của d , điều này có nghĩa là
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
10
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
 a  15 b
2  2  2  5  0 2a  b  20 a  5
      B '  5; 10  .
 a  15 b  a  2b  15 b   10

 2 1
 ' chính là đường thẳng đi qua A và B ' cho nên
x y 5
':    ' : 3x  y  5  0 .
5 15
Chú ý (Cách lập phương trình đường thẳng đối xứng với một đường thẳng qua một đường
thẳng khác) Bài toán lập phương trình đường thẳng  ' đối xứng với đường thẳng  qua đường
thẳng d có hai tình huống sau đây.
Tình huống 1.  và d cắt nhau. Khi đó, gọi A là giao điểm của  và d , lấy điểm B thuộc 
( B khác A ) và B ' đối xứng với B qua d . Đường thẳng  chính là đường thẳng đi qua hai
điểm A và B ' .
Tình huống 2.  song song với d . Khi đó, lấy điểm B thuộc  và B ' đối xứng với B qua d .
Đường thẳng  chính là đường thẳng đi qua điểm B ' và song song với  .
B B
d d
A
B' B' '
'
Tình huống 1:  và d cắt nhau Tình huống 2:  song song với d
Ví dụ 6. Cho hai điểm A  2;1 và B  5; 2  . Tìm tọa độ điểm M thuộc trục hoành sao cho
MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
Ta giải bài toán nói trên theo hai cách.
Cách 1 (Quy về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức). Điểm M thuộc trục hoành
nên có tọa độ dạng M  m; 0  . Ta có
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
11
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
2 2
MA  MB   m  2   12   5  m   22 .
     
Áp dụng bất đẳng thức u  v  u  v với u  m  2;1 và v  m  2;1 , ta có
   
MA  MB  u  v  u  v  3 2 .
m2 1
Suy ra MA  MB  3 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   0 , hay m  3 . Vậy
5m 2
MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M  3; 0  .
Cách 2 (Sử dụng phép đối xứng trục). Gọi A ' là điểm đối xứng với A qua trục hoành. Vì phép
đối xứng trục bảo toàn khoảng cách nên MA  MB  MA ' MB  A ' B . Dấu bằng xảy ra khi và
chỉ khi M là giao điểm của đoạn A ' B với trục hoành ( A ' và B nằm về hai phía trục hoành nên
điểm M như thế tồn tại).
Dễ thấy A '  2; 1 . Suy ra phương trình đường thẳng A ' B là A B
x  2 y 1
A'B :  , hay A ' B : x  y  3  0 . M
x
3 3
A'
Từ phương trình A ' B , cho y  0 suy ra x  3 . Vậy M  3; 0  .
Chú ý (Bài toán tổng quát của Ví dụ 6. Ta xét bài toán: Cho hai điểm A , B không thuộc đường
thẳng  . Tìm điểm M thuộc đường thẳng  sao cho MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất.
 Tình huống 1: A và B nằm khác phía  . Khi đó điểm M cần tìm chính là giao điểm
của đường thẳng AB với  .
 Tình huống 2: A và B nằm về cùng một phía  . Khi đó, lấy điểm A ' đối xứng với A
qua  . Nếu làm như vậy thì MA  MB  MA ' MB và MA  MB nhỏ nhất khi M là giao
điểm của A ' B với  .
Vấn đề còn lại là làm cách nào để biết A và B nằm về cùng một phía hay khác phía  ? Để trả
lời câu hỏi này, ta xử dụng kiến thức sau.
Xét đường thẳng  : ax  by  c  0 , ký hiệu F  x; y  là biểu thức ở vế trái của phương trình tổng
quát của phương trình  . Đường thẳng  chia mặt phẳng tọa độ làm hai phần: một phần gồm tất
cả những điểm  x0 ; y0  mà F  x0 ; y0   0 , phần còn lại gồm tất cả những điểm  x0 ; y0  mà
F  x0 ; y0   0 . Như vậy, F  A   F  B   0 là điều kiện cần và đủ để A và B nằm về cùng một
phía của  . Tương tự, F  A   F  B   0 là điều kiện cần và đủ để A và B nằm về cùng một
phía của  .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
12
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
 Bài tập
Bài 1. Cho d1 : x  y  5  0 và d 2 : 3 x  4 y  2  0 . Giả sử  là đường thẳng đi qua điểm
A 1; 4  và cắt d1 , d 2 lần lượt tại các điểm B , C sao cho C là trung điểm của AB . Tìm tọa độ
điểm B .
Đáp số: B  3; 2  .
Bài 2. [ĐHB11Chuẩn] Cho  : x  y  4  0 và d : 2 x  y  2  0 . Tìm tọa độ điểm N thuộc d
sao cho ON cắt đường thẳng  tại điểm M thỏa mãn OM  ON  8 .
6 2
Đáp số: N  0; 2  hoặc N  ;  .
5 5
Bài 3. Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC cân tại A biết B  3; 2  , C  5; 2  và A nằm trên
đường thẳng d : x  2 y  7  0 .
Đáp số: A  1; 4  .
Bài 4. Cho điểm A  6; 4  và đường thẳng  : 4 x  5 y  3  0 .
1) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên  .
2) Tìm tọa độ điểm A ' đối xứng với A qua  .
Đáp số: 1) Hình chiếu của A lên  là H  2; 1 . 2) A '  2; 6  .
Bài 5. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng d : x  2 y  2  0 qua đường
thẳng  : x  y  1  0 .
Đáp số: 2 x  y  1  0 .
Bài 6. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng d : x  2 y  2  0 qua đường
thẳng điểm I  1;3 .
Đáp số: x  2 y  12  0 .
Bài 7. Cho đường thẳng  : 2 x  y  1  0 và hai điểm A 1;6  và B  3; 4  . Tìm tọa độ điểm
M thuộc đường thẳng  sao cho MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp số: M  0;1 .
Bài 8. Cho đường thẳng  : 3x  y  1  0 và hai điểm A  4;1 và B  0; 4  . Tìm tọa độ điểm M
thuộc đường thẳng  sao cho MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp số: M  2;5  .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
13
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
 Nội dung phương pháp
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, ta thường đưa phương trình của cả hai đường thẳng
về dạng tổng quát:
1 : a1 x  b1 y  c1  0 ,  2 : a2 x  b2 y  c2  0 .
Bài toán nói trên được quy về việc xét số nghiệm của hệ
a1 x  b1 y  c1  0
 . (1)
a2 x  b2 y  c2  0
a x  b1 y  c1
Hệ nói trên tương đương với  1 .
a2 x  b2 y  c2
a1 b1 c1 b1 a1 c1
Ký hiệu D  , Dx  , Dy  .
a2 b2 c2 b2 a2 c2
 1 và  2 cắt nhau  hệ (1) có nghiệm duy nhất  D  0 .
Dx D
Trong trường hợp này nghiệm duy nhất của hệ (1) là x  , y  y , nghiệm của hệ
D D
đồng thời là tọa độ giao điểm của 1 và  2 .
 D  0
 1 và  2 song song  hệ vô nghiệm   2 2
.
 Dx  Dy  0
 1 và  2 trùng nhau  hệ có vô số nghiệm D  Dx  Dy  0 .
 Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng 1 : mx  y  m 2  1  0 và  2 :  2  m  x  my  2  0 . Biện luận
theo m vị trí tương đối giữa hai đường thẳng nói trên.
Giải
Xét hệ gồm hai phương trình 1 và  2
mx  y  m 2  1  0 mx  y  m2  1
   .
 2  m  x  my  2  0  2  m  x  my  2
m 1 m2  1 1
Ta có D   m 2  m  2 , Dx   m3  m  2 ,
2m m 2 m
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
14