Chuyên đề phép biến hình trong mặt phẳng
- 16 trang
- file .doc
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG
CHUYÊN ĐỀ:
TÍCH CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG
MẶT PHẲNG
Người thực hiện: GV Phan Thị Thanh Huyền
Krông Năng, tháng 04/2010
1
GV: Phan Thị Thanh Huyền
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
MỤC LỤC
Chương 1: Mở đầu
1.1 – Lý do chọn đề tài
1.2 – Sơ lược về các phép biến hình trong mặt phẳng.
1.2.1 – Phép biến hình.
1.2.2 – Phép dời hình.
1.2.3 – Phép đồng dạng.
Chương 2: Tích các phép biến hình trong mặt phẳng.
2.1 – Tích của hai phép tịnh tiến.
2.2 – Tích của hai phép đối xứng trục.
2.3 – Tích của hai phép đối xứng tâm.
2.4 – Tích của hai phép quay.
2.5 – Tích của hai phép vị tự.
2.6 – Tích của phép đối xứng trục và phép tịnh tiến.
2.7 – Tích của phép quay và phép đối xứng trục.
2.8 – Mở rộng
Chương 3: Bài tập áp dụng.
Tài liệu tham khảo
2
GV: Phan Thị Thanh Huyền
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
Chương 1: MỞ ĐẦU
1.1 – Lý do chọn đề tài
Phép biến hình là một khái niệm có thể nói là mới và khó đối với học sinh
trung học phổ thông. Mục đích của việc đưa nội dung các phép biến hình vào
chương trình toán phổ thông là nhằm cung cấp cho học sinh một công cụ mới để
giải toán đồng thời tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư duy và suy
luận mới. Tuy nhiên, việc dạy học các chủ đề về phép biến hình ở trường trung
học phổ thông người ta chỉ nhắm đến ba cấp độ:
Cấp độ 1: Phép biến hình gắn liền với mối liên hệ giữa hai hình hoặc giữa
hai phần của một hình ( đặc trưng hàm hoàn toàn vắng mặt).
Cấp độ 2: Phép biến hình được hiểu là ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng quát
hơn , từ không gian lên chính nó, ở đó mặt phẳng và không gian được nghiên
cứu với tư cách là các tập hợp điểm.
Cấp độ 3: Phép biến hình được xem như một công cụ giải toán hình học.
Trong đó, cấp độ 2 là một trọng tâm, còn cấp độ 3 được đòi hỏi cao thấp
thế nào là tùy vào từng thể chế dạy học.
Trong chuyên đề này, tôi chỉ đề cập đến các phép biến hình trong mặt
phẳng, tích các phép biến hình trong mặt phẳng và một vài ứng dụng của chúng
vào việc giải toán hình học.
Trên thực tế, sách giáo khoa Hình học 11 (cơ bản và nâng cao) đều không
nói đến tích các phép biến hình trong mặt phẳng nhưng lại đề cập đến việc “thực
hiện liên tiếp các phép biến hình”. Chính vì vậy, với chuyên đề nhỏ này, tôi hi
vọng có thể giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về “ Tích các phép biến hình trong
mặt phẳng” và ứng dụng nó vào giải toán.
1.2 – Sơ lược về các phép biến hình trong mặt phẳng.
1.2.1 – Phép biến hình.
Ta kí hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng là . Khi đó mỗi hình
bất kì của mặt phẳng đều là một tập con của và được kí hiệu .
a) Định nghĩa
Một song ánh từ tập điểm của lên chính nó được gọi là một
phép biến hình trong mặt phẳng.
Điểm gọi là ảnh của điểm qua phép biến hình . Ngược lại
điểm gọi là tạo ảnh của điểm qua phép biến hình nói trên.
3
GV: Phan Thị Thanh Huyền
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
Nếu là một hình nào đó của thì ta có thể xác định tập hợp
. Khi đó gọi là ảnh của hình qua phép biến hình
và hình được gọi là tạo ảnh của hình qua phép biến hình đó.
b) Sự xác định phép biến hình.
Muốn xác định một phép biến hình ta cần nêu rõ quy tắc đó
bằng các cách sau đây:
_ Quy tắc được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong mặt
phẳng như: Tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được xác định nào đó, dựng
đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước,
dựng đường tròn với tâm và bán kính đã cho, ...
_ Quy tắc còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ
của điểm với tọa độ của điểm đối với hệ tọa độ nào
đó.
c) Phép đồng nhất
Phép biến hình , biến mỗi điểm thành chính nó được gọi là
phép đồng nhất
Kí hiệu:
d) Điểm bất động của phép biến hình.
Một điểm là điểm bất động (hoặc là điểm kép) đối với phép biến
hình nếu .
e) Phép biến hình đảo ngược.
Trong mặt phẳng, cho phép biến hình . Khi đó phép biến hình
biến được gọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình .
Kí hiệu:
Mỗi phép biến hình có duy nhất một phép biến hình đảo ngược .
Nếu thì phép biến hình gọi là phép biến hình đối hợp.
f) Tích các phép biến hình
Dễ dàng chứng minh được:
Tích của hai phép biến hình là một phép biến hình.
Tích các phép biến hình có tính chất kết hợp.
Tích của hai phép biến hình đảo ngược nhau là phép đồng nhất.
1.2.2 – Phép dời hình
4
GV: Phan Thị Thanh Huyền
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
a) Định nghĩa
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất
kì.
Nhận xét: i) Phép đồng nhất là phép dời hình.
ii) Đảo ngược của phép dời hình là phép dời hình.
b) Các phép dời hình
i) Phép tịnh tiến
ĐỊNH NGHĨA:
Trong mặt phẳng P cho vectơ ,
phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’
sao cho gọi là phép tịnh tiến theo vectơ
Kí hiệu: , vectơ gọi là vectơ tịnh tiến.
ii) Phép đối xứng trục
ĐỊNH NGHĨA:
Trong mặt phẳng P cho một đường thẳng d cố định,
phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’
sao cho đoạn thẳng MM’ nhận d làm đường trung trực
thì phép biến hình đó gọi là phép đối xứng trục d
Kí hiệu: Đd, với d là trục đối xứng
Nếu điểm M thuộc đường thẳng d thì ta lấy M’ trùng với M.
iii) Phép đối xứng tâm
ĐỊNH NGHĨA:
Trong mặt phẳng P cho điểm O cố định,
phép biến hình biến mỗi điểm M thành một điểm M’
sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM’
gọi là phép đối xứng tâm O.
Kí hiệu: ĐO, điểm O gọi là tâm đối xứng.
iv) Phép quay
ĐỊNH NGHĨA:
Trong mặt phẳng P, cho một điểm O cố định
và góc lượng giác . Phép quay tâm O, góc quay
là phép biến hình biến điểm O thành chính nó,
biến mỗi điểm M thành điểm M’
sao cho
Kí hiệu: , O là tâm quay, là góc quay.
Nhận xét : - Phép quay tâm O, góc quay 0o là phép đồng nhất.
- Phép quay tâm O, góc quay là phép đối xứng tâm O.
5
GV: Phan Thị Thanh Huyền
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
1.2.3 Phép đồng dạng
a) Phép vị tự
ĐỊNH NGHĨA :
Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và một số . Phép biến hình biến
mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ
số k
Kí hiệu : , O gọi là tâm vị tự, k gọi là tỉ số vị tự.
Nhận xét : - Phép vị tự tỉ số 1 là phép đồng nhất.
- Phép vị tự tỉ số -1 là phép đối xứng tâm.
b) Phép đồng dạng
ĐỊNH NGHĨA :
Một phép biến hình gọi là một phép đồng dạng nếu nó biến hai
điểm A, B bất kì của mặt phẳng thành hai điểm A’=f(A) và B’=f(B) sao cho luôn
có A’B’=kAB, trong đó k là số thực dương xác định. Số k được gọi là tỉ số đồng
dạng
Nhận xét : - Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.
- Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số /k/.
- Phép đảo ngược của phép đồng dạng tỉ số k là phép đồng
dạng tỉ số 1/k.
- Tích của một phép đồng dạng tỉ số k 1 với phép đồng dạng tỉ
số k2 là một phép đồng dạng với tỉ số k1. k2.
Chương 2 : TÍCH CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
2.1 – Tích của hai phép tịnh tiến.
6
GV: Phan Thị Thanh Huyền
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
Tích của hai phép tịnh tiến theo vectơ là một phép tịnh tiến theo
vectơ .
Chứng minh :
Trong mặt phẳng lấy điểm bất kì
Giả sử:
M’
M’’
Ta có:
M
Suy ra
Vậy .
* Nhận xét: Tích của hai phép tịnh tiến có tính chất giao hoán.
(Bạn đọc tự kiểm chứng).
2.2 - Tích của hai phép đối xứng trục.
a. Tích của hai phép đối xứng có trục song.
Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có trục là song song
với nhau là một phép tịnh tiến theo vectơ có phương vuông góc với hai trục,
có hướng từ và và có môđun bằng hai lần khoảng cách giữa hai trục đó.
Chứng minh:
Gọi Đa và Đb là hai phép đối xứng trục có hai trục a và b song song.
Với điểm M bất kì ta có M’= Đa(M), M’’= Đb(M’)
Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn MM’ và nếu gọi H là trung điểm
của MM’ thì và .
Tương tự, nếu gọi H’là trung điểm của M’M” thì và .
Vậy
Mặt khác ta nhận thấy rằng ba điểm M, M’, M’’ nằm trên một đường thẳng
vuông góc với a và b, đồng thời vectơ không phụ thuộc vào vị trí điểm M và
vectơ này có hướng từ a đến b, có phương vuông góc với a và b, có độ dài bằng
khoảng cách giữa hai trục đó. Do đó phương của đường thẳng MM’ không đổi vì
nó luôn vuông góc với a và b. Như vậy tích của hai phép đối xứng trục Đ a và Đb
biến điểm M thành điểm M’’ với chính là phép tịnh tiến theo vectơ
.
Do đó: ĐbĐa= a
b
7
GV: Phan Thị Thanh Huyền
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
* Chú ý: Tích của hai phép đối xứng này không có tính chất giao hoán.
Nhận xét: Mỗi phép tịnh tiến đều có thể phân tích thành tích của hai phép đối
xứng có trục song song.
b. Tích của hai phép đối xứng có trục cắt nhau:
Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có 2 trục a và b cắt nhau tại
O là một phép quay tâm O góc quay bằng 2 lần góc giữa hai đường thẳng a
và b.
Chứng minh:
Gọi Đa và Đb là 2 phép đối xứng trục với hai trục là a và b cắt nhau tại O. Với
một điểm M bất kỳ khác O, ta gọi
M’ = Đa(M),
M’’ = Đa(M’)
Như vậy tích Đb Đa biến điểm M thành M’’
Gọi H và H’ lần lượt là trung điểm của MM’ và M’M’’ thì H’ b
Ta có
Do đó
Trong đó (a,b) là góc định hướng tạo bởi a và b. Góc này xác định sai khác một
bội số của . Dó đó nếu thì
Ngoài ra OM = OM’ = OM’’.
Nếu M O thì tích ĐbĐa biến O thành O.
Vậy tích của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau tại O tạo thành một
góc là một phép quay tâm O với góc .
8
GV: Phan Thị Thanh Huyền
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
Nhận xét:
i. Tích của 2 phép đối xứng có trục vuông góc tại O là phép đối xứng tâm
O.
ii. Mỗi phép quay ta có thể phân tích thành tích của hai phép đối xứng có
trục cắt nhau.
(Bạn đọc tự kiểm chứng)
2.3 – Tích của hai phép đối xứng tâm:
Tích của hai phép đối xứng tâm I 1, I2 (I1 I2) theo thứ tự là phép tịnh
tiến theo véctơ
Chứng minh:
Gọi Đ và Đ là hai phép đối xứng tâm I1, I2.
Với điểm M bất kỳ
Giả sử Đ (M) = M’
Đ (M’) = M’’
Ta có
Vậy
2.4 – Tích của hai phép quay:
a. Tích của hai phép quay cùng tâm.
Tích của hai phép quay là một phép quay
Chứng minh:
Gọi là hai phép tâm O góc quay và phép quay tâm O góc quay
với mỗi điểm M bất kì
Giả sử
Ta có
Và
Vậy
9
GV: Phan Thị Thanh Huyền
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
b. Tích của hai phép quay khác tâm:
Phân tích:
Giả sử
Qua O1,O2 lần lượt kẻ đường thẳng d1, d2 sao cho .
Đặt
= (Đ Đ )(Đ Đ )
= Đ (Đ Đ )Đ
=Đ Đ
(Vì tích Đ Đ là phép đồng nhất)
Nếu d1 // d2 thì f là một phép tịnh tiến
Nếu d1 cắt d2 thì f là một phép quay.
Tóm lại:
Tích của hai phép quay hoặc là một phép quay
hoặc là một phép tịnh tiến.
2.5 – Tích của hai phép vị tự.
a. Tích của hai phép vị tự cùng tâm.
Tích của hai phép vị tự là một phép vị tự
Chứng minh.
Giả sử: , M bất kì
Ta có
Vậy
Nhận xét: Nếu thì tích đó là một phép đồng nhất.
10
GV: Phan Thị Thanh Huyền
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
b. Tích của hai phép vị tự khác tâm.
Tích của hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự có tâm thẳng hàng
với hai tâm của hai phép vị tự đã cho hoặc đặc biệt là một phép tịnh tiến hay
phép đồng nhất.
Chứng minh:
Giả sử có hai phép vị tự
Với hai điểm bất kỳ A, B ta có
với
với
Do đó
Vậy tích là
Phép vị tự nếu
Phép tịnh tiến hoặc phép đồng nhất nếu
* Cách xác định tâm vị tự O của tích
Ta thấy tâm O phải nằm trên đường thẳng O1O2
Giả sử ta có (1)
Khi đó (vì )
Nên (2)
Nhưng
Do đó
Theo (1)
với
Nên (*)
Vì đã cho nên điểm O hoàn toàn xác định nhờ (*)
Vậy:
Nếu thì là một phép vị tự tâm O được xác định bởi
hệ thức (*), tỉ số .
Nếu thì , do đó là một phép tịnh
tiến nếu và là phép đồng nhất nếu .
11
GV: Phan Thị Thanh Huyền
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
2.6 – Tích của phép đối xứng trục Đd và phép tịnh tiến .
Đặt Đd .
a) Nếu
Kẻ đường thẳng d1 thỏa
Khi đó ĐdĐd
Suy ra Đd
Đd(ĐdĐd ) = Đd
Vậy tích của phép đối xứng trục Đ d và phép tịnh tiến , vuông góc với trục
đối xứng d là một phép đối xứng trục.
b) Nếu không vuông góc với d
Phân tích
Trong đó
Đ d = Đ d( )
= (Đd (với d1 được xác định như trường hợp a)
Ta gọi tích của một phép tịnh tiến và phép đối xứng trục Đd , với là một
phép đối xứng trượt.
Kí hiệu: Đ .
Nhận xét: Phép đối xứng trượt có tính chất giao hoán nghĩa là:
Đd Đd
2.7 – Tích của một phép quay và một phép đối xứng trục.
Giả sử Đd
Kẻ d1, d2 thỏa:
d1 cắt d2 tại O
Khi đó: Đd
= Đd(Đd Đd )
= (ĐdĐd Đd )
12
GV: Phan Thị Thanh Huyền
TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG
CHUYÊN ĐỀ:
TÍCH CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG
MẶT PHẲNG
Người thực hiện: GV Phan Thị Thanh Huyền
Krông Năng, tháng 04/2010
1
GV: Phan Thị Thanh Huyền
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
MỤC LỤC
Chương 1: Mở đầu
1.1 – Lý do chọn đề tài
1.2 – Sơ lược về các phép biến hình trong mặt phẳng.
1.2.1 – Phép biến hình.
1.2.2 – Phép dời hình.
1.2.3 – Phép đồng dạng.
Chương 2: Tích các phép biến hình trong mặt phẳng.
2.1 – Tích của hai phép tịnh tiến.
2.2 – Tích của hai phép đối xứng trục.
2.3 – Tích của hai phép đối xứng tâm.
2.4 – Tích của hai phép quay.
2.5 – Tích của hai phép vị tự.
2.6 – Tích của phép đối xứng trục và phép tịnh tiến.
2.7 – Tích của phép quay và phép đối xứng trục.
2.8 – Mở rộng
Chương 3: Bài tập áp dụng.
Tài liệu tham khảo
2
GV: Phan Thị Thanh Huyền
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
Chương 1: MỞ ĐẦU
1.1 – Lý do chọn đề tài
Phép biến hình là một khái niệm có thể nói là mới và khó đối với học sinh
trung học phổ thông. Mục đích của việc đưa nội dung các phép biến hình vào
chương trình toán phổ thông là nhằm cung cấp cho học sinh một công cụ mới để
giải toán đồng thời tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư duy và suy
luận mới. Tuy nhiên, việc dạy học các chủ đề về phép biến hình ở trường trung
học phổ thông người ta chỉ nhắm đến ba cấp độ:
Cấp độ 1: Phép biến hình gắn liền với mối liên hệ giữa hai hình hoặc giữa
hai phần của một hình ( đặc trưng hàm hoàn toàn vắng mặt).
Cấp độ 2: Phép biến hình được hiểu là ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng quát
hơn , từ không gian lên chính nó, ở đó mặt phẳng và không gian được nghiên
cứu với tư cách là các tập hợp điểm.
Cấp độ 3: Phép biến hình được xem như một công cụ giải toán hình học.
Trong đó, cấp độ 2 là một trọng tâm, còn cấp độ 3 được đòi hỏi cao thấp
thế nào là tùy vào từng thể chế dạy học.
Trong chuyên đề này, tôi chỉ đề cập đến các phép biến hình trong mặt
phẳng, tích các phép biến hình trong mặt phẳng và một vài ứng dụng của chúng
vào việc giải toán hình học.
Trên thực tế, sách giáo khoa Hình học 11 (cơ bản và nâng cao) đều không
nói đến tích các phép biến hình trong mặt phẳng nhưng lại đề cập đến việc “thực
hiện liên tiếp các phép biến hình”. Chính vì vậy, với chuyên đề nhỏ này, tôi hi
vọng có thể giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về “ Tích các phép biến hình trong
mặt phẳng” và ứng dụng nó vào giải toán.
1.2 – Sơ lược về các phép biến hình trong mặt phẳng.
1.2.1 – Phép biến hình.
Ta kí hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng là . Khi đó mỗi hình
bất kì của mặt phẳng đều là một tập con của và được kí hiệu .
a) Định nghĩa
Một song ánh từ tập điểm của lên chính nó được gọi là một
phép biến hình trong mặt phẳng.
Điểm gọi là ảnh của điểm qua phép biến hình . Ngược lại
điểm gọi là tạo ảnh của điểm qua phép biến hình nói trên.
3
GV: Phan Thị Thanh Huyền
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
Nếu là một hình nào đó của thì ta có thể xác định tập hợp
. Khi đó gọi là ảnh của hình qua phép biến hình
và hình được gọi là tạo ảnh của hình qua phép biến hình đó.
b) Sự xác định phép biến hình.
Muốn xác định một phép biến hình ta cần nêu rõ quy tắc đó
bằng các cách sau đây:
_ Quy tắc được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong mặt
phẳng như: Tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được xác định nào đó, dựng
đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước,
dựng đường tròn với tâm và bán kính đã cho, ...
_ Quy tắc còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ
của điểm với tọa độ của điểm đối với hệ tọa độ nào
đó.
c) Phép đồng nhất
Phép biến hình , biến mỗi điểm thành chính nó được gọi là
phép đồng nhất
Kí hiệu:
d) Điểm bất động của phép biến hình.
Một điểm là điểm bất động (hoặc là điểm kép) đối với phép biến
hình nếu .
e) Phép biến hình đảo ngược.
Trong mặt phẳng, cho phép biến hình . Khi đó phép biến hình
biến được gọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình .
Kí hiệu:
Mỗi phép biến hình có duy nhất một phép biến hình đảo ngược .
Nếu thì phép biến hình gọi là phép biến hình đối hợp.
f) Tích các phép biến hình
Dễ dàng chứng minh được:
Tích của hai phép biến hình là một phép biến hình.
Tích các phép biến hình có tính chất kết hợp.
Tích của hai phép biến hình đảo ngược nhau là phép đồng nhất.
1.2.2 – Phép dời hình
4
GV: Phan Thị Thanh Huyền
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
a) Định nghĩa
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất
kì.
Nhận xét: i) Phép đồng nhất là phép dời hình.
ii) Đảo ngược của phép dời hình là phép dời hình.
b) Các phép dời hình
i) Phép tịnh tiến
ĐỊNH NGHĨA:
Trong mặt phẳng P cho vectơ ,
phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’
sao cho gọi là phép tịnh tiến theo vectơ
Kí hiệu: , vectơ gọi là vectơ tịnh tiến.
ii) Phép đối xứng trục
ĐỊNH NGHĨA:
Trong mặt phẳng P cho một đường thẳng d cố định,
phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’
sao cho đoạn thẳng MM’ nhận d làm đường trung trực
thì phép biến hình đó gọi là phép đối xứng trục d
Kí hiệu: Đd, với d là trục đối xứng
Nếu điểm M thuộc đường thẳng d thì ta lấy M’ trùng với M.
iii) Phép đối xứng tâm
ĐỊNH NGHĨA:
Trong mặt phẳng P cho điểm O cố định,
phép biến hình biến mỗi điểm M thành một điểm M’
sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM’
gọi là phép đối xứng tâm O.
Kí hiệu: ĐO, điểm O gọi là tâm đối xứng.
iv) Phép quay
ĐỊNH NGHĨA:
Trong mặt phẳng P, cho một điểm O cố định
và góc lượng giác . Phép quay tâm O, góc quay
là phép biến hình biến điểm O thành chính nó,
biến mỗi điểm M thành điểm M’
sao cho
Kí hiệu: , O là tâm quay, là góc quay.
Nhận xét : - Phép quay tâm O, góc quay 0o là phép đồng nhất.
- Phép quay tâm O, góc quay là phép đối xứng tâm O.
5
GV: Phan Thị Thanh Huyền
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
1.2.3 Phép đồng dạng
a) Phép vị tự
ĐỊNH NGHĨA :
Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và một số . Phép biến hình biến
mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ
số k
Kí hiệu : , O gọi là tâm vị tự, k gọi là tỉ số vị tự.
Nhận xét : - Phép vị tự tỉ số 1 là phép đồng nhất.
- Phép vị tự tỉ số -1 là phép đối xứng tâm.
b) Phép đồng dạng
ĐỊNH NGHĨA :
Một phép biến hình gọi là một phép đồng dạng nếu nó biến hai
điểm A, B bất kì của mặt phẳng thành hai điểm A’=f(A) và B’=f(B) sao cho luôn
có A’B’=kAB, trong đó k là số thực dương xác định. Số k được gọi là tỉ số đồng
dạng
Nhận xét : - Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.
- Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số /k/.
- Phép đảo ngược của phép đồng dạng tỉ số k là phép đồng
dạng tỉ số 1/k.
- Tích của một phép đồng dạng tỉ số k 1 với phép đồng dạng tỉ
số k2 là một phép đồng dạng với tỉ số k1. k2.
Chương 2 : TÍCH CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
2.1 – Tích của hai phép tịnh tiến.
6
GV: Phan Thị Thanh Huyền
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
Tích của hai phép tịnh tiến theo vectơ là một phép tịnh tiến theo
vectơ .
Chứng minh :
Trong mặt phẳng lấy điểm bất kì
Giả sử:
M’
M’’
Ta có:
M
Suy ra
Vậy .
* Nhận xét: Tích của hai phép tịnh tiến có tính chất giao hoán.
(Bạn đọc tự kiểm chứng).
2.2 - Tích của hai phép đối xứng trục.
a. Tích của hai phép đối xứng có trục song.
Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có trục là song song
với nhau là một phép tịnh tiến theo vectơ có phương vuông góc với hai trục,
có hướng từ và và có môđun bằng hai lần khoảng cách giữa hai trục đó.
Chứng minh:
Gọi Đa và Đb là hai phép đối xứng trục có hai trục a và b song song.
Với điểm M bất kì ta có M’= Đa(M), M’’= Đb(M’)
Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn MM’ và nếu gọi H là trung điểm
của MM’ thì và .
Tương tự, nếu gọi H’là trung điểm của M’M” thì và .
Vậy
Mặt khác ta nhận thấy rằng ba điểm M, M’, M’’ nằm trên một đường thẳng
vuông góc với a và b, đồng thời vectơ không phụ thuộc vào vị trí điểm M và
vectơ này có hướng từ a đến b, có phương vuông góc với a và b, có độ dài bằng
khoảng cách giữa hai trục đó. Do đó phương của đường thẳng MM’ không đổi vì
nó luôn vuông góc với a và b. Như vậy tích của hai phép đối xứng trục Đ a và Đb
biến điểm M thành điểm M’’ với chính là phép tịnh tiến theo vectơ
.
Do đó: ĐbĐa= a
b
7
GV: Phan Thị Thanh Huyền
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
* Chú ý: Tích của hai phép đối xứng này không có tính chất giao hoán.
Nhận xét: Mỗi phép tịnh tiến đều có thể phân tích thành tích của hai phép đối
xứng có trục song song.
b. Tích của hai phép đối xứng có trục cắt nhau:
Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có 2 trục a và b cắt nhau tại
O là một phép quay tâm O góc quay bằng 2 lần góc giữa hai đường thẳng a
và b.
Chứng minh:
Gọi Đa và Đb là 2 phép đối xứng trục với hai trục là a và b cắt nhau tại O. Với
một điểm M bất kỳ khác O, ta gọi
M’ = Đa(M),
M’’ = Đa(M’)
Như vậy tích Đb Đa biến điểm M thành M’’
Gọi H và H’ lần lượt là trung điểm của MM’ và M’M’’ thì H’ b
Ta có
Do đó
Trong đó (a,b) là góc định hướng tạo bởi a và b. Góc này xác định sai khác một
bội số của . Dó đó nếu thì
Ngoài ra OM = OM’ = OM’’.
Nếu M O thì tích ĐbĐa biến O thành O.
Vậy tích của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau tại O tạo thành một
góc là một phép quay tâm O với góc .
8
GV: Phan Thị Thanh Huyền
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
Nhận xét:
i. Tích của 2 phép đối xứng có trục vuông góc tại O là phép đối xứng tâm
O.
ii. Mỗi phép quay ta có thể phân tích thành tích của hai phép đối xứng có
trục cắt nhau.
(Bạn đọc tự kiểm chứng)
2.3 – Tích của hai phép đối xứng tâm:
Tích của hai phép đối xứng tâm I 1, I2 (I1 I2) theo thứ tự là phép tịnh
tiến theo véctơ
Chứng minh:
Gọi Đ và Đ là hai phép đối xứng tâm I1, I2.
Với điểm M bất kỳ
Giả sử Đ (M) = M’
Đ (M’) = M’’
Ta có
Vậy
2.4 – Tích của hai phép quay:
a. Tích của hai phép quay cùng tâm.
Tích của hai phép quay là một phép quay
Chứng minh:
Gọi là hai phép tâm O góc quay và phép quay tâm O góc quay
với mỗi điểm M bất kì
Giả sử
Ta có
Và
Vậy
9
GV: Phan Thị Thanh Huyền
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
b. Tích của hai phép quay khác tâm:
Phân tích:
Giả sử
Qua O1,O2 lần lượt kẻ đường thẳng d1, d2 sao cho .
Đặt
= (Đ Đ )(Đ Đ )
= Đ (Đ Đ )Đ
=Đ Đ
(Vì tích Đ Đ là phép đồng nhất)
Nếu d1 // d2 thì f là một phép tịnh tiến
Nếu d1 cắt d2 thì f là một phép quay.
Tóm lại:
Tích của hai phép quay hoặc là một phép quay
hoặc là một phép tịnh tiến.
2.5 – Tích của hai phép vị tự.
a. Tích của hai phép vị tự cùng tâm.
Tích của hai phép vị tự là một phép vị tự
Chứng minh.
Giả sử: , M bất kì
Ta có
Vậy
Nhận xét: Nếu thì tích đó là một phép đồng nhất.
10
GV: Phan Thị Thanh Huyền
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
b. Tích của hai phép vị tự khác tâm.
Tích của hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự có tâm thẳng hàng
với hai tâm của hai phép vị tự đã cho hoặc đặc biệt là một phép tịnh tiến hay
phép đồng nhất.
Chứng minh:
Giả sử có hai phép vị tự
Với hai điểm bất kỳ A, B ta có
với
với
Do đó
Vậy tích là
Phép vị tự nếu
Phép tịnh tiến hoặc phép đồng nhất nếu
* Cách xác định tâm vị tự O của tích
Ta thấy tâm O phải nằm trên đường thẳng O1O2
Giả sử ta có (1)
Khi đó (vì )
Nên (2)
Nhưng
Do đó
Theo (1)
với
Nên (*)
Vì đã cho nên điểm O hoàn toàn xác định nhờ (*)
Vậy:
Nếu thì là một phép vị tự tâm O được xác định bởi
hệ thức (*), tỉ số .
Nếu thì , do đó là một phép tịnh
tiến nếu và là phép đồng nhất nếu .
11
GV: Phan Thị Thanh Huyền
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
2.6 – Tích của phép đối xứng trục Đd và phép tịnh tiến .
Đặt Đd .
a) Nếu
Kẻ đường thẳng d1 thỏa
Khi đó ĐdĐd
Suy ra Đd
Đd(ĐdĐd ) = Đd
Vậy tích của phép đối xứng trục Đ d và phép tịnh tiến , vuông góc với trục
đối xứng d là một phép đối xứng trục.
b) Nếu không vuông góc với d
Phân tích
Trong đó
Đ d = Đ d( )
= (Đd (với d1 được xác định như trường hợp a)
Ta gọi tích của một phép tịnh tiến và phép đối xứng trục Đd , với là một
phép đối xứng trượt.
Kí hiệu: Đ .
Nhận xét: Phép đối xứng trượt có tính chất giao hoán nghĩa là:
Đd Đd
2.7 – Tích của một phép quay và một phép đối xứng trục.
Giả sử Đd
Kẻ d1, d2 thỏa:
d1 cắt d2 tại O
Khi đó: Đd
= Đd(Đd Đd )
= (ĐdĐd Đd )
12
GV: Phan Thị Thanh Huyền