Chuyên đề mặt phẳng tọa độ
- 12 trang
- file .pdf
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
Mặt phẳng tọa độ
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Các định nghĩa
Hệ trục toạ độ Oxy gồm hai trục tọa độ Ox , Oy vuông góc với y
nhau. Véc-tơ đơn vị trên Ox là i , véc-tơ đơn vị trên Oy là j .
j
Tọa độ của véc-tơ: a x; y a xi y j . i
x
O
Tọa độ của điểm: M x; y OM x; y OM x.i y. j .
2. Tính chất
Tính chất của tọa độ véc-tơ: Cho a x; y và b x '; y ' , ta có
x x '
1. a b ; 2. a b x x '; y y ' ; 3. ka kx; ky ; 4. a.b xx ' yy ' ;
y y'
a b xx ' yy '
5. a x 2 y 2 ; 6. cos a, b
ab x 2 y 2 x '2 y '2
( a , b 0 );
x kx '
7. a b xx ' yy ' 0 ; 8. a b k xy ' x ' y ,
y ky '
x y
Đặc biệt: khi cả y và y ' đều khác 0 , ta có a b .
x y
Tính chất của tọa độ điểm: Giả sử A x A ; y A , B xB ; y B , C xC ; yC , ta có
2 2
+) AB xB x A ; y B y A , AB xB x A y B y A ;
x A xB
xM 2
+) M xM ; yM là trung điểm của AB ;
y y A y B
M 2
x A xB xC
xG 3
+) G xG ; yG là trọng tâm tam giác ABC .
y y A yB yC
G 3
NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
B. Các dạng bài tập
Dạng 1. Tìm tọa độ của một điểm và véc-tơ
Ví dụ 1. Cho hai véc-tơ a 1;2 , b 2; 4 .
1) Tìm tọa độ của các véc-tơ a b , a b , 4a 3b .
2) Tính độ dài của hai véc-tơ a , b , tích vô hướng và cô-sin của góc giữa hai véc-tơ a , b . Góc
giữa hai véc-tơ a , b là góc nhọn hay góc tù.
Giải
1) Áp dụng công thức tính tọa độ của véc-tơ ta có a b 3; 2 , a b 1;6 .
Áp dụng công thức tính tọa độ của tích một số với một véc-tơ ta có 4a 4;8 , 3b 6; 12 ,
suy ra 4a 3b 2;20 .
2) Áp dụng công thức tính tính độ dài của véc-tơ ta có a 5 , b 2 5 .
Áp dụng công thức tính tích vô hướng và cô-sin của góc giữa hai véc-tơ ta có
a b 6 3
a b 6 , cos a, b
ab 5 2 5
.
5
cos a, b 0 nên a, b là góc tù.
Ví dụ 2. Cho hai véc-tơ a m;3 , b 2;2m 1 ( m là tham số). Tìm m để hai véc-tơ đã cho
cùng phương.
Giải
m 3
Hai véc-tơ đã cho cùng phương khi và chỉ khi , hay 2m 2 m 6 0 . Giải phương
2 2 m 1
3
trình này ta được m 2 hoặc m .
2
Ví dụ 3. Cho ba điểm A 0;1 , B 1; 2 , C 2; 2 .
1) Chứng minh rằng A , B , C là ba đỉnh của một tam giác.
2) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
3) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Tìm điểm E trên trục hoành sao A , G , E thẳng
hàng.
4) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC .
NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
Giải
1 3
1) Ta có AB 1; 3 , AC 2;1 . Vì nên hai véc tơ AB và AC không cùng phương .
2 1
Do đó A , B , C không thẳng hàng, suy ra A , B , C là ba đỉnh của một tam giác.
2) Gọi D a; b . Ta có AD a; b 1 , BC 1; 4 . Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ
khi
a 1 a 1
AD BC .
b 1 4 b 5
Vậy D 1;5 .
1
3) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là G 1; . Vì E thuộc trục hoành nên tọa độ có
3
2
dạng E a; 0 . Ta có AG 1; , AE a; 1 . Ba điểm A , G , E thẳng hàng khi và chỉ khi
3
a 1 3
2 a .
1 3 2
3
Vậy E ; 0 .
2
4) Gọi H a; b . Ta có CH a 2; b 2 , BH a 1; b 2 . H là trực tâm của tam giác
ABC khi và chỉ khi
4
CH . AB 0 1. a 2 3. b 2 0 a 3b 4 a 7
.
BH . AC 0 2. a 1 1. b 2 0 2 a b 0 b 8
7
4 8
Vậy H ; .
7 7
Nhận xét. Trong ví dụ này tác giả muốn nhắc lại cho các em một số phương pháp tìm tọa độ
điểm như dùng đẳng thức véc-tơ, sự cùng phương của hai véc-tơ, dùng tích vô hướng. Chúng ta
tiếp tục nghiên cứu ví dụ sau đây, một ví dụ khác tìm tọa độ một điểm dựa vào đẳng thức độ dài.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC cân tại A biết B 1;0 và C 0;3 . Tìm tọa độ điểm A sao cho
AB 5 .
Giải
NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
Gọi A a; b . Từ giả thiết ta có
2
1 a b 25
2 2 2
1 a b 25
2
AB 25
2 2
2 2
.
2 2
AB AC 1 a b a 3 b a 3b 4
Thay phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất ta được
2 b 0 a 4
5 3b b 2 25 b 2 3b 0 .
b 3 a 5
Vậy A 4;0 hoặc A 5;3 .
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC . Biết M 1; 2 , N 3; 2 , P 5; 0 lần lượt là toạ độ trung điểm
các cạnh AB , BC , CA của tam giác. Hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác.
Giải
Ta thấy AM PN . Sử dụng điều kiện bằng nhau của hai A
1 x A 8
véc-tơ, ta có . Suy ra A 7; 4 .
2 y A 2 P
M
x 2 xM xA 9
Vì B đối xứng với A qua M nên B ,
y B 2 yM y A 0
B N C
suy ra B 9;0 .
x 2 xN xB 3
Tương tự, C đối xứng với B qua N nên C , suy ra C 3; 4 . Vậy A 7; 4 ,
yC 2 y N yB 4
B 9;0 , C 3; 4 .
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC . Biết A 1; 2 , B 3; 4 và C thuộc trục hoành. Tìm tọa độ điểm
C sao cho trọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng đi qua B và gốc tọa độ O .
Giải
Điểm C thuộc trục hoành nên tọa độ có dạng C c; 0 . Theo công thức xác định tọa độ trọng tâm
x A xB xC c 2
xG 3
3 c2 c 2
thì , hay G ;3 . Ta có OG ;3 , OB 3;4 . G thuộc
y y A yB yC 3 3 3
G
3
NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
c 2
3
đường thẳng qua B và gốc tọa độ khi và chỉ khi OG và OB cùng phương, có nghĩa là 3 .
3 4
35 35
Giải phương trình này ta được c . Vậy C ; 0 .
4 4
Ví dụ 7. Cho A 1; 2 và B 3; 7 . Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC
cân tại C .
Giải
Tam giác ABC cân tại C khi và chỉ khi AC BC và A , B , C không thẳng hàng. Điểm C
thuộc trục tung nên tọa độ C có dạng C 0; c . Ta có
AC 1; c 2 AC 2 c 2 4c 5 , BC 3; c 7 BC 2 c 2 14c 58 .
Phương trình AC BC tương đương với c 2 4c 5 c 2 14c 58 . Phương trình này có
53 33 4 5
nghiệm duy nhất c . Khi đó AB 4;5 , AC 1; . Vì 33 nên A , B , C không
10 10 1 10
53
thẳng hàng. Vậy C 0; .
10
450
Ví dụ 8. Cho hai điểm B 1;1 và C 0;3 . Tìm điểm A trên trục hoành sao cho BAC
Giải
Vì A thuộc trục hoành nên tọa độ A có dạng A a; 0 . Do đó AB 1 a;1 , AC a;3 .
là góc giữa hai véc tơ AB, AC . Theo công thức tính góc giữa hai véc tơ, ta có
Góc BAC
1 a2 a 3
2
cos 450 cos AB, AC 1 a 2 12 . a 2 9
.
2
Bình phương hai vế ta được 2 a 2 a 3 a 2 2a 2 a 2 9 .
Khai triển và phân tích thành nhân tử
a 0
Bình phương hai vế ta được a a 1 a 2 3a 6 0 (vì a 2 3a 6 0 với mọi a ).
a 1
Vậy A 0; 0 hoặc A 1;0 .
NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 5
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
90 . Điểm M 1; 1 là trung điểm
Ví dụ 9. (B.03) Cho tam gi¸c ABC biÕt AB AC , BAC
2
của BC và G ; 0 là trọng tâm của tam giác. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
3
Giải
Gọi A a; b . Theo tính chất của trọng tâm, ta có
1 a 1 1 a 0
MA 3MG a 1; b 1 3 ;1 .
3 b 1 3 b 2
Vậy A 0; 2
Gọi B c; d . Khi đó
2
MA 1;3 MA MA 1 32 10 ,
2 2
MB c 1; d 1 MB MB c 1 d 1 .
Do tam giác ABC vuông cân tại A , M là trung điểm của BC nên
2 2
c 1 d 1 10
2 2
MB MA
.
MB.MA 0 1 c 1 3 d 1 0
Thay rút c theo d từ phương trình thứ hai và thay vào phương trình thứ nhất ta được
2 2 2 d 0 c 4
3d 3 d 1 10 d 1 1 .
d 2 c 2
TH1: B 4; 0 . Do M 1; 1 là trung điểm của BC nên C 2; 2 .
TH2: B 2; 2 . Do M 1; 1 là trung điểm của BC nên C 4; 0 .
Ví dụ 10. Cho A 1; 2 , B 4;5 , C 2; 7 .
1) Chứng minh A , B , C là ba đỉnh một tam giác.
2) Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Giải
3 3
1) Ta có AB 3;3 , BC 6; 12 . Vì nên A , B , C không thẳng hàng. Do đó A , B ,
6 12
C là ba đỉnh một tam giác.
2) Giả sử I a; b . Ta có
NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
2 2
IA 1 a;2 b IA2 1 a 2 b a 2 b 2 2a 4b 5 ,
2 2
IB 4 a;5 b IB 2 4 a 5 b a 2 b 2 8a 10b 41 ,
2 2
IC 2 a; 7 b IC 2 2 a 7 b a 2 b 2 4a 14b 53 .
IA IB
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi . Điều này tương đương
IB IC
với hệ
2 2 2 2
a b 2a 4b 5 a b 8a 10b 41
2 2 2 2
.
a b 8a 10b 41 a b 4a 14b 53
Giản ước hai vế từng phương trình của hệ ta được hệ tương đương
a b 6 a 13
a 2b 1 b 7
Vậy I 13; 7 .
Ví dụ 11. Cho tam giác ABC với A 2;3 , B 2;0 , C 6;3 . Tìm tọa độ D là chân đường
phân giác trong góc A .
Giải
Ta có
AB 4; 3 AB 16 9 5 , AB 4;0 AC 16 0 4 .
D là chân đường phân giác trong góc A nên hai véc-tơ DB , DC ngược hướng và
DB DC
, hay 4 DB 5 DC .
AB AC
Suy ra 4 DB 5DC 0 . Sử dụng điều kiện bằng nhau của hai véc-tơ, điều kiện này tương đương
9a 22 0 22 5
với 4 2 a; b 5 6 a;3 b 0; 0 , hay . Giải hệ ta được a , b .
9b 15 0 9 3
22 5
Vậy D ; .
9 3
NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 7
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
Dạng 2. Các bài toán cực trị
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y f ( x) x 2 x 1 x 2 x 1
Giải
2 2 2 2
2 2 1 3 1 3
f ( x) x x 1 x x 1 x x
2 2 2 2
1 3 1 3
Đặt u x; , v x; . Áp dụng bất đẳng thức u v u u , ta có
2 2 2 2
2
f x 12 3 2 .
1
x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai véc-tơ u và v cùng hướng, hay 12 1 0 . Phương trình
2 x
có nghiệm duy nhất x 0 .Vậy giá trị nhỏ nhất của f x là 2 (đạt đươc khi và chỉ khi x 0 ).
Ví dụ 2. Giải phương trình x 2 2 x 5 x 2 2 x 10 29 .
Giải
2 2
Phương trình cho tương đương với 1 x 22 1 x 32 29 .
Đặt u 1 x;2 , u 1 x;3 . Áp dụng bất đẳng thức u v u u , ta có
2 2
1 x 22 1 x 32 22 52 29 .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai véc-tơ u và v cùng hướng, do đó phương trình đã cho tương
đương với
1 x 2
0.
1 x 3
1
Phương trình có nghiệm duy nhất x .
5
NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 8
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
C. Bài tập
Bài 1. Cho các điểm A 1; 4 , B 2; 3 , C 1;18 , D 4;5 . Chứng minh ba điểm A , B , C
thẳng hàng và ba điểm A , B , D không thẳng hàng.
Hướng dẫn: Sử dụng điều kiện cùng phương của hai véc-tơ.
Bài 2. Cho hai điểm A 1; 2 và B 3;7 . Tìm giao điểm của đường thẳng AB với các trục tọa
độ.
13 13
Đáp số: Giao điểm của AB với trục hoành, trục tung lần lượt là M ; 0 , N 0; .
5 4
Bài 3. Cho a 1; 2 , b 2;3 , c 3; 7 . Hãy biểu diễn xác định các hằng số m , n sao cho
a mb nc .
13 7
Đáp số: m , m .
5 5
Bài 4. Cho A 1; 2 , B 5; 6 , C 3; 1 .
1) Chứng minh A , B , C không thẳng hàng.
2) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
Đáp số: 2) D 1; 5 .
Bài 5. Cho A 1;1 , B 1; 2 , C 4; 0 . Tìm toạ độ điểm M sao cho:
1) AM 2 BC 3 AC .
2) AM 2 BM 3CM 0 .
3) Tứ giác ABCM là hình bình hành. Khi đó, hãy tìm toạ độ giao điểm các đường chéo của hình
bình hành.
13 5 3 1
Đáp số: 1) M 10; 0 . 2) M ; . 3) M 2; 1 , tâm của hình bình hành là I ; .
6 6 2 2
Bài 6. Cho tam giác ABC có A 1; 2 , B 3;7 , C 2; 6 . Xác định tọa độ trung điểm các cạnh
và trọng tâm của tam giác nói trên.
9 5 1 3
Đáp số: Trung điểm của các cạnh AB , BC , CA lần lượt là M 2; , N ; , P ; 2 .
2 2 2 2
Trọng tâm tam giác là G 2;1 .
NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 9
Mặt phẳng tọa độ
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Các định nghĩa
Hệ trục toạ độ Oxy gồm hai trục tọa độ Ox , Oy vuông góc với y
nhau. Véc-tơ đơn vị trên Ox là i , véc-tơ đơn vị trên Oy là j .
j
Tọa độ của véc-tơ: a x; y a xi y j . i
x
O
Tọa độ của điểm: M x; y OM x; y OM x.i y. j .
2. Tính chất
Tính chất của tọa độ véc-tơ: Cho a x; y và b x '; y ' , ta có
x x '
1. a b ; 2. a b x x '; y y ' ; 3. ka kx; ky ; 4. a.b xx ' yy ' ;
y y'
a b xx ' yy '
5. a x 2 y 2 ; 6. cos a, b
ab x 2 y 2 x '2 y '2
( a , b 0 );
x kx '
7. a b xx ' yy ' 0 ; 8. a b k xy ' x ' y ,
y ky '
x y
Đặc biệt: khi cả y và y ' đều khác 0 , ta có a b .
x y
Tính chất của tọa độ điểm: Giả sử A x A ; y A , B xB ; y B , C xC ; yC , ta có
2 2
+) AB xB x A ; y B y A , AB xB x A y B y A ;
x A xB
xM 2
+) M xM ; yM là trung điểm của AB ;
y y A y B
M 2
x A xB xC
xG 3
+) G xG ; yG là trọng tâm tam giác ABC .
y y A yB yC
G 3
NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
B. Các dạng bài tập
Dạng 1. Tìm tọa độ của một điểm và véc-tơ
Ví dụ 1. Cho hai véc-tơ a 1;2 , b 2; 4 .
1) Tìm tọa độ của các véc-tơ a b , a b , 4a 3b .
2) Tính độ dài của hai véc-tơ a , b , tích vô hướng và cô-sin của góc giữa hai véc-tơ a , b . Góc
giữa hai véc-tơ a , b là góc nhọn hay góc tù.
Giải
1) Áp dụng công thức tính tọa độ của véc-tơ ta có a b 3; 2 , a b 1;6 .
Áp dụng công thức tính tọa độ của tích một số với một véc-tơ ta có 4a 4;8 , 3b 6; 12 ,
suy ra 4a 3b 2;20 .
2) Áp dụng công thức tính tính độ dài của véc-tơ ta có a 5 , b 2 5 .
Áp dụng công thức tính tích vô hướng và cô-sin của góc giữa hai véc-tơ ta có
a b 6 3
a b 6 , cos a, b
ab 5 2 5
.
5
cos a, b 0 nên a, b là góc tù.
Ví dụ 2. Cho hai véc-tơ a m;3 , b 2;2m 1 ( m là tham số). Tìm m để hai véc-tơ đã cho
cùng phương.
Giải
m 3
Hai véc-tơ đã cho cùng phương khi và chỉ khi , hay 2m 2 m 6 0 . Giải phương
2 2 m 1
3
trình này ta được m 2 hoặc m .
2
Ví dụ 3. Cho ba điểm A 0;1 , B 1; 2 , C 2; 2 .
1) Chứng minh rằng A , B , C là ba đỉnh của một tam giác.
2) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
3) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Tìm điểm E trên trục hoành sao A , G , E thẳng
hàng.
4) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC .
NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
Giải
1 3
1) Ta có AB 1; 3 , AC 2;1 . Vì nên hai véc tơ AB và AC không cùng phương .
2 1
Do đó A , B , C không thẳng hàng, suy ra A , B , C là ba đỉnh của một tam giác.
2) Gọi D a; b . Ta có AD a; b 1 , BC 1; 4 . Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ
khi
a 1 a 1
AD BC .
b 1 4 b 5
Vậy D 1;5 .
1
3) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là G 1; . Vì E thuộc trục hoành nên tọa độ có
3
2
dạng E a; 0 . Ta có AG 1; , AE a; 1 . Ba điểm A , G , E thẳng hàng khi và chỉ khi
3
a 1 3
2 a .
1 3 2
3
Vậy E ; 0 .
2
4) Gọi H a; b . Ta có CH a 2; b 2 , BH a 1; b 2 . H là trực tâm của tam giác
ABC khi và chỉ khi
4
CH . AB 0 1. a 2 3. b 2 0 a 3b 4 a 7
.
BH . AC 0 2. a 1 1. b 2 0 2 a b 0 b 8
7
4 8
Vậy H ; .
7 7
Nhận xét. Trong ví dụ này tác giả muốn nhắc lại cho các em một số phương pháp tìm tọa độ
điểm như dùng đẳng thức véc-tơ, sự cùng phương của hai véc-tơ, dùng tích vô hướng. Chúng ta
tiếp tục nghiên cứu ví dụ sau đây, một ví dụ khác tìm tọa độ một điểm dựa vào đẳng thức độ dài.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC cân tại A biết B 1;0 và C 0;3 . Tìm tọa độ điểm A sao cho
AB 5 .
Giải
NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
Gọi A a; b . Từ giả thiết ta có
2
1 a b 25
2 2 2
1 a b 25
2
AB 25
2 2
2 2
.
2 2
AB AC 1 a b a 3 b a 3b 4
Thay phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất ta được
2 b 0 a 4
5 3b b 2 25 b 2 3b 0 .
b 3 a 5
Vậy A 4;0 hoặc A 5;3 .
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC . Biết M 1; 2 , N 3; 2 , P 5; 0 lần lượt là toạ độ trung điểm
các cạnh AB , BC , CA của tam giác. Hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác.
Giải
Ta thấy AM PN . Sử dụng điều kiện bằng nhau của hai A
1 x A 8
véc-tơ, ta có . Suy ra A 7; 4 .
2 y A 2 P
M
x 2 xM xA 9
Vì B đối xứng với A qua M nên B ,
y B 2 yM y A 0
B N C
suy ra B 9;0 .
x 2 xN xB 3
Tương tự, C đối xứng với B qua N nên C , suy ra C 3; 4 . Vậy A 7; 4 ,
yC 2 y N yB 4
B 9;0 , C 3; 4 .
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC . Biết A 1; 2 , B 3; 4 và C thuộc trục hoành. Tìm tọa độ điểm
C sao cho trọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng đi qua B và gốc tọa độ O .
Giải
Điểm C thuộc trục hoành nên tọa độ có dạng C c; 0 . Theo công thức xác định tọa độ trọng tâm
x A xB xC c 2
xG 3
3 c2 c 2
thì , hay G ;3 . Ta có OG ;3 , OB 3;4 . G thuộc
y y A yB yC 3 3 3
G
3
NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
c 2
3
đường thẳng qua B và gốc tọa độ khi và chỉ khi OG và OB cùng phương, có nghĩa là 3 .
3 4
35 35
Giải phương trình này ta được c . Vậy C ; 0 .
4 4
Ví dụ 7. Cho A 1; 2 và B 3; 7 . Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC
cân tại C .
Giải
Tam giác ABC cân tại C khi và chỉ khi AC BC và A , B , C không thẳng hàng. Điểm C
thuộc trục tung nên tọa độ C có dạng C 0; c . Ta có
AC 1; c 2 AC 2 c 2 4c 5 , BC 3; c 7 BC 2 c 2 14c 58 .
Phương trình AC BC tương đương với c 2 4c 5 c 2 14c 58 . Phương trình này có
53 33 4 5
nghiệm duy nhất c . Khi đó AB 4;5 , AC 1; . Vì 33 nên A , B , C không
10 10 1 10
53
thẳng hàng. Vậy C 0; .
10
450
Ví dụ 8. Cho hai điểm B 1;1 và C 0;3 . Tìm điểm A trên trục hoành sao cho BAC
Giải
Vì A thuộc trục hoành nên tọa độ A có dạng A a; 0 . Do đó AB 1 a;1 , AC a;3 .
là góc giữa hai véc tơ AB, AC . Theo công thức tính góc giữa hai véc tơ, ta có
Góc BAC
1 a2 a 3
2
cos 450 cos AB, AC 1 a 2 12 . a 2 9
.
2
Bình phương hai vế ta được 2 a 2 a 3 a 2 2a 2 a 2 9 .
Khai triển và phân tích thành nhân tử
a 0
Bình phương hai vế ta được a a 1 a 2 3a 6 0 (vì a 2 3a 6 0 với mọi a ).
a 1
Vậy A 0; 0 hoặc A 1;0 .
NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 5
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
90 . Điểm M 1; 1 là trung điểm
Ví dụ 9. (B.03) Cho tam gi¸c ABC biÕt AB AC , BAC
2
của BC và G ; 0 là trọng tâm của tam giác. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
3
Giải
Gọi A a; b . Theo tính chất của trọng tâm, ta có
1 a 1 1 a 0
MA 3MG a 1; b 1 3 ;1 .
3 b 1 3 b 2
Vậy A 0; 2
Gọi B c; d . Khi đó
2
MA 1;3 MA MA 1 32 10 ,
2 2
MB c 1; d 1 MB MB c 1 d 1 .
Do tam giác ABC vuông cân tại A , M là trung điểm của BC nên
2 2
c 1 d 1 10
2 2
MB MA
.
MB.MA 0 1 c 1 3 d 1 0
Thay rút c theo d từ phương trình thứ hai và thay vào phương trình thứ nhất ta được
2 2 2 d 0 c 4
3d 3 d 1 10 d 1 1 .
d 2 c 2
TH1: B 4; 0 . Do M 1; 1 là trung điểm của BC nên C 2; 2 .
TH2: B 2; 2 . Do M 1; 1 là trung điểm của BC nên C 4; 0 .
Ví dụ 10. Cho A 1; 2 , B 4;5 , C 2; 7 .
1) Chứng minh A , B , C là ba đỉnh một tam giác.
2) Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Giải
3 3
1) Ta có AB 3;3 , BC 6; 12 . Vì nên A , B , C không thẳng hàng. Do đó A , B ,
6 12
C là ba đỉnh một tam giác.
2) Giả sử I a; b . Ta có
NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
2 2
IA 1 a;2 b IA2 1 a 2 b a 2 b 2 2a 4b 5 ,
2 2
IB 4 a;5 b IB 2 4 a 5 b a 2 b 2 8a 10b 41 ,
2 2
IC 2 a; 7 b IC 2 2 a 7 b a 2 b 2 4a 14b 53 .
IA IB
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi . Điều này tương đương
IB IC
với hệ
2 2 2 2
a b 2a 4b 5 a b 8a 10b 41
2 2 2 2
.
a b 8a 10b 41 a b 4a 14b 53
Giản ước hai vế từng phương trình của hệ ta được hệ tương đương
a b 6 a 13
a 2b 1 b 7
Vậy I 13; 7 .
Ví dụ 11. Cho tam giác ABC với A 2;3 , B 2;0 , C 6;3 . Tìm tọa độ D là chân đường
phân giác trong góc A .
Giải
Ta có
AB 4; 3 AB 16 9 5 , AB 4;0 AC 16 0 4 .
D là chân đường phân giác trong góc A nên hai véc-tơ DB , DC ngược hướng và
DB DC
, hay 4 DB 5 DC .
AB AC
Suy ra 4 DB 5DC 0 . Sử dụng điều kiện bằng nhau của hai véc-tơ, điều kiện này tương đương
9a 22 0 22 5
với 4 2 a; b 5 6 a;3 b 0; 0 , hay . Giải hệ ta được a , b .
9b 15 0 9 3
22 5
Vậy D ; .
9 3
NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 7
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
Dạng 2. Các bài toán cực trị
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y f ( x) x 2 x 1 x 2 x 1
Giải
2 2 2 2
2 2 1 3 1 3
f ( x) x x 1 x x 1 x x
2 2 2 2
1 3 1 3
Đặt u x; , v x; . Áp dụng bất đẳng thức u v u u , ta có
2 2 2 2
2
f x 12 3 2 .
1
x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai véc-tơ u và v cùng hướng, hay 12 1 0 . Phương trình
2 x
có nghiệm duy nhất x 0 .Vậy giá trị nhỏ nhất của f x là 2 (đạt đươc khi và chỉ khi x 0 ).
Ví dụ 2. Giải phương trình x 2 2 x 5 x 2 2 x 10 29 .
Giải
2 2
Phương trình cho tương đương với 1 x 22 1 x 32 29 .
Đặt u 1 x;2 , u 1 x;3 . Áp dụng bất đẳng thức u v u u , ta có
2 2
1 x 22 1 x 32 22 52 29 .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai véc-tơ u và v cùng hướng, do đó phương trình đã cho tương
đương với
1 x 2
0.
1 x 3
1
Phương trình có nghiệm duy nhất x .
5
NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 8
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
C. Bài tập
Bài 1. Cho các điểm A 1; 4 , B 2; 3 , C 1;18 , D 4;5 . Chứng minh ba điểm A , B , C
thẳng hàng và ba điểm A , B , D không thẳng hàng.
Hướng dẫn: Sử dụng điều kiện cùng phương của hai véc-tơ.
Bài 2. Cho hai điểm A 1; 2 và B 3;7 . Tìm giao điểm của đường thẳng AB với các trục tọa
độ.
13 13
Đáp số: Giao điểm của AB với trục hoành, trục tung lần lượt là M ; 0 , N 0; .
5 4
Bài 3. Cho a 1; 2 , b 2;3 , c 3; 7 . Hãy biểu diễn xác định các hằng số m , n sao cho
a mb nc .
13 7
Đáp số: m , m .
5 5
Bài 4. Cho A 1; 2 , B 5; 6 , C 3; 1 .
1) Chứng minh A , B , C không thẳng hàng.
2) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
Đáp số: 2) D 1; 5 .
Bài 5. Cho A 1;1 , B 1; 2 , C 4; 0 . Tìm toạ độ điểm M sao cho:
1) AM 2 BC 3 AC .
2) AM 2 BM 3CM 0 .
3) Tứ giác ABCM là hình bình hành. Khi đó, hãy tìm toạ độ giao điểm các đường chéo của hình
bình hành.
13 5 3 1
Đáp số: 1) M 10; 0 . 2) M ; . 3) M 2; 1 , tâm của hình bình hành là I ; .
6 6 2 2
Bài 6. Cho tam giác ABC có A 1; 2 , B 3;7 , C 2; 6 . Xác định tọa độ trung điểm các cạnh
và trọng tâm của tam giác nói trên.
9 5 1 3
Đáp số: Trung điểm của các cạnh AB , BC , CA lần lượt là M 2; , N ; , P ; 2 .
2 2 2 2
Trọng tâm tam giác là G 2;1 .
NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 9