Chuyên đề khoảng cách và góc 2

  • 15 trang
  • file .pdf
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
Khoảng cách và góc
Dạng 1. Khoảng cách
A. Tóm tắt lý thuyết
Khoảng cách d  M ;   từ điểm M  x0 ; y0  đến đường thẳng  : ax  by  c  0 được tính bởi
công thức
| ax0  by0  c |
d M ,   .
a2  b2
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. [SGK10NC] Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  trong mỗi trường hợp
sau
1) M 13;14  và  : 4 x  3 y  15  0 ;
 x  7  2t
2) M  5; 1 và  :  .
 y  4  3t
Giải. 1) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng ta có
4.13  3.14  15
d M ;   5.
42  32
2) Từ phương trình tham số của  , khử tham số t , ta được:
x7 y4
:  , hay  : 3x  2 y  13  0 .
2 3
3.5  2.  1  13
Suy ra d  M ,     0.
32  22
Ví dụ 2. [ĐHA06] Cho các đường thẳng d1 : x  y  3  0 , d 2 : x  y  4  0 , d3 : x  2 y  0 . Tìm
tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng
hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d 2 .
Giải. Điểm M thuộc đường thẳng d3 nên tọa độ có dạng M  2a; a  . Ta có
2a  a  3 3 a 1 2a  a  4 a4
d  M , d1    , d  M , d2    .
12  12 2 12   1
2
2
Từ giả thiết ta có
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
3 a 1 a4
d  M , d 1   2d  M , d 2    2  3 a 1  2 a  4
2 2
3  a  1  2  a  4   a  11  M  22; 11
      .
3  a  1  2  a  4  a  1  M  2;1
Vậy M  22; 11 hoặc M  2;1 .
Ví dụ 3. [SGK10NC] Cho ba điểm A  3;0  , B  5; 4  và P 10; 2  . Viết phương trình đường
thẳng  đi qua P đồng thời cách đều A và B .
Giải. Đường thẳng  đi qua P nên phương trình có dạng
 : a  x  10   b  y  2   0 ( a 2  b 2  0 ), hay  : ax  by  10a  2b  0 .
3a  10a  2b 7 a  2b 5a  4b  10a  2b 15a  2b
Ta có d  A,     , d  B,     .
a 2  b2 a 2  b2 a 2  b2 a 2  b2
 7a  2b  15a  2b b  2a
d  A,    d  B ,    7a  2b  15a  2b     .
 7a  2b  15a  2b a  0
Trường hợp 1. b  2a . Cho a  1 suy ra b  2 . Do đó  : x  2 y  14  0 .
Trường hợp 2. a  0 , suy ra  : by  2b  0 , hay  : y  2  0 (chú ý rằng khi a  0 thì b phải
khác 0 ).
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC . Biết A  2;0  , B  4; 2  , diện tích tam giác ABC bằng 10 và C
nằm trên đường thẳng d : y  x .
1 2S 2.10
Giải. Ta có S ABC  AB.d  C ; AB  , suy ra d  C , AB   ABC   10 .
2 AB 40
x2 y
Lại có AB :  , hay AB : x  3 y  2  0 . Điểm C thuộc đường thẳng d nên tọa độ C có
6 2
a  3a  2 2 2a  1
dạng C  a; a  . Suy ra d  C , AB    .
12  32 10
So sánh hai biểu thức tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB ở trên, ta được
2 2a  1
 10 , hay 2a  1  5 .
10
Phương trình trên có các nghiệm là a  2 và a  3 . Vậy C  2; 2  hoặc C  3; 3  .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
1 
Ví dụ 5. [ĐHB02] Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  ; 0  , AB : x  2 y  2  0 và
2 
AB  2 AD . Tìm tọa độ các đỉnh A , B , C , D biết rằng A có hoành độ âm.
1 1
Giải. Gọi H là trung điểm của AB . Vì AH  AB , IH  AD và AB  2 AD nên
2 2
1
2 2 5
AH  2  IH  2  d  I , AB   2   2  5.
12   2 
2 2
Ta thấy tam giác AHI vuông tại H nên
25 H
AI 2  AH 2  HI 2  . A B
4
A thuộc đường thẳng AB nên tọa độ A có dạng
I
A  2a  2; a  , suy ra
2
5  2 25 D C
AI    2a     a   5a 2  10a 
2
.
2  4
So sánh hai công thức tính AI 2 ở trên ta có
25 25 a  0  A  2; 0 
5a 2  10a    a 2  2a  0     .
4 4 a  2  A  2; 2 
Vì A là điểm có hoành độ âm nên A  2;0  .
B là điểm thuộc đường thẳng AB và BI 2  AI 2 nên B  2; 2  .
C , D là các điểm đối xứng với A , B qua I nên C  3; 0  , D  1; 2  .
Vậy A  2;0  , B  2; 2  , C  3; 0  , D  1; 2  .
Ví dụ 6. Cho hai đường thẳng 1 : ax  by  c1  0 và  2 : ax  by  c2  0 . Chứng minh khoảng
cách d  1 ,  2  giữa 1 ,  2 là
| c1  c2 |
d  1 ,  2   .
a2  b2
Giải. Lấy điểm M  x0 ; y0  thuộc đường thẳng  2 , ta có ax 0  by0  c2  0 . Khoảng cách giữa
1 ,  2 chính là khoảng cách từ M đến 1 nên
| ax0  by0  c1 | |  ax0  by0  c2    c1  c2  | | c1  c2 |
d  1 ,  2   d  M , 1     (ĐPCM).
a2  b2 a2  b2 a 2  b2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
Ví dụ 7. [SGKNC] Viết phương trình đường thẳng  ' song song và cách đường thẳng
 : ax  by  c  0 một khoảng bằng h cho trước.
Giải. Đường thẳng  ' song song với đường thẳng  nên phương trình  ' có dạng
 ' : ax  by  c '  0 .
Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đương thẳng ta có
| c c'|
d   ',    h  h.
a 2  b2
Từ phương trình trên ta giải được c '  c  h a 2  b 2 hoặc c '  c  h a 2  b 2 .
Vậy  ' : ax  by  c  h a 2  b 2  0 hoặc  ' : ax  by  c  h a 2  b 2  0 .
C. Bài tập
Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d trong các trường hợp sau
1) M 1;1 , d : x  y  2  0 .
x 1 y  1
2) M  2;1 , d :  .
1 1
 x  2t
3) M 1;5  , d :  .
y  4t
3 2 1
Đáp số. 1) 2. 2) . 3) .
2 5
Bài 2. Cho điểm M  x0 ; y0  . Chứng minh công thức tính khoảng cách từ M đển các trục tọa độ
d  M , Ox   y0 , d  M , Oy   x0 .
Hướng dẫn. Suy ra trực tiếp từ công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng. Chú ý
rằng phương trình các trục tọa độ là Ox : y  0 và Oy : x  0 .
Bài 3. Cho P  2;5  và Q  5;1 . Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng các từ Q
tới đường thẳng đó bằng 3 .
Đáp số. d : x  2  0 hoặc d : 7 x  24 y  134  0 .
Bài 4. [CĐ09NC] Cho các đường thẳng 1:x  2y  3  0 và  2 :x  y  1  0 . Tìm toạ độ điểm
1
M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  2 bằng .
2
 1 5
Đáp số. M 1; 1 hoặc M   ;   .
 3 3
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
Bài 5. [ĐHB04] Cho hai điểm A 1;1 , B  4; 3  . Tìm điểm C thuộc đường thằng
x – 2y – 1  0 sao cho khoảng cách từ C đến AB bằng 6 .
 43 27 
Đáp số. C  7;3 hoặc C   ;   .
 11 11 
3
Bài 6. Biết diện tích tam giác ABC là , A  2; 3 , B  3; 2  và trọng tâm G của tam giác
2
thuộc đường thẳng có phương trình d : 3 x  y  8  0 . Tìm tọa độ đỉnh C .
Đáp số. C 1; 1 hoặc C  2; 10  .
Bài 7. [ĐHB09NC] Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A  1; 4  và các đỉnh B , C thuộc
đường thẳng x  y  4  0 . Xác định toạ độ các điểm B và C , biết diện tích tam giác ABC
bằng 18 .
 11 3  3 5 3 5  11 3 
Đáp số. B  ;  , C  ;   hoặc B  ;   , C  ;  .
 2 2  2 2 2 2  2 2
Bài 8. [ĐHD10NC] Cho điểm A  0; 2  và  là đường thẳng đi qua O . Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên  . Viết phương trình đường thẳng  , biết khoảng cách từ H đến trục
hoành bằng AH .
Đáp số.  :  5  1 x  2 5  2 y  0 hoặc  :  5  1 x  2 5 2 y  0.
Bài 9. Cho d : 3 x  2 y  4  0 . Viết phương trình đường thẳng d ' trong các trường hợp sau
1) d  d , d '  2 . 2) d  d , d '  3 .
Đáp số.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
5
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
Dạng 2. Đường phân giác
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Phương trình đường phân giác
Cho hai đường thẳng cắt nhau, có phương trình
 1: a1 x  b1 y  c1  0 ,  2 : a2 x  b2 y  c2  0 .
Khi đó phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng là
a1 x  b1 y  c1 a2 x  b2 y  c2
  0.
2 2
a b
1 1 a22  b22
2. Phân giác góc nhọn, góc tù
Giả sử 1 và 1 là hai đường thẳng cắt nhau tại điểm I và không vuông góc với nhau, l1 và l2
là các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng. Khi đó, để phân biệt phân giác góc
nhọn và phân giác góc tù tạo bởi hai đường thẳng, ta làm như sau.
Lấy điểm M thuộc một trong hai đường thẳng sao cho l2
M khác giao điểm của hai đường thẳng. Tính khoảng
cách d1 , d 2 từ M đến hai đường phân giác l1 , l2 . Khi đó,
Δ1
khoảng cách lớn hơn chính là khoảng cách ứng với phân d2 M
I d1
giác góc tù. Cụ thể l1
 d1  d 2  l1 là phân giác góc nhọn, l2 là phân
Δ2
giác góc tù.
 d1  d 2  l1 là phân giác góc tù, l2 là phân giác
góc nhọn.
3. Phân giác trong, phân giác ngoài
Cho tam giác ABC . Các phân giác của góc A là các phân giác của các góc tạo bởi các đường
thẳng chứa các cạnh AB và AC . Phân giác trong là phân giác mà hai điểm B , C nằm về hai
phía của phân giác, phân giác ngoại là phân giác mà hai điểm B , C nằm về một phía phía của
phân giác.
B. Một số ví dụ
7 
Ví dụ 1. [SGKNC] Cho tam giác ABC với A  ;3  , B 1; 2  và C  4;3 . Viết phương trình
4 
đường phân giác trong góc A .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
7
x 4 y 3
Giải. Ta có AB :  , hay AB : 4 x  3 y  2  0 ; AC : y  3  0 . Suy ra phương trình các
 34 1
đường phân giác góc A là
 4x  3 y  2 y  3
 0
 5 1  4 x  2 y  13  0  l1 
 , hay  .
 4x  3 y  2  y  3  0  4 x  8 y  17  0  l2 
 5 1
Ký hiệu F  x; y  là vế trái của phương trình tổng quát của đường l1 , ta có
F  B  .F  C    5  .  17   85  0 , suy ta B và C nằm về cùng một phía d1 .Vậy phương trình
đường phân giác trong góc A là d 2 : 4 x  8 y  17  0 .
Ví dụ 2. Cho 1 : 3x  y  7  0 và 1 : 2 x  6 y  0 .
1) Chứng minh 1 và  2 cắt nhau và viết phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi
1 và  2 .
2) Xác định phân giác góc tù tạo bởi 1 và  2 .
3 1
Giải. 1) Ta có D   16  0 , suy ra 1 và  2 cắt nhau. Phương trình hai đường phân
2 6
giác của các góc tạo bởi 1 và  2 là
3x  y  7 2x  6 y 4x  4 y  7  0  l1 
  0 , hay  .
32   1
2
22   6 
2
 2 x  2 y  7  0  l2 
2) Ta thấy thay A  0; 7  là một điểm thuộc 1 . Ta có
0  28  7 21 0  14  7 21
d  A, l1    , d  A, l2    .
2 2 2
42   4  4 2 2 2 2 2
Ta thấy d  A, l1   d  A, l2  , suy ra d 2 là phân giác góc tù tạo bởi 1 và  2 .
Ví dụ 3. [SGKNC] Cho hai đường thẳng 1 : x  2 y  3  0 ,  2 : 3 x  y  2  0 . Viết phương
trình đường thẳng  đi qua điểm P  3;1 và cắt 1 ,  2 lần lượt tại A và B một tam giác cân có
đáy là AB .
Giải. Ta thấy  thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi  vuông góc với một trong hai phân
giác của các góc tạo bởi 1 và  2 .
Phương trình hai phân giác của các góc tạo bởi 1 và  2 là
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
7
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
 x  2 y  3 3x  y  2
 0
 5 10    
 2  3 x  2 2  1 y  3 2  2  0  l1 
 , hay  .
 2  3 x  2 2 1 y  3 2  2  0 l
 x  2 y  3 3x  y  2
  0      2 
 5 10

 
  l1 nên  nhận véc-tơ pháp tuyến n 2  3; 2 2  1 làm véc-tơ chỉ phương, lại có
  
 
n  u 2 2  1;  2  3 nên   u .  còn đi qua P nên
 
 : 2 2  1  x  3   2  3  y 1  0 , hay  :  2 2 1 x   2  3 y  5 2  6  0 .
Tương tự, trong trường hợp   l2 , ta có
   2  3  y 1  0 , hay  :  2 2  1 x   2  3 y  5 2  6  0 .
 : 2 2  1  x  3 
Vậy  :  2 2  1 x   2  3 y  5 2  6  0 hoặc  :  2 2  1 x   2  3 y  5 2  6  0 .
C. Bài tập
Bài 1. Viết phương trình hai đường phân giác của hai góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d 2
trong các trường hợp sau
1) d1 : x  2 y  1  0 , d 2 : x  3 y  3  0 .
 x  2t
2) d1 :  , d2 : x  y  7  0 .
y  4t
 x  3t x  t
3) d1 :  , d2 :  .
y  4t  y  3t
 1 :  2  1 x   2 2  3 y  2  3  0   : 2 y 11  0   : x  2 y  6  0
Đáp số. 1)  . 2)  1
. 3)  1
.
 :
 2  2  1 x   2 2  3 y  2  3  0   : 2 x  3  0   : 2 x  y  6  0
2 2
Bài 2. Viết phương trình các đường phân giác trong của tam giác ABC biết rằng các cạnh của
nó nằm trên các đường thẳng có phương trình 3 x  4 y  0 , 4 x  3 y  0 và 5 x  12 y  101  0 .
Bài 3. Cho A 1; 2  , B  3; 4  và C  1; 2  . Hãy lập phương trình các đường phân giác trong và
xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC .
x  2  t
Bài 4. Cho 1 : 3x  y  1  0 và  2 :  . Hãy lập phương trình phân giác góc nhọn tạo bởi
y  t
1 và  2 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
8
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
Bài 5. Lập phương trình đường thẳng qua P  2; 1 sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường
thẳng d1 : 2 x  y  5  0 và d 2 : 3 x  6 y  1  0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của
d1 và d 2 .
 d : 3x  y  5  0
Đáp số.  .
d : x  3 y  5  0
Bài 6. [ĐHB10Chuẩn] Cho tam giác ABC vuông tại A , có đỉnh C  4;1 , phân giác trong góc
A có phương trình x  y – 5  0 . Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích tam giác
ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
Đáp số. BC : 3x  4 y  16  0 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
9
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
Dạng 3. Góc giữa hai đường thẳng
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b được ký hiệu là 
a, b  hoặc đơn giản hơn là
 a, b  và số đo của nó được định nghĩa như sau:
 Nếu a và b cắt nhau thì a và b chia mặt phẳng thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các
góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b .
 Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước số đo góc giữa hai đường thẳng a
và b bằng 0 .
2. Công thức tính cô-sin của góc giữa hai đường thẳng
 
Giả sử đường thẳng 1 có véc-tơ pháp tuyến là n1 , véc-tơ chỉ phương là u1 .
 
Giả sử đường thẳng  2 có véc-tơ pháp tuyến là n2 , véc-tơ chỉ phương là u2 .
Ta có
 
  n1  n2  
 
cos  1 ,  2   cos n1 , n2    , đặc biệt: 1   2  n1  n2  0 .
n1  n2
 
  u1  u2  
 
cos  1 ,  2   cos u1 , u2    , đặc biệt: 1   2  u1  u2  0 .
u1  u2
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [SGKNC] Tìm góc giữa hai đường thẳng 1 ,  2 trong các trường hợp sau
 x  13  t  x  5  2t '
1) 1 :  và  2 :  ;
 y  2  2t y  7 t'
2) 1 : x  5 và  2 : 2 x  y  14  0 ;
x  4  t
3) 1 :  và  2 : 2 x  3 y  1  0 .
 y  4  3t
 
Giải. 1) Ta thấy 1 nhận u1 1;2  làm véc-tơ chỉ phương,  2 nhận u2  2;1 làm véc-tơ chỉ
 
phương. Ta có u1  u2  2  2  0 , suy ra  1 ,  2   90 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
10
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
 
2) 1 vuông góc với trục hoành nên i 1;0  làm véc-tơ pháp tuyến,  2 nhận n  2;1 làm véc-tơ
 
in 1
pháp tuyến. Do đó cos  1 ,  2      . Vậy góc giữa hai đường thẳng 1 và  2 là góc có
in 5
1
cô-sin bằng .
5
   
3) 1 nhận u1  1;3 làm véc-tơ chỉ phương, lại có u 1  n1  3;1 . Suy ra 1 nhận n1  3;1 làm

véc-tơ pháp tuyến.  2 nhận n2  2;3 làm véc-tơ pháp tuyến. Do đó
 
  n1  n2 9 9 130
 
cos  1 ,  2   cos n1 , n2    
n1  n2 10  13

130
.
9 130
Vậy góc giữa hai đường thẳng 1 và  2 là góc có cô-sin bằng .
130
 và góc giữa hai
Ví dụ 2. [SGKNC] Cho ba điểm A  4; 1 , B  3; 2  , C 1; 6  . Tính góc BAC
đường thẳng AB , AC .
   
 chính là góc giữa hai véc-tơ AB và AC . Do đó
Giải. Ta có AB  7;3 , AC  3;7  Góc BAC
 
AB  AC
     42  21  0 .
cos BAC
AB  AC 58 29
 là góc nhọn có cô-sin bằng 21 . Góc giữa hai đường thẳng AB và AC cũng là góc
Do đó BAC
29
 , suy ra cos  AB, AC   21 .
BAC
29
Ví dụ 3. Cho điểm A  2; 3 . Lập phương trình đường thẳng  qua A và tạo với đường thẳng
 ' : x  3 y  2  0 một góc 45 .
 
Giải. Giả sử n  a; b  là một véc-tơ pháp tuyến của  . Ta thấy n ' 1;3 là một véc-tơ pháp tuyến
của  ' . Do đó,  tạo với  ' góc 45 khi và chỉ khi
 
nn' a  3b 1
   cos 45 , hay  .
n  n' 10  a 2  b 2  2
Phương trình trên tương đương với 2a 2  3ab  2b 2  0 . Từ phương trình này suy ra b  0 (vì
nếu b  0 thì a  0 ). Do đó, chia hai vế của phương trình cho b 2 ta được
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
11
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
a
a
2
a b  2
2   3  2  0   .
b b a   1
 b 2
a
Từ  2 , cho b  1 suy ra a  2 .  còn đi qua A nên
b
 : 2  x  2    y  3  0 , hay  : 2 x  y  1  0 .
a 1
Từ   , cho a  1 suy ra b  2 .  còn đi qua A nên
b 2
 :  x  2   2  y  3  0 , hay  : x  2 y  8  0 .
Ví dụ 4. Xác định tọa độ đỉnh A của tam giác ABC biết rằng tam giác này cân tại A , AB , BC
 7
có phương trình lần lượt là y  3x  3 , x  y  1 và AC qua M  0;  .
 3
 7
Giải. AC qua M  0;  nên phương trình AC có dạng AC : ax  by  73b  0 .
 3
Đưa phương trình AB , BC về dạng tổng quát ta được AB : 3 x  y  3  0 , BC : x  y  1  0 .
Tam giác ABC cân tại A nên
 3 1 a b
ABC  
ACB  cos 
ABC  cos 
ACB  
2 10 2 a 2  b2
a 2  2ab  b2 2
 2 2
 5  3a 2  10ab  3b 2  0 .
a b
Thay b  0 vào phương trình cuối cùng ta được a  0 (loại).
a
Nếu b  0 chia hai vế phương trình cho b 2 và đặt t  ta thu được phương trình
b
a 1
2
 
a a b 3
3    10   3  0   .
b b  a  3
 b
a 1
 Từ   cho a  1 suy ra b  3 . Do đó AC : x  3 y  7  0  AC không song
b 3
song với AB (thỏa mãn). Khi đó
3 x  y  3  0
A  AB  AC  A :   A  2;3 .
x  3y  7  0
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
12