Chuyên đề dãy số viết theo quy luật

  • 26 trang
  • file .pdf
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV:
MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn chuyên đề:……………………………………………… 2
II. Mục đích, phạm vi của chuyên đề:………………………………… 3
PHẦN II: NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ.
A. NỘI DUNG:
I. Cơ sở lí luận:………………………………………………………… 3
II. Cơ sở thực tiễn:……………………………………………………… 3
III. Các kiến thức vận dụng …………………………………………... 4
IV. Một số dạng toán về dãy số viết theo quy luật và phương pháp giải. 6
1. Dạng 1: Tính tổng của các lũy thừa với cơ số là số tự nhiên .............. 8
2 . Dạng 2: Tính tổng của các tích: .......................................................... 9
3. Dạng 3: Dãy phân số: ……………………………………………… 13
4. Dạng 4: Tính tổng, tính số số hạng của dãy: ……………………… 18
5. Dạng 5: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức: … 20
B. ỨNG DỤNG VÀO THỰC TIỄN VÀ CÔNG TÁC GIẢNG DẠY
1. Ứng dụng vào thực tiễn...................................................................... 22
2. Hiệu quả khi áp dụng chuyên đề........................................................ 22
3. Bài học kinh nghiệm........................................................................... 22
PHẦN III: KẾT LUẬN.
1. Kết quả nghiên cứu:............................................................................ 23
2. Đề xuất............................................................................................... 23
NHỮNG TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT
- THCS: Trung học cơ sở.
- SGK: Sách giáo khoa.
- GVG: Giáo viên giỏi
1
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV:
- BCNN: Bội chung nhỏ nhất.
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn chuyên đề:
Như chúng ta đã biết Toán học có một vị trí vô cùng quan trọng trong đời
sống, nó không những giúp chúng ta có khả năng tính toán, phát triển tư duy, suy
luận logic mà còn là tiền đề của các môn khoa học khác. Vì thế Toán học được
gọi là môn “công cụ” . Nhưng trong quá trình học toán đặc biệt là phần Đại số
việc nắm và vận dụng kiến thức, tìm ra phương pháp giải đối với học sinh là khó
khăn. Vì vậy với những người làm công tác giáo dục trong nhà trường có nhiệm
vụ trang bị kiến thức cũng như phương pháp giải đối với từng dạng toán cho học
sinh.
Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh, tôi đã không ngừng học hỏi và
trao đổi với đồng nghiệp. Tôi nhận thấy trong việc giảng dạy môn Đại số còn
nhiều mảng kiến thức mà học sinh chưa có phương pháp giải cụ thể như : Các
bài toán chia hết, các bài toán về cấu tạo số, các dạng toán về biểu thức, các dạng
phương trình ... Đặc biệt là dạng toán “Dãy số viết theo quy luật” đây là dạng
toán tương đối khó đối với học sinh THCS. Học sinh khó hiểu khi đứng trước
dạng bài toán này vì thế các em còn lúng túng, chưa định ra phương pháp giải bài
tập (chưa tìm ra quy luật của dãy số). Trong khi đó dạng toán này chưa đề cập
nhiều trong sách giáo khoa, chủ yếu chỉ đưa ra một vài bài toán trong sách nâng
cao, không đưa ra phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự vận động kiến
thức của mình. Vì vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài “Dãy số viết theo quy luật” để
giúp các em tháo gỡ khó khăn trên.
II. Mục đích, phạm vi của chuyên đề:
1. Mục đích của chuyên đề:
- Nhằm trao đổi kinh nghiệm giảng dạy phân môn Toán THCS.
2
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV:
- Giúp học sinh THCS có phương pháp giải đối với từng dạng bài tập dãy
số viết theo quy luật.
2. Phạm vi của chuyên đề:
- Áp dụng cho dạng toán dãy số viết theo quy luật ở bậc THCS.
PHẦN II: NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ.
A. NỘI DUNG:
I. Cơ sở lí luận:
Theo Polya thì phương pháp tìm lời giải thường được tiến hành theo 4 bước:
- Tìm hiểu đề toán.
- Xây dựng chương trình giải.
- Thực hiện chương trình giải.
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
- Khai thác, phát triển bài toán.
II. Cơ sở thực tiễn.
- Từ thực tế giảng dạy của giáo viên và học toán của học sinh THCS.
- Qua trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp.
III. Kiến thức vận dung:
1. Quy đồng mẫu số nhiều phân số:
- Tìm mẫu số chung (tìm BCNN của các mẫu)
- Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu.
- Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
2. Các phép tính của phân số:
a. Cộng, trừ phân số cùng mẫu:
A B AB
  (M  0)
M M M
A B AB
  (M  0, A  B)
M M M
3
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV:
b. Cộng, trừ phân số không cùng mẫu:
- Quy đồng mẫu các phân số.
- Cộng các tử của các phân số đã được quy đồng và giữ nguyên mẫu
chung.
A C A.C
c. Nhân các phân số: .  (B, D  0)
B D B.D
A C A.D
d. Chia 2 phân số: :  (B, C, D  0)
B D B.C
3. Tính chất cơ bản của phép cộng và nhân phân số:
a. Tính chất giao hoán:
a c c a
- Phép cộng:    (b, d  0)
b d d b
a c c a
- Phép nhân: .  . (b, d  0)
b d d b
b. Tính chất kết hợp :
- Phép cộng :          (b, d, n  0)
a c m a c m
b d n b d n
- Phép nhân:  . .  . .  (b, d, n  0)
a c m a c m
b d n b d n 
c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép công (trừ):
a c m a m c m
  .  ..  . (b, d, n  0)
b d n b n d n
4. Các phép tính về lũy thừa.
a. §Þnh nghÜa luü thõa víi sè mò tù nhiªn
an = a.
a.........
  a (n  N*)
n thõa sè
b. Mét sè tÝnh chÊt :
Víi a, b, m, n  N
4
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV:
am. an = am+n, am. an . ap = am+n+p (p  N)
am : an = am-n (a ≠ 0, m > n)
(a.b)m = am. bm (m ≠ 0)
(am)n = am.n (m,n ≠ 0)
Quy -íc:
a1 = a
a0 = 1 (a ≠ 0)
Víi : x, y  Q; m, n  N; a, b  Z
xn = x.x.........x (x  N*)
n
n
a an
   (b ≠ 0, n ≠ 0)
b bn
xo = 1
xm . xn = xm+n
xm
 x mn (x ≠ 0)
xn
1
x-n = (x ≠ 0)
xn
(xm)n = xm.n
(x.y)m = xm. ym
n
x xn
   n (y ≠ 0)
 y y
5. Bất đẳng thức: Bất đẳng thức có dạng a > b, a < b
Tính chất:
- Tính chất bắc cầu: Nếu a > b, b > c thì a > c
- Tính chất đơn điệu của phép cộng:
Nếu a > b thì a + c > b + c
- Tính chất đơn điệu của phép nhân:
5
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV:
Nếu a > b thì a . c > b . c (c > 0)
- Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều:
Nếu a > b, c > d thì a + c > b + d
IV. Một số dạng toán về dãy số viết theo quy luật và phương pháp giải.
1. Dạng 1: Tính tổng của các lũy thừa với cơ số là số tự nhiên.
1.1 Bài toán 1: Tính các tổng sau:
1) A= 1+3+32+33+…+ 399+3100
2) B= 1-2+22-23+24- … -299+2100
Giải
1) Ta có: 2A=3+32+33+…+ 399+3100+3101
101 3101  1
=> 3A-A= 3 -1 => A=
2
2) 2B=2-22+23-24+25- … -2100+2101
2101  1
=> 2B+B=2101+1 => 3B=2101+1=> B=
3
* Ta nghĩ tới bài toán tổng quát:
- Tính tổng: S= 1+a+a2+a3+…+ an-1+an a  1; n  N  . Ta nhân cả 2 vế của
a n 1  1
S với a. Rồi trừ vế với vế ta được S= .
a 1
- Tính tổng: P= 1-a+a2-a3+…+ a2n a  1; n  N  . Ta nhân cả 2 vế của P
a 2 n 1  1
với a. Rồi cộng vế với vế ta được P= .
a 1
* Khai thác bài toán: Vì S, P là các sổ nguyên nên (a n1  1)a  1 và
(a 2 n1  1)  a  1 . Ta có bài toán 2
1.2 Bài toán 2: Chứng minh rằng
a) 2009 2009  1 2008
b) 2009 2010  1 2010
6
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV:
Giải:
a) Xét tổng S=1+2009+20092+20093+…+ 20092007+20092008 ( S N)
=> 2009.S= 2009+20092+20093+…+ 20092008+20092009
=> 2009.S-S= 20092009-1
2009 2009  1
=> S=  2009 2009  1 2008
2008
b) S=1-2009+20092-20093+…+ 20092008-20092009( S N)
=> 2009.S= 2009-20092+20093-…-20092010
=> 2009.S+S= -20092010+1
 (2009 2010  1)
=>S= => 2009 2010  1 2010
2010
1.3 Bài toán 3: Tính tổng
1) A= 1+32+34+…+ 398+3100
2) B= 1-23+26-29+ … +296-299
Giải:
a) Vấn đề đặt ra là nhân cả hai vế của A với số nào, để khi trừ 2 vế cho A
thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu? Ta thấy số mũ của hai số liền nhau cách
nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32, rồi trừ cho A, ta được:
32.A- A = (32+34+…+ 398+3100+3102) - (1+32+34+…+ 398+3100)
3102  1
8.A=3102-1 =>A=
8
b) Tương tự phần a, ta nhân cả hai vế của B với 23 rồi cộng vế với vế cho
B ta được:
23.B+B=(23-26+29- … -296+299)+( 1-23+26-29+ … +296-299+2102)
102 2102  1
9.B=2 +1B =
9
* Bài toán tổng quát:
- Tính tổng: S= 1+ad+a2d+a3d+…+and a  1; n  N  .
7
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV:
a n 1d  1
Ta nhân cả 2 vế của S với ad. Rồi trừ vế với vế ta được S= .
ad 1
- Tính tổng: P= 1-ad+a2d-a3d+…+ a2nd a  1; n  N  .
a  2 n  2 d  1
Ta nhân cả 2 vế của S với ad. Rồi cộng vế với vế ta được P= .
ad 1
* Bài tập vận dụng:
1.Tính tổng:
a) A=2+33+ 25+…+ 399+3101
b) B=1-53+56-59+ … +596-599
2. Chứng minh rằng:
a) 3000
2009
 1 2009
b) 3000
2009
 1 3001
2. Dạng 2: Tính tổng của các tích:
2.1 Bài toán 1 :
Tính tổng A= 1.2+2.3+3.4+ …+ 98.99+99.100
Lời giải
Nhận xét: Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng là 1. Nhân cả
hai vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được:
3A=3.( 1.2+2.3+3.4+ …+ 98.99+99.100)
= 1.2(3-0)+2.3(4-1)+…+99.100(101-98)
= 1.2.3-1.2.3+2.3.4-2.3.4+ … + 98.99.100-98.99.100+99.100.101
= 99.100.101
99.100.101
=> A= =333 300
3
Ta chú ý tới đáp số 99.100.101 là tích của 3 số, trong đó 99.100 là số hạng
cuối của A và 101 là số tự nhiên liền sau của 100, tạo thành tích của 3 số tự nhiên
liên tiếp. Ta có kết quả tổng quát như sau:
8
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV:
n  1nn  1
A = 1.2+2.3+3.4+ …+ (n-1)n=
3
Khai thác 1
3A = 3.( 1.2+2.3+3.4+ …+ 98.99+99.100)
= 3(0.1+1.2+2.3+ …+ 99.100)
= 310  2  32  4  54  6  ...  9998  100
= 3(1.1.2+3.3.2+5.5.2+ …+ 99.99.2)
= 3.2(12+32+52+ … +992) = 6(12+32+52+ … +992)
Ta chưa biết cách tính tổng các bình phương các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ
1, nhưng liên hệ với bài toán 1, ta có:
6(12+32+52+ … +992)= 99.100.101
99.100.101
(12+32+52+ … +992)=
6
2n  1. 2n  2. 2n  3
* Ta có bài toán tổng quát: P= 12+32+52+ ...+(2n+1)2=
6
Khai thác 2
Xét biểu thức:
C= 1.2+2.3+3.4+ …+99.100+100.101
= (1.2+2.3)+( 3.4+4.5)+(5.6+6.7)+ … +(99.100+100.101)
= 2(1+3)+4(3+5)+6(5+7)+…+100(99+101)
= 2.4+4.8+6.12+…+100.200
100.101.102
= 2(22+42+62+…+1002)=
3
100.101.102
 22+42+62+…+1002 =
6
2n.2n  12n  2 
* Ta có bài toán tổng quát: M=22+42+62+…+(2n)2=
6
9
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV:
Khai thác 3
2n.2n  12n  2 
M=22+42+62+…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2) =
6
n.n  12n  1
* Ta có bài toán tổng quát: Q=12+22+32+…+n2=
6
2.2 Bài toán 2: Tính: A= 1.3+3.5+5.7+...+97.99
Giải:
 Nhận xét: khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2, nhân
hai vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được.
6A=1.3.6+3.5.6+5.7.6+...+97.99.6
= 1.3(5+1)+3.5(7-1)+5.7(9-3)+...+97.99(101-95)
= 3+97.99.101
1  97.33.101
A=  161651
2
Trong bài toán 1 ta nhân A với 3, trong bài toán 2 ta nhân A với 6. Ta có thể
nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần
khoảng cách k giữa hai thừa số trong mỗi hạng tử.
3.3 Bài toán 3: Tính A = 1.2.3+2.3.4+…+98.99.100
Giải:
Trở lại bài toán 1, mỗi hạng tử của tổng A có hai thừa số thì ta nhân A với 3
lần khoảng cách giữa hai thừa số đó. Học tập cách đó, trong bài toán này ta
nhân hai vế của A với 4 lần khoảng cách đó vì ở đây mỗi hạng tử có 3 thừa số.
Ta giải được bài toán như sau.
4A= 1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+…+98.99.100.4
= 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5(6-2)+…+98.99.100(101-97)
= 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+…+98.99.100.101-97.98.99.100
= 98.99.100.101
10
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV:
98.99.100.101
A= = 24 497 550
4
* Ta có bài toán tổng quát:
n  1nn  1n  2
A=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-1)n(n+1)=
4
Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ở bài 3 ta có bài toán:
2.4 Bài toán 4: Tính:
A= 1.3.5+3.5.7+…+5.7.9+…+95.97.99
Giải:
8A=1.3.5.8+3.5.7.8+5.7.9.8+…+95.97.99.8
=1.3.5(7+1)+3.5.7(9-1)+5.7.9(11-3)+…+95.97.99(101-93)
=1.3.5.7+15+3.5.7.9-1.3.5.7+5.7.9.11-3.5.7.9+…+95.97.99.101
-93.95.97.99
=15+95.97.99.101
15  95.97.99.101
 A =11 517 600
8
Trong bài 3 ta nhân A với 4(bốn lần khoảng cách). Trong bài 4 ta
nhân a với 8 (bốn lần khoảng cách). Như vậy để giải bài toán dạng
n
 n(n  k )(n  2k ) ta nhân với 4k(bốn lần khoảng cách) sau đó tách:
n 1
4kn(n+k)(n+2k)=n(n+k)(n+2k)(n+3k)-(n-k)(n+k)n(n+2k)
Thay đổi sự kế tiếp lặp lại ở các thừa số trong bài toán 1 ta có bài toán:
2.5 Bài toán 5: Tính
A=1.2+3.4+5.6+…+99.100
Lời giải 1:
A= 2+(2+1)4+(4+1)6+…+(98+1).100
=2+2.4+4+4.6+6+…+98.100+100
11
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV:
=(2.4+4.6+…+98.100)+(2+4+6+8+..+100)
=98.100.102:6+102.50:2
=166600+2550
=169150
Lời giải 2:
A=1(3-1)+3(5-1)+5(7-1)+…+99(101-1)
=1.3-1+3.5-3+5.7-5+…+99.101-99
=(1.3+3.5+5.7+…+99.101)-(1+3+5+7+..+99)
=171650-2500
=169150
Trong bài toán này ta không nhân a với một số hạng mà tách ngay một
thừa số trong tích làm xuất hiện các dãy số mà ta biết cách tính hoặc dễ dàng
tính được. làm tương tự với các bài toán:
2.6 Bài toán 6: Tính:
A= 1.2.3+3.4.5+5.6.7+…+99.100.101
Giải:
A= 1.3(5-3)+3.5(7-3)+5.7(9-3)+…+99.101(103-3)
=(1.3.5+3.5.7+5.7.9+...+99.101.103)-(1.3.3+3.5.3+...+99.101.3)
=(15+99.101.103.105):8-3(1.3+3.5+5.7+...+99.101)
=13517400-3.171650
=13002450
2.7 Bài toán 7: Tính:
A=13+23+33+...+1003
Giải:
Sử dụng: (n-1)n(n+1)=n3-n
 n3=n+(n-1)n(n+1)
 A= 1+2+1.2.3+3+2.3.4+...+100+99.100.101
12
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV:
=(1+2+3+...+100)+(1.2.3+2.3.4+...+99.100.101)
=5050+101989800
=101994850
Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số ở bài toán 7 ta có bài toán:
2.7 Bài toán 8: Tính: A= 13+33+53+...+993
Giải:
Sử dụng (n-2)n(n+2)=n3-4n
 n3=(n-2)n(n+2)+4n
 A= 1+1.3.5+4.3+3.5.7+4.5+...+97.99.101+4.99
= 1+(1.3.5+3.5.7+...+97.99.101)+4(3+5+7+...+99)
= 1+ 12487503+9996
=12497500
Với khoảng cách là a ta tách: (n-a)n(n+a)=n3-a2n
Thay đổi số mũ của một thừa số trong bài toán 8 ta có:
2.9 Bài toán 9: Tính:
A= 1.22+2.32+3.42+...+99.1002
Giải:
A= 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...99.100(101-1)
=1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+99.100.101-99.100
=(1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+99.100.101)-(1.2+2.3+3.4+...+99.100)
=25497450-333300
=25164150
Với cách khai thác như trên ta có thể khai thác, phát triển các bài toán
trên thành rất nhiều bài toán hay mà trong quá trình giải đòi hỏi học sinh
phải có sự linh hoạt, sáng tạo.
Trong các bài toán trên ta có thể thay đổi số hạng cuối cùng của dãy số
bằng số hạng tổng quát theo quy luật của dãy.
13
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV:
* Vận dụng cách giải trên hãy giải các bài toán sau:
1. Tính A = 1.99+2.98+3.97+...+49.51+50.50
2. Tính B = 1.3+5.7+9.11+...+97.101
3. Tính C = 1.3.5-3.5.7+5.7.9-7.9.11+...-97.99.101
4. Tính D = 1.99+3.97+5.95+...+49.51
5. Tính E = 1.33+3.53+5.73+...+49.513
6. Tính F = 1.992+2.982+3.972+...+49.512
3. Dạng 3: Dãy phân số
Các kiến thức
1 1 1
1)   .
n(n  1) n n  1
k 1 1 
2)  k   .
n(n  1)  n n 1 
1 1 1 1 
3)    .
n( n  k ) k  n n  k 
k 1 1 
4)   .
n( n  k )  n n  k 
1 1 1  1 1  1 1 1 
5)         .
2n(2n  2) 4n(n  1) 2  2n 2n  2  4  n n  1 
1 1  1 1 
6)    .
(2n  1)(2n  3) 2  2n  1 2n  3 
1 1 1
7)  2 .
n.(n  1) n (n  1).n
(Trong đó: n, k  N , n  1 )
3.1 Bài toán 1: Chứng minh rằng
100 - 1    ... 
1 1 1  1 2 3 99
     ... 
 2 3 100  2 3 4 100
*) Hướng dẫn tìm lời giải:
Đây là bài toán chứng minh đẳng thức, ta phải biến đổi vế trái bằng vế
14
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV:
phải. Ở bài này ta thấy vế phải của đẳng thức là tổng của các phân số có mẫu
lớn hơn tử 1 đơn vị. Để tổng mỗi phân số đó với một phân số nào đó bằng 1 thì
ta phải cộng vế phải với biểu thức trong ngoặc của vế trái. Từ đó ta có điều phải
chứng minh.
*) Cách giải:
100 - 1    ... 
1 1 1  1 2 3 99
     ... 
 2 3 100  2 3 4 100
Cộng vào hai vế của đẳng thức trên với 1    ... 
1 1 1 
 ta được đẳng
 2 3 100 
thức mới như sau:
100 - 1    ... 
1 1 1   1 1 1  1 2 3 99 
 + 1    ...   =     ...  
 2 3 100   2 3 100   2 3 4 100 
+ 1    ... 
1 1 1 

 2 3 100 
100= 1+    +    +    +…+ 
1 1 2 1 3 1 99 1 
 
2 2 3 3  4 4  100 100 
100=1+1+1+1+…+1
100 số 1
100=100 (đpcm)
3.2 Bài toán 2: Chứng minh rằng:
1 1 1 1 3 4
a) Cho S     ...  . Chứng minh rằng:  S 
31 32 33 360 5 5
1 1 1 1
b) 2 + 2 + 2 +...+ <1
2 3 4 100 2
* Hướng dẫn tìm cách giải.
10 10 10 47 48 4
a) Chia S thành 3 nhóm.  S      
30 40 50 60 60 5
10 10 10 37 36 3
 S      
40 50 60 60 60 5
b) Ta thấy các phân số trong tổng ở vế trái là các phân số có tử là 1 còn mẫu
15
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV:
là bình phương của một số tự nhiên n. (n  2 ).
1 1 1 1 1 1 1 1
2
< =  ; 2
< = 
2 1 .2 1 2 3 2 .3 2 3
1 1 1 1
2
< =  ; ...
4 3 .4 3 4
1 1 1 1
2
< = 
100 99.100 99 100
a  b
Sau đó áp dụng tính chất:  => a+c < b+d
c  d
1 1 1 1
Từ đó ta có điều phải chứng minh: 2
+ 2 + 2 +...+ 2 < 1
2 3 4 100
1 1 1 1 1 1 1 1
2
< =  ; 2
< = 
2 1 .2 1 2 3 2 .3 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1
2
< =  ; ... 2
< = 
4 3 .4 3 4 100 99.100 99 100
1 1 1 1 1 1 1 1
Vậy 2
+ 2 + 2 +...+ 2 < + + +...+
2 3 4 100 1 .2 2 . 3 3 . 4 99.100
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
+ 2 + 2 +...+ 2 < 1  +  +  +...+ 
2 3 4 100 2 2 3 3 4 99 100
1 1 1 1 1 99
2
+ 2 + 2 +...+ 2 <1  = <1
2 3 4 100 100 100
1 1 1 1
Hay 2
+ 2 + 2 +...+ 2 < 1 (Điều phải chứng minh).
2 3 4 100
1 1 1 1
Mở rộng bài toán: Chứng minh rằng: A= 2
+ 2 + 2 +...+ 2 < 1
2 3 4 n
Chúng ta cùng bắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau để khai thác
bài toán:
3.3 Bài toán 3 : Tính tổng :
1 1 1 1 1
A    ...  
1.2 2.3 3.4 43.44 44.45
Lời giải :
16
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV:
1 1 1 1 1 1 1 1
A      ...    
1 2 2 3 43 44 44 45
1 44
A  1 
45 45
Vì 1 . 2 = 2 ; 2 . 3 = 6 ; ... ; 43 . 44 = 1892 ; 44 . 45 = 1980 ta có bài toán khó hơn
chút xíu.
1 1 1 1 1
3.4 Bài toán 4: Tính tổng :    ...  
2 6 12 1892 1980
Và tất nhiên ta cũng nghĩ đến bài toán ngược.
3.5 Bài toán 5: Tìm x thuộc N biết :
1 1 1 44
  ...  
1.2 2.3 xx  1 45
Hơn nữa ta có :
1 1 1 1 1 1
2
 ; 2  ;...; 2 
2 1.2 3 2.3 45 44.45
ta có bài toán
3.6 Bài toán 6: Chứng minh rằng :
1 1 1
2
 2  ...  2  1
2 3 45
1 1 1
Mặt khác 0< 2  2  ...  2
2 3 45
Do vậy, cho ta bài toán “tưởng như khó”
3.7 Bài toán 7: Chứng tỏ rằng tổng :
1 1 1
2
 2  ...  2
2 3 45
không phải là số nguyên.
Chúng ta cũng nhận ra rằng nếu a1 ; a2 ; ... ; a44 là các số tự nhiên lớn hơn 1
và khác nhau thì
1 1 1 1 1 1
2
 2  ...  2  2  2  ...  2
a1 a2 a44 2 3 45
Giúp ta đến với bài toán Hay và Khó sau :
3.8 Bài toán 8: Tìm các số tự nhiên khác nhau a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a43 ; a44 sao cho
1 1 1
2
 2  ...  2  1
a1 a2 a44
Ta còn có các bài toán “gần gũi” với bài toán 5 như sau :
3.9 Bài toán 9: Cho 44 số tự nhiên a1 ; a2 ; ... ; a44 thỏa mãn
17
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV:
1 1 1
2
 2  ...  2  1
a1 a2 a44
Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau.
3.10 Bài toán 10: Tìm các số tự nhiên a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a44 ; a45 thỏa mãn a1 < a2
1 1 1 1 44
  ...   
a1 .a2 a2 .a3 a43 .a44 a44 .a45 45
* Bài tập vận dụng
1: Tính nhanh:
1 1 1 1 1 1
a) A   2  3  4    .
3 3 3 3 37 38
1 1 1 1 1 1
b) B   2  3  4   2007  2008 .
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1
c) C   2  3  4   n 1  n ; n  N  .
3 3 3 3 3 3
2: (Bài toán tổng quát của bài toán 2)
1 1 1 1 1 1
Tính nhanh: S   2  3  4   n 1
 n ; ( n  N  ; a  0) .
a a a a a a
3: Tính tổng:
1 1 1 1
a) S      .
1.2.3 2.3.4 3.4.5 2006.2007.2008
1 1 1 1
b) S      ; (n  N  ) .
1.2.3 2.3.4 3.4.5 n.(n  1).(n  2)
4: Tính giá trị của biểu thức:
1 1 1 1
1    
a) A  3 5 97 99 .
1 1 1 1 1
    
1.99 3.97 5.99 97.3 99.1
1 1 1 1 1
    
b) B  2 3 4 99 100 .
99 98 97 1
   
1 2 3 99
Hướng dẫn:
a) Biến đổi số bị chia:
1 1 1 1 1 1 1 100 100 100 100
(1  )(  )(  ) (  )   
99 3 97 5 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51
Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50.
18
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV:
100  1 100  2 100  3 100  99
    
1 2 3 99
b) Biến đổi số chia:  
100 100 100 100   1 2 3 99 
         
 1 2 3 99   1 2 3 99 
1 1
1  1 1 1 1 
 100  100    
  99  1  100      
2 3
99  2 3 99 100 
1
Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy B  .
100
4. Dạng 4: Tính tổng, tính số số hạng của dãy.
1. Công thức tính số hạng thứ n của một dãy cộng (khi biết n và d)
- Xét dãy cộng a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,..., an trong đó a2  a1  d . Ta có:
a3  a1  2d ; a4  a1  3d ;...
Tổng quát: an  a1  (n  1)d (I)
Trong đó : n gọi là số số hạng của dãy cộng
d hiệu giữa hai số hạng liên tiếp
a  a1
Từ (I) ta có: n  n 1 (II)
d
Công thức (II) giúp ta tính được số số hạng của một dãy cộng khi biết : Số
hạng đầu a1 , số hạng cuối an và hiệu d giữa hai số hạng liên tiếp.
2. Để tính tổng S các số hạng của dãy cộng: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,..., an . Ta viết:
S  a1  a2   an 1  an
S  an  an 1   a2  a1
Nên 2S  (a1  an )  (a2  an1 )   (an1  a2 )  (an  a1 )  (a1  an )n
(a1  an )
Do đó: S  (III)
2
3. Để tìm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau
cùng một số đơn vị, ta dùng công thức:
Số số hạng = ( số cuối – số đầu):(khoảng cách) +1
4. Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau
19
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV:
cùng một số đơn vị, ta dùng công thức:
Tổng = ( Số đầu – số cuối).(số hạng):2
* Bài tập vận dụng:
Bài toán1: Tìm chữ số thứ 1000 khi viết liên tiếp liền nhau các số hạng của dãy
số lẻ 1; 3; 5; 7;...
Bài toán 2: Có số hạng nào của dãy sau tận cùng bằng 2 hay không?
1;1  2;1  2  3;1  2  3  4;...
n( n  1)
H-íng dÉn: Sè h¹ng thø n cña d·y b»ng:
2
NÕu sè h¹ng thø n cña d·y cã ch÷ sè tËn cïng
b»ng 2 th× n(n + 1) tËn cïng b»ng 4. §iÒu nµy v« lÝ v×
n(n + 1) chØ tËn cïng b»ng 0, hoÆc 2, hoÆc 6.
Bài toán 3: a) Viết liên tiếp các số hạng của dãy số tự nhiên từ 1 đến 100 tạo
thành một số A. Tính tổng các chữ số của A
b) Cũng hỏi như trên nếu viết từ 1 đến 1000000
Hướng dẫn: a) ta bổ sung thêm chữ số 0 vào vị trí đầu tiên của dãy số
(không làm thay đổi kết quả). Tạm chưa xét số 100. Từ 0 đến 99 có 100 số, ghép
thành 50 cặp: 0 và 99; 1 và 98; 2 và 97;… mỗi cặp có tổng các chữ số bằng 18.
Tổng các chữ số của 50 cặp bằng: 18.50 = 900. Thêm số 100 có tổng các chữ số
bằng 1. ĐS: 901
b) Tương tự: ĐS: 27000001
S1  1  2,
S 2  3  4  5,
Bài toán 4: Cho S3  6  7  8  9,
S 4  10  11  12  13  14,
...
Tính S100 ?
20