Chuyên đê đạo hàm 11 cơ bản và nâng cao

  • 6 trang
  • file .pdf
CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
1.1. Định nghĩa : Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a ; b  và x0   a ; b  , đạo hàm
f  x   f  x0 
của hàm số tại điểm x0 là : f '  x0   lim .
x x0 x  x0
1.2. Chú ý :
 Nếu kí hiệu x  x  x0 ; y  f  x0  x   f  x0  thì :
f  x0  x   f  x0  y
f '  x0   lim  lim .
x x0 x  x0 x  0 x
 Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Ý nghĩa của đạo hàm
2.1. Ý nghĩa hình học: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C 
 f '  x0  là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị  C  của hàm số y  f  x  tại
M 0  x0 , y0    C  .
 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm M 0  x0 , y0    C  là :
y  f '  x0    x  x0   y0 .
3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm
3.1. Các quy tắc : Cho u  u  x  ; v  v  x  ; C : là hằng số .
  u  v  '  u ' v '
  u.v  '  u '.v  v '.u   C.u   C.u
 u  u '.v  v '.u  C  C.u
    2
,  v  0      2
v v u u
 Nếu y  f  u  , u  u  x   yx  yu .ux .
3.2. Các công thức :
  C   0 ;  x   1
  xn   n.xn1 
  u n   n.u n1.u  ,  n   , n  2 
 1  u
  x  ,  x  0   u   , u  0
2 x 2 u
  sin x   cos x   sin u   u. cos u
  cos x    sin x   cos u   u .sin u
1 u
  tan x     tan u  
cos 2 x cos 2 u
1 u
  cot x    2
  cot u    .
sin x sin 2 u
Gv: Phan Hữu Thế
CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM
4. Vi phân
4.1. Định nghĩa :
 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x0 vi phân của hàm số y  f  x  tại điểm x0
là : df  x0   f   x0  .x .
 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  thì tích f   x  .x được gọi là vi phân của
hàm số y  f  x  . Kí hiệu : df  x   f   x  .x  f   x  .dx hay dy  y.dx .
4.2. Công thức tính gần đúng :
f  x0  x   f  x0   f   x0  .x .
5. Đạo hàm cấp cao
5.1. Đạo hàm cấp 2 :
 Định nghĩa : f   x    f   x  
 Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s  f  t  tại thời điểm t0 là
a  t0   f   t0  .

f    x    f    x   ,  n   , n  2  .
n n 1
5.2. Đạo hàm cấp cao :
 
B. BÀI TẬP
VẤN ĐỀ 1: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 baèng ñònh nghóa ta thöïc hieän caùc böôùc:
B1: Giaû söû x laø soá gia cuûa ñoái soá taïi x0.
B2: Tính y = f(x0 + x) – f(x0).
y
B3: Tính lim .
x  0 x
Baøi 1: Duøng ñònh nghóa tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau taïi ñieåm ñöôïc chæ ra:
a) y  f(x)  2x 2  x  2 taïi x 0  1 b) y  f(x)  3  2x taïi x0 = –3
2x  1 
c) y  f(x)  taïi x0 = 2 d) y  f(x)  sin x taïi x0 =
x 1 6
Baøi 2: (NC) Duøng ñònh nghóa tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
 x3  2 x khi x  2
a. f  x    tại x0  2 . b) y  f  x   x 2  3 x  2
10 x  16 khi x  2
VẤN ĐỀ 2: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG THỨC
Baøi 1: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
1 3
a) y  2x 4  x3  2 x  5 b) y   3 x  5x 7  3
3 x
4 2 3
x 7 x x 7
c) y    x x d) y    6x  4 x
4 3x 2 3 2x
Baøi 2: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
a) y  (x3  2)(1  x 2 ) b) y  (x 2  1)(x 2  4)(x 2  9)
c) y  (x2  3x)(2  x) d) y   x  1  1x  1
Gv: Phan Hữu Thế
CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM
Baøi 3: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
3 2x  1 1  x  x2
a) y  b) y  c) y 
2x  1 1  3x 1  x  x2
x 2  3x  3 2x 2  4x  1 2 x 1
d) y  e) y  f) y 
x 1 x 3 x 1
Baøi 4: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
a) y  (x 2  x  1)4  (1  2x2 )5 b) y  ( x 2  x  1)3 ( x 2  x  1) 2
3
 2x  1  (x  1)2 1
c) y    d) y  e) y  f) y  (x 3  2). 1  x 2
3
 x 1  (x  1) 2
(x  2x  5)2
Baøi 5: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
a) y  2x 2  5x  2 b) y  3 x 3  x  2 c) y  x  x
4x  1 4  x2
d) y  (x  2) x 2  3 e) y  f) y 
x2  2 x
x3 3
g) y   (x  2)3 h) y  1  1  2x 
x 1
Baøi 6: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
2
 sin x 
a) y  x.cos x b) y    c) y  sin3 (2x  1)
 1  cos x 
d) y  cos 4 x  sin 4 x e) y  sin 2  x 2 f) y  cot 2x
sin x x
g) y   h) y  2sin 2 4x  3 cos3 5x i) y  (2  sin2 2x)3
x sin x
2 1 sin x  x cos x
k) y  tan 2x  tan 3 2x  tan 5 2x l) y  sin 2 cos 2  cos3 x   m) y 
3 5   cos x  x sin x
cos x    
Baøi 7: a) Cho hàm số f  x   . Tính f ' 0 ; f '  ; f '  ; f '   .
1  sin x 2 4
cos 2 x    
b) Cho hàm số y  f  x   2
. Chứng minh: f    3 f '    3
1  sin x 4 3
VẤN ĐỀ 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Phöông trình tieáp tuyeán taïi ñieåm M(x0, y0)  (C) laø: y  f '(x 0 )(x  x 0 )  y 0 (*)
2. Nhaéc laïi: Cho (): y = ax + b. Khi ñoù:
1
+ (d)  ( )  k d  a + (d)  ()  k d  
a
Baøi 1: Cho haøm soá (C): y  f(x)  x 2  2x  3. Vieát phöông trình tieáp vôùi (C):
a) Taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x0 = 1.
b) Taïi ñieåm coù tung ñoä y0 =2.
c) Tại giao điểm với trục Oy.
d) tiếp tuyến có hệ số góc k = 2
e) Song song vôùi ñöôøng thaúng 4x – 2y + 5 = 0.
f) Vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng x + 4y = 0.
Gv: Phan Hữu Thế
CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM
3x  1
Baøi 2: Cho haøm soá y  f(x)  (C).
1 x
a) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm A(2; –7).
b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh.
c) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc tung.
1
d) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) bieát tieáp tuyeán song song vôùi d: y  x  100 .
2
e) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) bieát tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi : 2x + 2y – 5 = 0.
x2
Baøi 3: (NC) Cho hàm số y  1 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1),
2x  3
biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác
OAB cân tại gốc tọa độ O. (Khối A – 2009) .
3x  1
Baøi 4: (NC) Cho hàm số y  1 . Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và
x 1
tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm M  2 ; 5  .
Baøi 5: (NC) Cho hàm số y   x 3  3 x 2  9 x  5  C  . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị
 C  , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
2x
Baøi 6: (NC) Cho hàm số y   C  . Tìm điểm M   C  , biết tiếp tuyến của  C  tại M cắt
x 1
1
hai trục tọa độ tại A , B và tam giác OAB có diện tích bằng . (Khối D – 2007)
2
x
Baøi 7: (NC) Cho hàm số : y   C  . Viết phương trình tiếp tuyến    của  C  sao cho
x 1
   và hai đường  d1  : x  1 ;  d 2  : y  1 cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH –BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Baøi 1: Tìm các nghiệm của phương trình sau:
1
a) f ' (x )  0 với f (x )  x 3  2x 2  3x  1
3
1 3
b) f ' (x )  5 với f (x )  x 4  x 3  x 2  1
4 2
3 2
Baøi 2: Cho hàm số f (x )  x  3x  2015 . Hãy giải bất phương trình:
a) f ' (x )  0 b) f ' (x )  3
Baøi 3: Giải phương trình y’ = 0 biết:
2
a) y  sin 2 x  2 cos x b) y  cos x  sin x .
m 3 m 2
Baøi 4: (NC) Cho hàm số : f  x   x  x   4  m  x  5m  1 . Tìm m để :
3 2
a) f   x   0 , x   ; b) f   x   0 có hai nghiệm cùng dấu.
1
Baøi 5: (NC) Cho hàm số y  x3   2m  1 x 2  mx  4 . Tìm m để :
3
a) y '  0 có hai nghiệm phân biệt ;
b) y ' có thể viết được thành bình phương của nhị thức ;
c) y '  0 , x   ;
d) y '  0 , x  1 ; 2  ;
e) y '  0 , x  0 .
Gv: Phan Hữu Thế