Chuyên đề cực trị của hàm số

  • 29 trang
  • file .pdf
PHẠM HỒNG PHONG
 Phân loại chi tiết
 Hệ thống ví dụ phong phú
 Bài tập có đáp số đầy đủ
 Trích dẫn tất cả các bài thi trong các năm 2002 - 2012
HÀ NỘI - 2012
Bản quyền thuộc về ThS. Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng
Tài liệu có thể được download miễn phí tại violet.vn/phphong84
Từ khóa : pham hong phong, cuc tri cua ham so
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Mục lục
Loại 1. Kiến thức chung ............................................................................................................1
A. Tóm tắt lý thuyết ................................................................................................................1
B. Một số ví dụ........................................................................................................................3
C. Bài tập ................................................................................................................................6
D. Đáp số ................................................................................................................................7
Loại 2. Cực trị của hàm bậc ba.................................................................................................9
A. Tóm tắt lý thuyết ................................................................................................................9
B. Một số ví dụ...................................................................................................................... 10
C. Bài tập .............................................................................................................................. 16
D. Đáp số .............................................................................................................................. 18
Loại 3. Cực trị của hàm bậc bốn trùng phương..................................................................... 19
A. Tóm tắt lý thuyết .............................................................................................................. 19
B. Một số ví dụ...................................................................................................................... 20
C. Bài tập .............................................................................................................................. 24
D. Đáp số .............................................................................................................................. 25
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Loại 1. Kiến thức chung
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Khái niệm cực trị của hàm số
Cho f : D   và x0  D .
 x0 được gọi là một điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng  a; b  sao cho
 x0   a; b   D
 .
 f  x   f  x0  x   a; b  \  x0 
 x0 được gọi là một điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng  a; b  sao cho
 x0   a; b   D
 .
 f  x   f  x0  x   a; b  \  x0 
 Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
Bảng sau đây tóm tắt các thuật ngữ được sử dụng trong phần này:
x0 f  x0   x ; f  x 
0 0
Điểm cực đại của f Giá trị cực đại của f Điểm cực đại của đồ thị hàm số f
Điểm cực tiểu của f Giá trị cực tiểu của f Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số f
Điểm cực trị của f Cực trị của f Điểm cực trị của đồ thị hàm số f
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Giả sử hàm f có đạo hàm tại x0 . Khi đó: nếu f đạt cực trị tại x0 thì f '  x0   0 .
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
 Quy tắc 1:
+) Nếu f '  x  đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0 .
+) Nếu f '  x  đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
 Quy tắc 2:
 f '  x0   0
+)   f đạt cực đại tại x0 ;
 f "  x0   0
 f '  x0   0
+)   f đạt cực tiểu tại x0 .
 f "  x0   0
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
B. Một số ví dụ
1 3 4
Ví dụ 1. [SGKNC] Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số y  x  x 2  3x  .
3 3
Giải
+) TXÑ   .
+) y '  x 2  2 x  3 , y '  0  x  1 hoặc x  3 .
+) Bảng biến thiên:
x -∞ -1 3 +∞
f '(x) + 0 _ 0 +
+∞
f(x) 3
23
-
-∞ 3
+) Kết luận: hàm số đạt cực đại tại x  1 , giá trị cực đại tương ứng là y  1  3 ; hàm số đạt
23
cực tiểu tại x  3 , giá trị cực tiểu tương ứng là y  3   .
3
Ví dụ 2. [SGKNC] Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số y  x  x  2  .
Giải
+) TXÑ   .
2 x 2 x  x 2
+) y  x  x  2   y '   x  2   x  ( x  0 ).
x x
+) Bảng biến thiên: Ta thấy với mọi x  0 , dấu của y ' chính là dấu của tam thức bậc hai x 2  x .
Nên ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
x -∞ -1 0 +∞
y' + 0 _ +
+∞
y 1
0
-∞
+) Kết luận: hàm số đạt cực đại tại x  1 , giá trị cực đại tương ứng là y  1  1 ; hàm số đạt
cực tiểu tại x  0 , giá trị cực tiểu tương ứng là y  0   0 .
1 3 4
Ví dụ 3. [SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số y  x  x 2  3x  .
3 3
Giải
+) TXÑ   .
+) y '  x 2  2 x  3 , y '  0  x  1 hoặc x  3 .
+) y "  2 x  2 ,
y "  1  4  0  hàm số đạt cực đại tại x  1 , giá trị cực đại tương ứng là y  1  3 ,
23
y "  3  4  0  hàm số đạt cực tiểu tại x  3 , giá trị cực tiểu tương ứng là y  3   .
7
Ví dụ 4. [SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số y  x  sin 2 x  2 .
Giải
+) TXĐ   .
 
+) y '  1  2 cos 2 x , y '  0  cos 2x  12  2 x    2k  x    k ( k   ).
3 6
+) y "  4sin 2 x ,
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
    
-) y    k   4sin   2k   2 3  0  hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x   k , giá
6  3  6
  3
trị cực tiểu tương ứng là y   k   6  k  2.
6  2
      
-) y     k   4sin    2k   2 3  0  hàm số đạt cực đại tại các điểm x   k ,
 6   3  6
    3
giá trị cực tiểu tương ứng là y    k     k   2.
 6  6 2
Ví dụ 5. [SGK] Tìm a , b , c sao cho hàm số y  ax3  bx 2  cx  d đạt cực tiểu tại điểm x  0 ,
y  0   0 và đạt cực đại tại x  1 , f 1  1 .
Giải
Ta có y '  3ax 2  2bx 2  c . Từ giả thiết suy ra
 y '0  0 c  0  a  2
  b  3
 y 0  0 d  0 
     .
 y ' 1  0  3a  2 b  c  0  c  0
 y 1  1 a  b  c  d  1 d  0

Khi đó y  2 x 3  3x 2 , y '  6 x 2  6 x , y "  12 x  6 . Ta có y "  0   6  0  hàm số đạt cực
tiểu tại x  0 , y " 1  6  0  hàm số đạt cực đại tại x  1 (thỏa mãn). Vậy a  2 , b  3 ,
c  0, d  0.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
5
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
C. Bài tập
Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số
1) f  x   2x 3  9x2  12x  3 ;
2) f  x   5x 3  3x 2  4x  5 ;
3) f  x   3x4  4x 3  24x 2  48x  3 ;
4) f  x   x  3  9 ;
x2
2
5) f  x   x 28x  24 ;
x 4
6) f  x   2x ;
x 4
7) f  x   x 3  x ;
8) f  x   x 2  2 x  2 ;
9) f  x   sin 2 x  3 cos x ;
10) f  x   2 sin x  cos 2x .
Bài 2. Tìm a , b , c để hàm số f  x   x 3  ax 2  bx  c đạt cực tiểu tại x  1 , f  1   3 và đồ
thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 .
q
Bài 3. Tìm p , q sao cho hàm số f  x   x  p  đạt cực đại tại điểm x  2 và
x1
f   2   2 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
D. Đáp số
Bài 1
1) Hàm số đạt cực đại tại điểm x  1 , f  1  8 và đạt cực tiểu tại điểm x  2 , f  2   7 .
2) Hàm số nghịch biến trên  nên không có cực trị.
3) Hàm số đạt cực tiểu tại x  2 , f   2   115 và x  2 , f  2   13 , đạt cực đại tại điểm
x  1 , f  1  20 .
4) Hàm số đạt cực đại tại điểm x  1 , f   1  7 và đạt cực tiểu tại điểm x  5 , f  5   5 .
5) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  1 , y  1  5 và đạt cực đại tại điểm x  4 , y  4   2 .
6) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  2 , y  2    1 và đạt cực đại tại điểm x  2 , y  4   1 .
4 4
7) Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 ; f  1  5 , đạt cực đại tại điểm x  4 ; f  4   2 .
8) Hàm số đạt cực tiểu tại x  2 ; f  2    1 , đạt cực đại tại điểm x  2 ; f  2   1 .
4 4
9) Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x  2k , y  2k   2  3 và x    2k ,
6  6
y    2k   2  3 . Hàm số đạt cực đại tại các điểm x   5  2k , y  5  2k   1 .  2
 
10) Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x    2k , y   2k  1 và x     2k ,
2 2 2
 2 
y    2k  3 . Hàm số đạt cực đại tại các điểm x    2k , y   2k  3 và
6 6  2
 
x  56  2k , y 56  2k  23 .
Bài 2 a  3 , b  9 , c  2 .
Bài 3 p  1 , q  1 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
7
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Loại 2. Cực trị của hàm bậc ba
A. Tóm tắt lý thuyết
Xét hàm f  x   ax3  bx 2  cx  d  C ( a  0 ), f '  x   3ax2  2bx  c là tam thức bậc hai có
 '  b 2  3ac .
* Điều kiện có cực trị
+) f có cực trị  f có hai cực trị
  C  có các điểm cực đại cực tiểu
 f '  x  có hai nghiệm phân biệt
 '  0 .
+) f không có cực trị   '  0 .
* Quy tắc tính cực trị và phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của ĐTHS
Giả sử f có cực trị, thực hiện phép chia đa thức f  x  cho f '  x  để có:
f  x   p  x  f '  x   ax  b .
Từ đây suy ra:
+) x0 là điểm cực trị của f  f '  x0   0  f  x 0   ax0  b .
+)  : y  ax  b là đường thẳng đi qua tất cả các điểm cực trị của  C  .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
9
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y   m  2  x3  3 x 2  mx  5 có cực đại, cực tiểu.
Giải
Ta có y '  3  m  2  x 2  6 x  m . y có cực đại, cực tiểu thì trước hết
m  2  0  m  2 . 1
Khi đó y ' là tam thức bậc hai có  '  3  m 2  2m  3 . y có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi
 '  0  m2  2m  3  0  3  m  1 .  2
Kết hợp với 1 và  2  ta có những giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là
m   3; 2    2;1 .
2 3 2
Ví dụ 2. [ĐHD12] Tìm m để hàm số y  x  mx 2  2  3m 2  1 x  có hai điểm cực trị x 1 ,
3 3
x2 sao cho x1 x2  2  x1  x2   1 .
Giải
Ta có y '  2 x 2  2mx  2  3m 2  1  2  x 2  mx  3m2  1 . t  x  là tam thức bậc hai có
 
t x
  13m2  4 . Do đó hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi
 2 13
m 
13
y ' có hai nghiệm phân biệt  t  x  có hai nghiệm phân biệt    0   1 .
 2 13
m  
 13
 x1  x2  m
x1 , x2 là các nghiệm của t  x  nên theo định lý Vi-ét, ta có  2
.
 x1 x2  3m  1
Do đó
x1 x2  2  x1  x2   1  3m 2  2m  1  1  3m 2  2m  0
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
10
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
 m  0  khoâng thoûa maõn 1 
  .
 m  23  thoûa maõn 1 
2
Vậy m  .
3
Ví dụ 3. [ĐHB07] Tìm m để hàm số y   x3  3x 2  3  m 2  1 x  3m 2  1 có cực đại, cực tiểu và
các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O .
Giải
y '  3 x 2  6 x  3  m 2  1  3  x 2  2 x  m 2  1 . t  x  là tam thức bậc hai có  '  m 2 . Do đó

t x
y có cực đại cực tiểu  y ' có hai nghiệm phân biệt
 t  x  có hai nghiệm phân biệt   '  0  m  0 . 1
Khi đó y ' có các nghiệm là: 1  m  tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
A 1  m; 2  2m3  và B 1  m; 2  2m3  . Ta có
 2 2
OA 1  m; 2  2m3   OA2  1  m   4 1  m3  ;
 2 2
OB 1  m; 2  2m3   OB 2  1  m   4 1  m3  .
A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi
2 2 2 2
OA  OB  OA2  OB 2  1  m   4 1  m3   1  m   4 1  m3 
 m  0  khoâng thoûa maõn 1 
 4m  16m  0 3
  1 .
 m  
2
 thoû a maõ n  
1
1
Vậy m   .
2
Ví dụ 4. [ĐHB12] Tìm m để ĐTHS y  x3  3mx 2  3m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho
tam giác OAB có diện tích bằng 48 .
Giải
Ta có
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
11
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
x  0
y '  3 x 2  6mx  3x  x  2m  , y '  0   .
 x  2m
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi
2m  0  m  0 . 1
Khi đó, các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A  0;3m3  , B  2m; m3  . Ta có:

+) OA  0;3m3   OA  3 m3 .  2
+) Ta thấy A  Oy  OA  Oy  d  B, OA   d  B, Oy   2 m .  3
1
Từ  2  và  3 suy ra SOAB  OA.d  B; OA   3m 4 .
2
Do đó: SOAB  48  3m 4  48  m  2 (thỏa mãn 1 ).
Ví dụ 5. Xác định tọa độ các điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực
trị của đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  6 x  8  C  .
Giải
Ta có
 x  x1  1  3
y '  3x2  6 x  6  3  x2  2 x  2  , y '  0   .
    x  x2  1  3
t  x
Bảng biến thiên
x -∞ x1 x2 +∞
+ 0 _
y' 0 +
+∞
fx1
y
f x2
-∞
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x1 , đạt cực tiểu tại x2 .
Thực hiện phép chia y cho t  x  ta được y   x  1 t  x   6 x  6 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
12
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Ta có:
 
y  x1   6 x1  6 (vì t  x1   0 )  y  x1   6 1  3  6  6 3

 tọa độ điểm cực đại là 1  3; 6 3 . 
Tương tự:

y  x2   6 3  tọa độ điểm cực tiểu: 1  3; 6 3 . 
+) Ta thấy tọa độ các điểm cực trị của  C  cùng thỏa mãn phương trình y  6 x  6 nên phương
trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là y  6 x  6 .
Nhận xét: Trong ví dụ trên thay vì chia f  x  cho f '  x  , ta thực hiện phép chia f  x  cho t  x 
đơn giản hơn mà vẫn đạt được mục đích của phương pháp. Sở dĩ có thể làm được như thế là vì
f '  x  và t  x  có cùng tập nghiệm.
Ví dụ 6. [ĐHA02] Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của ĐTHS
 
y   x 3  3mx 2  3 1  m 2 x  m 3  m 2 .
Giải
  
Ta có f '  x   3x2  6mx  3 1  m 2  3 x 2  2mx  m 2  1 .


t x 
t  x  có  '  1  0  t  x  có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu tiên tiếp khi x đi qua hai
nghiệm này  t  x  có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu tiên tiếp khi x đi qua hai nghiệm này
 f có cực đại, cực tiểu.
Thực hiện phép chia f  x  cho t  x  ta có: f  x    m  x  t  x   2x  m 2  m .
x0 là điểm cực trị nào đó của f
 f  x0    m  x0  t  x0   2x0  m 2  m  2x0  m 2  m (vì f '  x0   0  t  x0   0 )
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
13
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
 f  x 0   2x0  m 2  m
 phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của ĐTHS là y  2x  m 2  m .

Ví dụ 7. Tìm m để đồ thị hàm số f  x   x 3  3  m  1 x 2  2m 2  3m  2 x  m  m  1 có 
các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng
y   14 x một góc 45o .
Giải
* Ta có f '  x   3x2  6  m  1 x  2m 2  3m  2 . Ta thấy f '  x  là tam thức bậc hai có
m  3 5

 2

 '  3 m  3m  1 . f có cực đại, cực tiểu   '  0  
2
3 5
 1 .
 m  2
* Thực hiện phép chia f  x  cho f '  x  ta có:
3 3  
f  x   1  x  m  1 f '  x   2 m 2  3m  1 x  2 m 3  4m 2  2m  1 .
3  
Nếu x0 là điểm cực trị nào đó của hàm số thì
3 3  
f  x0   1  x0  m  1 f '  x0   2 m 2  3m  1 x0  2 m3  4m 2  2m  1 .
3  
3   
  2 m 2  3m  1 x0  2 m 3  4m 2  2m  1 (do f '  x0   0 ).
3 
   
  : y   2 m 2  3m  1 x  2 m 3  4m 2  2m  1 là đường thẳng đi qua các điểm trị của
3 3
ĐTHS.
* Đặt k   2 m 2  3m  1 .  tạo với y   1 x góc 45 khi và chỉ khi
 
3 4
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
14
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
k 1
 4 1
k 1 k 1  1 k k  3
4  tan 45  4 1   4  
5
.
1 k 1 k k 1 k   5
4 4 
 4  1 3
 1 k
 4
  5
+) k  3   2 m 2  3m  1  3  10m 2  30m  19  0  m  15  35 ( không thỏa
5 3 10
mãn  1 ).
 
+) k   5   2 m 2  3m  1   5  2m 2  6m  3  0  m  3  15 (thỏa mãn  1 ).
3 3 3 2
Vậy m  3  15 .
2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
15
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
C. Bài tập
Bài 1. Cho y  mx 3  3mx 2   m  1 x  1 . Tìm m để hàm số có cực trị tại các điểm âm.
Bài 2. Cho y  2x 3  mx2  12x  13  Cm  .
1) Chứng tỏ rằng với mọi m ,  Cm  luôn có các điểm cực đại, cực tiểu. Gọi x1 , x 2 là hoành độ
các điểm cực trị của  Cm  , tìm GTNN của biểu thức S  x12  x 22   x1  1 x2  1 .
2) Tìm m để các điểm cực đại, cực tiểu của  Cm  cách đều trục tung.
 
Bài 3. Cho y   x 3  3x2  3 m 2  1 x  3m 2  1  Cm  .
1) Tìm m để hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu.
2) Tìm m để  Cm  có các điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng bằng 2 5 .
Bài 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của ĐTHS
1) f  x    x3  3x 2  2x  1 .
2) f  x   2x 3  x2  x  5 .
3) f  x   x 3  2x2  10x  3  1 .
Bài 5. Tìm m để các hàm số sau đây có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng đi
qua các điểm cực đại, cực tiểu của ĐTHS
 
1) f  x   x 3  3mx2  3 m 2  1 x  m 3 .
 
2) f  x   x 3  3  m  1 x 2  2m 2  3m  2 x  m  m  1 .
Bài 6. Tìm m để ĐTHS
1) f  x   2x 3  3  m  1 x 2  6  m  2  x  1 có các điểm cực đại, cực tiểu nằm và đường thẳng
đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng y  4x  1 .
2) f  x   2x 3  3  m  1 x 2  6m  1  2m  x có các điểm cực đại, cực tiểu nằm trên đường
thẳng y  4x .
3) f  x   x 3  mx2  7x  3 có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực
đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y  3x  7 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
16