Chuyên đề các bài toán về tam giác
- 20 trang
- file .pdf
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Các bài toán về tam giác
A.Giới thiệu
Trong bài giảng này, chúng tôi đề cập đến các bài toán liên quan đến việc xác định tọa độ các
đỉnh và viết phương trình các cạnh của tam giác (giải tam giác). Để làm tốt các bài toán này, ta
cần biết khai thác các tính chất của đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác và đường
trung trực của tam giác. Bài giảng này đề cập đến năm dạng toán sau:
Dạng 1. Đường cao
Dạng 2. Trung tuyến
Dạng 3. Phân giác
Dạng 4. Trung trực
Dạng 5. Các bài toán tổng hợp
B. Các dạng toán hay gặp
Dạng 1. Đường cao
Nội dung phương pháp
Cho tam giác ABC . Giả sử d là đường cao qua A và H là trực tâm tam giác. Ta có vài nhận
xét sau đây:
d đi qua A và vuông góc với BC .
AH , BH , CH là các véc-tơ pháp tuyến của các đường thẳng BC , CA , AB .
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có đường cao qua A là đường thẳng d : x 2 y 7 0 , cạnh BC đi
qua điểm M 2;1 . Hãy lập phương trình cạnh BC của tam giác.
Giải
A
Ta thấy đường thẳng BC vuông góc với d nên nhận véc-tơ pháp
tuyến n 1; 2 làm véc-tơ chỉ phương. BC còn đi qua M nên
d
x 2 y 1
BC : BC : 2 x y 3 0 .
1 2 B C
M
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có A 1; 2 . Đường cao kẻ B , C có phương trình lần lượt là
d1 : 3 x 5 y 11 0 , d 2 : x 3 y 7 0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác.
Giải
Đường thẳng AB vuông góc với đường cao d 2 : x 3 y 7 0 A
d1
nên đường thẳng này nhận véc-tơ pháp tuyến n2 1;3 của d 2 d2
làm véc-tơ chỉ phương. Đường thẳng AB còn đi qua điểm A
nên
B C
x 1 y 2
AB : AB : 3 x y 5 0 .
1 3
Tương tự, AC là đường thẳng qua A và nhận n1 3; 5 làm véc-tơ chỉ phương nên
x 1 y 2
AC : AC : 5 x 3 y 1 0 .
3 5
B là giao điểm của AB và d1 nên tọa độ cuả B là nghiệm của hệ
3 x y 5 0
B 3; 4 .
3 x 5 y 11 0
C là giao điểm của C và d 2 nên tọa độ C là nghiệm của hệ
5 x 3 y 1 0
C 2;3 .
x 3y 7 0
Suy ra
x 3 y 4
BC : BC : x 5 y 17 0 .
5 1
Vậy AB : 3 x y 5 0 , AC : 5 x 3 y 1 0 , BC : x 5 y 17 0 .
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có đường cao qua A , B lần lượt là các đường thẳng
d1 : 4 x y 5 0 , d 2 : 2 x y 9 0 và trọng tâm G 2; 2 . Hãy xác định tọa độ các đỉnh của
tam giác.
Giải
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Các điểm A , B lần lượt thuộc các đường thẳng d1 , d 2 nên tọa C
độ của chúng có dạng A a; 4a 5 , B b; 2b 9 . G là trọng
tâm tam giác ABC nên
xC 3 xG xA xB d1 G
d2
C a b 6; 4a 2b 2
yC 3 yG y A yB A B
BC a 2b 6; 4a 4b 7 , AC 2a b 6;8a 2b 7 .
Đường thẳng BC vuông góc với d1 nên BC là một véc-tơ pháp tuyến của d1 . Tương tự, AC là
một véc-tơ pháp tuyến của d 2 . Do đó
a 2b 6 4a 4b 7
4 1 17 a 14b 22 a 2
.
2 a b 6 8a 2b 7 14 a 5b 8 b 4
2 1
Suy ra A 2;3 , B 4;1 .
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có AB : 5 x 3 y 2 0 và các đường cao đi qua A , B có phương
trình lần lượt là d1 : 4 x 3 y 1 0 và d 2 : 7 x 2 y 22 0 . Lập phương trình của hai cạnh còn
lại và đường cao còn lại của tam giác.
Giải
A là giao điểm của AB và d1 nên tọa độ A là nghiệm của hệ C
d1
5 x 3 y 2 0
A 1; 1 . d2
4 x 3 y 1 0
A B
B là giao điểm của AB và d 2 nên tọa độ B là nghiệm của hệ
5 x 3 y 2 0
B 2; 4 .
7 x 2 y 22 0
Đường thẳng AC qua A và nhận véc-tơ pháp tuyến n2 7;2 của đường thẳng d 2 làm véc-tơ
chỉ phương nên
x 1 y 1
AC : AC : 2 x 7 y 5 0 .
7 2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Tương tự, BC qua B và nhận n1 4; 3 làm véc-tơ chỉ phương nên
x2 y4
BC : BC : 3x 4 y 22 0 .
4 3
C là giao điểm của AC và BC nên tọa độ C là nghiệm của hệ
2 x 7 y 5 0
C 6;1 .
3 x 4 y 22 0
Đường cao qua C nhận véc-tơ pháp tuyến n3 5; 3 làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình
là
x 6 y 1
3 x 5 y 23 0 .
5 3
Vậy AC : 2 x 7 y 5 0 , BC : 3x 4 y 22 0 , đường cao còn lại có phương trình
3 x 5 y 23 0 .
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có phương trình hai cạnh là 5 x 2 y 6 0 và 4 x 7 y 21 0 .
Viết phương trình cạnh còn lại của tam giác biết gốc tọa độ chính là trực tâm của tam giác.
Giải
Giả sử 5 x 2 y 6 0 , 4 x 7 y 21 0 lần lượt là phương trình A
của các cạnh AB , BC .
B là giao điểm của AB và BC nên tọa độ B là nghiệm của hệ O
5 x 2 y 6 0
B 0;3 .
4 x 7 y 21 0 B C
Đường thẳng CO nhận véc-tơ pháp tuyến n 5; 2 của AB làm véc-tơ chỉ phương nên
x y
CO : CO : 2 x 5 y 0 .
5 2
C là giao điểm của của BC và CO nên tọa độ của C là nghiệm của hệ
4 x 7 y 21 0 35
C ; 7 .
2 x 5 y 0 2
35
Đường thẳng CA đi qua C ; 7 và nhận OB 0;3 làm véc-tơ pháp tuyến nên
2
CA : 3 y 7 0 CA : y 7 0 .
Bài tập
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Bài 1. Cho tam giác ABC có chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC là H 1;1 , các
đường cao qua B , C lần lượt là d1 : 5 x 3 y 4 0 , d 2 : x 4 y 11 0 . Hãy tìm tọa độ các đỉnh
của tam giác.
Đáp số: A 3; 7 , B 5; 2 , C 7; 1 .
Bài 2. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B 4; 5 và phương trình hai đường
cao là d1 : 5 x 3 y 4 0 và d 2 : 3 x 8 y 13 0 .
Hướng dẫn: Trước hết ta nhận xét rằng B không thuộc cả d1 và d 2 . Giả sử d1 là đường cao đi
qua A và d 2 là đường cao đi qua C . Phương trình các cạnh của tam giác là
AB : 8 x 3 y 17 0 , BC : 3x 5 y 13 0 , CA : 5 x 2 y 1 0 .
1 1
Bài 3. Cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là M ; và các đường cao qua A , B lần
2 2
lượt là d1 : 6 x y 21 0 , d 2 : x 4 y 9 0 . Hãy lập phương trình các cạnh của tam giác.
Đáp số: AB : x y 0 , BC : x 6 y 10 0 , CA : 4 x y 15 0 .
9 3
Bài 4. Cho tam giác ABC có trung điểm các cạnh AB , BC lần lượt là M ; ,
2 2
1 1
N ; và đường cao hạ từ A là 3 x y 7 0 . Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.
2 2
Đáp số: A 4; 5 , B 5; 2 , C 4; 1 .
Bài 5. Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC biết B 5; 2 , C 1;1 và trực tâm là H 2; 4 .
9 26
Đáp số: A ; .
5 5
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
5
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Dạng 2. Trung tuyến
Nội dung phương pháp
Cho tam giác ABC . Trung tuyến của tam giác là đường thẳng đi qua đỉnh và trung điểm cạnh
đối diện. Giả sử biết d : ax by c 0 là trung tuyến đi qua đỉnh A của tam giác, ta suy ra hai
sự kiện quan trọng sau đây:
Điểm A thuộc đường thẳng d , tức là
axA by A c 0 .
Trung điểm của đoạn thẳng BC thuộc đường thẳng d , tức là
x x y yC
a B C b B c 0.
2 2
Cho tam giác ABC .
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh là A 1; 2 , B 4; 3 và C 0;8 . Hãy viết
phương trình các đường trung tuyến của tam giác.
Giải
Nếu gọi G là trọng tâm của tam giác thì G 1;1 . Gọi cac trung tuyến qua A , B , C lần lượt là
d A , d B , dC . Ta thấy d A đi qua A và G nên
x 1 y 2
dA : , hay d A : 3 x 2 y 1 0 .
2 3
Tương tự ta có
x4 y3
dB : , hay d B : 4 x 3 y 7 0 ;
3 4
x y 8
dC : , hay dC : 7 x y 8 0 .
1 7
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có đỉnh B 3; 4 , đỉnh C thuộc đường thẳng d1 : 2 x y 1 0 và
trung tuyến đi qua A là d 2 : 7 x 5 y 21 0 . Tìm tọa độ đỉnh C .
Giải
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Đỉnh C của thuộc đường thẳng d1 : 2 x y 1 0 nên tọa độ có dạng C c; 2c 1 . Trung điểm
c3 2c 3
của đoạn thẳng BC thuộc trung tuyến qua A nên 7 5 21 0 . Giải phương trình
2 2
này ta được c 2 . Vậy C 2;3 .
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có AB : 4 x 3 y 7 0 , trung tuyến qua A là d : x 4 y 5 0 .
3
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác, biết AC cắt trục hoành tại điểm I có hoành độ bằng và
2
I là trung điểm của AC .
Giải
Ta thấy A là giao điểm của đường thẳng AB và trung tuyến d nên tọa độ A là nghiệm của hệ
4 x 3 y 7 0
A 1;1 .
x 4 y 5 0
3 3
I là điểm có hoành độ bằng thuộc trục hoành nên I ; 0 . Từ I là trung điểm AC có
2 2
xC 2 xI x A 4
C 4; 1 .
yC 2 y I y A 1
4b 7
Điểm B thuộc đường thẳng AB nên tọa độ B có dạng B b; .
3
Gọi J là trung điểm BC , ta có
yB yC
xJ 2 b 4 2b 2
J ; .
y xB xC 2 3
J 2
b4 2b 2
Điểm J lại thuộc trung tuyến d nên 4. 5 0 . Giải phương trình này ta được
2 3
b 2 , suy ra B 2;5 .
Vậy A 1;1 , B 2;5 , C 4; 1 .
Ví dụ 4. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A 1;3 và hai trung tuyến có
phương trình là d1 : x 2 y 1 0 và d 2 : y 1 0 .
Giải
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
7
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Dễ thấy cả hai trung tuyến đã cho đều không đi qua A . Giả sử d1 là trung tuyến qua B , d 2 là
trung tuyến qua C .
Điểm B thuộc trung tuyến d1 nên có tọa độ dạng B 2b 1; b . Tương tự, điểm C có tọa độ
dạng C c;1 . Trung điểm của cạnh AB thuộc trung tuyến d 2 và trung điểm của AC thuộc
trung tuyến d1 nên
b 3
2 1 0
.
c 1 2 2 1 0
2
Giải hệ trên ta được b 1 , c 5 . Suy ra B 3; 1 , C 5;1 . Phương trình các cạnh tam giác là
x 1 y 3
AB : , hay AB : x y 2 0 ;
4 4
x 3 y 1
BC : , hay BC : x 4 y 1 0 ;
8 2
x 5 y 1
CA : , hay CA : x 2 y 7 0 .
4 2
Ví dụ 5. Hai cạnh của một tam giác có phương trình lần lượt là 2 x y 0 và 5 x y 0 . Một
trong các đường trung tuyến của tam giác có phương trình 3 x y 0 . Cạnh thứ ba của tam giác
đó đi qua điểm M 3;9 . Tìm tọa độ các đỉnh và viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác.
Giải
Giả sử ABC là tam giác đang xét và AB : 2 x y 0 , AC : 5 x y 0 . Điểm A là giao điểm của
hai đường thẳng AB và AC nên tọa độ A là nghiệm của hệ
2 x y 0
A 0; 0 .
5 x y 0
Ta thấy d : 3 x y 0 là trung tuyến đi qua A . Hai điểm B và C lần lượt thuộc các cạnh AB
và AC nên tọa độ của hai điểm này có dạng B b; 2b và C c;5c . Trung điểm của BC thuộc
trung tuyến d nên
b c 2b 5c
3 0 b 2c .
2 2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
8
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Thế b 2c vào tọa độ điểm B ta có B 2c; 4c , suy ra BC c; c . Véc-tơ BC lại cùng phương
với véc-tơ a 1; 1 . Đường thẳng BC đi qua điểm M nên véc-tơ MB và véc-tơ a cùng
phương, tức là
2c 3 4c 9
c 2 B 4;8 , C 2;10 .
1 1
x 4 y 8
Phương trình cạnh BC là hay x y 12 0 .
2 2
Bài tập
Bài 1. Cho tam giác ABC , các đường thẳng AB và AC lần lượt có phương trình
3 x 2 y 1 0 và x y 1 0 . Đường trung tuyến ứng với cạnh AB có phương trình
2 x y 1 0 . Viết phương trình đường thẳng BC .
Đáp số: Phương trình đường thẳng BC là 5 x 3 y 1 0 .
Bài 2. Cho tam giác ABC có A 4; 1 , phương trình hai trung tuyến đi qua B và C lần lượt là
8 x y 3 0 và 14 x 13 y 9 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B , C .
Đáp số: B 1;5 , C 4; 5 .
Bài 3. Một cạnh của tam giác có phương trình là x 2 y 7 0 , hai đường trung tuyến ứng với
hai cạnh còn lại có phương trình lần lượt là x y 5 0 và 2 x y 11 0 . Viết phương trình
hai cạnh còn lại.
Đáp số: Phương trình hai cạnh còn lại là 3 x 2 y 6 0 và 3 x 8 y 12 0 .
Bài 4. Cho tam giác ABC có các trung tuyến từ A , B lần lượt là d1 : x y 5 0 ,
d 2 : x 17 y 31 0 và trực tâm H 4; 1 .
Đáp số: A 6; 5 , B 3; 2 , C 5; 2 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
9
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Dạng 3. Phân giác
Nội dung phương pháp
Cho tam giác ABC . Mỗi góc của tam giác hai đường phân giác là phân giác trong và phân giác
ngoài. Điểm đồng quy của ba đường phân giác trong là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Điểm
đồng quy của một đường phân giác trong và hai đường phân giác ngoài của góc còn lại là tâm
đường tròn bàng tiếp của góc ứng góc với phân giác trong, chẳng hạn: điểm đồng quy của đường
phân giác trong góc A và hai đường phân giác ngoài của hai đỉnh còn lại là tâm đường tròn bàng
tiếp góc A .
Xét phân giác (phân giác trong, phân giác ngoài) góc A . Ta cần nắm được hai tính chất sau đây
của phân giác góc A :
Phân giác góc A là đường thẳng đi qua A .
Hai đường thẳng AB và AC đối xứng nhau qua phân giác góc A . Cụ thể, nếu lấy M là
một điểm thuộc đường thẳng và M ' là điểm đối xứng với M qua phân giác góc A thì M '
thuộc đường thẳng AC .
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC biết rằng các đường thẳng thẳng AB , AC lần lượt đi qua các điểm
M 4; 6 , N 7;1 và phân giác góc A là đường thẳng d : x 4 y 14 0 . Lập phương trình
các cạnh AB , AC của tam giác.
Giải
Gọi M ' là điểm đối xứng với điểm M qua phân giác d . Vì M thuộc đường thẳng AB nên
a 4 b6
M ' thuộc đường thẳng AC . Giả sử M ' a; b , ta thấy trung điểm I ; thuộc đường
2 2
thẳng d và véc-tơ MM ' a 4; b 6 cùng phương với véc-tơ pháp tuyến n 1;4 của đường
thẳng d , tức là
a 4 b6
2 4 2 14 0 a 4b 48 a 8
M ' 8;10 .
a 4 b 6 4a b 22 b 10
1 4
Ta thấy đường thẳng AC đi qua các điểm N 7;1 và M ' 8;10 nên
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
10
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
x 7 y 1
AC : AC : 3 x 5 y 26 0 .
15 9
A là giao điểm của AC và phân giác d của góc A nên tọa độ A là nghiệm của hệ
3 x 5 y 26 0 x 2
A 2; 4 .
x 4 y 14 0 y 4
Đường thẳng AB đi qua các điểm A và M nên
x2 y4
AB : AB : 5 x 3 y 2 0 .
6 10
Vậy phương trình các cạnh AB , AC của tam giác là AB : 5 x 3 y 2 0 và
AC : 3 x 5 y 26 0 .
Ví dụ 2. [ĐHD11Chuẩn] Cho tam giác ABC có B 4;1 , trọng tâm G 1;1 và đường thẳng
d chứa đường phân giác trong của góc A có phương trình x y 1 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A
và C .
Giải
Gọi M m; n là trung điểm của AC , từ đẳng thức BG 2GM , ta có
5 2 m 1 7
m 7
2 M ;1 .
0 2 n 1 n 1 2
Gọi B ' a; b là điểm đối xứng với B qua d thì B ' thuộc AC . Ta thấy trung điểm I của BB '
thuộc đường thẳng d và véc-tơ BB ' cùng phương với véc-tơ pháp tuyến n 1; 1 của đường
thẳng d . Do đó
a 4 b 1
2 2 1 0 a b 7 a 2
B ' 2; 5 .
a 4 b 1 a b 3 b 5
1 1
Đường thẳng AC đi qua hai điểm B ' và M nên
x2 y5
AC : AC : 4 x y 13 0 .
7 1 5
2
2
A là giao điểm của AC và d nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
11
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
12 x 5 y 49 0 4 x y 13 0 x 4
A 4;3 .
x y 1 0 x y 1 0 y 3
C đối xứng với A qua M nên
xC 2 xM x A 3
C 3; 1 .
yC 2 yM y A 1
Ký hiệu F x; y là vế trái của phương trình tổng quát của phân giác trong góc A . Ta có
F B F C 6 3 18 0 . Suy ra B , C nằm về hai phía d . Do đó tọa độ các điểm tìm
được thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC với A 2; 1 và hai phân giác trong của các góc B và C lần lượt
là d1 : x 2 y 1 0 và d 2 : x y 3 0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác.
Giải
Gọi A1 , A2 là các điểm đối xứng với điểm A qua các phân giác d1 , d 2 . Từ tính chất của đường
phân giác suy ra A1 , A2 là các điểm thuộc đường thẳng BC .
a 2 a 1
A1 a; b đối xứng với A qua d1 khi và chỉ khi trung điểm I1 ; của AA1 thuộc
2 2
đường thẳng d1 và véc-tơ AA1 a 2; b 1 cùng phương với véc-tơ pháp tuyến n1 1; 2 của d1 ,
tức là
a 2 b 1
2 2 2 1 0 a 2b 6 a 0
A1 0;3 .
a 2 b 1 2a b 3 b 3
1 2
Tương tự, giả sử A2 m; n , ta có
m 2 n 1
2 2 3 0 m n 7 m 2
A2 2; 5 .
m 2 n 1 m n 3 n 5
1 1
Do đó
x 0 y 3
BC : BC : 4 x y 3 0 .
2 8
Ta thấy B là giao điểm của BC và d1 nên phương trình AB có dạng
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
12
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
AB : m 4 x y 3 n x 2 y 1 0 .
AB còn đi qua A 2; 1 nên thay tọa độ A vào phương trình AB ta có 12m 5n 0 . Nếu chọn
m 5 thì n 12 . Do đó
AB : 5 4 x y 3 12 x 2 y 1 0 AB : 8 x 19 y 3 0 .
Tương tự, phương trình AC có dạng AC : m 4 x y 3 n x y 3 0 với m , n thỏa mãn
3m n 0 . Chọ m 1 thì n 3 . Do đó
AC : 4 x y 3 3 x y 3 0 AC : x 4 y 6 0 .
Vậy phương trình các cạnh của tam giác là BC : 4 x y 3 0 , AB : 8 x 19 y 3 0 ,
AC : x 4 y 6 0 .
Bài tập
Bài 1. Cho tam giác ABC có A 4; 1 và các đường phân giác các góc B , C lần lượt là
d1 : x 1 0 , d 2 : x y 1 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B , C .
Đáp số: B 1;5 , C 4; 5 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
13
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Dạng 4. Trung trực
Nội dung phương pháp
Cho tam giác ABC . Giả sử d : ax by c 0 là trung trực của BC . Khi đó, trung điểm
I của đoạn thẳng BC thuộc d và BC cũng là một véc-tơ pháp tuyến của d , tức là
xB xC yB yC
a 2 b 2 c 0
.
xB xC yB yC
a b
Chú ý. Hệ điều kiện nói trên áp dụng cho trường hợp cả a và b đều khác 0 . Trong trường hợp
a 0 điều kiện thứ hai của hệ điều kiện trở thành xB xC 0 . Tương tự, trong trường hợp b 0
điều kiện thứ hai của hệ điều kiện trở thành y B yC 0 .
Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác
đó.
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có A 2; 1 và các đường trung trực của các cạnh AB , CA lần
lượt là d1 : 6 x 4 y 5 0 , d 2 : 2 x y 6 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Giải
Giả sử B a; b . Ta có trung điểm của AB thuộc d1 và AB là một véc-tơ pháp tuyến của d1 , tức
là
a2 b 1
6 2 4 2 5 0 3a 2b 9 a 1
B 1; 3 .
a 2 b 1 2a 3b 7 b 3
6 4
Tương tự, giả sử C c; d , ta có hệ
c 1 d 3
2 2 2 6 0 2c d 11 c 3
C 3; 5 .
c 1 d 3 c 2 d 7 d 5
2 1
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có đường trung trực của cạnh BC là d : x 2 y 7 0 và B 1; 1 .
Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
14
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Giải
Giả sử C a; b . Ta có trung điểm của BC thuộc d và BC là một véc-tơ pháp tuyến của d , tức
là
a 1 b 1
2 2 2 7 0 a 2b 11 a 3
C 3;7 .
a 1 b 1 2 a b 1 b 7
1 2
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB , AC lần lượt là 4 x 3 y 1 0 và
5 x 2 y 7 0 . Biết thêm rằng đường trung trực của cạnh BC có phương trình
d : 5 x y 6 0 , hãy tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
Giải
Điểm A là giao điểm của AB và AC nên tọa độ A là nghiệm của hệ
4 x 3 y 1 0
A 1;1 .
5 x 2 y 7 0
x 1 3t
Phương trình tham số của đường thẳng AB là AB : . Điểm B thuộc đường thẳng AB
y 1 4t
nên tọa độ có dạng B 1 3t ;1 4t . Tương tự, tọa độ điểm C có dạng C 1 2 s;1 5s . Ta có
trung điểm của BC thuộc d và BC là một véc-tơ pháp tuyến của d , tức là
3t 2 s 2 4t 5s 2
5 2
2
6 0
11t 15s 4 t 1 B 1; 3
.
3t 2 s
4t 5 s t s 0 s 1
C 3; 4
5 1
Bài tập
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
15
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Dạng 5. Một số bài toán tổng hợp
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có A 3; 4 , đường cao qua B và trung tuyến qua C lần lượt là
d1 : 2 x 5 y 13 0 , d 2 : x 1 . Tìm tọa độ các đỉnh B , C của tam giác.
Giải
Đường thẳng AC vuông góc với đường cao d1 : 2 x 5 y 13 0 nên AC nhận véc-tơ pháp
tuyến n 2;5 làm véc-tơ chỉ phương. Đường thẳng AC còn đi qua A nên
x3 y4
AC : AC : 5 x 2 y 7 0 .
2 5
Điểm C là giao điểm của đường thẳng AC và trung tuyến d 2 nên tọa độ C là nghiệm của hệ
5 x 2 y 7 0
C 1; 1 .
x 1
2 13
Điểm B thuộc đường cao d1 : 2 x 5 y 13 0 nên có tọa độ dạng B c; c .
5 5
Trung điểm của AB thuộc trung tuyến d 2 nên
c3
1 c 1 B 1;3 .
2
Vậy B 1;3 , C 1; 1 .
Ví dụ 2. [ĐHB08] Hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông
góc của C trên đường thằng AB là H 1; 1 , đường phân giác trong của góc A có phương
trình x – y 2 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4 x 3 y –1 0 .
Giải
Nếu H ' là điểm đối xứng với điểm H qua phân giác trong góc A thì H ' thuộc đường thẳng
AC . Giả sử H ' a; b , ta có trung điểm của HH ' thuộc phân giác trong góc A và véc-tơ HH '
là một véc-tơ pháp tuyến của phân giác trong góc A , tức là
a 1 b 1
2 2 2 0 a b 4 a 3
H ' 3;1 .
a 1 b 1 a b 2 b 1
1 1
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
16
Các bài toán về tam giác
A.Giới thiệu
Trong bài giảng này, chúng tôi đề cập đến các bài toán liên quan đến việc xác định tọa độ các
đỉnh và viết phương trình các cạnh của tam giác (giải tam giác). Để làm tốt các bài toán này, ta
cần biết khai thác các tính chất của đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác và đường
trung trực của tam giác. Bài giảng này đề cập đến năm dạng toán sau:
Dạng 1. Đường cao
Dạng 2. Trung tuyến
Dạng 3. Phân giác
Dạng 4. Trung trực
Dạng 5. Các bài toán tổng hợp
B. Các dạng toán hay gặp
Dạng 1. Đường cao
Nội dung phương pháp
Cho tam giác ABC . Giả sử d là đường cao qua A và H là trực tâm tam giác. Ta có vài nhận
xét sau đây:
d đi qua A và vuông góc với BC .
AH , BH , CH là các véc-tơ pháp tuyến của các đường thẳng BC , CA , AB .
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có đường cao qua A là đường thẳng d : x 2 y 7 0 , cạnh BC đi
qua điểm M 2;1 . Hãy lập phương trình cạnh BC của tam giác.
Giải
A
Ta thấy đường thẳng BC vuông góc với d nên nhận véc-tơ pháp
tuyến n 1; 2 làm véc-tơ chỉ phương. BC còn đi qua M nên
d
x 2 y 1
BC : BC : 2 x y 3 0 .
1 2 B C
M
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có A 1; 2 . Đường cao kẻ B , C có phương trình lần lượt là
d1 : 3 x 5 y 11 0 , d 2 : x 3 y 7 0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác.
Giải
Đường thẳng AB vuông góc với đường cao d 2 : x 3 y 7 0 A
d1
nên đường thẳng này nhận véc-tơ pháp tuyến n2 1;3 của d 2 d2
làm véc-tơ chỉ phương. Đường thẳng AB còn đi qua điểm A
nên
B C
x 1 y 2
AB : AB : 3 x y 5 0 .
1 3
Tương tự, AC là đường thẳng qua A và nhận n1 3; 5 làm véc-tơ chỉ phương nên
x 1 y 2
AC : AC : 5 x 3 y 1 0 .
3 5
B là giao điểm của AB và d1 nên tọa độ cuả B là nghiệm của hệ
3 x y 5 0
B 3; 4 .
3 x 5 y 11 0
C là giao điểm của C và d 2 nên tọa độ C là nghiệm của hệ
5 x 3 y 1 0
C 2;3 .
x 3y 7 0
Suy ra
x 3 y 4
BC : BC : x 5 y 17 0 .
5 1
Vậy AB : 3 x y 5 0 , AC : 5 x 3 y 1 0 , BC : x 5 y 17 0 .
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có đường cao qua A , B lần lượt là các đường thẳng
d1 : 4 x y 5 0 , d 2 : 2 x y 9 0 và trọng tâm G 2; 2 . Hãy xác định tọa độ các đỉnh của
tam giác.
Giải
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Các điểm A , B lần lượt thuộc các đường thẳng d1 , d 2 nên tọa C
độ của chúng có dạng A a; 4a 5 , B b; 2b 9 . G là trọng
tâm tam giác ABC nên
xC 3 xG xA xB d1 G
d2
C a b 6; 4a 2b 2
yC 3 yG y A yB A B
BC a 2b 6; 4a 4b 7 , AC 2a b 6;8a 2b 7 .
Đường thẳng BC vuông góc với d1 nên BC là một véc-tơ pháp tuyến của d1 . Tương tự, AC là
một véc-tơ pháp tuyến của d 2 . Do đó
a 2b 6 4a 4b 7
4 1 17 a 14b 22 a 2
.
2 a b 6 8a 2b 7 14 a 5b 8 b 4
2 1
Suy ra A 2;3 , B 4;1 .
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có AB : 5 x 3 y 2 0 và các đường cao đi qua A , B có phương
trình lần lượt là d1 : 4 x 3 y 1 0 và d 2 : 7 x 2 y 22 0 . Lập phương trình của hai cạnh còn
lại và đường cao còn lại của tam giác.
Giải
A là giao điểm của AB và d1 nên tọa độ A là nghiệm của hệ C
d1
5 x 3 y 2 0
A 1; 1 . d2
4 x 3 y 1 0
A B
B là giao điểm của AB và d 2 nên tọa độ B là nghiệm của hệ
5 x 3 y 2 0
B 2; 4 .
7 x 2 y 22 0
Đường thẳng AC qua A và nhận véc-tơ pháp tuyến n2 7;2 của đường thẳng d 2 làm véc-tơ
chỉ phương nên
x 1 y 1
AC : AC : 2 x 7 y 5 0 .
7 2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Tương tự, BC qua B và nhận n1 4; 3 làm véc-tơ chỉ phương nên
x2 y4
BC : BC : 3x 4 y 22 0 .
4 3
C là giao điểm của AC và BC nên tọa độ C là nghiệm của hệ
2 x 7 y 5 0
C 6;1 .
3 x 4 y 22 0
Đường cao qua C nhận véc-tơ pháp tuyến n3 5; 3 làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình
là
x 6 y 1
3 x 5 y 23 0 .
5 3
Vậy AC : 2 x 7 y 5 0 , BC : 3x 4 y 22 0 , đường cao còn lại có phương trình
3 x 5 y 23 0 .
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có phương trình hai cạnh là 5 x 2 y 6 0 và 4 x 7 y 21 0 .
Viết phương trình cạnh còn lại của tam giác biết gốc tọa độ chính là trực tâm của tam giác.
Giải
Giả sử 5 x 2 y 6 0 , 4 x 7 y 21 0 lần lượt là phương trình A
của các cạnh AB , BC .
B là giao điểm của AB và BC nên tọa độ B là nghiệm của hệ O
5 x 2 y 6 0
B 0;3 .
4 x 7 y 21 0 B C
Đường thẳng CO nhận véc-tơ pháp tuyến n 5; 2 của AB làm véc-tơ chỉ phương nên
x y
CO : CO : 2 x 5 y 0 .
5 2
C là giao điểm của của BC và CO nên tọa độ của C là nghiệm của hệ
4 x 7 y 21 0 35
C ; 7 .
2 x 5 y 0 2
35
Đường thẳng CA đi qua C ; 7 và nhận OB 0;3 làm véc-tơ pháp tuyến nên
2
CA : 3 y 7 0 CA : y 7 0 .
Bài tập
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Bài 1. Cho tam giác ABC có chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC là H 1;1 , các
đường cao qua B , C lần lượt là d1 : 5 x 3 y 4 0 , d 2 : x 4 y 11 0 . Hãy tìm tọa độ các đỉnh
của tam giác.
Đáp số: A 3; 7 , B 5; 2 , C 7; 1 .
Bài 2. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B 4; 5 và phương trình hai đường
cao là d1 : 5 x 3 y 4 0 và d 2 : 3 x 8 y 13 0 .
Hướng dẫn: Trước hết ta nhận xét rằng B không thuộc cả d1 và d 2 . Giả sử d1 là đường cao đi
qua A và d 2 là đường cao đi qua C . Phương trình các cạnh của tam giác là
AB : 8 x 3 y 17 0 , BC : 3x 5 y 13 0 , CA : 5 x 2 y 1 0 .
1 1
Bài 3. Cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là M ; và các đường cao qua A , B lần
2 2
lượt là d1 : 6 x y 21 0 , d 2 : x 4 y 9 0 . Hãy lập phương trình các cạnh của tam giác.
Đáp số: AB : x y 0 , BC : x 6 y 10 0 , CA : 4 x y 15 0 .
9 3
Bài 4. Cho tam giác ABC có trung điểm các cạnh AB , BC lần lượt là M ; ,
2 2
1 1
N ; và đường cao hạ từ A là 3 x y 7 0 . Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.
2 2
Đáp số: A 4; 5 , B 5; 2 , C 4; 1 .
Bài 5. Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC biết B 5; 2 , C 1;1 và trực tâm là H 2; 4 .
9 26
Đáp số: A ; .
5 5
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
5
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Dạng 2. Trung tuyến
Nội dung phương pháp
Cho tam giác ABC . Trung tuyến của tam giác là đường thẳng đi qua đỉnh và trung điểm cạnh
đối diện. Giả sử biết d : ax by c 0 là trung tuyến đi qua đỉnh A của tam giác, ta suy ra hai
sự kiện quan trọng sau đây:
Điểm A thuộc đường thẳng d , tức là
axA by A c 0 .
Trung điểm của đoạn thẳng BC thuộc đường thẳng d , tức là
x x y yC
a B C b B c 0.
2 2
Cho tam giác ABC .
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh là A 1; 2 , B 4; 3 và C 0;8 . Hãy viết
phương trình các đường trung tuyến của tam giác.
Giải
Nếu gọi G là trọng tâm của tam giác thì G 1;1 . Gọi cac trung tuyến qua A , B , C lần lượt là
d A , d B , dC . Ta thấy d A đi qua A và G nên
x 1 y 2
dA : , hay d A : 3 x 2 y 1 0 .
2 3
Tương tự ta có
x4 y3
dB : , hay d B : 4 x 3 y 7 0 ;
3 4
x y 8
dC : , hay dC : 7 x y 8 0 .
1 7
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có đỉnh B 3; 4 , đỉnh C thuộc đường thẳng d1 : 2 x y 1 0 và
trung tuyến đi qua A là d 2 : 7 x 5 y 21 0 . Tìm tọa độ đỉnh C .
Giải
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Đỉnh C của thuộc đường thẳng d1 : 2 x y 1 0 nên tọa độ có dạng C c; 2c 1 . Trung điểm
c3 2c 3
của đoạn thẳng BC thuộc trung tuyến qua A nên 7 5 21 0 . Giải phương trình
2 2
này ta được c 2 . Vậy C 2;3 .
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có AB : 4 x 3 y 7 0 , trung tuyến qua A là d : x 4 y 5 0 .
3
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác, biết AC cắt trục hoành tại điểm I có hoành độ bằng và
2
I là trung điểm của AC .
Giải
Ta thấy A là giao điểm của đường thẳng AB và trung tuyến d nên tọa độ A là nghiệm của hệ
4 x 3 y 7 0
A 1;1 .
x 4 y 5 0
3 3
I là điểm có hoành độ bằng thuộc trục hoành nên I ; 0 . Từ I là trung điểm AC có
2 2
xC 2 xI x A 4
C 4; 1 .
yC 2 y I y A 1
4b 7
Điểm B thuộc đường thẳng AB nên tọa độ B có dạng B b; .
3
Gọi J là trung điểm BC , ta có
yB yC
xJ 2 b 4 2b 2
J ; .
y xB xC 2 3
J 2
b4 2b 2
Điểm J lại thuộc trung tuyến d nên 4. 5 0 . Giải phương trình này ta được
2 3
b 2 , suy ra B 2;5 .
Vậy A 1;1 , B 2;5 , C 4; 1 .
Ví dụ 4. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A 1;3 và hai trung tuyến có
phương trình là d1 : x 2 y 1 0 và d 2 : y 1 0 .
Giải
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
7
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Dễ thấy cả hai trung tuyến đã cho đều không đi qua A . Giả sử d1 là trung tuyến qua B , d 2 là
trung tuyến qua C .
Điểm B thuộc trung tuyến d1 nên có tọa độ dạng B 2b 1; b . Tương tự, điểm C có tọa độ
dạng C c;1 . Trung điểm của cạnh AB thuộc trung tuyến d 2 và trung điểm của AC thuộc
trung tuyến d1 nên
b 3
2 1 0
.
c 1 2 2 1 0
2
Giải hệ trên ta được b 1 , c 5 . Suy ra B 3; 1 , C 5;1 . Phương trình các cạnh tam giác là
x 1 y 3
AB : , hay AB : x y 2 0 ;
4 4
x 3 y 1
BC : , hay BC : x 4 y 1 0 ;
8 2
x 5 y 1
CA : , hay CA : x 2 y 7 0 .
4 2
Ví dụ 5. Hai cạnh của một tam giác có phương trình lần lượt là 2 x y 0 và 5 x y 0 . Một
trong các đường trung tuyến của tam giác có phương trình 3 x y 0 . Cạnh thứ ba của tam giác
đó đi qua điểm M 3;9 . Tìm tọa độ các đỉnh và viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác.
Giải
Giả sử ABC là tam giác đang xét và AB : 2 x y 0 , AC : 5 x y 0 . Điểm A là giao điểm của
hai đường thẳng AB và AC nên tọa độ A là nghiệm của hệ
2 x y 0
A 0; 0 .
5 x y 0
Ta thấy d : 3 x y 0 là trung tuyến đi qua A . Hai điểm B và C lần lượt thuộc các cạnh AB
và AC nên tọa độ của hai điểm này có dạng B b; 2b và C c;5c . Trung điểm của BC thuộc
trung tuyến d nên
b c 2b 5c
3 0 b 2c .
2 2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
8
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Thế b 2c vào tọa độ điểm B ta có B 2c; 4c , suy ra BC c; c . Véc-tơ BC lại cùng phương
với véc-tơ a 1; 1 . Đường thẳng BC đi qua điểm M nên véc-tơ MB và véc-tơ a cùng
phương, tức là
2c 3 4c 9
c 2 B 4;8 , C 2;10 .
1 1
x 4 y 8
Phương trình cạnh BC là hay x y 12 0 .
2 2
Bài tập
Bài 1. Cho tam giác ABC , các đường thẳng AB và AC lần lượt có phương trình
3 x 2 y 1 0 và x y 1 0 . Đường trung tuyến ứng với cạnh AB có phương trình
2 x y 1 0 . Viết phương trình đường thẳng BC .
Đáp số: Phương trình đường thẳng BC là 5 x 3 y 1 0 .
Bài 2. Cho tam giác ABC có A 4; 1 , phương trình hai trung tuyến đi qua B và C lần lượt là
8 x y 3 0 và 14 x 13 y 9 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B , C .
Đáp số: B 1;5 , C 4; 5 .
Bài 3. Một cạnh của tam giác có phương trình là x 2 y 7 0 , hai đường trung tuyến ứng với
hai cạnh còn lại có phương trình lần lượt là x y 5 0 và 2 x y 11 0 . Viết phương trình
hai cạnh còn lại.
Đáp số: Phương trình hai cạnh còn lại là 3 x 2 y 6 0 và 3 x 8 y 12 0 .
Bài 4. Cho tam giác ABC có các trung tuyến từ A , B lần lượt là d1 : x y 5 0 ,
d 2 : x 17 y 31 0 và trực tâm H 4; 1 .
Đáp số: A 6; 5 , B 3; 2 , C 5; 2 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
9
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Dạng 3. Phân giác
Nội dung phương pháp
Cho tam giác ABC . Mỗi góc của tam giác hai đường phân giác là phân giác trong và phân giác
ngoài. Điểm đồng quy của ba đường phân giác trong là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Điểm
đồng quy của một đường phân giác trong và hai đường phân giác ngoài của góc còn lại là tâm
đường tròn bàng tiếp của góc ứng góc với phân giác trong, chẳng hạn: điểm đồng quy của đường
phân giác trong góc A và hai đường phân giác ngoài của hai đỉnh còn lại là tâm đường tròn bàng
tiếp góc A .
Xét phân giác (phân giác trong, phân giác ngoài) góc A . Ta cần nắm được hai tính chất sau đây
của phân giác góc A :
Phân giác góc A là đường thẳng đi qua A .
Hai đường thẳng AB và AC đối xứng nhau qua phân giác góc A . Cụ thể, nếu lấy M là
một điểm thuộc đường thẳng và M ' là điểm đối xứng với M qua phân giác góc A thì M '
thuộc đường thẳng AC .
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC biết rằng các đường thẳng thẳng AB , AC lần lượt đi qua các điểm
M 4; 6 , N 7;1 và phân giác góc A là đường thẳng d : x 4 y 14 0 . Lập phương trình
các cạnh AB , AC của tam giác.
Giải
Gọi M ' là điểm đối xứng với điểm M qua phân giác d . Vì M thuộc đường thẳng AB nên
a 4 b6
M ' thuộc đường thẳng AC . Giả sử M ' a; b , ta thấy trung điểm I ; thuộc đường
2 2
thẳng d và véc-tơ MM ' a 4; b 6 cùng phương với véc-tơ pháp tuyến n 1;4 của đường
thẳng d , tức là
a 4 b6
2 4 2 14 0 a 4b 48 a 8
M ' 8;10 .
a 4 b 6 4a b 22 b 10
1 4
Ta thấy đường thẳng AC đi qua các điểm N 7;1 và M ' 8;10 nên
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
10
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
x 7 y 1
AC : AC : 3 x 5 y 26 0 .
15 9
A là giao điểm của AC và phân giác d của góc A nên tọa độ A là nghiệm của hệ
3 x 5 y 26 0 x 2
A 2; 4 .
x 4 y 14 0 y 4
Đường thẳng AB đi qua các điểm A và M nên
x2 y4
AB : AB : 5 x 3 y 2 0 .
6 10
Vậy phương trình các cạnh AB , AC của tam giác là AB : 5 x 3 y 2 0 và
AC : 3 x 5 y 26 0 .
Ví dụ 2. [ĐHD11Chuẩn] Cho tam giác ABC có B 4;1 , trọng tâm G 1;1 và đường thẳng
d chứa đường phân giác trong của góc A có phương trình x y 1 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A
và C .
Giải
Gọi M m; n là trung điểm của AC , từ đẳng thức BG 2GM , ta có
5 2 m 1 7
m 7
2 M ;1 .
0 2 n 1 n 1 2
Gọi B ' a; b là điểm đối xứng với B qua d thì B ' thuộc AC . Ta thấy trung điểm I của BB '
thuộc đường thẳng d và véc-tơ BB ' cùng phương với véc-tơ pháp tuyến n 1; 1 của đường
thẳng d . Do đó
a 4 b 1
2 2 1 0 a b 7 a 2
B ' 2; 5 .
a 4 b 1 a b 3 b 5
1 1
Đường thẳng AC đi qua hai điểm B ' và M nên
x2 y5
AC : AC : 4 x y 13 0 .
7 1 5
2
2
A là giao điểm của AC và d nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
11
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
12 x 5 y 49 0 4 x y 13 0 x 4
A 4;3 .
x y 1 0 x y 1 0 y 3
C đối xứng với A qua M nên
xC 2 xM x A 3
C 3; 1 .
yC 2 yM y A 1
Ký hiệu F x; y là vế trái của phương trình tổng quát của phân giác trong góc A . Ta có
F B F C 6 3 18 0 . Suy ra B , C nằm về hai phía d . Do đó tọa độ các điểm tìm
được thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC với A 2; 1 và hai phân giác trong của các góc B và C lần lượt
là d1 : x 2 y 1 0 và d 2 : x y 3 0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác.
Giải
Gọi A1 , A2 là các điểm đối xứng với điểm A qua các phân giác d1 , d 2 . Từ tính chất của đường
phân giác suy ra A1 , A2 là các điểm thuộc đường thẳng BC .
a 2 a 1
A1 a; b đối xứng với A qua d1 khi và chỉ khi trung điểm I1 ; của AA1 thuộc
2 2
đường thẳng d1 và véc-tơ AA1 a 2; b 1 cùng phương với véc-tơ pháp tuyến n1 1; 2 của d1 ,
tức là
a 2 b 1
2 2 2 1 0 a 2b 6 a 0
A1 0;3 .
a 2 b 1 2a b 3 b 3
1 2
Tương tự, giả sử A2 m; n , ta có
m 2 n 1
2 2 3 0 m n 7 m 2
A2 2; 5 .
m 2 n 1 m n 3 n 5
1 1
Do đó
x 0 y 3
BC : BC : 4 x y 3 0 .
2 8
Ta thấy B là giao điểm của BC và d1 nên phương trình AB có dạng
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
12
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
AB : m 4 x y 3 n x 2 y 1 0 .
AB còn đi qua A 2; 1 nên thay tọa độ A vào phương trình AB ta có 12m 5n 0 . Nếu chọn
m 5 thì n 12 . Do đó
AB : 5 4 x y 3 12 x 2 y 1 0 AB : 8 x 19 y 3 0 .
Tương tự, phương trình AC có dạng AC : m 4 x y 3 n x y 3 0 với m , n thỏa mãn
3m n 0 . Chọ m 1 thì n 3 . Do đó
AC : 4 x y 3 3 x y 3 0 AC : x 4 y 6 0 .
Vậy phương trình các cạnh của tam giác là BC : 4 x y 3 0 , AB : 8 x 19 y 3 0 ,
AC : x 4 y 6 0 .
Bài tập
Bài 1. Cho tam giác ABC có A 4; 1 và các đường phân giác các góc B , C lần lượt là
d1 : x 1 0 , d 2 : x y 1 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B , C .
Đáp số: B 1;5 , C 4; 5 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
13
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Dạng 4. Trung trực
Nội dung phương pháp
Cho tam giác ABC . Giả sử d : ax by c 0 là trung trực của BC . Khi đó, trung điểm
I của đoạn thẳng BC thuộc d và BC cũng là một véc-tơ pháp tuyến của d , tức là
xB xC yB yC
a 2 b 2 c 0
.
xB xC yB yC
a b
Chú ý. Hệ điều kiện nói trên áp dụng cho trường hợp cả a và b đều khác 0 . Trong trường hợp
a 0 điều kiện thứ hai của hệ điều kiện trở thành xB xC 0 . Tương tự, trong trường hợp b 0
điều kiện thứ hai của hệ điều kiện trở thành y B yC 0 .
Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác
đó.
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có A 2; 1 và các đường trung trực của các cạnh AB , CA lần
lượt là d1 : 6 x 4 y 5 0 , d 2 : 2 x y 6 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Giải
Giả sử B a; b . Ta có trung điểm của AB thuộc d1 và AB là một véc-tơ pháp tuyến của d1 , tức
là
a2 b 1
6 2 4 2 5 0 3a 2b 9 a 1
B 1; 3 .
a 2 b 1 2a 3b 7 b 3
6 4
Tương tự, giả sử C c; d , ta có hệ
c 1 d 3
2 2 2 6 0 2c d 11 c 3
C 3; 5 .
c 1 d 3 c 2 d 7 d 5
2 1
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có đường trung trực của cạnh BC là d : x 2 y 7 0 và B 1; 1 .
Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
14
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Giải
Giả sử C a; b . Ta có trung điểm của BC thuộc d và BC là một véc-tơ pháp tuyến của d , tức
là
a 1 b 1
2 2 2 7 0 a 2b 11 a 3
C 3;7 .
a 1 b 1 2 a b 1 b 7
1 2
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB , AC lần lượt là 4 x 3 y 1 0 và
5 x 2 y 7 0 . Biết thêm rằng đường trung trực của cạnh BC có phương trình
d : 5 x y 6 0 , hãy tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
Giải
Điểm A là giao điểm của AB và AC nên tọa độ A là nghiệm của hệ
4 x 3 y 1 0
A 1;1 .
5 x 2 y 7 0
x 1 3t
Phương trình tham số của đường thẳng AB là AB : . Điểm B thuộc đường thẳng AB
y 1 4t
nên tọa độ có dạng B 1 3t ;1 4t . Tương tự, tọa độ điểm C có dạng C 1 2 s;1 5s . Ta có
trung điểm của BC thuộc d và BC là một véc-tơ pháp tuyến của d , tức là
3t 2 s 2 4t 5s 2
5 2
2
6 0
11t 15s 4 t 1 B 1; 3
.
3t 2 s
4t 5 s t s 0 s 1
C 3; 4
5 1
Bài tập
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
15
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Dạng 5. Một số bài toán tổng hợp
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có A 3; 4 , đường cao qua B và trung tuyến qua C lần lượt là
d1 : 2 x 5 y 13 0 , d 2 : x 1 . Tìm tọa độ các đỉnh B , C của tam giác.
Giải
Đường thẳng AC vuông góc với đường cao d1 : 2 x 5 y 13 0 nên AC nhận véc-tơ pháp
tuyến n 2;5 làm véc-tơ chỉ phương. Đường thẳng AC còn đi qua A nên
x3 y4
AC : AC : 5 x 2 y 7 0 .
2 5
Điểm C là giao điểm của đường thẳng AC và trung tuyến d 2 nên tọa độ C là nghiệm của hệ
5 x 2 y 7 0
C 1; 1 .
x 1
2 13
Điểm B thuộc đường cao d1 : 2 x 5 y 13 0 nên có tọa độ dạng B c; c .
5 5
Trung điểm của AB thuộc trung tuyến d 2 nên
c3
1 c 1 B 1;3 .
2
Vậy B 1;3 , C 1; 1 .
Ví dụ 2. [ĐHB08] Hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông
góc của C trên đường thằng AB là H 1; 1 , đường phân giác trong của góc A có phương
trình x – y 2 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4 x 3 y –1 0 .
Giải
Nếu H ' là điểm đối xứng với điểm H qua phân giác trong góc A thì H ' thuộc đường thẳng
AC . Giả sử H ' a; b , ta có trung điểm của HH ' thuộc phân giác trong góc A và véc-tơ HH '
là một véc-tơ pháp tuyến của phân giác trong góc A , tức là
a 1 b 1
2 2 2 0 a b 4 a 3
H ' 3;1 .
a 1 b 1 a b 2 b 1
1 1
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
16