Chuyên đề bất phương trình logarit

  • 10 trang
  • file .pdf
Bất phương trình logarit
A. Tóm tắt lý thuyết
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải bất phương trình log 2  x 2  16   log 2  4 x  11 . 1
Giải
 x  5
 x2  4x  5  0 
 x 2  16  4 x  11    x  1

1     11    x  5.
 4 x  11  0  x  x  11
 4  4
Ví dụ 2. Giải bất phương trình 2 log  x  1 . 5   log  5  x   1 .
  1
Giải
x 1  0
Điều kiện:   1 x  5 .
5  x  0
2
1  log 5  x  12   log 5  5  x    5  x  1  5  5  x 
 1  17
x 
2 2
  x  1   5  x   x 2  x  4  0   .
 1  17
x 
 2
 1  17 
Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là  ;5  .
 2 
Ví dụ 3. Giải bất phương trình log 1 log 2  3 x  1   1 . 1
2
Giải
1   log 2  log 2  3x  1  1  log 2 log 2 3x  1  1
 0  log 2  3x  1  2  1  3 x  1  4  3x  3  x  1 .
Ví dụ 4. Giải bất phương trình log x  5 x 2  8 x  3  2 . 1
Giải
0  x  1  3
Điều kiện:  2  x   0;   1;   .
5 x  8 x  3  0  5
1
 3  3
 0  x  5  0  x  5
 2  2
5 x  8 x  3  x 2 

1     4 x  8 x  3  0
 
 x  1  x  1
 5 x 2  8 x  3  x 2  4 x 2  8 x  3  0
 
 3
 0  x  5

 3  1  x  3
 0  x 
5   2 1 3
 2 
2
  x
 2 5
  4 x  8 x  3  0    x  1   .
    3
 x  1 x
   x1  2
 4 x 2  8x  3  0    2

   3
 x 
 2
1 3  3 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  ;    ;   .
 2 5  2 
Ví dụ 5. Giải bất phương trình log 2  5x  2   2log5x 2 2  3  0 . 1
Giải
Đặt t  log 2  5 x  2  , suy ra t  1 và bất phương trình 1 trở thành
2 t  1 (loaïi)
t  3  0  t 2  3t  2  0   .
t t  2 ( thoûa maõn)
Thay t  log 2  5 x  2  bất phương trình t  2 , ta có
log 2  5 x  2   2  5x  2  4  5 x  2  x  log5 2 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  log 5 2;   .
x 2  x  12
Ví dụ 6. Giải bất phương trình log 3  x  7  x 2  x  12 . 1
7x
Giải
  x  3
 x 2  x  12  0 
Điều kiện:     x  4  x   ; 3    4; 7  .
7  x  0 x  7

1  log 3 x 2  x  12  log3  7  x   x  7  x 2  x  12
 x 2  x  12  log 3 x 2  x  12  7  x  log 3  7  x  .
1
Xét hàm f  t   t  log 3 t , t  0 . Ta có f '  t   1 
 0 t  0 , suy ra f đồng biến trên
t ln 3
 0;   . Bất phương trình đã cho tương đương với
2
f  x  x  12   f  7  x   x  x 12  7  x
2 2
37
 x 2  x  12  x 2  14 x  49  x  .
13
 37 
Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là x   ; 3    4;  .
 13 
C. Bài tập
Bài 1. Giải các bất phương trình sau
1) log3  x  2   1 .
2x  3
2) log3 1
1 x
3) log 2 log 3 x  3  0 .
3
4) log x 3x2x11  0 .
log x0 ,5  2 x 1
5)  0, 08    log x 0,5 x
.  5 22
6) 1
2 log x  log 1  x  1  .
1 1
3
3 3
7) log x  x  14   2 .
log x 1  2 x 1
8) 0,12log x1 x  5 33   .
9) 1  log x 2004  2 .

log a 35  x 3 
10) log a  5 x 
 3.
11)  4 x  12.2x  32  log 2  2 x  1  0 .
1
12) log x 2 4xx22  .
2
3
13) log 42 x  log 21 x8  9log 2 32
x2
 4 log 21 x .
2 2
14) log 1  x  6 x  8   2log 5  x  4   0
2
5
15) log 1  log 4  x 2  5    0 .
2
16) log 2 x  x 2  5 x  6   1 .
x2
log3
x
17) 5  1.
log 3  3x  1
18)  1.
x 1
Bài 2. Giải các bất phương trình sau
3
1) log 22 x   x  1 log 2 x  2 x  2  0 .
2) log 3 x.log 2 x  log 3 x 2  log 2 4x .
5
3) log 3  4 x  1  log 4x 1 3  .
2
4) 2  log 2 x  log 2 x .
Bài 3. Giải các bất phương trình
1) x 2   log 2 x  2  x  log 2 x  3  0 .
2)  x  3 log32  x  2   4  x  2  log3  x  2   16  0 .
4
hệ phương trình mũ và hệ phương trình logarit
Giải các hệ phương trình:
log 2  x  y   5  log 2  x  y 

1)  l o g x  l o g 4
 l o g y  l o g 3  1

 xy  xy
  32
2)  4
log 3  x  y   1  log 3  x  y 
2
 y 5 x 51 x 10  1
3) 
 xy  5
log x y  2
4) 
log x 1  y  23   3
2
 x 2  y  2 y  x  1

5) 
x2  y
9  x  y   6
2
 y  log 3 x  1
6)  y 12
x  3
9 4 xy 2  27.3 y  0

7)  1 1
4 2
4
 l o g x  l o g y  lg 4  x  
3 x.2 y  1152
8) 
log 5  x  y   2
l o g  x 2  y 2   1  l o g8
9) 
l o g  x  y   l o g  x  y   l o g 3
3x.2 y  972
10) 
log 3  x  y   2
31 2log3  y  x   48
11) 
 2log 5  2 y  x  12   log 5  y  x   log5  y  x 
12) log 9  x  y   log  x  y   log  x  y 
3 3
3
2 2
3
5
 log a x  log a y  2  log18 a  1
13) 
 2 x  y  20a  0
 y x 5
 x  y  3 
14)  27
3log 5  x  y   x  y

 2 xy  2  4 xy 1  5

15)  3  x  y  5  x  y 
  8
 x y x y
 x y  2
16)  y2
 2 x   64  x  0
 x2 y 2
 y  x  12

17) 
1
  log 2 x log5 y 1
 2  5 
3
2
 x y 7 y 10  1
18) 
 x  y  8 x  0
  
 2  log 1 x  2 log x2 y   5  0
19)   y


 2
 xy  32
l o g  x  3  l o g  5  y   0
20) 
1 y
 4 4x  8 x 8 y  0
log x  3 x  2 y   2
21) 
log y  2 x  3 y   2
 x  y  12

29)   
 2  2 log y 2 x  log 1 y   5
  x 
2 2
 x x  y 16  1
30) 
 x  y  2  x  0 
lg 2
 x  y  1

31) 
lg y  lg x  lg 2
y
 x x
32)  4  7.2 2
 23 y
 y  x  3
6
5 3 x .2 y  200
33)  3
2 x 2 y
5  2  689
 l o g 12  x2  y2 1,5
10  100 10

34) 
x 2  10 y 6
 
 3 2 x 2  10 y  9
 y x  1,5  y  x
22)  2,5 x
 y  64  y  0 
l o g  x  y   l o g 5  l o g x  l o g y  l o g 6

23)  lo g x
 l o g  y  6    l o g y  l o g 6   1

 y 2
log xy  log y x  1
24)  x
log 2  y  x   1

 x  y  x   x  y  y
25) 
log 2 x  log 2 y  1
x2 y
 x  36
26) 
 4  x  2 y   log 6 x  9
log 2  u  v   log 2  u  v   1
27) 
2 2
u  v  2
x p  yq

28)  x log a x
log a y  log y  p  q vµ pq  0 
 a
3l o g x  4l o g y
35)  log 4 l o g3
 4 x   3 y 
 xy  a 2
36) 
lg x  lg y  2,5lg  a 
2 2 2 2
a0
 x log8 y  y log8 x  4
37) 
log 4 x  log 4 y  1
2
 2 x  y x  xy 8  1
 
38 ) 
x 2  xy  2 x 16
 0,37 x  y  1

 x log 3 y  2 y log3 x  27
39) 
log 3 y  log 3 x  1
7
 2 x  2 y  5
40) 
x y
 2  4
x
8  10 y
41) 
x
 2  5 y
0,5log 2 x  log 2 y  0
42)  2 2
x  5y  4  0
 x log y x  2
43) 
log x y
 y  16
 x log y z  z log y z  512
 log x log y
44)  y z  x z  8
 log z x
 z  y log x z  2 2
 x  y  2
45)  x2  x 2
 y  1 1
 x9 x  y  y 9 x  y
46) 
2
 x y  1
 2 x.3 y  12
47) 
x y
3 .2  18
9 log 2 xy  3  2  xy  log 2 3
48) 
2 2
 x  1   y  1  1
2cot x  sin y
9 3
49) 
sin y cot gx
9  81 2
x  y  1
50)  x y
2  2  2
 23 x 1  2 y  2  3.2 y 3 x
51) 
2
 3 x  1  xy  x  1
log y x
 yx  x 2,5
52) 
log 3 y.log y  y  2 x   1
phương trình và bất phương trình mũ chứa tham số
I) ứng dụng của định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai:
(So sánh số với các nghiệm của phương trình bậc hai)
x
1) Giải và biện luận phương trình:  m  2  .2   m  5  .2
x
 2  m  1  0
8