Chuyên đề bất phương trình logarit
- 10 trang
- file .pdf
Bất phương trình logarit
A. Tóm tắt lý thuyết
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải bất phương trình log 2 x 2 16 log 2 4 x 11 . 1
Giải
x 5
x2 4x 5 0
x 2 16 4 x 11 x 1
1 11 x 5.
4 x 11 0 x x 11
4 4
Ví dụ 2. Giải bất phương trình 2 log x 1 . 5 log 5 x 1 .
1
Giải
x 1 0
Điều kiện: 1 x 5 .
5 x 0
2
1 log 5 x 12 log 5 5 x 5 x 1 5 5 x
1 17
x
2 2
x 1 5 x x 2 x 4 0 .
1 17
x
2
1 17
Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là ;5 .
2
Ví dụ 3. Giải bất phương trình log 1 log 2 3 x 1 1 . 1
2
Giải
1 log 2 log 2 3x 1 1 log 2 log 2 3x 1 1
0 log 2 3x 1 2 1 3 x 1 4 3x 3 x 1 .
Ví dụ 4. Giải bất phương trình log x 5 x 2 8 x 3 2 . 1
Giải
0 x 1 3
Điều kiện: 2 x 0; 1; .
5 x 8 x 3 0 5
1
3 3
0 x 5 0 x 5
2 2
5 x 8 x 3 x 2
1 4 x 8 x 3 0
x 1 x 1
5 x 2 8 x 3 x 2 4 x 2 8 x 3 0
3
0 x 5
3 1 x 3
0 x
5 2 1 3
2
2
x
2 5
4 x 8 x 3 0 x 1 .
3
x 1 x
x1 2
4 x 2 8x 3 0 2
3
x
2
1 3 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ; ; .
2 5 2
Ví dụ 5. Giải bất phương trình log 2 5x 2 2log5x 2 2 3 0 . 1
Giải
Đặt t log 2 5 x 2 , suy ra t 1 và bất phương trình 1 trở thành
2 t 1 (loaïi)
t 3 0 t 2 3t 2 0 .
t t 2 ( thoûa maõn)
Thay t log 2 5 x 2 bất phương trình t 2 , ta có
log 2 5 x 2 2 5x 2 4 5 x 2 x log5 2 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là log 5 2; .
x 2 x 12
Ví dụ 6. Giải bất phương trình log 3 x 7 x 2 x 12 . 1
7x
Giải
x 3
x 2 x 12 0
Điều kiện: x 4 x ; 3 4; 7 .
7 x 0 x 7
1 log 3 x 2 x 12 log3 7 x x 7 x 2 x 12
x 2 x 12 log 3 x 2 x 12 7 x log 3 7 x .
1
Xét hàm f t t log 3 t , t 0 . Ta có f ' t 1
0 t 0 , suy ra f đồng biến trên
t ln 3
0; . Bất phương trình đã cho tương đương với
2
f x x 12 f 7 x x x 12 7 x
2 2
37
x 2 x 12 x 2 14 x 49 x .
13
37
Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là x ; 3 4; .
13
C. Bài tập
Bài 1. Giải các bất phương trình sau
1) log3 x 2 1 .
2x 3
2) log3 1
1 x
3) log 2 log 3 x 3 0 .
3
4) log x 3x2x11 0 .
log x0 ,5 2 x 1
5) 0, 08 log x 0,5 x
. 5 22
6) 1
2 log x log 1 x 1 .
1 1
3
3 3
7) log x x 14 2 .
log x 1 2 x 1
8) 0,12log x1 x 5 33 .
9) 1 log x 2004 2 .
log a 35 x 3
10) log a 5 x
3.
11) 4 x 12.2x 32 log 2 2 x 1 0 .
1
12) log x 2 4xx22 .
2
3
13) log 42 x log 21 x8 9log 2 32
x2
4 log 21 x .
2 2
14) log 1 x 6 x 8 2log 5 x 4 0
2
5
15) log 1 log 4 x 2 5 0 .
2
16) log 2 x x 2 5 x 6 1 .
x2
log3
x
17) 5 1.
log 3 3x 1
18) 1.
x 1
Bài 2. Giải các bất phương trình sau
3
1) log 22 x x 1 log 2 x 2 x 2 0 .
2) log 3 x.log 2 x log 3 x 2 log 2 4x .
5
3) log 3 4 x 1 log 4x 1 3 .
2
4) 2 log 2 x log 2 x .
Bài 3. Giải các bất phương trình
1) x 2 log 2 x 2 x log 2 x 3 0 .
2) x 3 log32 x 2 4 x 2 log3 x 2 16 0 .
4
hệ phương trình mũ và hệ phương trình logarit
Giải các hệ phương trình:
log 2 x y 5 log 2 x y
1) l o g x l o g 4
l o g y l o g 3 1
xy xy
32
2) 4
log 3 x y 1 log 3 x y
2
y 5 x 51 x 10 1
3)
xy 5
log x y 2
4)
log x 1 y 23 3
2
x 2 y 2 y x 1
5)
x2 y
9 x y 6
2
y log 3 x 1
6) y 12
x 3
9 4 xy 2 27.3 y 0
7) 1 1
4 2
4
l o g x l o g y lg 4 x
3 x.2 y 1152
8)
log 5 x y 2
l o g x 2 y 2 1 l o g8
9)
l o g x y l o g x y l o g 3
3x.2 y 972
10)
log 3 x y 2
31 2log3 y x 48
11)
2log 5 2 y x 12 log 5 y x log5 y x
12) log 9 x y log x y log x y
3 3
3
2 2
3
5
log a x log a y 2 log18 a 1
13)
2 x y 20a 0
y x 5
x y 3
14) 27
3log 5 x y x y
2 xy 2 4 xy 1 5
15) 3 x y 5 x y
8
x y x y
x y 2
16) y2
2 x 64 x 0
x2 y 2
y x 12
17)
1
log 2 x log5 y 1
2 5
3
2
x y 7 y 10 1
18)
x y 8 x 0
2 log 1 x 2 log x2 y 5 0
19) y
2
xy 32
l o g x 3 l o g 5 y 0
20)
1 y
4 4x 8 x 8 y 0
log x 3 x 2 y 2
21)
log y 2 x 3 y 2
x y 12
29)
2 2 log y 2 x log 1 y 5
x
2 2
x x y 16 1
30)
x y 2 x 0
lg 2
x y 1
31)
lg y lg x lg 2
y
x x
32) 4 7.2 2
23 y
y x 3
6
5 3 x .2 y 200
33) 3
2 x 2 y
5 2 689
l o g 12 x2 y2 1,5
10 100 10
34)
x 2 10 y 6
3 2 x 2 10 y 9
y x 1,5 y x
22) 2,5 x
y 64 y 0
l o g x y l o g 5 l o g x l o g y l o g 6
23) lo g x
l o g y 6 l o g y l o g 6 1
y 2
log xy log y x 1
24) x
log 2 y x 1
x y x x y y
25)
log 2 x log 2 y 1
x2 y
x 36
26)
4 x 2 y log 6 x 9
log 2 u v log 2 u v 1
27)
2 2
u v 2
x p yq
28) x log a x
log a y log y p q vµ pq 0
a
3l o g x 4l o g y
35) log 4 l o g3
4 x 3 y
xy a 2
36)
lg x lg y 2,5lg a
2 2 2 2
a0
x log8 y y log8 x 4
37)
log 4 x log 4 y 1
2
2 x y x xy 8 1
38 )
x 2 xy 2 x 16
0,37 x y 1
x log 3 y 2 y log3 x 27
39)
log 3 y log 3 x 1
7
2 x 2 y 5
40)
x y
2 4
x
8 10 y
41)
x
2 5 y
0,5log 2 x log 2 y 0
42) 2 2
x 5y 4 0
x log y x 2
43)
log x y
y 16
x log y z z log y z 512
log x log y
44) y z x z 8
log z x
z y log x z 2 2
x y 2
45) x2 x 2
y 1 1
x9 x y y 9 x y
46)
2
x y 1
2 x.3 y 12
47)
x y
3 .2 18
9 log 2 xy 3 2 xy log 2 3
48)
2 2
x 1 y 1 1
2cot x sin y
9 3
49)
sin y cot gx
9 81 2
x y 1
50) x y
2 2 2
23 x 1 2 y 2 3.2 y 3 x
51)
2
3 x 1 xy x 1
log y x
yx x 2,5
52)
log 3 y.log y y 2 x 1
phương trình và bất phương trình mũ chứa tham số
I) ứng dụng của định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai:
(So sánh số với các nghiệm của phương trình bậc hai)
x
1) Giải và biện luận phương trình: m 2 .2 m 5 .2
x
2 m 1 0
8
A. Tóm tắt lý thuyết
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải bất phương trình log 2 x 2 16 log 2 4 x 11 . 1
Giải
x 5
x2 4x 5 0
x 2 16 4 x 11 x 1
1 11 x 5.
4 x 11 0 x x 11
4 4
Ví dụ 2. Giải bất phương trình 2 log x 1 . 5 log 5 x 1 .
1
Giải
x 1 0
Điều kiện: 1 x 5 .
5 x 0
2
1 log 5 x 12 log 5 5 x 5 x 1 5 5 x
1 17
x
2 2
x 1 5 x x 2 x 4 0 .
1 17
x
2
1 17
Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là ;5 .
2
Ví dụ 3. Giải bất phương trình log 1 log 2 3 x 1 1 . 1
2
Giải
1 log 2 log 2 3x 1 1 log 2 log 2 3x 1 1
0 log 2 3x 1 2 1 3 x 1 4 3x 3 x 1 .
Ví dụ 4. Giải bất phương trình log x 5 x 2 8 x 3 2 . 1
Giải
0 x 1 3
Điều kiện: 2 x 0; 1; .
5 x 8 x 3 0 5
1
3 3
0 x 5 0 x 5
2 2
5 x 8 x 3 x 2
1 4 x 8 x 3 0
x 1 x 1
5 x 2 8 x 3 x 2 4 x 2 8 x 3 0
3
0 x 5
3 1 x 3
0 x
5 2 1 3
2
2
x
2 5
4 x 8 x 3 0 x 1 .
3
x 1 x
x1 2
4 x 2 8x 3 0 2
3
x
2
1 3 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ; ; .
2 5 2
Ví dụ 5. Giải bất phương trình log 2 5x 2 2log5x 2 2 3 0 . 1
Giải
Đặt t log 2 5 x 2 , suy ra t 1 và bất phương trình 1 trở thành
2 t 1 (loaïi)
t 3 0 t 2 3t 2 0 .
t t 2 ( thoûa maõn)
Thay t log 2 5 x 2 bất phương trình t 2 , ta có
log 2 5 x 2 2 5x 2 4 5 x 2 x log5 2 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là log 5 2; .
x 2 x 12
Ví dụ 6. Giải bất phương trình log 3 x 7 x 2 x 12 . 1
7x
Giải
x 3
x 2 x 12 0
Điều kiện: x 4 x ; 3 4; 7 .
7 x 0 x 7
1 log 3 x 2 x 12 log3 7 x x 7 x 2 x 12
x 2 x 12 log 3 x 2 x 12 7 x log 3 7 x .
1
Xét hàm f t t log 3 t , t 0 . Ta có f ' t 1
0 t 0 , suy ra f đồng biến trên
t ln 3
0; . Bất phương trình đã cho tương đương với
2
f x x 12 f 7 x x x 12 7 x
2 2
37
x 2 x 12 x 2 14 x 49 x .
13
37
Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là x ; 3 4; .
13
C. Bài tập
Bài 1. Giải các bất phương trình sau
1) log3 x 2 1 .
2x 3
2) log3 1
1 x
3) log 2 log 3 x 3 0 .
3
4) log x 3x2x11 0 .
log x0 ,5 2 x 1
5) 0, 08 log x 0,5 x
. 5 22
6) 1
2 log x log 1 x 1 .
1 1
3
3 3
7) log x x 14 2 .
log x 1 2 x 1
8) 0,12log x1 x 5 33 .
9) 1 log x 2004 2 .
log a 35 x 3
10) log a 5 x
3.
11) 4 x 12.2x 32 log 2 2 x 1 0 .
1
12) log x 2 4xx22 .
2
3
13) log 42 x log 21 x8 9log 2 32
x2
4 log 21 x .
2 2
14) log 1 x 6 x 8 2log 5 x 4 0
2
5
15) log 1 log 4 x 2 5 0 .
2
16) log 2 x x 2 5 x 6 1 .
x2
log3
x
17) 5 1.
log 3 3x 1
18) 1.
x 1
Bài 2. Giải các bất phương trình sau
3
1) log 22 x x 1 log 2 x 2 x 2 0 .
2) log 3 x.log 2 x log 3 x 2 log 2 4x .
5
3) log 3 4 x 1 log 4x 1 3 .
2
4) 2 log 2 x log 2 x .
Bài 3. Giải các bất phương trình
1) x 2 log 2 x 2 x log 2 x 3 0 .
2) x 3 log32 x 2 4 x 2 log3 x 2 16 0 .
4
hệ phương trình mũ và hệ phương trình logarit
Giải các hệ phương trình:
log 2 x y 5 log 2 x y
1) l o g x l o g 4
l o g y l o g 3 1
xy xy
32
2) 4
log 3 x y 1 log 3 x y
2
y 5 x 51 x 10 1
3)
xy 5
log x y 2
4)
log x 1 y 23 3
2
x 2 y 2 y x 1
5)
x2 y
9 x y 6
2
y log 3 x 1
6) y 12
x 3
9 4 xy 2 27.3 y 0
7) 1 1
4 2
4
l o g x l o g y lg 4 x
3 x.2 y 1152
8)
log 5 x y 2
l o g x 2 y 2 1 l o g8
9)
l o g x y l o g x y l o g 3
3x.2 y 972
10)
log 3 x y 2
31 2log3 y x 48
11)
2log 5 2 y x 12 log 5 y x log5 y x
12) log 9 x y log x y log x y
3 3
3
2 2
3
5
log a x log a y 2 log18 a 1
13)
2 x y 20a 0
y x 5
x y 3
14) 27
3log 5 x y x y
2 xy 2 4 xy 1 5
15) 3 x y 5 x y
8
x y x y
x y 2
16) y2
2 x 64 x 0
x2 y 2
y x 12
17)
1
log 2 x log5 y 1
2 5
3
2
x y 7 y 10 1
18)
x y 8 x 0
2 log 1 x 2 log x2 y 5 0
19) y
2
xy 32
l o g x 3 l o g 5 y 0
20)
1 y
4 4x 8 x 8 y 0
log x 3 x 2 y 2
21)
log y 2 x 3 y 2
x y 12
29)
2 2 log y 2 x log 1 y 5
x
2 2
x x y 16 1
30)
x y 2 x 0
lg 2
x y 1
31)
lg y lg x lg 2
y
x x
32) 4 7.2 2
23 y
y x 3
6
5 3 x .2 y 200
33) 3
2 x 2 y
5 2 689
l o g 12 x2 y2 1,5
10 100 10
34)
x 2 10 y 6
3 2 x 2 10 y 9
y x 1,5 y x
22) 2,5 x
y 64 y 0
l o g x y l o g 5 l o g x l o g y l o g 6
23) lo g x
l o g y 6 l o g y l o g 6 1
y 2
log xy log y x 1
24) x
log 2 y x 1
x y x x y y
25)
log 2 x log 2 y 1
x2 y
x 36
26)
4 x 2 y log 6 x 9
log 2 u v log 2 u v 1
27)
2 2
u v 2
x p yq
28) x log a x
log a y log y p q vµ pq 0
a
3l o g x 4l o g y
35) log 4 l o g3
4 x 3 y
xy a 2
36)
lg x lg y 2,5lg a
2 2 2 2
a0
x log8 y y log8 x 4
37)
log 4 x log 4 y 1
2
2 x y x xy 8 1
38 )
x 2 xy 2 x 16
0,37 x y 1
x log 3 y 2 y log3 x 27
39)
log 3 y log 3 x 1
7
2 x 2 y 5
40)
x y
2 4
x
8 10 y
41)
x
2 5 y
0,5log 2 x log 2 y 0
42) 2 2
x 5y 4 0
x log y x 2
43)
log x y
y 16
x log y z z log y z 512
log x log y
44) y z x z 8
log z x
z y log x z 2 2
x y 2
45) x2 x 2
y 1 1
x9 x y y 9 x y
46)
2
x y 1
2 x.3 y 12
47)
x y
3 .2 18
9 log 2 xy 3 2 xy log 2 3
48)
2 2
x 1 y 1 1
2cot x sin y
9 3
49)
sin y cot gx
9 81 2
x y 1
50) x y
2 2 2
23 x 1 2 y 2 3.2 y 3 x
51)
2
3 x 1 xy x 1
log y x
yx x 2,5
52)
log 3 y.log y y 2 x 1
phương trình và bất phương trình mũ chứa tham số
I) ứng dụng của định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai:
(So sánh số với các nghiệm của phương trình bậc hai)
x
1) Giải và biện luận phương trình: m 2 .2 m 5 .2
x
2 m 1 0
8