Chuyên đề 7+8 hình khong gian

  • 57 trang
  • file .pdf
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
CHUYÊN ĐỀ 7 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Quan hệ song song và vuông góc trong không gian:
Cho đường thẳng a song song mp(P)
Mọi mặt phẳng qua a và cắt mp(P) theo giao
tuyến d thì d song song a.
(P)
a / /( P)
  d / /a
 a  (Q )  ( P )  d
a
d (Q)
Hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng song song với
(P) đường thẳng a. Nếu mp(P) và mp(Q) cắt nhau
theo giao tuyến d thì d song song a.
( P ) / / a

(Q) a (Q) / / a  d / /a
( P)  (Q)  d

d
Cho hai đương thẳng song song a và b.
Mọi mặt phẳng qua a và mặt phẳng qua b nếu
hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d thì
d song song a và b.
b
a / / b
a  (P)

a   d / / a / /b
(Q)  b  (Q)
d
(Q)  ( P)  d
(P)
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 168
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
Đường thẳng d vuông góc vơi mp(P) thì d
vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong
mp(P).
Nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt
d nhau nằm trong mp(P) thì đường thẳng d
vuông góc mp(P).
a  ( P)

(P)
b  ( P)  d  ( P)
 d  a, d  b

a b
Định lí ba đường vuông góc:
Cho đường thẳng a và mp(P), a’ là hình chiếu
a
vuông góc của a lên mp(P). Một đường thẳng
d bất kì thuộc mp(P) nếu d vuông góc a’ thì d
vuông góc a và ngược lại.
(P)
d  a'  d  a
d a'
Hai mặt phẳng gọi là vuông góc nhau khi và
chỉ khi tồn tại một đường thẳng thuộc mặt
(Q) phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.
a  (Q)
( P)  (Q)  
a a  ( P)
a  (Q)
(P) 
a  ( P) ad
(Q)  ( P)  d
d 
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 169
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
Góc giữa hai đường thẳng là góc nhỏ hơn
90o
d '/ / d
  (d , a)  (d ', a)  O
 d ' a  O
d
)
O a
d'
a Góc giữa đương thẳng và mặt phẳng là góc
o
nhỏ hơn 90
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc
(P) giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên
) mặt phẳng.
a'
 a , ( P )    a, a ' 
o
(Q)
Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhỏ hơn 90
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai
đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến
a tại một điểm.
 ( P), (Q)    a, b 
(P)
)
b
Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q)
( R)  (Q)  a
( R) :   a / /b
(R)  ( R )  ( P )  b
a
( P) / /(Q)
(Q)   ( R)  (Q)
( R )  ( P )
( R)  (Q)
b    P) / /(Q)
( R )  ( P )
(P)
Khoảng cách từ một điểm đến một đường
thẳng là:
d  A, a   AH
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 170
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
A
H a
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt
A
phẳng:
d  A, (P)   AH
H
(P)
Khoảng cách giữa đường thẳng song song với
A
mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm bất kì
a trên đường thẳng đến mặt phẳng
d  a, ( P)   d  A, ( P)   AH
H
(P)
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
là khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia
d  (Q), ( P)   d  A, ( P)   AH
A
(Q)
H
(P)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau:
TH1: Nếu a, d vuông góc
- Xác định mp(P) chứa a và vuông góc d
- Tìm giao điểm của d và mp(P), hạ AH
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 171
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
vuông góc a.
d
- Khi đó AH là khoảng cách giữa hai
đường thẳng a và d, còn gọi là đoạn
vuông chung của a và d.
A TH2: Nếu a, d không vuông góc
a
H
Cách 1:
(P) - Xác định mp(P) chứa a và song song d
- Tìm hình chiếu d’ của d lên mp(P), d’
cắt a tại A
- Từ A hạ AH vuông góc d khi đó AH
H d chính là đoạn vuông chung của a và d
Cách 2:
d' - Xác định được hai mặt phẳng (P), (Q)
A vuông góc nhau chứa a và d
(P) a
- Giao tuyến b của 2 mp(P) và mp(Q) cắt
a tại A, hạ AH vuông góc d
- Khi đó AH là đoạn vuông chung
(Q)
H d
b
A
(P) a
Thể tích
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 172
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
Thể tích hình chóp có đáy là đa giác lồi bất kì: S
1
Vchop  .h.S
3
Với:
- h là khoảng cách từ đỉnh hình chóp đến h
mặt phẳng đáy
- S là diện tích đa giác đáy
O
Thể tích lăng trụ, hình hộp:
V  h.S
Với:
- H là khoảng cách giữa hai đáy
h
- S là diện tích đáy
Đặc biệt :
- Lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình
lập phương thì h chính là độ dài cạnh
bên
- Đối vơi hình lập phương cạnh a thì
V  a3
h
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 173
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
Phương pháp tỉ số thể tích S
Cho hình chóp S.ABC, trên các cạnh SA, SB,
SC lấy các điểm A’, B’, C’ khi đó:
VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' C'
 . .
VS . ABC SA SB SC
A'
B'
A C
B
Gọi S là diện tích của đa giác H và S’ là diện
tích hình chiếu H’ của H trên mặt phẳng (P)
thì:
S
S '  S.cos 
Trong đó  là góc giữa mặt phẳng chứa H là
mặt phẳng (P)
S'
(P)
Các tính chất và định lý về hình học phẳng thƣờng đƣợc sử dụng:
Tam giác:
Tính chất trọng tâm:
Nếu G là trọng tâm tam giác thì G chia các A
trung tuyến theo tỉ lệ 1:2
2 1
AG  2GM , AG  AM , GM  AM
3 3
2 1 N
BG  2GN , BG  AN , GN  AN P
3 3
2 1 G
CG  2GP, CG  AP, GP  AP
3 3
B M C
Tính chất đƣờng trung bình:
Định lí: M là trung điểm cạnh AB, N là trung
điểm cạnh AC thì MN song song và bằng một
nữa cạnh BC
1
MN / / BC , MN  BC
2
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 174
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
Định lí: M là trung điểm AB, N trên cạnh AC A
nếu MN song song AB thì N là trung điểm
cạnh AC
M N
B C
Tam giác đều cạnh a A
- O là tâm của tam giác ABC : là trọng tâm,
trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm
đường tròn nội tiếp a
a 3
- Chiều cao của tam giác đều: h  O
2
a2 3 C
- Diện tích : S  B
4
Tam giác vuông
- Định lý Pytago: a2  b2  c2
- Diện tích: S  h.a  b.c
A
- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là
trung điểm BC.
c b
- Định lý về cạnh và đường cao trong tam h
giác vuông:
) a
AB 2  BH .BC , AC 2  CH .BC B O C
H
1 1 1
AH 2  BH .CH ,  
AH 2 AB 2 AC 2
- Góc lượng giác:
AC AB
sin B  , cos B 
BC BC
AC AB
tan B  , cot B 
AB AC
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 175
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
Tam giác cân: AB  AC , B  C A
- Đường trung tuyến từ đỉnh cân đồng thời
là đường cao và là đường phân giác.
- Tâm đường tròn ngoại tiếp và đường tròn
nội tiếp nằm trên AM. G
) (
B M C
Tứ giác:
Hình thang: a a
- a / /b
ab
- Diện tích S  .h h h
2
Hình thang cân: b b
- Có hai cạnh bên bằng nhau a
- Có hai cặp góc tương ứng bằng
nhau h
- Có hai đường chéo bằng nhau
b
Hình thang vuông:
- Cạnh bên vuông góc hai đáy
Hình bình hành
- Có các cặp cạnh đối song song và
bằng nhau b h
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung O
điểm của mỗi đường a
- Diện tích S  h.a
Hình thoi
- Có các cạnh bằng nhau
- Có 2 đường chéo vuông góc và h
cắt nhau tại trung điểm của mỗi O c
đường d
- Diện tích S  h.a  c.d
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 176
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
Hình vuông cạnh a
- Diện tích S  a 2
- Hai đường chéo vuông góc, bằng
a O
nhau
- O là tâm hình vuông
Hình chữ nhật b
- Diện tích S  ab
- Hai đường chéo bằng nhau
- O là tâm hình chữ nhật a
O
Định lý Talet A
- Trong tam giác:
 AM AN MN N
 AB  AC  BC
M d

MN / / BC  
AM AN

 MB NC

 MB  NC B C
 AB AC
- Trong mặt phẳng:
a
 AB A ' B ' A A'
 AC  A ' C '
 b
a / /b / / c  
AB A ' B '
 B'
 BC B ' C ' B

 BC  B ' C '
 AC A ' C ' c
- Trong không gian: C C'
Tương tự như trong mặt phẳng. Cho 2
đường thẳng bất kì các mặt phẳng song
song chắn hai đường thẳng theo các
đoạn thẳng tỉ lệ.
Các bài toán về thể tích và góc:
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 177
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy S
Phƣơng pháp chung:
- Xác định hình chiếu H của S lên mặt
phẳng đáy
- Khi đó góc giữa cạnh bên bất kì là góc
giữa cạnh đó và hình chiếu của nó
Ví dụ: SB với mặt phẳng đáy chính là
góc SBH A
(
B
H
C
D
Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy S
Phƣơng pháp chung :
- Xác định hình chiếu H của S lên mặt
phẳng đáy
- Xác định giao tuyến của mặt bên và mặt
phẳng đáy
- Kẻ SM vuông góc giao tuyến suy ra HM
cũng vuông góc giao tuyến A B
- Khi đó góc giữa mặt bên và mặt đáy (
H M
chính là góc SMH
C
D
- Nếu SA vuông góc đáy thì A là hình
chiếu của S lên mặt phẳng đáy
- Nếu hình chóp đều hoặc có cách cặp cạnh
bên bằng nhau thì tâm O của đáy chính
là hình chiếu của S
- Sử dụng góc lượng giác trong tam giác
vuông để tính đường cao.
Các bài toán về thể tích:
Dạng toán cơ bản để lấy 0,5 điểm trong đề thi
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 178
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
Các em cần xác định đƣợc góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy, góc giữa mặt bên và mặt
phẳng đáy :
Bƣớc 1 : Xác định hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng đáy
Bƣớc 2 : Góc giữa cạnh bên và đáy : ta nối hình chiếu và giao điểm cạnh bên và
đáy
Góc giữa mặt bên và đáy : từ hình chiếu hạ vuông góc với giao tuyến
của mặt bên và mặt phẳng đáy.
Sử dụng các công thức về cạnh và góc để tính độ dài cạnh và diện tích.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SA vuông góc đáy các
cạnh AB=a, BC=2a. Tính thể tích khối chóp trong các trường hợp sau :
a) SB tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60o
b) Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45o
Giải :
S a) Ta có : SA vuông góc đáy nên A là hình chiếu
của S lên mặt phẳng đáy
Nên góc giữa SB và mp(ABC) là góc giữa SB và
AB :  SBA  60
o
Ta có : SA  AB.tan SBA  a.tan 60o  a 3
Và AC 2  BC 2  AB 2  3a 2  AC  a 3
Diện tích tam giác ABC :
A C
1 1 a2 3
S ABC  AB. AC  a.a 3 
2 2 2
(
Vậy thể tích khối chóp S.ABC:
1 1 a 2 3 a3
B VS . ABC  .SA.S ABC  .a 3.  (dvtt)
3 3 2 2
S b) Hạ AH vuông góc BC ta suy ra SH vuông góc
BC ( Định lý 3 đường vuông góc)
Khi đó góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) là góc giữa
hai đường thẳng SH và AH:  SHA  45
o
Áp dụng định lý về cạnh và đường cao trong tam
giác vuông ABC :
AB. AC a.a 3 a 3
AH .BC  AB. AC  AH   
A C BC 2a 2
( a 3
Suy ra SA  AH .tan 45 
o
2
H
Vậy thể tích khối chóp S.ABC:
B
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 179
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
1 1 a 3 a 2 3 a3
VS . ABC  .SA.S ABC  . .  (dvtt)
3 3 2 2 4
Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có O là giao điểm AC và BD, SO=2a. Tính thể tích
khối chóp S.ABCD trong các trường hợp sau:
a) Các cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 45o
b) Các mặt bên tạo với mặt đáy một góc 45o
Giải:
S a) Ta có S.ABCD là hình chóp đều nên:
SA=SB=SC=SD suy ra SO vuông góc đáy
Suy ra O là hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy
Các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc 45o
Ta có: SAO  SBO  SCO  SDO  45o
Suy ra: AO  SO.tan 45o  2a  AC  2 AO  4a
A ) ( B AC 4a
Do ABCD là hình vuông: AB    2 2a
2 2
   8a
2
O  S ABCD  AB 2  2 2a 2
) (
1 16a3
D C Vậy thể tích VS . ABCD  .SO.S ABCD  (dvtt)
3 3
S b) Từ O kẻ OM vuông góc AD suy ra M là
trung điểm AD.
Suy ra SM vuông góc AD (Đ.lý 3 đường v.góc)
Suy ra góc giữa mặt bên (SAD) và mặt đáy là góc
giữa SM và MO  SMO  45
o
Suy ra : MO  SO.tan 45o  2a  AB  2MO  4a
A B
 S ABCD  AB2  16a 2
) 1 32a3
M Vậy thể tích VS . ABCD  .SO.S ABCD  (dvtt)
O 3 3
D C
Ví dụ 3: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng
(A’BC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60o . Tính theo a thể tích lăng trụ.
Giải:
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 180
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
A' B' Ta có ABC.A’B’C’ là lăng trụ đều nên AA’
vuông góc mặt phẳng (ABC) suy ra A là hình
chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC)
Từ A hạ AM vuông góc BC suy ra M là trung
điểm BC ( Do ABC là tam giác đều)
Suy ra góc giữa mp(A’BC) và mp(ABC) là góc
C' giữa A’M và AM  AMA '  60o
a 3 a2 3
Ta có AM  và S ABC 
A B 2 4
a 3 3a
( Suy ra AA '  AM .tan 60  . 3
o
2 2
M
Vậy thể tích lăng trụ:
3a a 2 3 3 3a3
C VABC . A ' B 'C '  AA '.S ABC  . 
2 4 8
Ví dụ 4 : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, ABC  30o và
AB=2a. Hình chiếu của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) là điểm H trung điểm của cạnh AB.
Biết A’B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60o . Tính theo a thể tích lăng trụ.
Giải :
A' B' Ta có H là hình chiếu của A’ lên mặt phẳng
(ABC) nên suy ra A’H vuông góc mp(ABC)
Suy ra góc giữa A’C và mp(ABC) là góc giữa
A’C và HC  A ' CH  60o
Tam giác ABC vuông tại C nên ta có :
1
C' AC  AB.sin 30o  2a.  a
2
H
3
A B BC  AB.cos 30o  2a. a 3
2
AB
HC  a
( 2
Suy ra : A ' H  HC.tan 60  a 3
o
C
1 1 a2 3
Và S ABC  . AC.BC  .a.a 3 
2 2 2
Vậy thể tích lăng trụ :
a 2 3 3a3
VABC . A ' B 'C '  A ' H .S ABC  a 3  (dvtt)
2 2
Bài tập :
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 181
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có AB=BC=a, SA
vuông góc đáy. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau:
a. SB bằng 2a
b. SC tạo với đáy một góc 45o
c. Mp(SBC) tạo với đáy một góc 45o
2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có AB=AC=a, SA
vuông góc đáy. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau:
a. SB tạo với đáy một góc 45o , khi đó SBC là tam giác gì ?
b. Mp(SBC) tạo với đáy một góc 60o
3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc đáy. Tính thể
tích hình chóp trong các thường hợp sau:
a. SB tạo với đáy một góc 60o
b. Mp(SBC) tạo với đáy một góc 60o
4. Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài các cạnh đáy bằng a. Tính thể tích hình chóp trong
các trường hợp sau:
a. Cạnh bên có độ dài bằng a 3
b. Các cạnh bên tạo với đáy một góc 60o
c. Các mặt bên tạo với mặt đáy một góc 60o
5. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh 2a, đỉnh S cách đều 3 điểm A, B,
C. Gọi O là tâm của tam giác ABC, chứng minh rằng SO vuông góc đáy. Tính thể tích
hình chóp trong các trường hợp sau:
a. SA tạo với đáy một góc 30o
b. Mp(SAB) tạo với đáy một góc 60o
6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  a, ABC  60o , SA
vuông góc đáy. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau:
a. SB tạo với đáy một góc 60o
b. Mp(SBC) tạo với đáy một góc 60o
7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  a, BAC  60o , hình
chiếu của đỉnh S trên mp(ABC) là trung điểm của AC. Tính thể tích hình chóp trong các
trường hợp sau:
a. Cạnh SA có độ dài bằng 2a
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 182
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
b. Cạnh SB tạo với đáy một góc 60o
c. Mp(SAB) tạo với đáy một góc 60o
d. Mp(SBC) tạo với đáy một góc 45o
8. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại đỉnh A, SA=SB=SC. Có
AB  a,AC  2a , tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau :
a. Tam giác SAB là tam giác đều
b. Cạnh SA tạo với đáy một góc 60o
c. Mp(SBC) tạo với đáy một góc 30o
9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mp(SAB) vuông góc đáy và SAB
là tam giác cân tại S. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau :
a. SC tạo với đáy một góc 60o
b. Mp(SAC) tạo với đáy một góc 45o
10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, M là trung điểm BC. Hình chiếu
của S lên mặt phẳng đáy là trung điểm AM, mp(SBC) tạo với đáy một góc 60o . Tính thể
tích hình chóp.
11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A AB=AC=a, tam giác SBC đều
và tạo vơi mặt phẳng đáy một góc 60o . Tính thể tích hình chóp.
12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm H nằm trên AB sao cho
AH  2BH và SH vuông góc đáy. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau :
a. Tam giác SAC cân tại C
b. SAC tạo với đáy một góc 60o
13. Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o , SBC là
tam giác vuông cân tại S và SB=SC=a. Tính thể tích hình chóp.
14. Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc  , SAB là
tam giác đều cạnh a và ABC là tam giác cân tại C. Tính thể tích hình chóp theo a và  .
15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy. Tính thể tích
hình chóp trong các trường hợp sau:
a. SC tạo với đáy một góc 60o
b. Mp(SBC) tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o
c. Mp(SCD) tạo với đáy một góc 60o
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 183
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
16. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật có cạnh AB  a, AC  a 3 . SA vuông
góc đáy tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau:
a. SC tạo với đáy một góc 30o
b. Mp(SCD) tạo với đáy một góc 45o
17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, đỉnh S cách đều các đỉnh A, B,
C, D. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau:
a. Mặt bên tạo với đáy một góc 45o
b. Góc giữa mp(SAB) và mp(SCD) là 30o
18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC  120o có SA=SC, SB=SD.
Mp(SAB) tạo với đáy một góc 60o . Tính thể tích hình chóp.
19. Cho hình chóp S.ACBD có đáy là hình chữ nhật AB=2AC=2a, SA=SB=SC=SD.
Mp(SAB) vuông góc mp(SAC). Tính thể tích hình chóp.
20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi có BAC  30o , SAB là tam giác đều cạnh a.
Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau :
a. SD tạo với đáy một góc 60o
b. Mp(SAD) tạo với đáy một góc 60o
21. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC  30o cạnh
bên AA’=a. Mp(ABC’) tạo với đáy một góc 60o . Tính diện tích toàn phần và thể tích
lăng trụ.
22. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân tại A, AA’=AB=AC=a.
Mp(A’BC) tạo với đáy một góc 60o . Tính thể tích lăng trụ.
23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính thể tích :
a. Hình chóp A’.ABCD
b. Khối đa diện A’B’C’.ABCD
24. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, A’ cách đều 3 đỉnh tam giác
ABC. Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp :
a. Cạnh bên tạo với đáy một góc 60o
b. Mp(ABB’A’) tạo với đáy một góc 60o
25. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=2BC. Hình chiếu
của A’ lên mp(ABC) là trung điểm cạnh AC và AA’=2a. Tính thể tích lăng trụ trong các
trường hợp sau :
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 184
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
a. Mp(A’BC) tạo với đáy một góc 45o
b. Mp(ABB’A’) tạo với đáy một góc 45o
26. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, các cạnh bên hợp với
đáy một góc 60o . Hình chiếu của đỉnh A’ lên mp(ABCD) nằm trên cạnh AC, AA’=2a.
Tính thể tích hình hộp trong các trường hợp sau :
a. Cạnh AC=2a và mp(ABB’A’) tạo với đáy một góc 60o
b. Cạnh AC=a và AB=2AC
27. Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, mp(A’BC) tạo với
mp(ABC) một góc 60o . Tính thể tích hình chóp A’.B’C’CB.
28. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, A’A=A’B  a, A’D  a 2 ,
mp(A’BD) vuông góc đáy. Tính thể tích hình hộp.
Ứng dụng thể tích vào tìm khoảng cách:
Ta chỉ quan tâm đến khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
1 3Vchop
Dùng công thứ:c V  .d , S  d 
3  dinh ,day   dinh ,day 
chop day
Sday
Trong bài toán ta đã tính đƣợc thể tích khối chóp nên để tính khoảng cách từ điểm đên
mặt phẳng ta chỉ cần tính đƣợc diện tích của mặt phẳng đáy tƣơng ứng.
Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc đáy
và SA=a. Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45o . Tính theo a thể tích khối
chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Giải:
S Ta có SA vuông góc đáy nên A là hình chiếu của S
lên mặt phẳng (ABC)
Kẻ AM vuông góc BC suy ra M là trung điểm BC
Và góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) là góc giữa SM
và AM  SMA  45o
SA
Suy ra AM  a
tan 45o
Tam giác ABC vuông cân tại A nên :
BC 2a
A B BC  2 AM  2a  AB   a 2
2 2
( 1
M Suy ra S ABC  AM .BC  a 2
2
1 1 2 a3
C Vậy thể tích: VS . ABC  .SA.S ABC  a.a  (dvtt)
3 3 3
Khoảng cách:
Ta có:
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 185
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
1 3V
VS . ABC  .d A, SBC  .SSBC  d A, SBC   S . ABC
3 S SBC
1 1
Mà: SSBC  .SM .BC  .a 2.2a  a 2
2
Vậy khoảng cách từ A đến mp(SBC) 2 2
a3 Do: SM 2  SA2  AM 2  2a 2  SM  a 2
3.
3V a 2
d A, SBC   S . ABC  2 3 
S SBC a 2 2
Bài tập:
Bài toán liên quan khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
1. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA=SB=SC=a. Tính thể
tích hình chóp và khoảng cách từ S đến mp(ABC)
3a
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD  hình chiếu vuông
2
góc của S lên mp(ABCD) là trung điểm cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp và
khoảng cách từ điểm A đến mp(SBD).
3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC  30o , SBC là tam giác đều
cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng
cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
4. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’
lên mặt phẳng ABC là trung điểm cạnh AB, góc giữa A’C và mặt đáy bằng 60o . Tính
theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mp(ACC’A’).
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp và
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
6. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , AD  a 3 .
Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và
BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 60o . Tính thể tích khối lăng
trụ đã chó và khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a.
7. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên
AA’  a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích lăng trụ và khoảng
cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.
8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy,
BAD  120o , M là trung điểm cạnh BC và SMA  45o . Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 186
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
9. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AD vuông cân,
A’C  a . Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
(BCD’) theo a.
10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a ; mặt phẳng
(SBC) vuông góc mặt phẳng (ABC). Biết SB  2a 3 và SBC  30o . Tính thể tích khối
chớp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
11. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA’=2a,
A’C=3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C.
Tính theo a thể tích khối tứ diện I.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC).
12. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AC=a, ACB  60o . Đường
thẳng B’C tạo với mặt phẳng (ACC’A’) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ theo a và
khoảng cách giữa điểm C’ và mặt phẳng (AB’C).
Các bài toán liên quan đến tỉ số thể tích :
13. Cho tình chóp S.ABC có AB, AC, SA đôi một vuông góc. M, N lần lượt là trung điểm
SB và SC. Tính:
a. Thể tích hình chóp S.AMN biết AB=AC=SA=a
b. Mp(AMN) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó.
14. Cho hình chóp S.ABC có điểm M là trung điểm SA. Mặt phẳng qua M và song song
mp(ABC) cắt SB tại N, SC tại P. Tính:
a. Tỉ số thể tích giữa S.MNP và S.ABC
b. Tỉ số thể tích giữa S.MNP và S.AMN
15. Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc. Mặt phẳng (P) qua A và
vuông góc SC cắt SC tại C’, cắt SB tại B’ chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể
tích giữa 2 phần đó.
16. Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (P) qua SG và song
song với AB chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó.
17. Cho tứ diện đều ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD, M là điểm trên cạnh SA sao
cho SN=3NA. Mp(NGB) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích của hai phần
đó.
18. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, có SA=SB=SC và đôi một
vuông góc.
a. Mặt phẳng qua trung điểm M của BC và vuông góc AC chia hình chóp thành hai
phần. Tính thể tích hai phần đó.
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 187