Chuyên đề 3 biến đổi lượng giác

  • 22 trang
  • file .pdf
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
CHUYÊN ĐỀ 3 BIẾN ĐỔI & GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
A. CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG
1. Đƣờng tròn lƣợng giác và dấu của các giá trị lƣợng giác
sinx
1
π
Cung phần tư
2
I II III IV
Giá trị LG
(II) (I)
sin  + + – –
π cos
0 1
cosx + – – +
-1 O 2π
tan  + – + –
(IV)
(III) cot  + – + –

2
(Nhất cả – Nhì sin – Tam tan – Tứ cos)
-1
2. Công thức lƣợng giác cơ bản
1 1
tan .cot   1 sin 2   cos2   1 1  tan 2   1  cot 2  
cos2  sin 2 
3. Cung liên kết
Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau
 
cos(a)  cos a sin(  a)  sin a sin   a   cos a
2 
 
sin(a)   sin a cos(  a)   cos a cos   a   sin a
2 
 
tan(a)   tan a tan(  a)   tan a tan   a   cot a
2 
 
cot(a)   cot a cot(  a)   cot a cot   a   tan a
2 

Cung hơn kém  Cung hơn kém
2
 
sin(  a)   sin a sin   a   cos a
 2 
 
cos(  a)   cos a cos   a    sin a
2 
 
tan(  a)  tan a tan   a    cot a
2 
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 83
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
 
cot(  a)  cot a cot   a    tan a
2 
4. Công thức cộng cung
sin( a  b)  sin a  cos b  cos a  sin b cos( a  b)  cos a  cos b sin a  sin b
tan a  tan b tan a  tan b
tan( a  b)  tan( a  b) 
1  tan a.tan b 1  tan a.tan b
  1  tan x   1  tan x
Hệ quả: tan   x   , tan   x   
4  1  tan x 4  1  tan x
5. Công thức nhân đôi và hạ bậc
Nhân đôi Hạ bậc
sin 2  2 sin   cos  1  cos 2
sin 2  
2
cos2   sin 2  1  cos 2
cos 2   cos2  
 2 cos   1  1  2 sin 
2 2
2
2 tan  1  cos 2
tan 2  tan 2  
1  tan 2  1  cos 2
cot 2   1 1  cos 2
cot 2  cot 2  
2 cot  1  cos 2
Nhân ba
sin 3  3sin   4 sin 3  3 tan   tan 3 
 tan 3 
cos 3  4 cos   3cos  1  3 tan 2 
3
6. Công thức biến đổi tổng thành tích
ab ab ab ab
cos a  cos b  2 cos cos cos a  cos b  2 sin sin
2 2 2 2
ab ab ab ab
sin a  sin b  2 sin cos sin a  sin b  2 cos sin
2 2 2 2
sin( a  b) sin( a  b)
tan a  tan b  tan a  tan b 
cos a  cos b cos a  cos b
sin( a  b) sin(b  a)
cot a  cot b  cot a  cot b 
sin a  sin b sin a  sin b
Đặc biệt
       
sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x   sin x  cos x  2 sin  x     2 cos  x  
 4  4  4  4
7. Công thức biến đổi tích thành tổng
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 84
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
1 1
cos a.cos b  cos( a  b)  cos( a  b) sin a.sin b  cos( a  b)  cos( a  b)
2 2
1
sin a.cos b  sin( a  b)  sin( a  b) 
2
y
t
3
- 3 -1 - 3 /3 B /2 3 /3 1 3
u' 2/3
1 /3 u
3 /2 /4
3/4
2 /2 /6
5/6 3 /3
1/2
x'  - 3 /2 - 2 /2 -1/2 1/2 2 /2 3 /2 1 A (Ñieåm goác) x
-1 O
-1/2
- 3 /3
-/6
- 2 /2
- 3 /2 -/4
-1 -/3 -1
-/2
- 3
y' t'
Bảng lƣợng giác của một số góc đặc biệt
00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600
    2 3 5
0  2
6 4 3 2 3 4 6
1 2 3 3 2 1
sin  0 1 0 0
2 2 2 2 2 2
3 2 1 1 2 3
cos  1 0    1 1
2 2 2 2 2 2
tan  3 3
0 1 3 kxđ  3 1  0 0
3 3
cot  3 3
kxđ 3 1 0  1  3 kxđ kxđ
3 3
Một điễm M thuộc đƣờng tròn lƣợng giác sê có tọa độ M(cosα, sinα)
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 85
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
BÀI 1. BIẾN ĐỔI LƢỢNG GIÁC
I. Tính giá trị của biểu thức lƣợng giác
2 14
BT 1. Tính P  (1  3cos 2)(2  3cos 2), biết sin    ĐS: P  
3 9
Đề thi TN THPT Quốc Gia năm 2015
2 7
BT 2. Tính P  sin4   cos4 , biết sin 2    ĐS: P  
3 9
Đề dự bị TN THPT Quốc Gia năm 2015
 3 tan  12
BT 3. Cho     và sin    Tính A   ĐS: A   
2 5 1  tan 2  25
Đề thi minh họa kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2015 – Bộ GD & ĐT
 4 24
BT 4. Cho     và sin    Tính A  sin 2(  ). ĐS: A   
2 5 25
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Hà Tĩnh
3 4 1  cot 
BT 5. Cho     và sin     Tính A   ĐS: A  7.
2 5 1  cot 
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp – Lần 2
3 2 cot  2 5
BT 6. Cho    2  , cos    Tính A   ĐS: A   
2 3 1  cot 2  9
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Bắc Bình – Bình Thuận
  1 74 2
BT 7. Cho    ;   có sin    Tính A  sin 2  cos 2. ĐS: A   
2  3 9
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – Sở GD & ĐT Bạc Liêu
 2 sin   3cos  1
BT 8. Cho tan   2 thỏa    . Tính A   ĐS: A   
2 5cos   7 sin  19
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc
sin   2 cos 3  4
BT 9. Cho tan   2. Tính A   ĐS: A  
cos   2 sin 3  7
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Đại học Vinh – Lần 2
3sin   2 cos  70
BT 10. Cho tan   3. Tính A   ĐS: A  
5sin 3   4 cos3  139
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Trƣng Vƣơng – Bình Định
8 cos   2 sin 3   cos 
3
3
BT 11. Cho tan   2. Tính A   ĐS: A   
2 cos   sin 3  2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Lê Quí Đôn – Tây Ninh
3 3   4  3 3
BT 12. Cho cos    và      Tính A  sin      ĐS: A  
5 2  3 10
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Tp. HCM – Lần 2
3  3    34 3
BT 13. Cho cos x   ,    x    Tính A  sin  x    ĐS: A  
5  2   6 10
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Cần Thơ
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 86
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
 4     49
BT 14. Cho     0 và cos    Tính A  sin      cos      ĐS: A   
2 5  4  4 50
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Thủ Đức – Tp. Hồ Chí Minh
 3
BT 15. Cho 0  x  và x  y   Tính A  (1  tan x)(1  tan y). ĐS: A  2.
4 4
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Vĩnh Long
2  1  sin 2  cos 2 2 5
BT 16. Cho sin   và 0     Tính A   ĐS: A  
3 2 sin   cos  3
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Quảng Xƣơng I – Thanh Hóa
1  sin 4 x  cos 4 x     3
BT 17. Cho  3,  0  x    Tính A  2 sin  x    cos x. ĐS: A  
1  sin 4 x  cos 4 x  2   6 2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – TTLTĐH Ngoại Thƣơng – Tp. Hồ Chí Minh
5   9 7
BT 18. Cho sin   cos   ,    ;   Tính A  tan 2. ĐS: A   
4 4 2 35
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Quang Trung – Tây Ninh
5  3
BT 19. Cho sin   cos   và 0     Tính A  sin   cos . ĐS: A   
2 4 2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Quảng Nam
3 1
BT 20. Cho     và sin   2cos   1. Tính A  2 tan   cot . ĐS: A  
2 6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An – Lần 2
  7 16
BT 21. Cho    ;   và sin 2    Tính A  cos2   4 cos   4  sin 2   4 sin   4. ĐS: A  
 2 9 3
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Đại Học Vinh – Lần 3
     3
BT 22. Cho    2, tan      1. Tính A  cos      sin . ĐS: A   
2  4  6 2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Hùng Vƣơng – Phú Thọ – Lần 3
1   7 
BT 23. Cho sin(  )   ,    . Tính A  tan    ĐS: A  2 2.
3 2  2 
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Hai Bà Trƣng – Huế – Lần 3
 3   3 
BT 24. Thu gọn: A  cos(  x)  2sin   x   tan   x   cot(2  x). ĐS: A  cos x.
 2   2 
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Hoàng Lê Kha – Tây Ninh
   2  3
BT 25. Chứng minh: cos2 x  cos2   x   cos2   x  
3   3  2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chu Văn An – Hà Nội
BÀI 2. GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
I. Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 87
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

sin x  0  x  k 
 a  b  k 2 
 
 sin a  sin b   (k  )  sin x  1  x   k 2
 (k  )
 a    b  k 2  2
 
sin x  1  x   2  k 2 
cos x  1  x  k 2 
 a  b  k 2 
 
 cos a  cos b   (k  )  cos x  0  x   k
 (k  )
 a  b  k 2   2
 cos x  1  x    k 2
tan x  0  x  k

 tan a  tan b  a  b  k (k  )  
  (k  )
 tan x  1  x    k
 4
 
cot x  0  x  2  k
 cot a  cot b  a  b  k  (k  )  
 (k  )
 cot x  1  x     k
 4
II. MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
1. Sử dụng thành thạo cung liên kết
Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau
 
cos(a)  cos a sin(  a)  sin a sin   a   cos a
 2 
 
sin(a)   sin a cos(  a)   cos a cos   a   sin a
2 
 
tan(a)   tan a tan(  a)   tan a tan   a   cot a
2 
 
cot(a)   cot a cot(  a)   cot a cot   a   tan a
2 

Cung hơn kém  Cung hơn kém
2
 
sin(  a)   sin a sin   a   cos a
2 
 
cos(  a)   cos a cos   a    sin a
2 
 
tan(  a)  tan a tan   a    cot a
2 
 
cot(  a)  cot a cot   a    tan a
 2 
Tính chu kỳ
sin( x  k 2)  sin x cos( x  k 2)  cos x
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 88
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
sin  x  (  k 2)   sin x cos  x  (  k 2   cos x
tan( x  k)  tan x. cot( x  k)  cot x.
BT 26. Giải các phương trình lượng giác sau:
x  k  k
a) 2 cos2  cos 5x  1. ĐS: x   , x  , ( k  ).
2 6 3 4 2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Hùng Vƣơng – Gia Lai – Lần 1
x  k  k
b) 2 sin 2  cos 5x  1. ĐS: x    x  , ( k  ).
2 6 3 4 2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Trần Phú – Thanh Hóa
  2
c) cos   x   sin 2x  0. ĐS: x  k  x    k 2, (k  ).
 2  3
Đề thi Cao đẳng khối A, B, D năm 2013
 k 2  k 2
d) sin 5x  2 cos2 x  1. ĐS: x    , x  , ( k  ).
6 3 14 7
Đề thi Đại học khối B năm 2013
 k 
e) cos 2 x cos x  cos x  sin 2 x sin x. ĐS: x   , x    k, ( k  ).
4 2 2
  k 2
f) 2 cos 5x.cos 3 x  sin x  cos 8 x. ĐS: x   k 2, x    , ( k  ).
2 6 3
1  tan x 
g) cot 2 x   ĐS: x   k, ( k  ).
1  tan x 4
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Lê Quí Đôn – Bình Định
  
h) sin 2x  (1  2cos 3x)sin x  2sin 2  2 x    ĐS: x   k 2, ( k  ).
 4 2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Số 1 Phù Mỹ – Bình Định
2. Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tổng thành tích
ab ab ab ab
 cos a  cos b  2 cos cos  cos a  cos b  2 sin sin
2 2 2 2
ab ab ab ab
 sin a  sin b  2 sin cos  sin a  sin b  2 cos sin
2 2 2 2
sin( a  b) sin( a  b)
 tan a  tan b   tan a  tan b 
cos a  cos b cos a  cos b
sin( a  b) sin(b  a)
 cot a  cot b   cot a  cot b 
sin a  sin b sin a  sin b
ab ab
Khi áp dụng tổng thành tích đối với 2 hàm sin và cosin thì được hai cung mới: ;  Do
2 2
đó khi sử dụng nên nhẩm hai cung mới này trước để nhóm hạng tử thích hợp sao cho xuất hiện
nhân tử chung (cùng cung) với hạng tử còn lại hoặc cụm ghép khác.
BT 27. Giải các phương trình lượng giác sau:
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 89
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
 k  7
a) sin 3x  cos 2 x  sin x  0. ĐS: x   , x    k 2 , x   k 2.
4 2 6 6
Đề thi Đại học khối D năm 2013

b) sin x  4 cos x  sin 3x  0. ĐS: x   k, ( k  ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Cổ Loa – Hà Nội
k 
c) cos 3x  2 sin 2 x  cos x  0. ĐS: x  , x   k 2, ( k  ).
2 2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Hà Tĩnh – Hà Tĩnh – Lần 1

d) sin 3x  sin 2 x  sin x. ĐS: x  k, x    k 2, ( k  ).
3
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Phan Đình Phùng – Hà Nội
 3  k
e) sin x.(1  8cos x)  cos  3x    ĐS: x  , ( k  ).
 2  2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc
3. Hạ bậc khi gặp bậc chẵn
1  cos 2 1  cos 2
 sin 2    cos2  
2 2
1  cos 2 1  cos 2
 tan 2    cot 2  
1  cos 2 1  cos 2
 Lƣu ý đối với công thức hạ bậc của sin và consin:
1
– Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hằng số và cung góc tăng gấp đôi.
2
– Hạ bậc để triệt tiêu hằng số không mong muốn và nhóm hạng tử thích hợp để sau khi áp
dụng công thức (tổng thành tích sau khi hạ bậc) sẽ xuất hiện nhân tử chung hoặc làm bài
toán đơn giản hơn.
BT 28. Giải các phương trình lượng giác sau:
1  k
a) sin 2 x   ĐS: x   , (k  ).
2 4 2
2 3 
b) cos2 x   ĐS: x    k 2, (k  ).
4 12
 2  2  7  13 k 29 k
c) sin2  3x    sin   x  ĐS: x    x  
 3   4  48 4 24 2
 2  2x  22 k 4 38 k 4
d) sin2  3x    cos      0. ĐS: x   , x  
 5  4  65 13 55 11
 k 
e) sin 2 2 x  sin 2 x  1. ĐS: x    x   k.
6 3 2
k
f) sin 2 2 x  cos2 3x  1. ĐS: x  k  x  , (k  ).
5
BT 29. Giải các phương trình lượng giác sau:
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 90
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
3  k  2
a) cos2 x  cos2 2 x  cos2 3x  cos2 4 x   ĐS: x   , x    k, x    k.
2 8 4 5 5
 k 2 5 k 2 
b) 2 sin 2 2 x  sin7 x  1  sin x. ĐS: x    x  
18 3 18 3
  5x  9x  k   k
c) cos 3x  sin7 x  2sin 2     2cos2  ĐS: x   , x   k, x    
 4 2  2 12 6 4 8 2
  7  k  k  k
d) cos2 x  cos2 2x  cos2   3x    ĐS: x   ,x    ,x    
3  4 6 3 6 2 12 2
4. Xác định lƣợng nhân tử chung để đƣa về phƣơng trình tích số
Đa số đề thi thường là nh ững phương trình đưa về tích số. Do đó, trước khi giải ta phải quan sát xem
chúng có những lượng nhân tử chung nào , sau đó định hướng để tách , ghép, nhóm phù hợp . Một số
lượng nhân tử thường gặp:
– Các biểu thức có nhân tử chung với cos x  sin x thường gặp là:
1  sin2x; cos2x; 1  tan x; 1  cot x; sin3x  cos3x; cos3 x  sin3 x; cos4 x  sin4 x; …
– Các biểu thức có nhân tử chung với cos x  sin x thường gặp là:
1  sin2x; cos2x; 1  tan x; 1  cot x; sin3x  cos3x; cos3 x  sin3 x;cos4 x  sin4 x; …
– Từ sin 2 x  cos2 x  1 và nhìn nhận với góc độ hằng đẳng thức số 3, ta có:
+ sin2 x; tan2 x có nhân tử chung là: (1  cos x)(1  cos x)  1  cos2 x.
+ cos2 x; cot 2 x có nhân tử chung là: (1  sin x)(1  sin x)  1  sin 2 x.
– Phân tích f ( X )  aX 2  bX  c  a.( X  X1 )  ( X  X2 ) với X có thể là sin x,cos x, … và X1 , X2 là 2
nghiệm của f ( X )  0.
BT 30. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos 2 x.(cos x  sin x  1)  0. ĐS: x  k 2, x   k 2, ( k  ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Quỳnh Lƣu II – Nghệ An – Lần 2

b) sin 2x  3 sin x  0. ĐS: x  k, x    k 2, ( k  ).
6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Trần Phú – Tây Ninh
  5
c) (sin x  cos x)2  1  cos x. ĐS: x   k , x   k 2, x   k 2.
2 6 6
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Lƣơng Ngọc Quyến – Thái Nguyên – Lần 2
 
d) cos   2 x   1  cos2 x. ĐS: x  k, x  arctan( 2)  k, ( k  ).
2 
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Lý Tự Trọng – Nam Định – Lần 2

e) sin x  4 cos x  2  sin 2 x. ĐS: x    k 2, ( k  ).
3
Đề thi Đại học khối A – A1 năm 2014
3
f) 2(sin x  2cos x)  2  sin 2 x. ĐS: x    k 2, ( k  ).
4
Đề thi Đại học khối B năm 2014
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 91
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
3 
g) sin x  cos x  cos 2 x. ĐS: x   k, x  k 2, x    k 2.
4 2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Phan Bội Châu – Bình Định (đề số 1)
k 
h) 4sin2 x cos x  sin 3x  sin(  x). ĐS: x  , x    k, ( k  ).
2 4
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Hồng Quang – Hải Dƣơng – Lần 3
 k 
i) cos 3x  cos x  2 3 cos 2 x sin x. ĐS: x   , x   k, ( k  ).
4 2 6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Đại học Vinh – Lần 1
 k
j) cos 3x  cos x  2 sin x cos 2 x. ĐS: x  k, x    , ( k  ).
8 2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Thuận Châu – Sơn La – Lần 2
  5
k) sin 2 x  2 sin 2 x  sin x  cos x. ĐS: x    k, x   k 2, x   k 2.
4 6 6
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Đại học Vinh – Lần 4
 
l) 4sin2 x  3 3 sin 2x  2cos2 x  4. ĐS: x   k, x   k, ( k  ).
2 6
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – Sở GD & ĐT Đồng Tháp

m) sin 2 x  sin x  2  4 cos x. ĐS: x    k 2, ( k  ).
3
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Hậu Lộc II – Thanh Hóa – Lần 2
 
n) sin 2 x  2 cos x  sin x  1  0. ĐS: x    k 2, x    k 2, ( k  ).
2 3
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Trung Thiên – Hà Tĩnh – Lần 1

o) sin 2 x  2 sin x  2 cos x  2  0. ĐS: x  k 2, x   k 2, ( k  ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Thị Minh Khai – Hà Tĩnh – Lần 1
p) sin 2 x  1  6 sin x  cos 2 x. ĐS: x  k, ( k  ).
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Thanh Chƣơng III – Nghệ An

q) sin 2 x  cos 2 x  2 sin x  1. ĐS: x  k, x   k 2, ( k  ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Tĩnh Gia 1 – Thanh Hóa – Lần 2

r) sin 2 x  2 sin x  1  cos 2 x. ĐS: x    k 2, x  k, ( k  ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Hậu Lộc II – Thanh Hóa – Lần 1

s) 2sin2 x  3 sin x cos x  cos2 x  1. ĐS: x  k, x   k, ( k  ).
3
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nghèn – Hà Tĩnh
 x 
t) 1  sin x cos x  2  sin x  cos2   ĐS: x   k 2, ( k  ).
 2 2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Lê Quí Đôn – Đà Nẵng
  5
u) 2(cos x  sin 2x)  1  4 sin x.(1  cos 2x). ĐS: x    k 2, x   k , x   k.
3 12 12
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Thuận Thành Số 2 – Bắc Ninh – Lần 2
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 92
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
 
v) cos 2 x  (1  2 cos x)(sin x  cos x)  0. ĐS: x   k, x   k 2, x    k 2.
4 2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Minh Châu – Hƣng Yên – Lần 2
 
w) sin 2 x  sin x  2 cos 2 x  1. ĐS: x    k 2, x    k 2, ( k  ).
3 2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Duy Trinh – Nghệ An

x) sin 2x  (sin x  cos x  1)(2sin x  cos x  3)  0. ĐS: x  k 2, x   k 2, ( k  ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Xuân Nguyên – Thanh Hóa – Lần 4

y) cos x  2sin x.(1  cos x)2  2  2sin x. ĐS: x    k, ( k  ).
4
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Nguyễn Hiền – Tp. Đà Nẵng
tan x
z)  2 cos 2 x cos x  sin x  1  cos 3x. ĐS: x  k 2, ( k  ).
1  tan 2 x
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Lạng Giang Số 1 – Bắc Giang – Lần 3
BT 31. Giải các phương trình lượng giác sau:
    2   5
a) sin   2 x   sin   x    ĐS: x    k, x   k 2, x   k 2.
4  4  2 4 6 6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Đăk Nông
    2  
b) cos   x   sin  2 x     ĐS: x    k, x    k 2.
 4   4  2 4 3
 2
c) sin x.(1  cos 2 x)  sin 2 x  1  cos x. ĐS: x   k  x    k 2, (k  ).
4 3
Đề thi Đại học khối D năm 2008
   
d) 1  tan x  2 2 sin  x    ĐS: x    k  x    k 2, (k  ).
 4 4 3
Đề thi Đại học khối A năm 2013

e) (tan x  1)sin2 x  cos 2x  0 ĐS: x    k, ( k  ).
4
2 
f) (2cos x  1)(sin 2x  2sin x  2)  4cos2 x  1 ĐS: x    k 2, x   k, (k  ).
3 4
  1  cos 2x  k
g) 2 cos   x    1  cot x ĐS: x   , ( k  ).
4  sin x 4 2
 k
h) sin 3 x  cos3 x  sin x  cos x. ĐS: x    k, x  , ( k  ).
4 2
BT 32. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin x(1  cos 2 x)  sin 2 x  1  cos x. ĐS: x    k 2, x   k, ( k  ).
4
 k  k
b) tan x  cot x  2(sin 2 x  cos 2 x). ĐS: x   , x  , ( k  ).
4 2 8 2
 
c) (1  sin2 x)cos x  (1  cos2 x)sin x  1  sin 2x. ĐS: x    k, x   k 2, x  k 2.
4 2
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 93
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
 5 
d) (2sin x  1)(2cos 2x  2sin x  1)  3  4cos2 x. ĐS: x   k 2, x   k 2, x   k.
6 6 4
 7  
e) cos 2x  3sin 2 x  5 2 sin  x    3. ĐS: x    k, ( k  ).
 4  4
f) (cos x  1)(cos 2x  2cos x)  2sin2 x  0. ĐS: x    k 2, ( k  ).
 k
g) tan x  sin 2 x  2 cot 2 x. ĐS: x   , ( k  ).
4 2
   
h) sin 2x  cos x  2 sin  x    1  0. ĐS: x    k 2, x    k 2, ( k  ).
 4 2 3
  k 5 k
i) x   k, x   , x  
2 24 2 24 2
 5
j) 3sin 3x  2  sin x(3  8 cos x)  3cos x. ĐS: x   k , x   k, ( k  ).
12 12
  5
k) 2 sin x(2 cos 2 x  1  sin x)  cos 2 x  2. ĐS: x    k, x   k 2, x   k 2.
3 6 6
III. MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP
1. Phƣơng trình lƣợng giác đƣa về bậc hai hoặc bậc cao cùng một hàm lƣợng giác
Quan sát và dùng các công thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác với cung góc giống
nhau, chẳng hạn:
Dạng Đặt ẩn phụ Điều kiện
a sin x  b sin x  c  0
2
t  sin x 1  t  1
a cos2 x  b cos x  c  0 t  cos x 1  t  1

a tan 2 x  b tan x  c  0 t  tan x x   k
2
a cot 2 x  b cot x  c  0 t  cot x x  k
Nếu đặt t  sin x, t  cos x hoặc t  sin x , t  cos x thì điều kiện lúc này là 0  t  1 .
2 2
BT 33. Giải các phương trình lượng giác sau:
  7
a) 2 sin 2 x  sin x  1  0. ĐS: x   k 2, x    k 2, x   k 2.
2 6 6
3
b) 2cos2 x  ( 2  2)cos x  2  0. ĐS: x  k 2  x    k 2, (k  ).
4

c) tan2 x  2 3 tan x  3  0. ĐS: x    k.
3
d) sin 2 x  cos 2 x  cos x  2. ĐS: x  k 2, (k  ).
 7
e) 4sin x  3  2(1  sin x)tan 2 x. ĐS: x    k 2  x   k 2.
6 6

f) tan x  cot x  2. ĐS: x   k, (k  ).
4

g) 8 sin x cos x  cos 4 x  3  0. ĐS: x    k, (k  ).
4
5  k
h) sin 2 8 x  3sin 4 x cos 4 x   0. ĐS: x   , (k  ).
2 16 4
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 94
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
x 
i) cos 2 x  2 cos x  2 sin 2  ĐS: x    k 2, (k  ).
2 3
BT 34. Giải các phương trình lượng giác sau:
 5
a) 2 sin 2 x  3sin x  2  0. ĐS: x   k 2, x   k 2, ( k  ).
6 6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc – Lần 1
    2
b) 10.cos2  x    7.cos  x    6  0. ĐS: x  k 2, x    k 2, ( k  ).
 3  3 3
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Phan Bội Châu – Bình Định (đề số 2)
  5
c) 3sin x  cos 2 x  2. ĐS: x   k 2, x   k 2, x   k 2.
2 6 6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Tp. Hồ Chí Minh – Lần 1
 5
d) 2 cos 2 x  8 sin x  5  0. ĐS: x   k 2, x   k 2, ( k  ).
6 6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Thanh Hóa
x
e) 16 sin 2  cos 2 x  15. ĐS: x    k 2, ( k  ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Tp. Hồ Chí Minh
 7
f) 2 cos2 2 x  5sin 2 x  1  0. ĐS: x    k, x   k, ( k  ).
12 12
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Măng Thít – Vĩnh Long

g) cos 2x  cos2 x  sin x  2  0. ĐS: x   k 2, ( k  ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Lào Cai

h) 3cos2 x  2 cos 2 x  3sin x  1. ĐS: x   k 2, ( k  ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Nhƣ Thanh – Thanh Hóa
cos x 
i)  1  sin x. ĐS: x   k 2, x  k 2, ( k  ).
1  sin x 2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Bắc Yên Thành – Nghệ An – Lần 1
1  cos x(2 cos x  1)  2.sin x  5
j)  1. ĐS: x    k, x   k, ( k  ).
1  cos x 4 4
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Huỳnh Thúc Kháng – Tây Ninh
3sin 2 x  2 sin x 
k)  2. ĐS: x    k 2, ( k  ).
sin 2 x cos x 3
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Lƣơng Ngọc Quyến – Thái Nguyên
2 sin x  3 2 sin x  sin 2 x  1
2
5
l)  1. ĐS: x   k 2, ( k  ).
(sin x  cos x)2 4
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Quảng Ngãi
(1  sin x)(2 sin 2 x  6 cos x  2 sin x  3)   5
m)  2. ĐS: x    k 2, x   k 2, x   k 2.
2 cos x  1 2 6 6
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 95
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Khánh Hòa – Lần 1
3 4  2sin 2 x  
n) 2
  2 3  2(cot x  1). ĐS: x    k, x   k, ( k  ).
cos x sin 2 x 3 6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Tạp Chí Toán Học & Tuổi Trẻ số 450 (đề số 3)
  2
o) 3cos x  2  3(1  cos x).cot 2 x. ĐS: x    k 2, x   arccos     k 2.
3  3
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Trƣờng Xuân III – Thanh Hóa
 5
p) sin 3x  cos 2 x  1  2 sin x cos 2 x. ĐS: x  k, x   k 2 , x   k 2, ( k  ).
6 6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Nam Yên Thành – Nghệ An – Lần 1
  7
q) 2cos 5x.cos 3x  sin x  cos8x. ĐS: x   k 2, x    k 2 , x   k 2.
2 6 6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Hoàng Lê Kha – Tây Ninh
1 
r) sin 6 x  cos6 x  sin 2 x. ĐS: x   k , ( k  ).
4 4
Đề thi thử THTP Quốc Gia 2015 – THPT Đan Phƣợng – Hà Nội
x
s) cos x  2 cos2  3  0. ĐS: x  k 6, ( k  ).
3
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam

t) sin 3 x  cos4 x  1. ĐS: x  k, x   k 2, ( k  ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa – Lần 1
 5
u) sin 4 x  2  cos 3x  4 sin x  cos x. ĐS: x  k 2, x   k 2, x   k 2.
6 6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc – Lần 3 (Ban D)
BT 35. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2  3(sin 2x  3sin x)  cos 2 x  3cos x. ĐS: x    k, ( k  ).
6
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Đồng Đậu – Vĩnh Phúc – Lần 1
cos 4x  3 sin 2 x  2 2 
b)  3. ĐS: x   k, x    k, ( k  ).
sin 4 x  3 cos 2 x 3 2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Tạp Chí Toán Học & Tuổi Trẻ Số 449
BT 36. Giải các phương trình lượng giác sau:
3 2 tan x  2  7
a) 3 tan 2 x    4 cos2 x  2 ĐS: x    k, x   k, ( k  ).
cos 2 x 1  tan x 12 12
2
b) 2 cos2 x  3cos x  2 cos 3x  4 sin x sin 2 x ĐS: x    k 2, x    k 2, ( k  ).
3

c) (2 tan2 x  1)cos x  2  cos 2 x ĐS: x    k 2, x    k 2, ( k  ).
3
cos 2 x  cos 3 x  1 k 2
d) cos 2 x  tan 2 x  ĐS: x  , ( k  ).
cos 2 x 3
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 96
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
 5  
e) 5sin   x   3(1  cos x)cot 2 x  2 ĐS: x    k 2, ( k  ).
 2  3
 7
f) 4sin x  3  2(1  sin x)tan2 x ĐS: x    k 2, x   k 2, ( k  ).
6 6
3sin 2 x  2 sin x  3 2
g)  3  2 sin 3 x  0 ĐS: x    k 2, ( k  ).
cot x 3
3sin 2 x  7 sin 3 x  2 sin 4 x  1   5
h) sin 3x  cot 2 x  ĐS: x   k 2, x   k 2, x   k 2.
sin 2 x 2 6 6
3  x  
i) 2
 tan x  2 3  sin x  1  tan x tan  ĐS: x   k, x    k, ( k  ).
cos x  2 3 6
2
j) 2sin3 x  3  (3sin2 x  2sin x  3)tan x ĐS: x    k 2, (k  ).
3
 
k) 3cot 2 x  2 2 sin2 x  (2  3 2)cos x ĐS: x    k 2, x    k 2, (k  ).
4 3

l) 4  3sin x  sin 3 x  3cos2 x  cos6 x ĐS: x  k, x    k 2, ( k  ).
2
cos 3x  sin 3x 
m) 5  sin x   3  cos 2 x ĐS: x    k 2, ( k  ).
1  2 sin 2 x 3
    3 
n) cos4 x  sin 4 x  cos  x   sin  3x     ĐS: x   k, ( x  ).
 4  4 2 4
1 1 
o) sin 2 x  sin x    2 cot 2 x. ĐS: x    k 2, (k  ).
2 sin x sin 2 x 3
 k
p) cot 2 x  tan 2 x  2 cot 2 x  tan 2 x  9  0. ĐS: x   , ( k  ).
8 2
MỘT SỐ DẠNG KHÁC QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI HOẶC BẬC CAO
Dạng 1: Phương trình có chứa R(...,tan X , cot X , sin 2X , cos 2X , tan 2X ,...), sao cho cung của
sin, cos gấp đôi cung của tan hoặc cotan. Lúc đó ta đặt t  tan X và sẽ biến đổi:
sin X 2 tan X 2t
 sin 2X  2 sin X cos X  2   cos 2 X   
cos X 1  tan X 1  t 2
2
1 1  tan 2 X 1  t 2
 cos 2 X  2 cos 2 X  1  2   1   
1  tan 2 X 1  tan 2 X 1  t 2
sin 2 X 2t 2 1  t2
 tan 2X   & cot 2 X  
cos 2 X 1  t 2 2t 2
Từ đó thu được phương trình bậc 2 hoặc bậc cao theo t , giải ra sẽ tìm được t  x.
BT 37. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 1  3 tan x  2 sin 2 x. ĐS: x    k, (k  ).
4

b) cos 2 x  tan x  1. ĐS: x  k  x   k, (k  ).
4

c) sin 2 x  2 tan x  3. ĐS: x   k, ( k  ).
4
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 97
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

d) (1  tan x)(1  sin 2 x)  1  tan x ĐS: x    k, x  k, ( k  ).
4
sin 2x  cos 2x    
e) cot x  , x    ; 0  ĐS: x   
2  sin 2x  2  4
   1  tan x
f) 1  cot  x    ĐS: x  k, (k  ).
 2  1  sin 2 x
cos 2 x 1 
g) cot x  1   sin 2 x  sin 2 x. ĐS: x   k, ( k  ).
1  tan x 2 4
2 
h) cot x  tan x  4 sin 2 x   ĐS: x    k, (k  ).
sin 2 x 3
1 
i) 2 tan x  cot x  2 sin 2 x   ĐS: x    k, ( k  ).
sin 2 x 3
 
tan( x  a).tan(b  x)  1 khi a  b  2  k tan a  tan b
Dạng 2: Áp dụng  hoặc tan( a  b)  
cot( x  a).cot(b  x)  1 khi a  b    k 1 tan a.tan b
 2
BT 38. Giải các phương trình lượng giác sau:
sin x  cos 3x  2 cos 2 x cos x 11 5
a) 2 sin 2 x   ĐS: x   k 2, x    k 2, ( k  ).
    12 12
tan   x   tan   x 
4  4 
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chí Linh – Hải Dƣơng – Lần 1
7      k
b) sin4 x  cos4 x  cot  x   cot   x   ĐS: x   , ( k  ).
8  3 6  12 2
    k 2
c) tan  x   tan  x   sin 3x  sin x  sin 2x ĐS: x  , x  k 2, ( k  ).
 3  6 2 3
sin 2 x  cos 2 x
4 4
k
d)  cos 4 4 x ĐS: x  , (k  ).
    2
tan   x  tan   x 
4  4 
sin 3 x sin 3 x  cos 3 x cos 3 x 1
a)  
    8
tan  x   tan  x  
 6   3 
2. Phƣơng trình lƣợng giác đối với sinx và cosx (phƣơng trình cổ điển)
Dạng tổng quát: a sin x  b cos x  c () , a, b  \0  
Điều kiện có nghiệm của phương trình: a  b  c , (kiểm tra trước khi giải)
2 2 2
Phƣơng pháp giải:
a b c
 Chia hai vế cho a2  b2  0, thì ()   sin x   cos x  ()
a2  b2 a 2  b2 a2  b2
 Giả sử: cos  
a
, sin  
b

,   0; 2 thì:
a b
2 2
a  b2
2
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 98
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
c c
()  sin x cos   cos x sin    sin( a  b)  : dạng cơ bản.
a b
2 2
a  b2
2
sin a  cos b  cos a  sin b  sin( a  b)
Lƣu ý. Hai công thức sử dụng nhiều nhất là:  
cos a  cos b  sin a  sin b  cos( a b)
Các dạng có cách giải tƣơng tự:
  a2  b2 cos nx
 a.sin mx  b.cos mx   , ( a 2  b 2  0)
  a2  b2 sin nx 
PP
 Chia : a2  b2 .
 
 a.sin mx  b.cos mx  c.sin nx  d.cos nx , ( a 2  b 2  c 2  d 2 )
BT 39. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 1  sin 2 x  cos 2 x. ĐS: x  k, x    k, ( k  ).
4
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Trần Cao Vân – Bình Định

b) sin x.( 3  sin x)  cos x.(1  cos x)  0. ĐS: x   k 2 , x    k 2 , ( k  ).
3
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Nguyễn Huệ – Hà Nội – Lần 3

c) sin x.(sin x  1)  cos x.(1  cos x). ĐS: x  k 2, x   k 2, ( k  ).
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Gia Viễn A – Ninh Bình – Lần 1
 
d) 2sin2 x  3 sin 2x  2  0. ĐS: x   k, x   k, ( k  ).
6 2
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Hồng Quang – Hải Dƣơng – Lần 1
BT 40. Giải các phương trình lượng giác sau đây:

e) cos7 x cos 5x  3 sin 2x  1  sin7 x sin 5x ĐS: x  k, x    k, ( k  ).
3
 
f) cos x sin 3x  3 cos 2 x  3  cos 3x sin x ĐS: x   k, x   k, ( k  ).
3 2
 2
g) 3 sin 2x  cos 2x  2cos x  1 ĐS: x   k, x  k 2, x   k 2.
2 3
 5   k 
h) cos x  2cos 2 x  2sin x.cos  2 x   ĐS: x   , x   k 2, (k  ).
 6  4 2 3
  5
i) 2sin  2 x    4sin x  1 ĐS: x  k, x   k, ( k  ).
 6 6
 7
j) 2sin 2 x  sin 2x  3sin x  cos x  2  0 ĐS: x    k 2, x   k 2, (k  ).
6 6
2(cos 4 x  sin 4 x)  1 2  k 4
k)  3 cos x  sin x ĐS: x   k, x    k 4, x   
 x  3 9 3
2 cos   
2 3
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 99