Chuong6 dothi

  • 24 trang
  • file .pdf
CHƯƠNG 6
ĐỒ THỊ
1
Chương 6: Đồ thị
6.1 Định nghĩa và các khái niệm
6.2 Biểu diễn đồ thị
6.3 Phép duyệt đồ thị
6.4 Tìm đường đi ngắn nhất
2
6.1-Định nghĩa và khái niệm
Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và
các cạnh (vô hướng hoặc có hướng) nối các
đỉnh đó .
Nhiều bài toán thuộc những lĩnh vực rất khác
nhau có thể giải được bằng mô hình đồ thị:
biểu diễn sự cạnh tranh các loài trong một môi
trường sinh thái, hai máy tính có được nối với
nhau bằng một đường truyền thông hay
không. tìm đường đi ngắn nhất giữa hai thành
phố, lập lịch thi, phân chia kênh cho các đài
truyền hình …
3
6.1-Định nghĩa và khái niệm
Khi mô hình hoá bằng đồ thị: đỉnh biểu thị
các đối tượng được xem xét (người, tổ chức,
địa danh,...), cạnh đồ thị là những đoạn
thẳng (hoặc cong) hay những mũi tên nối
một số điểm với nhau, tượng trưng cho một
quan hệ nào đó giữa các đối tượng.
Các loại đồ thị :
Một đơn đồ thị G = (V, E) gồm một tập khác
rỗng V mà các phần tử của nó gọi là các
đỉnh và một tập E là các cạnh gồm các cặp
không có thứ tự của các đỉnh phân biệt.
4
6.1-Định nghĩa và khái niệm
Một đơn đồ thị có hướng G = (V, E) gồm một
tập khác rỗng V mà các phần tử của nó gọi
là các đỉnh và một tập E các cặp có thứ tự
gồm 2 phần tử khác nhau của V gọi là các
cung.
Một đa đồ thị G = (V, E) giống như đơn đồ
thị, có thể có cạnh bội (có nhiều hơn hai
cạnh tương ứng với một cặp đỉnh) và
khuyên (cạnh nối đỉnh với chính nó).
5
6.1-Định nghĩa và khái niệm
v1 v2 v3
v4 v5 v6
6
6.1-Định nghĩa và khái niệm
Các thuật ngữ về đồ thị :
Hai đỉnh u và v trong đồ thị (vô hướng) G=(V,E) được gọi
là liền kề nếu (u,v)E. Nếu e = (u,v) thì e gọi là cạnh
liên thuộc với các đỉnh u và v. Cạnh e cũng được gọi là
cạnh nối các đỉnh u và v. Các đỉnh u và v gọi là các điểm
đầu mút của cạnh e.
Bậc của đỉnh v trong đồ thị G=(V,E), ký hiệu deg(v), là số
các cạnh liên thuộc với nó. Khuyên tại một đỉnh được
tính hai lần cho bậc của nó.
Đỉnh v gọi là đỉnh treo nếu deg(v)=1 và gọi là đỉnh cô lập
nếu deg(v)=0
7
6.1-Định nghĩa và khái niệm
v1 v2 v3
v4
v5 v6 v7
8
6.1-Định nghĩa và khái niệm
Bậc vào (t.ư. bậc ra) của đỉnh v trong đồ thị có hướng G,
ký hiệu degt(v) (t.ư. dego(v)), là số các cung có đỉnh cuối
(đỉnh đầu) là v.
Đỉnh có bậc vào và bậc ra cùng bằng 0 gọi là đỉnh cô lập.
Đỉnh có bậc vào bằng 1 và bậc ra bằng 0 gọi là đỉnh
treo, cung có đỉnh cuối là đỉnh treo gọi là cung treo
Cho G =(V, E) là một đồ thị có hướng. Khi đó
 deg (v)   deg (v) | E |
vV
t
vV
o
9
6.2- Biểu diễn đồ thị
621. Ma trận kề: Cho đồ thị vô hướng G=(V,E),
v1, v2, ..., vn là các đỉnh và e1, e2, ..., em là các cạnh
của G. Ma trận kề của G là ma trận
A  {(aij ) : i, j  1,2,..., n }
aij bằng 1 nếu cạnh (i,j) E và bằng 0 nếu ngược lại.
Rõ ràng ma trận kề của đồ thị vô hướng là đối xứng.
Ngoài ra, aij có thể gán một số nào đó gọi là trọng số.
Lúc đó, ta có ma trận trọng số.
Nhược điểm là luôn phải dùng n2 đơn vị bộ nhớ để lưu
trữ ma trận kề.
10
6.2- Biểu diễn đồ thị
e6
v1 v2 v3
e3 e4
e1 e5
e2
0 0 0 1 1  v4 v5
 
0 0 1 1 1 
0 1 0 0 1 
 
1 1 0 0 0 
1 1 0 1 0 
 
Ví dụ: Ma trận kề của đồ thị
11
6.2- Biểu diễn đồ thị
622. Danh sách kề: Mỗi đỉnh v của đồ thị có danh
sách lưu trữ các đỉnh kề với nó, ký hiệu Ke(v):
Ke(v)={ uV: (v,u)E}
Người ta có thể dùng mảng hoặc danh sách liên kết
cho Ke(v). Chúng ta phải dùng m+n đơn vị bộ nhớ
để lưu trữ danh sách kề.
e6
v1 v2 v3
e3 e4
e1 e5
e2
v4 v5
12
6.3- Duyệt đồ thị
Tìm kiếm theo chiều sâu:
void main()
{ for v  V do chuaxet[v]:=true;
for v  V do
if (chuaxet[v]) then DFS(v);
}
void DFS(v)
{ thamdinh(v); chuaxet[v]:=false;
for u  Ke(v) do
if (chuaxet[u]) DFS(u);
}
13
6.3- Duyệt đồ thị
3 6
4
2
5
7
1
10 8
9
11
12
Kết quả tìm kiếm theo
chiều sâu: 1, 2, 10, 4, 3,
13 5, 8, 6, 7, 9, 12, 11, 13
14
6.3- Duyệt đồ thị
Đặc điểm:
- Mỗi đỉnh được thăm đúng 1 lần.
- Mỗi lần quay về chương trình chính, thuật
toán se tạo ra một thành phần liên thông
mới.
- Độ phức tạp của thuật toán là O(n+m).
15
6.3- Duyệt đồ thị
Tim kiem theo chieu rong:
void main()
{ for (v  V) chuaxet[v]:=true;
for (v  V) do
if (chuaxet[v]) BFS(v);
}
16
6.3- Duyệt đồ thị
void BFS(v)
{ Queue:=;
Queue  v; (*nap v vao Queue *)
chuaxet[v]:=false;
while (Queue ≠ )
{ p  Queue;
thamdinh(p);
for (u  Ke(p))
if (chuaxet[u])
{Queue  u; chuaxet(u):=false;}
}
}
17
6.4- Đường đi ngắn nhất
Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, với n là một
số nguyên dương trong đồ thị G=(V,E) là một dãy
các cạnh (hoặc cung) e1, e2, ..., en của đồ thị sao
cho e1=(x0,x1),e2=(x1,x2), ...,en=(xn-1,xn), với x0=u và
xn=v. Trong đồ thị đơn, ta ký hiệu đường đi này
bằng dãy các đỉnh x0, x1, ..., xn.
Nếu mỗi cung được đặt tương ứng một số thực
a(xi,xj) gọi là trọng số, lúc đó độ dài đường đi là:
a(xi-1,xj) với i=1 đến n
18
6.4- Đường đi ngắn nhất
Thuật toán Dijkstra:
-Đầu vào: Đồ thị G=(V,E) biểu diễn bằng ma
trận trọng số a[u,v] với u,v  V
-Điều kiện: a[u,v] >= 0
-Đầu ra: Khoảng cách từ đỉnh s (đỉnh bắt đầu
cho trước) đến tất cả các đỉnh còn lại ký
hiệu d[v]. truoc[v] ghi nhận đỉnh đi trước v
trong đường đi ngắn nhất từ s đến v.
-Ký hiệu: T là tập hợp chứa các đỉnh có nhãn
tạm thời.
19