Chương 6 thanh chịu uốn phẳng

  • 68 trang
  • file .pdf
®¹i häc
SỨC BỀN
VẬT LIỆU
Trần Minh Tú
Đại học xây dựng
July 2010 [email protected]
Chương 6
THANH CHỊU UỐN PHẲNG
2
NỘI DUNG
Chương 2;
SB1 – nghiên cứu ứng suất, biến dạng,
chuyển vị trong thanh dưới tác dụng của Kéo (nén)
các trường hợp chịu lực cơ bản đúng tâm
Chương 5: UỐN
Xoắn
6.1. Khái niệm chung
6.2. Uốn thuần túy thanh thẳng
6.3. Uốn ngang phẳng thanh thẳng
3(68)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.1. Khái niệm chung (1)
™ Thanh chịu uốn: khi có tác dụng của ngoại lực trục
thanh thay đổi độ cong
™ Dầm: thanh chịu uốn
4(68)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.1. Khái niệm chung (2)
™ Mặt phẳng tải trọng: mặt phẳng chứa tải trọng và trục thanh
™ Mặt phẳng quán tính chính trung tâm: mặt phẳng chứa trục
thanh và 1 trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang.
™ Giới hạn nghiên cứu: Dầm với mặt cắt ngang có ít nhất 1 trục
đối xứng (chữ I, T, chữ nhật, tròn,…); mặt phẳng tải trọng trùng
mặt phẳng đối xứng của dầm => Uốn phẳng
5(68)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.1. Khái niệm chung (3)
™ Phân loại uốn phẳng F F
ƒ Uốn thuần túy phẳng A B C D
z
ƒ Uốn ngang phẳng a b a
VA = F V =F
™ Ví dụ: thanh chịu uốn D
phẳng
F
Qy
ƒ Trên đoạn BC: Mx≠0, Qy=0 F
=> Uốn thuần túy phẳng Mx
ƒ Trên đoạn AB,CD: Mx≠0,
Fa Fa
Qy≠0
=> Uốn ngang phẳng
6(68)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốn thuần túy phẳng (1)
Uốn thuần túy phẳng
7(68)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốn thuần túy phẳng (2)
1. Định nghĩa: Thanh gọi là chịu uốn thuần tuý nếu
trên các mặt cắt ngang của nó chỉ tồn tại thành
phần ứng lực là mômen uốn Mx (hoặc My) nằm
trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm.
Tải trọng gây uốn: nằm trong mặt phẳng đi qua trục thanh
và vuông góc với trục thanh
2. Các giả thiết về biến dạng của thanh
a. Thí nghiệm
8(68)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốn thuần túy phẳng (3)
mặt cắt ngang thớ dọc
Vạch trên bề mặt ngoài của thanh
• Hệ những đường thẳng // trục thanh
=> thớ dọc
• Hệ những đường thẳng vuông góc
với trục thanh => mặt cắt ngang M M
Cho thanh chịu uốn thuần túy phẳng
QUAN SÁT
• Các đường thẳng // trục thanh =>
đường cong // trục, khoảng cách giữa
các đường cong kề nhau không đổi
• Các đường thẳng vuông góc với trục
thanh => vẫn thẳng và vuông góc với
trục thanh
• Các thớ phía trên bị co (chịu nén),
các thớ dưới bị dãn (chịu kéo)
9(68)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Biến dạng của thanh chịu uốn
10(68)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốn thuần túy phẳng (4)
GIẢ THIẾT M
M
a. Giả thiết mặt cắt ngang phẳng:
mặt cắt ngang trước biến dạng
là phẳng và vuông góc với trục
thanh thì sau biến dạng vẫn
phẳng và vuông góc với trục Lớp trung hoà
Đường
b. Giả thiết về các thớ dọc: trong trung hoà
quá trình biến dạng các lớp vật
liệu dọc trục không có tác
dụng tương hỗ với nhau
Vật liệu làm việc trong miền đàn
hồi Đường
Tồn tại lớp trung hoà: gồm các trung hoà
thớ dọc không bị dãn cũng
không bị co.
Đường trung hòa: Giao tuyến của
lớp trung hoà với mặt cắt
ngang
11(68)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốn thuần túy phẳng (5)
1 2
3.Ứng suất trên mặt cắt ngang
a. Biến dạng dài của thớ dọc a b
c
có khoảng cách y đến thớ
y
d
trung hoà 1
dz 2
Xét vi phân chiều dài của thớ ρ
dϕ thớ trung hoà
dọc dz = cd. Sau biến dạng 1 2
cd có độ dài là c’d’. y
a b
c d
Biến dạng dài tỉ đối:
Δdz c ' d '− cd ( ρ + y ) dϕ − ρ dϕ y 1 2
εz = = = =
dz cd ρ dϕ ρ
ρ − bán kính cong của thớ trung hoà
y
εz =
ρ
12(68)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốn thuần túy phẳng (6)
b. Quan hệ ứng suất - biến dạng
x
Xét mặt cắt ngang bất kỳ, phân
x
tố diện tích dA chứa điểm K.
K z
Tách phân tố lập phương chứa y
dA σz
điểm K.
y
Từ gt 1: góc vuông không thay
đổi => τ=0 σz K σz
Từ gt 2: σx=σy=0
=> Trên mặt cắt ngang chỉ tồn
tại duy nhất ứng suất pháp σz
Theo định luật Hooke y 1
σ z = Eε z σz = E = ????
ρ ρ
13(68)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốn thuần túy phẳng (7)
c. Công thức tính ứng suất pháp
x
Tải trọng gây uốn nằm trong mặt Mx
phẳng yOz và vuông góc với x
K
trục thanh nên: Nz=My=0 và z
σz
y
Mx≠0. Ta có: dA
E
N z = ∫ σ z dA = ∫ yd A = 0 y
ρ
A A
Đường trung hoà đi qua trọng tâm
∫ yd A = S = 0
A
x của mặt cắt ngang
E
M y = ∫ xσ z dA = ∫ xyd A = 0
A
ρ A
Hệ trục Oxy là hệ trục
∫ xyd A = I = 0
A
xy quán tính chính trung tâm
14(68)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốn thuần túy phẳng (8)
E E
M x = ∫ yσ z dA = ∫ y dA = I
2
A
ρ A
ρ x
x
Mx
1 Mx
= x
ρ EI x K z
σz
y
dA
ρ – bán kính cong của thớ trung hoà
Mx – mô men uốn nội lực y
EIx – độ cứng của dầm chịu uốn
Thay biểu thức của bán kính cong y Mx
vào biểu thức xác định ứng suất pháp σ z = E σz = y
y – tung độ điểm cần tính ứng suất ρ Ix
Mx>0: căng thớ dưới
Mx<0: căng thớ trên Mx thuộc vùng kéo
=> Để thuận tiện ta thường dùng σ z = ± y
công thức tính toán Ix thuộc vùng nén
15(68)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốn thuần túy phẳng (9)
d. Biểu đồ ứng suất pháp
ƒ Các điểm càng xa ĐTH thì trị tuyệt đối ứng suất pháp
càng lớn
ƒ Các điểm nằm trên ĐTH thì có σz=0
ƒ Các điểm nằm trên đường thẳng // ĐTH thì có
σz=const
=> Biểu diễn sự biến thiên của ứng suất pháp theo
chiều cao mặt cắt ngang
ƒ Biểu đồ ứng suất pháp là đường thẳng đi qua gốc
toạ độ => để vẽ được biểu đồ chỉ cần tính ứng suất
pháp tại điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang
ƒ Đánh dấu (+) để biểu diễn phần ứng suất kéo và dấu
(-) biểu diễn phần ứng suất nén
16(68)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
17(68)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốn thuần túy phẳng (11)
™ Mặt cắt ngang có hai trục đối
xứng σmin
Mx h Mx
σ max = + = h/2
Ix 2 Wx Mx
x
Mx h Mx
σ min = − =− h/2
Ix 2 Wx
z
σ max = σ min y
σmax
Ix
Wx = - mô men chống uốn của mặt cắt ngang
h/2 2
bh 3
Ix πD
Hình chữ nhật: Wx = Hình tròn: Wx = =  0,1D 3
6 D/2 32
π D3
Hình vành khăn: Wx =
Ix
D/2
=
32
(1 − η 4 )  0,1D 3 (1 − η 4 ) với η =
d
D
18(68)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốn thuần túy phẳng (12)
™ Mặt cắt ngang có 1 trục b
σmin
đối xứng
t
Mx Mx Mx ynmax
σ max = + y k
max =
Ix Wxk x
h
Mx Mx ykmax
σ min = − y n
max =− n
z
Ix W x
Ix Ix σmax
W =
x
k
k
W = x
n
n
y
ymax ymax
ykmax - khoảng cách xa ĐTH nhất thuộc vùng chịu kéo
ynmax - khoảng cách xa ĐTH nhất thuộc vùng chịu nén
19(68)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6.2. Uốn thuần túy phẳng (13)
4. Điều kiện bền
Dầm làm bằng vật liệu dẻo max {σ max , σ min } ≤ [σ ]
Dầm bằng vật liệu giòn σ max ≤ [σ ]k ; σ min ≤ [σ ]n
Ba bài toán cơ bản
ƒ Kiểm tra điều kiện bền: Mx
σ max = ≤ [σ ]
Wx
ƒ Xác định kích thước của mặt cắt ngang:
Mx
Wx ≥
[σ ]
ƒ Xác định tải trọng cho phép:
M x ≤ [σ ]Wx
20(68)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering