Chương 6 phân tích & thiết kế hệ sàn phân tích đường chảy dẻo

  • 15 trang
  • file .pdf
Cao học: Xây Dựng Dân Dụng và Công Nghiệp Bài giảng: Prof. Andrew Whittaker
Môn học: Phân Tích Ứng Xử & Thiết Kế Kết Cấu BTCT Biên dịch: PhD Hồ Hữu Chỉnh
Chương 6: PHÂ TÍCH & THIẾT KẾ HỆ SÀ:
PHÂ TÍCH ĐƯỜG CHẢY DẺO
6.1 PHÂ TÍCH ĐƯỜG CHẢY DẺO
6.1.1 Cường độ chống uốn của sàn tại các đường chảy dẻo nghiêng góc so với trục cốt thép
Tại phần cuối chương vừa học (chương 5), một phương trình đã được thiết lập để tính
cường độ chống uốn của sàn với đường chảy dẻo vuông góc. Sự phát triển được mở rộng
sau đây là cho trường hợp mà đường chảy dẻo nghiêng góc so với trục cốt thép, cụ thể là
tính mômen tới hạn trên đơn vị chiều rộng dọc theo một đường chảy dẻo nghiêng góc
khác 90° so với trục x và y.
Theo Park và Gamble, hình vẽ dưới đây thể hiện một đường chảy dẻo nghiêng góc α so
với lưới thép trực giao nhau. Trong trường hợp này, mômen xoắn và uốn cùng sẽ tồn tại
trên đường chảy dẻo như được thể hiện trong vòng tròn bên dưới. Trong vòng tròn đó,
chiều dài ab bằng đơn vị.
Tiêu chuNn chảy dẻo Yohansen cung cấp một phương pháp để tính:
 Mômen uốn tới hạn trên một đơn vị chiều rộng, mun
 Mômen xoắn trên một đơn vị chiều rộng, munt
Tiêu chuNn trên căn cứ vào một loạt giả thiết sau:
 Đường chảy dẻo thực có thể được thay thế bằng một đường bậc thang gồm nhiều bậc
nhỏ theo các phương x và y như được biểu diển ở hình trên.
 Các mômen xoắn theo các phương x và y bằng 0 (các mômen trên các mặt này là các
mômen chính).
 Cường độ chống uốn của tiết diện không bị tác động bởi sự xoắn vặn thép băng qua
đường chảy dẻo (nứt) hay bởi các điều kiện ứng suất 2-phương trong vùng bê tông
chịu nén.
 Ứng suất trong thanh chịu kéo trong cả hai hướng cắt ngang đường chảy dẻo (nứt) là
ứng suất chảy dẻo fy
Chương 6: PHÂN TÍCH & THIẾT KẾ HỆ SÀN: PHÂN TÍCH ĐƯỜNG CHẢY DẺO
Cao học: Xây Dựng Dân Dụng và Công N ghiệp Bài giảng: Prof. Andrew Whittaker
Môn học: Phân Tích Ứng Xử & Thiết Kế Kết Cấu BTCT Biên dịch: PhD Hồ Hữu Chỉnh
 Các cánh tay đòn nội lực của cường độ chống uốn tới hạn theo các phương x và y
không bị tác động khi uốn xảy ra theo một phương tổng quát.
Thí nghiệm trên bản đã cho thấy rằng tiêu chuNn dẻo Johansen mặc dầu đơn giản nhưng
chính xác.
Một lần nũa xét bản dạng bậc thang trong hình trên. Thép đặt vuông góc theo các phương
x , y và đường chảy dẻo nghiêng một góc α so với trục y. Cường độ chống uốn trên mỗi
đơn vị chiều rộng theo phương x là mux , theo phương y là muy
Bây giờ xét phần vòng tròn ở hình trên, mà được minh hoạ lại như sau:
Lấy mômen quanh cạnh ab của phần tử trên, ta có:
m un ( ab ) = m ux ( ac ) cos α + m uy ( ab ) sin α
và: m un = m ux cos α + m uy sin α
2 2
(6-1)
Tương tự, lấy mômen quanh trục vuông góc ab mà chính là mômen xoắn trên một đơn vị
chiều rộng, ta có:
m unt ( ab ) = m ux ( ac ) sin α − m uy ( ab ) cos α
và: m unt = ( m ux − m uy ) sin α cos α (6-2)
Bây giờ xét hai trường hợp:
 N ếu mux = muy ⇒ m un = m ux và m unt = 0
o Mômen chống uốn tới hạn trên đơn vị chiều rộng giống nhau trong tất cả các hướng
o Mômen xoắn tại đường chảy dẻo bằng 0
o Một bản như vậy được gọi là gia cường đẳng hướng (isotropically reinforced).
 N ếu m ux ≠ m uy
o Mômen chống uốn tới hạn trên đơn vị chiều rộng phụ thuộc vào hướng chảy dẻo
o Mômen xoắn tại đường chảy dẻo khác 0
o Một bản như vậy được gọi là gia cường trực hướng (orthotropically reinforced).
Chương 6: PHÂN TÍCH & THIẾT KẾ HỆ SÀN : PHÂN TÍCH ĐƯỜN G CHẢY DẺO
Cao học: Xây Dựng Dân Dụng và Công N ghiệp Bài giảng: Prof. Andrew Whittaker
Môn học: Phân Tích Ứng Xử & Thiết Kế Kết Cấu BTCT Biên dịch: PhD Hồ Hữu Chỉnh
6.1.2 Phân tích đường chảy dẻo dùng nguyên lý công ảo
Bước đầu tiên trong phân tích đường chảy dẻo là đề xuất kiểu đường chảy dẻo tuân theo
các qui luật đã nêu ở chương 5, cụ thể là :
1. Đường chảy dẻo phải là các đường thẳng tạo thành các trục chuyển động xoay của các
phân mảnh cứng (phẳng).
2. Các cạnh gối đỡ sàn phải làm việc như các trục xoay. Mếu một cạnh gối đỡ sàn bị ngàm,
một đường chảy dẻo được hình thành dọc theo cạnh gối đỡ. Trục xoay sẽ đi qua đầu cột
đỡ sàn.
3. Để các biến dạng được tương thích, một đường chảy dẻo phải đi ngang giao điểm của hai
trục xoay của các phân mảnh kề nhau.
Kiểu đường chảy dẻo đề nghị sẽ thường có một số kích thước chưa biết mà dùng để định
vị trí các đường chảy dẻo, và nói chung có một tập hợp các kiểu đường chảy dẻo cho một
bản sàn, như ví dụ minh hoạ bên dưới.
Chương 6: PHÂN TÍCH & THIẾT KẾ HỆ SÀN : PHÂN TÍCH ĐƯỜN G CHẢY DẺO
Cao học: Xây Dựng Dân Dụng và Công N ghiệp Bài giảng: Prof. Andrew Whittaker
Môn học: Phân Tích Ứng Xử & Thiết Kế Kết Cấu BTCT Biên dịch: PhD Hồ Hữu Chỉnh
Tất cả các kiểu đường chảy dẻo khả dĩ cần nên được nhận diện. Tại sao ?
 Kiểu chính xác là một trong số đó mà cho giá trị tải trọng tới hạn nhỏ nhất
 N ếu kiểu chính xác không tìm thấy, tải trọng tới hạn tính toán được sẽ không an toàn
Tải trọng tới hạn có thể được xác định từ các kiểu đường chảy dẻo bằng cách sử dụng:
 Các phương trình cân bằng
 N guyên lý công ảo (virtual work)
o N ói chung dể sử dụng hơn và được chấp nhận trong giáo trình này
N guyên lý công ảo là gì ? Xét một vật thể rắn ở trạng thái cân bằng dưới tác động của hệ
lực như hình vẽ dưới đây :
N ếu vật thể rắn này có một chuyển vị nhỏ bất kỳ, tổng công (năng lượng) gây ra bởi các
lực sẽ bằng 0. Vì rằng tổng các lực bằng 0.
N guyên lý công ảo do đó có thể phát biểu như sau:
Mếu cho một vật rắn, đang ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của một hệ lực, một
chuyển vị ảo, thì tổng công ảo gây ra bởi hệ lực sẽ bằng 0.
N guyên lý này là cơ sở cho các bàn luận sau.
Để phân tích một hệ sàn bằng phương pháp công ảo, một kiểu đường chảy dẻo được đề
xuất cho sàn ứng với tải trọng tới hạn.
 Các phân mảnh của kiểu đường chảy dẻo có thể xem như là các vật rắn do biến dạng
sàn và độ võng thay đổi chỉ xảy ra tại các đường chảy dẻo.
 Các phân mảnh của sàn ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của ngoại lực và các
mômen uốn, xoắn, và lực cắt dọc theo các đường chảy dẻo.
 Một điểm trong sàn được gán cho một chuyển vị nhỏ δ theo hướng của lực tác dụng.
o chuyển vị tại tất cả các điểm trong sàn δ(x,y) và chuyển động xoay của các mảnh
sàn quanh các đường chảy dẻo có thể xác định được theo δ và theo các kích thước
của các phân mảnh sàn.
 Công sinh ra do (a) ngoại lực, và do (b) nội lực tác dụng dọc theo các đường chảy dẻo.
Trước hết xét một sàn chịu tải phân bố đều wu . Công do ngoại lực bằng:
∫∫ w δ(x, y)dxdy = ∑ W ∆
u ui i
(6-3)
Chương 6: PHÂN TÍCH & THIẾT KẾ HỆ SÀN : PHÂN TÍCH ĐƯỜN G CHẢY DẺO
Cao học: Xây Dựng Dân Dụng và Công N ghiệp Bài giảng: Prof. Andrew Whittaker
Môn học: Phân Tích Ứng Xử & Thiết Kế Kết Cấu BTCT Biên dịch: PhD Hồ Hữu Chỉnh
với Wui là lực tổng cộng trên một mảnh của kiểu đường chảy dẻo, ∆i là chuyển vị hướng
xuống của trọng tâm phân mảnh, và Σ là tổng cộng cho tất cả các phân mảnh.
 Phản lực tại các gối đỡ không tham gia sinh công. Tại sao?
 Công do các nội lực tác động tại các đường chảy dẻo chỉ gây ra bởi các mômen uốn.
Tại sao ?
o Công do lực cắt và mômen xoắn bằng 0 khi tính tổng cộng trên toàn bộ tấm sàn.
• Các tác động trên mỗi mặt của đường chảy dẻo là bằng nhau nhưng đối dấu như
mô tả ở hình dưới, mà không có sự chuyển động tương đối giữa hai mặt của
đường chảy dẻo tương ứng với các lực cắt và các mômen xoắn.
Công do mômen kháng uốn tới hạn trên một đơn vị chiều dài mun tại một đường chảy dẻo
có chiều dài l0 nơi mà góc xoay tương đối giữa các mảnh là θn (xem hình vẽ trên) bằng
- munθnl0. Tại sao công có dấu âm ?
 Các mômen uốn sẽ tác dụng theo chiều ngược với hướng xoay trong bản nếu chuyển
vị ảo là theo hướng của tải trọng tác dụng.
Công tổng cộng do các mômen kháng uốn tới hạn do đó bằng -Σmunl0θn , khi tính tổng
cộng trên tất cả các đường chảy dẻo. Phương trình công ảo có thể được viết như sau:
∑ W ∆ − ∑ m θ l = 0 hay ∑ W ∆ = ∑ m θ l
ui i un n 0 ui i un n 0
(6-4)
công ngoại công nội
Chương 6: PHÂN TÍCH & THIẾT KẾ HỆ SÀN : PHÂN TÍCH ĐƯỜN G CHẢY DẺO
Cao học: Xây Dựng Dân Dụng và Công N ghiệp Bài giảng: Prof. Andrew Whittaker
Môn học: Phân Tích Ứng Xử & Thiết Kế Kết Cấu BTCT Biên dịch: PhD Hồ Hữu Chỉnh
Các thông tin trên có thể được dùng để tìm tải trọng phân bố đều tới hạn (wu) của bản
vuông tựa đơn giản trên 4 cạnh có chiều dài cạnh là L. Giả thiết cốt thép bản là đẳng
hướng với mu là mômen dương kháng uốn tới hạn tính trên đơn vị chiều rộng trong cả 2
hướng (x và y). Sơ đồ bản, theo Park và Gamble, được mô tả như sau:
Một kiểu đường chảy dẻo mặc nhiên được mô tả ở hình trên. Các chuyển vị của 4 phân
mảnh có thể dể dàng được tính theo chuyển vị δ của điểm E. Công (work) thực hiện bởi
ngoại lực wu bằng :
w u L2 δ δ
∑ W ∆ = 4( 4 × 3) = w L 3
ui i u
2
N hư được vẽ trong hình trên là một mặt cắt dọc theo đường DB. Từ mặt cắt này, có thể
thấy rằng chuyển động xoay của mỗi phân mảnh là như nhau cho tất cả 4 phân mảnh, cụ
thể là :
δ δ
θn = 2( )=2 2
L L
2
Tổng công do nội lực bằng Σmunl0θn và vì mun = mu , tổng công do nội lực của bài toán là :
δ L
∑ m l θ = m (2 2 L )(4 2 ) = 8m δ
un 0 n u u
Tải trọng tới hạn wu được tính bằng cách đặt công nội (internal work) bằng công ngoại
(external work), cụ thể như sau :
24mu
wu =
L2
Ảnh hưởng của góc bản sàn có thể làm kiểu chảy dẻo phức tạp hơn tại các vùng góc
(corner region) của sàn, và có thể làm cho tải trọng tới hạn giảm một ít so với giá trị trên.
Chương 6: PHÂN TÍCH & THIẾT KẾ HỆ SÀN : PHÂN TÍCH ĐƯỜN G CHẢY DẺO
Cao học: Xây Dựng Dân Dụng và Công N ghiệp Bài giảng: Prof. Andrew Whittaker
Môn học: Phân Tích Ứng Xử & Thiết Kế Kết Cấu BTCT Biên dịch: PhD Hồ Hữu Chỉnh
6.1.3 Các thành phần của công do nội lực
Cốt thép trong ví dụ trên là đẳng hướng (giống nhau theo cả 2-hướng sàn). N ói chung,
trường hợp này không tổng quát và thường là khác nhau: mux ≠ muy
Vì hầu hết các sàn dạng chữ nhật có thép đặt song song với các hướng x và y, và do các
mômen kháng uốn tới hạn tính trên đơn vị chiều rộng trong các phương này thường đã
biết, nên dễ tính toán các thành phần theo các hướng x và y của công nội gây ra bởi các
mômen tới hạn Σmunl0θn. Cho một đường chảy dẻo nghiêng góc α so với trục y , các phân
mảnh sàn có góc xoay tương đối θn quanh đường chảy dẻo, công nội có thể tính bằng:
(6-5)
với θx , θy là các thành phần của θn quanh trục x , y.
và x0 , y0 là các thành phần hình chiếu của các đường chảy dẻo theo phương x , y.
Để minh họa, một lần nữa xét ví dụ mẫu sàn vuông cạnh dài l , cốt thép đẳng hướng, đã
nêu ở trên. Một góc của ví dụ này được mô tả ở bên dưới (theo MacGregor).
Biên AF là phân nửa cạnh AD và biên AG là phân nửa
cạnh AB, như vậy 1/4 bản được mô tả ở hình bên. Một
xấp xĩ bậc thang cho một trong 4 đường chảy dẻo cũng
được vẽ. Chuyển vị diểm E tại tâm bản là δ. Tấm ADE
chỉ xoay quanh trục y (θx = 0) và công nội cho tấm này là:
= mxLyθy + myLxθx
= mx(L)(2θ/L) + 0 = 2mxδ
Tương tự, tấm ABE chỉ xoay quanh trục x (θy = 0) và do
vậy công nội cho tấm này là :
= mxLyθy + myLxθx
= 0 + my(L)(2θ/L) = 2myδ
Do đó, công nội tổng cộng bằng tổng các công gây bởi 4
phân mảnh bản, cụ thể là:
∑ m θ l = 2(2m δ + 2m δ) = 8m δ
un n 0 x y u
Chương 6: PHÂN TÍCH & THIẾT KẾ HỆ SÀN : PHÂN TÍCH ĐƯỜN G CHẢY DẺO
Cao học: Xây Dựng Dân Dụng và Công N ghiệp Bài giảng: Prof. Andrew Whittaker
Môn học: Phân Tích Ứng Xử & Thiết Kế Kết Cấu BTCT Biên dịch: PhD Hồ Hữu Chỉnh
6.1.4 Các ví dụ phân tích đường chảy dẻo
Ví dụ 1
Để minh hoạ ứng dụng của phân tích đường chảy dẻo, xét bản chữ nhật tựa đơn giản trên
4 cạnh có kích thước như mô tả dưới đây. Cốt thép bản là trực hướng. Yêu cầu tính tải
trọng phân bố đều lớn nhất (wu). Biết các mômen kháng uốn đơn vị theo phương x là mux
=10 kip-ft/ft ; theo phương y là muy =15 kip-ft/ft.
Kiểu đường chảy dẻo (tạo mômen dương) được đề xuất cho độ võng giữa nhịp bằng đơn
vị (δ = 1). Hai loại phân mảnh , cũng được nhận dạng trong hình dưới.
Công nội tính bằng: (với δ = 1)
Công ngoại tính bằng: (với δ = 1)
Chương 6: PHÂN TÍCH & THIẾT KẾ HỆ SÀN : PHÂN TÍCH ĐƯỜN G CHẢY DẺO
Cao học: Xây Dựng Dân Dụng và Công N ghiệp Bài giảng: Prof. Andrew Whittaker
Môn học: Phân Tích Ứng Xử & Thiết Kế Kết Cấu BTCT Biên dịch: PhD Hồ Hữu Chỉnh
300
( + 100)
Do đó: wu = x
187,5 − 5x
Làm sao tính được wu ? Bằng cách gán dwu/dx = 0 và giải tìm nghiệm, hay bằng cách thử
lặp và kiểm tra sai số. Phương pháp thứ hai được áp dụng ở đây với kết quả tính như sau:
x (feet) wu (ksf)
6’ 0,952
7’ 0,937
8’ 0,932
9’ 0,936
Lúc này bài toán đã giải quyết xong với wu = 0.932 ksf ? Không hẳn là vậy do các cơ cấu
khác có thể chi phối sự phá hoại . Xét cơ cấu đối chứng khác như sau :
Công nội tính bằng:
δ δ 750
= 2(m ux )(15)( ) + 2(m uy )(25)( ) = (24 + )δ
12,5 y y
Công ngoại tính bằng:
12,5 δ δ 25 δ
= w u [ 4 y( )( ) + 2(15 − 2 y)(12,5)( ) + 2 y( )( )]
2 3 2 2 3
= w u (187,5 − 8,33y)δ
750
(24 + )
y
Do đó: wu =
187,5 − 8,33y
Giải bằng thử lặp và kiểm tra sai số,
y (feet) wu (ksf)
5’ 1,193
6’ 1,082
7’ 1,016
7,5’ 0,992
Vậy tải trọng phá hoại là bao nhiêu ? ⇒ wu = 0,932 ksi !!!
Chương 6: PHÂN TÍCH & THIẾT KẾ HỆ SÀN : PHÂN TÍCH ĐƯỜN G CHẢY DẺO
Cao học: Xây Dựng Dân Dụng và Công N ghiệp Bài giảng: Prof. Andrew Whittaker
Môn học: Phân Tích Ứng Xử & Thiết Kế Kết Cấu BTCT Biên dịch: PhD Hồ Hữu Chỉnh
N goài ra, hoạt tải dịch vụ (service live load) tác dụng trên bản tối đa bằng bao nhiêu ? giả
sử bản dày 10” và không có tĩnh tải.
10
932 − 1,4 × (150 × )
w LL = 12 = 445 psf
1,7
Ví dụ 2
Xét bản vuông ngàm 4 cạnh bên dưới, có chiều dài cạnh L, và mômen kháng uốn tới hạn:
mux = muy = mu cho uốn dương (mặt dưới bản)
m′ux = m′uy = m′u cho uốn âm (mặt trên bản)
Tính tải trọng tập trung lớn nhất P tác dụng tại tâm bản. Biết chuyển vị tại tâm bản là δ.
Công nội tính bằng :
Công ngoại là Pd và do đó tải trọng tập trung lớn nhất P cho bởi công thức sau:
P = 8(m u + m'u )
Ví dụ 3
Xét bản dạng đa gíác n-cạnh ở hình dưới, ngàm theo chu vi, có chiều dài phủ bì L, các
mômen kháng uốn đơn vị bằng :
mux = muy = mu cho uốn dương (mặt dưới bản)
m′ux = m′uy = m′u cho uốn âm (mặt trên bản)
Tính tải trọng tập trung lớn nhất P tác dụng tại tâm bản. Biết chuyển vị tại tâm bản là δ.
Chương 6: PHÂN TÍCH & THIẾT KẾ HỆ SÀN : PHÂN TÍCH ĐƯỜN G CHẢY DẺO
Cao học: Xây Dựng Dân Dụng và Công N ghiệp Bài giảng: Prof. Andrew Whittaker
Môn học: Phân Tích Ứng Xử & Thiết Kế Kết Cấu BTCT Biên dịch: PhD Hồ Hữu Chỉnh
Bây giờ xét một phân mảnh của đa giác n-cạnh:
Cho phân mảnh đơn ở hình trên, công nội bằng :
δ π
=( )(m u + m'u )(L tan )
L2 n
và công ngoại bằng :
P
= δ
n
Do dó tải trọng tới hạn P là:
π
P = 2n (mu + m'u ) tan
n
+ Với n = 4 :
π
P = (2 × 4)(m u + m'u ) tan
4
P = 8(m u + m'u ) : (tương tự kết quả ở ví dụ 2)
+ Với n = ∞ (bản hình tròn) :
π π
[ ]3 2[ ]5
π n
P = 2n (mu + m'u )( + + n + L)
n 3 15
P ≈ 2 π ( m u + m 'u )
N hư vậy kết quả của ví dụ 3 có ý nghĩa liên quan gì đến kết quả của ví dụ 2 ? n ↑ ⇒ Pu ↓
 N ếu ứng xử của bản bị tải tập trung chiếm ưu thế, bản sẽ luôn bị phá hủy kiểu tròn
(circular pattern) như các hình bên dưới.
 Cả hai nghiệm của VD2 và VD3 bằng nhau do nghiệm là độc lập với chiều dài L.
 Trường hợp các tải trọng lệch tâm (off-center) như thế nào ? N ghiệm tương tự như
hình dưới bên phải:
Chương 6: PHÂN TÍCH & THIẾT KẾ HỆ SÀN : PHÂN TÍCH ĐƯỜN G CHẢY DẺO
Cao học: Xây Dựng Dân Dụng và Công N ghiệp Bài giảng: Prof. Andrew Whittaker
Môn học: Phân Tích Ứng Xử & Thiết Kế Kết Cấu BTCT Biên dịch: PhD Hồ Hữu Chỉnh
6.1.5 Kiểu hình quạt tròn
Kiểu hình quạt tròn bao gồm toàn bộ hay một phần nón phá hoại (failure cone) và có khả
năng xảy ra ở bất kỳ nơi đâu có tải trọng tập trung hay phản lực gối.
Xét bản đẳng hướng với mômen kháng uốn âm và dương tới hạn lần lượt là mu và m'u .
Xem quạt tròn trình bày dưới đây (theo Park và Gamble) như là một phần của kiểu đường
chảy dẻo.
Xét công nội gây ra bởi các mômen tới hạn của phân mảnh gạch chéo, nếu tâm quạt được
gán một chuyển vị hướng xuống là δ và phân mảnh có trục xoay là đường chảy dẻo
mômen âm (đường gạch ngang).
δ
Góc xoay của phân mảnh là θ n =
r
và công nội gây ra bởi mômen tới hạn là:
δ
m un θ n l 0 = (m u + m'u )( )(rdφ)
r
đối với toàn bộ nón, nếu φ là góc ở tâm nón, ta có:
φ δ
m un θ n l 0 = ∫ (m u + m'u )( )(rdφ) = (m u + m'u )δφ
0 r
So sánh kết quả này với kết quả ví dụ 3 trước đây cho bản đa giác với số cạnh n = ∞ (bản
hình tròn). Công nội từ phương trình trên viết lại là:
(m u + m'u )δ(2π) : tương tự như công thức ở ví dụ 3.
Chương 6: PHÂN TÍCH & THIẾT KẾ HỆ SÀN : PHÂN TÍCH ĐƯỜN G CHẢY DẺO