Câu hỏi phụ khảo sát hàm số

GIÁO DỤC HỒNG PHÚC
tuthienbao.com
(CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT)
GV: Lưu Huy Thưởng
GIÁO DỤC HỒNG PHÚC
Chuyên luyện thi đại học khối A + B
Trụ sở : Thị trấn Hùng Sơn _ Lâm Thao _ Phú Thọ
Cơ sở 2 : Tứ Xã - Lâm Thao - Phú Thọ
Cơ sở 3 : Thị trấn Lâm Thao - Lâm Thao - Phú Thọ
Điện thoại: 02106.259.638
Phú Thọ, 09/2011
Bieån Maây
hoïc xanh
meânh khoâng
moâng, loái,
laáy laáy
chuyeân chí
caàn caû
laøm döïng
beán! leân!
GV: Lưu Huy Thưởng 0913.283.238
PHẦN I: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1
Câu 1. Cho hàm số y  (m  1) x 3  mx 2  (3m  2) x (1)
3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m  2 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
Giải
 Tập xác định: D = R. y  (m  1) x 2  2mx  3m  2 .
(1) đồng biến trên R  y  0, x
 (m  1)x 2  2mx  3m  2  0, x
 m  1  2m  0 m  1
 3m  2  0  m  1  1
   2  m   m  2
  m  1  0  2m  5m  2  0  2
 m 2  (m  1)(3m  2)  0 
  m 2

Câu 2. Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  4 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  0 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (;0) .
Giải
 Tập xác định: D =  ; y '  3x 2  6x  m ,
(1) đồng biến trên khoảng (-;0)  y’  0, x  (-;0)
 3x 2  6x  m  0 x  (-;0)
x - -1 0 +
 3x 2  6x  m x  (-;0) f’(x) - 0 +
x + -
Xét hàm số f(x) = 3x 2  6x  m trên (-;0] f(x)
Có f’(x) = 6x + 6; f’(x) = 0  x = -1 -3
Từ bảng biến thiên:  m  3
Câu 3. Cho hàm số y  2 x 3  3(2 m  1) x 2  6 m ( m  1) x  1 có đồ thị (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; )
Giải
 Tập xác định: D = 
y '  6 x 2  6(2m  1) x  6m(m  1) có   (2m  1)2  4(m2  m )  1  0
x  m
y'  0  
x  m  1
Ta có: y’  0, x (-;m) và (m + 1; +)
Do đó: hàm số đồng biến trên (2; )  m  1  2  m  1
GIÁO DỤC HỒNG PHÚC - NƠI KHỞI ĐẦU ƯỚC MƠ 1
GV: Lưu Huy Thưởng 0913.283.238
Câu 4. Cho hàm số y  x3  (1  2m) x 2  (2  m) x  m  2 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm đồng biến trên  0;   .
Giải
 Tập xác định: D = 
y   3x 2  2(1  2m )x  (2  m )
Hàm đồng biến trên (0; )  y  3 x 2  2(1  2m) x  (2  m )  0 với x  (0; )
3x 2  2 x  2
 f ( x)   m với x  (0; )
4x  1
 x  1
2(2x 2  x  1)
Ta có: f (x )   0  2x 2  x  1  0   1
(4x  1)2 x 
 2
Lập bảng biến thiên của hàm f ( x ) trên (0; ) , từ đó ta đi đến kết luận:
1 5
f  m  m
2 4
Câu 5. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  3m  1 (1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).
Giải
 Tập xác định: D = 
Ta có y '  4 x 3  4mx  4 x( x 2  m)
+ m  0 , y  0, x  m  0 thoả mãn.
+ m  0 , y  0 có 3 nghiệm phân biệt:  m , 0, m.
Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi m  1  0  m  1. Vậy m   ;1 .
mx  4
Câu 6. Cho hàm số y  (1)
xm
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (;1) .
Giải
m2  4
 Tập xác định: D = R \ {–m}. y  .
( x  m)2
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định  y  0  2  m  2 (1)
Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (;1) thì ta phải có  m  1  m  1 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta được: 2  m  1 .
2 GIÁO DỤC HỒNG PHÚC - NƠI KHỞI ĐẦU ƯỚC MƠ
GV: Lưu Huy Thưởng 0913.283.238
 
Câu 7. Chứng minh rằng, hàm số y  sin2 x  cos x đồng biến trên đoạn  0;  và nghịch biến trên
 3
 
đoạn  ;  
3 
Giải
Hàm số đã cho xác định trên  0;  
Ta có: y '  sin x (2 cos x  1), x  (0;  )
1 
Vì x  (0;  )  sin x  0 nên trên (0;  ) : y '  0  cos x  x 
2 3
   
+ Trên khoảng  0;  : y '  0 nên hàm số đồng biến trên đoạn  0; 
 3  3
   
+ Trên khoảng  ;   : y '  0 nên hàm số nghịch biến trên đoạn  ;  
3  3 
Câu 8. Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  m . Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1
Giải
Hàm số đã cho xác định trên 
Ta có: y '  3x 2  6x  m có  '  9  3m
+ Nếu m  3 thì y’  0, x   , khi đó hàm số đồng biến trên  , do đó m  3 không thỏa mãn.
+ Nếu m < 3, khi đó: y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 (x 1  x 2 ) và hàm số nghịch biến
trong đoạn:  x 1; x 2  với độ dài l = x 2  x 1
m
Theo Vi-ét ta có: x 1  x 2  2, x 1x 2 
3
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1  l = 1
2 4 9
  x 2  x 1   1  (x 1  x 2 )2  4x 1x 2  1  4  m  1  m 
3 4
GIÁO DỤC HỒNG PHÚC - NƠI KHỞI ĐẦU ƯỚC MƠ 3
GV: Lưu Huy Thưởng 0913.283.238
PHẦN 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 9. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx  m –2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.
Giải
 PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành:
x 3  3 x 2  mx  m –2  0 (1) 
 x  1
 2
 g( x )  x  2 x  m  2  0 (2)
(Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục 0x  PT (1) có 3 nghiệm phân biệt
 
 (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1    3  m  0  m3
 g(1)  m  3  0
Câu 10. Cho hàm số y   x 3  (2m  1) x 2  (m 2  3m  2) x  4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
Giải
Tập xác định: D = 
y  3x 2  2(2m  1) x  (m 2  3m  2) .
(Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung  PT y  0 có 2 nghiệm trái
dấu  3(m2  3m  2)  0  1  m  2 .
1 3
Câu 11. Cho hàm số y  x  mx 2  (2m  1) x  3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
Giải
 TXĐ: D =  ; y  x 2 – 2mx  2m –1 .
Đồ thị (Cm) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung  y  0 có 2 nghiệm phân biệt
  m 2  2m  1  0 m  1

cùng dấu    1
 2m  1  0  m  2
Câu 12. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx  2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
4 GIÁO DỤC HỒNG PHÚC - NƠI KHỞI ĐẦU ƯỚC MƠ
GV: Lưu Huy Thưởng 0913.283.238
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y  x  1 .
Giải
 Tập xác định: D = 
Ta có: y '  3 x 2  6 x  m .
Hàm số có CĐ, CT  y '  3x 2  6 x  m  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2
  '  9  3m  0  m  3 (*)
Gọi hai điểm cực trị là A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2 
1 1  2m   m
Thực hiện phép chia y cho y ta được: y   x   y '   2 x   2  
3 3  3   3
 2m   m  2m   m
 y1  y  x1      2  x1   2   ; y2  y  x2      2  x2   2  
 3   3  3   3
 2m   m
 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là : y     2 x   2  
 3   3
Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y  x  1  xảy ra 1 trong 2 trường hợp:
TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y  x  1
 2m  3
   2   1  m   (thỏa mãn)
 3  2
TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y  x  1
y1  y2 x1  x2  2m   m
 yI  x I  1   1     2   x1  x2   2  2     x1  x2   2
2 2  3   3
 2m  2m
  3  .2  6  m0
 3  3
 3
Vậy các giá trị cần tìm của m là: m  0;  
 2
Câu 13. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  4m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Giải
 Tập xác định: D = 
x  0
Ta có: y  3 x 2  6mx ; y  0   . Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m  0.
 x  2m

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0)  AB  (2m; 4m3 )
Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)
 3 2
 AB  d
A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x    2m3 4m  0  m  
I  d 2m  m 2
GIÁO DỤC HỒNG PHÚC - NƠI KHỞI ĐẦU ƯỚC MƠ 5
GV: Lưu Huy Thưởng 0913.283.238
Câu 14. Cho hàm số y   x 3  3mx 2  3m  1 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua
đường thẳng d: x  8y  74  0 .
Giải
 Tập xác định: D = 
y  3 x 2  6mx ; y  0  x  0  x  2m .
Hàm số có CĐ, CT  PT y  0 có 2 nghiệm phân biệt  m  0 .

Khi đó 2 điểm cực trị là: A(0; 3m  1), B(2m; 4m3  3m  1)  AB(2m; 4m3 )
Trung điểm I của AB có toạ độ: I (m;2m3  3m  1)

Đường thẳng d: x  8y  74  0 có một VTCP u  (8; 1) .
I  d  m  8(2 m3  3m  1)  74  0
A và B đối xứng với nhau qua d        m2
 AB  d  AB.u  0
Câu 15. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với
nhau qua đường thẳng d: x –2 y – 5  0 .
Giải
 Tập xác định: D = 
Ta có y  x 3  3x 2  mx  y '  3 x 2  6 x  m
Hàm số có cực đại, cực tiểu  y  0 có hai nghiệm phân biệt    9  3m  0  m  3
1 1 2  1
Ta có: y   x   y   m  2  x  m
 3 3   3  3
Tại các điểm cực trị thì y  0 , do đó tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình:
2  1
y   m  2 x  m
3  3
2  1
Như vậy đường thẳng  đi qua các điểm cực trị có phương trình y   m  2  x  m
3  3
2
nên  có hệ số góc k1  m 2.
3
1 5 1
d: x –2 y – 5  0  y  x   d có hệ số góc k2 
2 2 2
Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d  
12 
 k1k2  1   m  2   1  m  0
23 
6 GIÁO DỤC HỒNG PHÚC - NƠI KHỞI ĐẦU ƯỚC MƠ
GV: Lưu Huy Thưởng 0913.283.238
Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –
2). Ta thấy I  d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d.
Vậy: m = 0
Câu 16. Cho hàm số y  x 3  3(m  1) x 2  9 x  m  2 (1) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua
1
đường thẳng d: y  x.
2
Giải
 Tập xác định: D = 
y '  3x 2  6(m  1) x  9
Hàm số có CĐ, CT   '  9(m  1)2  3.9  0  m  (; 1  3)  (1  3; )
1 m 1  2
Ta có y   x   y  2(m  2m  2) x  4m  1
 3 3 
Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) , I là trung điểm của AB.
 y1  2(m2  2m  2) x1  4m  1 ; y2  2(m2  2m  2) x2  4m  1
 x  x  2(m  1)
và:  1 2
 x1.x2  3
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y  2(m2  2m  2) x  4m  1
1  AB  d
A, B đối xứng qua (d): y  x    m 1.
2 I  d
Câu 17. Cho hàm số y  x 3  3( m  1) x 2  9 x  m , với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m  1 .
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1  x 2  2 .
Giải
 Tập xác định: D = 
Ta có y'  3 x 2  6( m  1) x  9.
+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 , x2  PT y' 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
 PT x 2  2( m  1) x  3  0 có hai nghiệm phân biệt là x1 , x2 .
m  1  3
 '  (m  1) 2  3  0   (1)
m  1  3
+ Theo định lý Viet ta có x1  x 2  2( m  1); x1 x2  3. Khi đó:
x1  x 2  2  x1  x 2 2  4 x1 x2  4  4m  12  12  4
GIÁO DỤC HỒNG PHÚC - NƠI KHỞI ĐẦU ƯỚC MƠ 7
GV: Lưu Huy Thưởng 0913.283.238
 (m  1)2  4  3  m  1 (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là  3  m  1  3 và  1  3  m  1.
Câu 18. Cho hàm số y  x 3  (1  2m ) x 2  (2  m) x  m  2 , với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m  1 .
1
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1  x2  .
3
Giải
 Tập xác định: D = 
Ta có: y '  3 x 2  2(1  2m) x  (2  m)
Hàm số có CĐ, CT  y '  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1  x2 )
 5
  '  (1  2m)2  3(2  m)  4m2  m  5  0   m  4 (*)

 m  1
 2(1  2m)
 x1  x2   3
Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1, x2 . Khi đó ta có: 
x x  2  m
 1 2 3
1 2 2 1
x1  x2    x1  x2    x1  x2   4 x1 x2 
3 9
3  29 3  29
 4(1  2m)2  4(2  m )  1  16m 2  12m  5  0  m  m
8 8
3  29
Kết hợp (*), ta suy ra m   m  1
8
1 3 1
Câu 19. Cho hàm số y  x  (m  1) x 2  3(m  2) x  , với m là tham số thực.
3 3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m  2 .
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1  2 x2  1 .
Giải
 Tập xác định: D = 
Ta có: y  x 2  2(m  1) x  3(m  2)
Hàm số có cực đại và cực tiểu  y  0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2
   0  m 2  5m  7  0 (luôn đúng với m)
 x  x  2(m  1)  x  3  2m
Khi đó ta có:  1 2  2
 x1x2  3(m  2)  x2 1  2 x2   3(m  2)
8 GIÁO DỤC HỒNG PHÚC - NƠI KHỞI ĐẦU ƯỚC MƠ
GV: Lưu Huy Thưởng 0913.283.238
4  34
 8m 2  16m  9  0  m  .
4
Câu 20. Cho hàm số y  4 x 3  mx 2 –3 x .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1  4 x2 .
Giải
 Tập xác định: D = 
y  12 x 2  2mx –3 . Ta có:   m 2  36  0, m  hàm số luôn có 2 cực trị x1 , x2 .

 x1  4 x2

 m 9
Khi đó:  x1  x2   m
 6 2
 1
 x1 x2   4
Câu hỏi tương tự:
a) y  x 3  3 x 2  mx  1 ; x1  2x2  3 ĐS: m  105 .
1 1
Câu 21. Tìm các giá trị của m để hàm số y  x 3  mx 2  (m 2  3)x có cực đại x 1 , cực tiểu x 2 đồng
3 2
5
thời x 1 ; x 2 là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng
2
Giải
Cách 1: Miền xác định: D =  có y '  x 2  mx  m 2  3; y '  0  x 2  mx  m 2  0
Hàm số đạt cực đại tại x 1 cực tiểu tại x 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi pt y’= 0 có
hai nghiệm dương phân biệt, triệt tiêu và đồi dấu qua hai nghiệm đó:
  0 4  m 2  0  2  m  2
  
S  0   m  0  m  0  3  m  2 (*)
 P  0 m 2  3  0 m   3  m  3
 
 x  x 2  m
Theo Vi-ét ta có:  1 2
 x 1x 2  m  3
5 14
Mà x 12  x 22   2(x 1  x 2 )2  4x 1x 2  5  5  2m 2  4(m 2  3)  5  m  
2 2
14
Đối chiếu điều kiện (*) ta được: m 
2
1
Câu 22. Cho hàm số y  x 3  mx 2  (m 2  1)x  1 (Coù ñoà thò (C m ))
3
GIÁO DỤC HỒNG PHÚC - NƠI KHỞI ĐẦU ƯỚC MƠ 9
GV: Lưu Huy Thưởng 0913.283.238
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 2
2) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và: y CD  y CT  2
Giải
Ta coù:y '  x 2  2mx  (m 2  1)
 'y '  m 2  m 2  1  1  0
x  m  1
 y '0 
x  m  1
 y CD  y CT  y ( m 1)  y ( m 1)
(m  1)3 (m  1)3
[  m (m  1)2  (m 2  1)(m  1)  1]  [  m (m  1)2  (m 2  1)(m  1)  1]
3 3
3 2 1  m  0
 2m  2m  2  2  m (m  1)  0  
m  1
1  m  0
KL: 
m  1
Câu 23. Cho hàm số y  (m  2) x 3  3x 2  mx  5 , m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các
số dương.
Giải
 Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương
 PT y '  3(m  2) x 2  6 x  m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt
 a  (m  2)  0
  '  9  3m(m  2)  0
   '  m 2  2m  3  0  3  m  1
 m  
 P  0  m  0  m  0  3  m  2
 3(m  2) m  2  0  m  2
 S  3  0 
 m2
Câu 24. Cho hàm số y  x 3 –3 x 2  2 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y  3 x  2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị
nhỏ nhất.
Giải
 Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2).
Xét biểu thức g( x , y )  3 x  y  2 ta có:
g( x A , y A )  3x A  y A  2  4  0; g( xB , yB )  3 xB  yB  2  6  0
 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: y  3 x  2 .
Do đó MA + MB nhỏ nhất  3 điểm A, M, B thẳng hàng  M là giao điểm của d và AB.
10 GIÁO DỤC HỒNG PHÚC - NƠI KHỞI ĐẦU ƯỚC MƠ
GV: Lưu Huy Thưởng 0913.283.238
Phương trình đường thẳng AB: y  2 x  2
 4
 x
 y  3x  2  5  M  4;2
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:    
 y  2 x  2 y  2 5 5
 5
Câu 25. Cho hàm số y  x 3  (1 –2m) x 2  (2 – m ) x  m  2 (m là tham số) (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ
của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
Giải
 Tập xác định: D = 
y  3 x 2  2(1  2m ) x  2  m  g( x )
YCBT  phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1  x2  1 .
   4m2  m  5  0
5 7
  g(1)  5m  7  0   m  .
 4 5
 S  2m  1  1
 2 3
Câu 26. Cho hàm số y  x3  3mx 2  3(m 2  1) x  m3  m (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến
gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.
Giải
 Tập xác định: D = 
Ta có y  3x 2  6mx  3(m2  1)
Hàm số (1) có cực trị thì PT y  0 có 2 nghiệm phân biệt
 x 2  2mx  m2  1  0 có 2 nhiệm phân biệt    1  0, m
Khi đó: điểm cực đại A(m  1;2  2m) và điểm cực tiểu B(m  1; 2  2m)
 m  3  2 2
Ta có OA  2OB  m 2  6m  1  0   .
 m  3  2 2
Câu 27. Cho hàm số y   x 3  3mx 2  3(1  m 2 ) x  m3  m2 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1 .
2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Giải
 Tập xác định: D = 
GIÁO DỤC HỒNG PHÚC - NƠI KHỞI ĐẦU ƯỚC MƠ 11
GV: Lưu Huy Thưởng 0913.283.238
y  3 x 2  6mx  3(1  m 2 ) .
PT y  0 có   1  0, m  Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị ( x1; y1 ), ( x2 ; y2 ) .
1 m
Chia y cho y ta được: y   x   y  2 x  m 2  m
3 3
Khi đó: y1  2 x1  m2  m ; y2  2 x2  m 2  m
PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là y  2 x  m 2  m .
Câu 28. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx  2 có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song
với đường thẳng d: y  4 x  3 .
Giải
 Tập xác định: D = 
Ta có: y '  3 x 2  6 x  m .
Hàm số có CĐ, CT  y '  3x 2  6 x  m  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2
  '  9  3m  0  m  3 (*)
Gọi hai điểm cực trị là A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2 
1 1  2m   m
Thực hiện phép chia y cho y ta được: y   x   y '   2 x   2  
3 3  3   3
 2m   m  2m   m
 y1  y  x1      2  x1   2   ; y2  y  x2      2  x2   2  
 3   3  3   3
 2m   m
 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d: y     2 x   2  
 3   3
Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với d: y  4 x  3
  2m 
   3  2   4
  
  m  3 (thỏa mãn)
 2  m   3
 3

Câu 29. Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  2 có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với
đường thẳng d: x  4 y –5  0 một góc 450 .
Giải
 Tập xác định: D = 
Ta có: y '  3x 2  6 x  m .
12 GIÁO DỤC HỒNG PHÚC - NƠI KHỞI ĐẦU ƯỚC MƠ
GV: Lưu Huy Thưởng 0913.283.238
Hàm số có CĐ, CT  y '  3 x 2  6 x  m  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2
  '  9  3m  0  m  3 (*)
Gọi hai điểm cực trị là A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2 
1 1  2m   m
Thực hiện phép chia y cho y ta được: y   x   y '   2 x   2  
3 3  3   3
 2m   m  2m   m
 y1  y  x1      2  x1   2   ; y2  y  x2      2  x2   2  
 3   3  3   3
 2m   m
 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là : y     2 x   2  
 3   3
 2m  1
Đặt k     2  . Đường thẳng d: x  4 y –5  0 có hệ số góc bằng  .
 3  4
1  1 1  3  39
k
 k  1 k  k  m
Ta có: tan 45  4  4 4 5 10
 
1  k  1  1  1 k k   5 m   1
1 k
4  4 4 
 3  2
1
Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là: m  
2
Câu 30. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  m (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  4 .

2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho AOB  1200 .
Giải
 Tập xác định: D = 
 x  2  y  m  4
Ta có: y  3 x 2  6 x ; y  0  
x  0  y  m
Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(2 ; m + 4)
   1
OA  (0; m), OB  (2; m  4) . Để AOB  1200 thì cos AOB  
2
m(m  4) 1 4  m  0
   m 2  4  (m  4)2   2m(m  4)   2
m2  4  (m  4)2  2 3m  24m  44  0
4  m  0
 12  2 3
 12  2 3  m 
 m  3
3
Câu 31. Cho hàm số y  x 3 –3mx 2  3(m 2 –1) x – m3 (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  2 .
2) Chứng minh rằng (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi đường
thẳng cố định.
GIÁO DỤC HỒNG PHÚC - NƠI KHỞI ĐẦU ƯỚC MƠ 13
GV: Lưu Huy Thưởng 0913.283.238
Giải
 Tập xác định: D = 
x  m  1
y  3 x 2  6mx  3(m2  1) ; y  0  
x  m 1
 x  1  t
Điểm cực đại M (m –1; 2 – 3m) chạy trên đường thẳng cố định: 
 y  2  3t
x  1 t
Điểm cực tiểu N (m  1; 2 – m) chạy trên đường thẳng cố định: 
 y  2  3t
Câu 32. Cho hàm số y  x 3  3(m  1)x 2  3m (m  2)x  m 3  3m 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 0.
2) Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có 2 cực trị và khoảng cách giữa hai điểm này không
phụ thuộc vào vị trí của m.
Giải
 x  2  m
Ta có: y '  3x 2  6(m  1)x  6m (m  2); y '  0  
x  m
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-;-2 - m) và (-m;+), nghịch biến trên khoảng (-2 - m;-m)
và x CD  2  m ; y CD  4; x CT  m ; y CT  0
Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm cực trị là: (2  m  m )2  (4  0)2  2 5
 Điều phải chứng minh.
Câu 33. Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  2 (1) với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0.
2) Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm
số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.
Giải
Ta có: y '  3x 2  6x  m
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
  '  9  3m  0  m  3 (1)
Lấy y chia cho y’ ta được:
1 2m m
y  x 3  3x 2  mx  2  (x  1).y ' (  2)x  2 
3 3 3
Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình
2m m
y  (  2) x  2 
3 3
 m6   6m
Đường thẳng này cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tai A ;0 , B 0; 
 2(m  3)   3 
14 GIÁO DỤC HỒNG PHÚC - NƠI KHỞI ĐẦU ƯỚC MƠ
GV: Lưu Huy Thưởng 0913.283.238
m6 6m 9 3
Tam giác OAB cân khi và chỉ khi OA  OB    m  6; m   ; m  
2(m  3) 3 2 2
3
Với m = 6 thì A  B  O do đó so với điều kiện ta nhận m  
2
1 4 3
Câu 34. Cho hàm số y  x  mx 2  (1)
2 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  3 .
2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại.
Giải
 Tập xác định: D = 
x  0
y  2 x 3  2mx  2 x ( x 2  m ) . y  0   2
x  m
Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại  PT y  0 có 1 nghiệm  m  0
Câu 35. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  4 (C m )
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 2
2) Tìm các giá trị của m để tất cả các điểm cực trị của (C m ) đều nằm trên các trục tọa độ.
Giải
x  0
Ta có: y '  4x 3  4mx ; y '  0   2
x  m
Nếu m  0  đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất và điểm đó nằm trên trục tung.
Nếu m > 0 thì đồ thị hàm số khi đó có 3 điểm cực trị. Một điểm cực trị nằm trên trục tung và hai
điểm cực trị còn lại có tọa độ: ( m ; m 2  4)  Các điểm này chỉ có thể nằm trên trục hoành.
m  0
 Điều kiện các điểm nằm trên trục hoành là  2 m=2
m  4  0
m  2
Kết luận: 
m  0
Câu 36. Cho hàm số y  f ( x)  x 4  2( m  2) x 2  m 2  5m  5 (Cm ) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm ) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam
giác vuông cân.
Giải
 Tập xác định: D = 
GIÁO DỤC HỒNG PHÚC - NƠI KHỞI ĐẦU ƯỚC MƠ 15
GV: Lưu Huy Thưởng 0913.283.238
x  0
Ta có f  x   4 x3  4(m  2) x  0   2
x  2  m
Hàm số có CĐ, CT  PT f ( x )  0 có 3 nghiệm phân biệt  m  2 (*)
Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A  0; m2  5m  5 , B  2  m ;1  m  , C   2  m ;1  m 
 
 AB   2  m ; m 2  4m  4  , AC    2  m ; m 2  4m  4 
Do ABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi ABC vuông tại A
 AB. AC  0  m  2 3  1  m  1 (thoả (*))
Câu 37. Cho hàm số y  x 4  2( m  2) x 2  m 2  5m  5 C m 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các
điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
Giải
 Tập xác định: D = 
x  0
Ta có f  x   4 x3  4(m  2) x  0   2
x  2  m
Hàm số có CĐ, CT  PT f ( x )  0 có 3 nghiệm phân biệt  m  2 (*)
Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A  0; m2  5m  5 , B  2  m ;1  m  , C   2  m ;1  m 
 
 AB   2  m ; m 2  4m  4  , AC    2  m ; m 2  4m  4 
1
Do ABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi A  600  cos A 
2
 
AB. AC 1
     m  2  3 3 .
AB . AC 2
Câu hỏi tương tự đối với hàm số: y  x 4  4(m  1) x 2  2m  1
Câu 38. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m 2  m có đồ thị (Cm) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập
thành một tam giác có một góc bằng 1200 .
Giải
 Tập xác định: D = 
x  0
Ta có y  4 x 3  4mx ; y  0  4 x ( x 2  m)  0   (m < 0)
 x   m
Khi đó các điểm cực trị là: A(0; m 2  m), B   m ; m  , C   m ; m 
  
AB  ( m ; m 2 ) ; AC  ( m ; m 2 ) . ABC cân tại A nên góc 120 chính là A .
16 GIÁO DỤC HỒNG PHÚC - NƠI KHỞI ĐẦU ƯỚC MƠ
GV: Lưu Huy Thưởng 0913.283.238
 
 1 AB. AC 1  m .  m  m 4 1
A  120  cos A         
2 AB . AC 2 m4  m 2
m  0 (loaïi )
m m4 1 4 4 4 
    2m  2m  m  m  3m  m  0  1
m4 m 2 m   3
 3
1
Vậy m   .
3
3
Câu 39. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m  1 có đồ thị (Cm) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập
thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 .
Giải
 Tập xác định: D = 
x  0
Ta có y  4 x 3  4mx  4 x ( x 2  m)  0   2
x  m
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị  PT y  0 có ba nghiệm phân biệt và y  đổi dấu khi x đi
qua các nghiệm đó  m  0 . Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị (Cm) là:
A(0; m  1), B   m ; m 2  m  1 , C  m ; m 2  m  1
1
S ABC  yB  y A . xC  x B  m2 m ; AB  AC  m 4  m , BC  2 m
2
m  1
AB. AC.BC (m 4  m)2 m
R 1  1  m 3  2m  1  0  
4S ABC 4m 2 m m  5  1
 2
Câu hỏi tương tự: tuthienbao.com
1  5
a) y  x 4  2mx 2  1 ĐS: m  1, m 
2
Câu 40. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2m  m 4 có đồ thị (Cm) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập
thành một tam giác có diện tích bằng 4.
Giải
 Tập xác định: D = 
x  0
Ta có y '  4 x3  4 mx  0   2
 g ( x)  x  m  0
Hàm số có 3 cực trị  y '  0 có 3 nghiệm phân biệt   g  m  0  m  0 (*)
GIÁO DỤC HỒNG PHÚC - NƠI KHỞI ĐẦU ƯỚC MƠ 17
GV: Lưu Huy Thưởng 0913.283.238
Với điều kiện (*), phương trình y  0 có 3 nghiệm x1   m ; x2  0; x3  m . Hàm số đạt cực
trị tại x1 ; x2 ; x3 . Gọi A(0; 2m  m4 ); B  m ; m 4  m2  2m  ; C   m ; m 4  m 2  2 m  là 3 điểm cực
trị của (Cm) .
Ta có: AB 2  AC 2  m 4  m; BC 2  4m  ABC cân đỉnh A
Gọi M là trung điểm của BC  M (0; m 4  m2  2m)  AM  m 2  m2
Vì  ABC cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó:
5
1 1
S ABC  AM .BC  .m 2 . 4m  4  m 2  4  m5  16  m  5 16
2 2
Vậy m  5 16 .
Câu hỏi tương tự:
a) y  x 4  2m 2 x 2  1 , S = 32 ĐS: m  2
Câu 41. Cho hàm số x 4  2mx 2  2 có đồ thị (C m ) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị
3 9
(C m ) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm D  ; 
5 5
Giải
x  0
y '  4x 3  4mx  0   (m  0) Vậy các điểm thuộc đường tròn (P) ngoại tiếp các điểm
x   m
3 9
cực trị là: A (0;2); B ( m ; m 2  2);C ( m ; m 2  2); D  ;  . Gọi I(x;y) là tâm đường tròn (P)
5 5

 IA 2  ID 2 3x  y  1  0 x  0
 2 2  
 IB  IC  2x m  2x m  y  1
 IB 2  IA 2 (x  m )2  ( y  m 2  2)2  x 2  ( y  2)2   m  0(l )
    m  1(t / m )

Kết luận: m = 1
18 GIÁO DỤC HỒNG PHÚC - NƠI KHỞI ĐẦU ƯỚC MƠ