Cách giải hệ phương trình

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10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
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Heä phöông trình giaûi ñöôïc baèng 10 caùch

 x9  7 y 4 (1)
Baøi toaùn. Giaûi heä phöông trình  .
 y9  7x 4
 (2)
Giaûi
9  x  7
Ñieàu kieän :  .
9  y  7
Caùch 1:
Töø heä phöông trình ñaõ cho, ta suy ra x9  7 y  y9  7x
x9  7x  y9  7 y (*)

Xeùt haøm soá f t  t  9  7  t  9  t  7 ;
1 1
f ' t    0, t   9;7  .
2 t9 2 7t
Suy ra haøm soá f t   ñoàng bieán treân 9;7 .
Töø (*) ta coù f  x   f  y   x  y . Theá vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình
x  9  7  x  4  x  9  7  x  2 x  9 7  x  16   x2  2x  63  0
x  7  y  7
  x2  2x  63  0   .
 x  9  y  9
 x  9  x  7
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm  ; .
 y  9  y  7
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Caùch 2:
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình sau

   16
2
 x9  7 y 4  x9  7 y

 
 y  9  7  x   16
2

 y9  7x 4 


 x  9  7  y  2 x  9. 7  y  16 
 x  y  2 x  9. 7  y  0
 
 x  9  7  y  2 y  9. 7  x  16
  x  y  2 y  9. 7  x  0

2 x  9. 7  y  2 y  9. 7  x  7x  xy  63  9 y  7 y  xy  63  9x
 16x  16 y  x  y . Theá vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình
x  9  7  x  4  x  9  7  x  2 x  9 7  x  16   x2  2x  63  0
x  7  y  7
  x2  2x  63  0   .
 x  9  y  9
 x  9  x  7
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm  ; .
 y  9  y  7
Caùch 3:
Giaûi heä phöông trình ñaõ cho chuùng ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau :
TH1: Neáu x  y thì ta coù x9  y  9 vaø 7  y  7  x suy ra

 x9  7 y 4
x9  7 y  y  9  7  x maø  neân 4  4 (voâ lí).

 y  9  7  x  4
TH2: Neáu x  y thì ta coù x9  y  9 vaø 7  y  7  x suy ra
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 x9  7 y 4
x9  7 y  y  9  7  x maø  neân 4  4 (voâ lí).

 y  9  7  x  4
TH3: Neáu xy , theá vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình
x  9  7  x  4  x  9  7  x  2 x  9 7  x  16   x2  2x  63  0
x  7  y  7
  x2  2x  63  0   .
 x  9  y  9
 x  9  x  7
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm  ; .
 y  9  y  7
Caùch 4:
Töø heä phöông trình ñaõ cho ta coù  x  9  7  x    7  y  y  9   8 (*)
Ta coù :
 x  9  7  x   16  2. x  9. 7  x  16 suy ra x  9  7  x  4 (3);
2
   16  2. y  9. 7  y  16 suy ra y  9  7  y  4 (4).
2
y9  7 y
Töø (3) vaø (4) ta coù x9  7x  y  9  7  y  8.
Vaäy ñeå (*) xaûy ra thì ôû (3) vaø (4) phaûi ñaït daáu baèng.
  x  9

 x  9. 7  x  0  x  9  7  x   0  x  7
   .
 y  9. 7  y  0  y  9  7  y   0   y  9
 y  7

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Thay  x; y  bôûi  9; 9 ;  9;7 ; 7;7 ; 7; 9 vaøo heä phöông trình ñaõ cho ta coù
 x  9  x  7
nghieäm cuûa heä phöông trình laø  ; .
 y  9  y  7
Caùch 5:
Ñaët u  x9 0;v 7 y 0; z  y  9  0 ; t  7  x  0 . Ta thu ñöôïc heä
phöông trình :
u  v  4 (1)

z  t  4 (2)
 2
u  t  16 (3)
2
 z2  v2  16 (4)

Töø (1) vaø (2)  u  v  z  t (5) ;
Töø (3) vaø (4)  u2  t2  z2  v2  u2  v2  z2  t2
  u  v u  v   z  t  z  t  (6)
Töø (5) vaø (6) ta ñöôïc
u  v  z  t

   u  v u  v   z  t  u  v
 u  v u  v   z  t  z  t 

  u  v  u  v   z  t   0   u  v   z  t   0 (vì u  v  4  0 )
 u  z  v  t (7) .
Maët khaùc, töø (5)  u  v  z  t  u  z  t  v (8)
Töø (7) vaø (8)  u  z  v  t  t  v  v  t vaø u  z .
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 x9  y9
  x  y.

 7  x  7  y
Theá x  y vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình :
x  9  7  x  4  x  9  7  x  2 x  9 7  x  16   x2  2x  63  0
x  7  y  7
  x2  2x  63  0   .
 x  9  y  9
 x  9  x  7
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm  ; .
 y  9  y  7
Caùch 6:
Töø heä phöông trình ñaõ cho ta coù  x  9  7  x    7  y  y  9   8 (*)
Xeùt haøm soá f t   t  9  7  t , t   9;7 .
1 1 1 7t  t9
f ' t    . , t   9;7  ;
2 t9 2 7t 2 t  9. 7  t
f '  t   0  7  t  t  9  7  t  t  9  t  1   9;7  .
   
Ta coù f 9  4; f 7  4; f 1  4 2 .  
 M in f  t   f  9   f 7   4  f  x   f  y   4  4  8 . Do ñoù, (*) xaûy ra khi
9;7
 f  x  4

ta coù    x; y    9; 9  ; 7;7  ;  9;7  ; 7; 9  .

 f  y   4
      
Thay x; y bôûi 9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9 vaøo heä phöông trình ñaõ cho ta coù
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 x  9  x  7
nghieäm cuûa heä phöông trình laø  ; .
 y  9  y  7
Caùch 7:
Töø heä phöông trình ñaõ cho ta coù  x  9  7  x    7  y  y  9   8 (*)

Xeùt haøm soá f t  t  9  7  t , t   9;7 .
1 1 1 7t  t9
f ' t    . , t   9;7  ;
2 t9 2 7t 2 t  9. 7  t
f '  t   0  7  t  t  9  7  t  t  9  t  1   9;7  .
Baûng bieán thieân
x 9 1 7
f '  x + 0 -
f  x 4 2
4 4
Töø baûng bieán thieân ta suy ra M in f t  f 9  f 7  4 .
9;7
    
 f  x   f  y   2. M in f  t   2.4  8 . Do ñoù, (*) xaûy ra khi ta coù
9;7
 f  x  4
  x  9  7  x  4
     x; y    9; 9  ; 7;7  ;  9;7  ; 7; 9  .

 f  y   4  7  y  y  9  4
      
Thay x; y bôûi 9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9 vaøo heä phöông trình ñaõ cho ta coù
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 x  9  x  7
nghieäm cuûa heä phöông trình laø  ; .
 y  9  y  7
Caùch 8:

 x9  7 y 4 (1)
Xeùt heä phöông trình 
 y9  7x 4
 (2)
Ñaët x  m  y , (ñieàu kieän toàn taïi caên thöùc laø 7  x  m  0; x  m  9  0 ). Ta thu
ñöôïc heä phöông trình vôùi aån m vaø x laø :

 x9  7xm  4 
 x  9  7  x  m  2 x  9. 7  x  m  16
 
 xm9  7x  4
  x  m  9  7  x  2 x  m  9. 7  x  16


m  2 x  9. 7  x  m  0 (3)
 .
m  2 x  m  9. 7  x  0
 (4)
Töø (3) suy ra m  0  m  0 vaø töø (4) suy ra m  0 . Vaäy ñeå (3) vaø (4) ñoàng thôøi
xaûy ra thì ta phaûi coù m  0 .
Vaäy heä (3), (4) trôû thaønh

 x  9. 7  x  0 x  9  0  x  9
  x  9. 7  x  0    .
 x  9. 7  x  0
 7  x  0  x  7
Maø x  m  y vôùi m  0 neân x  y .
 x  9  x  7
Keát luaän: heä phöông trình ñaõ cho coù nghieäm laø  ; .
 y  9  y  7
Caùch 9:
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  x  1  8  8   y  1   4
 
 x9  7 y 4
Ta coù  

 y  9  7  x  4   y  1  8  8   x  1  4

Ñaët x  1  u; y  1  v . Ta thu ñöôïc heä phöông trình vôùi aån u vaø v laø :

 u8  8v  4
 .
 v8  8u  4

9  x  7 8  x  1  8 8  u  8
Do  neân  , suy ra  .
9  y  7 8  y  1  8 8  v  8
 
Ta laïi ñaët u  8 cos2a ; v  8 cos2b vôùi a, b  0;  . Ta thu ñöôïc heä phöông trình
 2
vôùi aån a vaø b laø :
 8  cos 2a  1  8 1  cos 2b  4
 
 8 cos 2a  8  8  8 cos 2b  4
 

 8 cos 2b  8  8  8 cos 2 a  4  8  cos 2b  1  8 1  cos 2a   4

   
 8 2 cos2 a  8 2 sin 2 b  4  
4 cos a  4 sin b  4
 
   
 8 2 cos2 b  8 2 sin 2 a  4 
4 cos b  4 sin a  4


 cos a  sin b  1
  cos a  sin b  cos b  sin a  2 . (*)

 cos b  sin a  1
Do cos a  cos2 a; sin b  sin2 b; cos b  cos2 b; sin a  sin2 a
neân cos a  sin b  cos b  sin a  cos a  sin b  cos b  sin a  2 .
2 2 2 2
Vaäy (*) xaûy ra khi ta coù :
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