Cách giải hệ phương trình
- 11 trang
- file .pdf
10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
www.MATHVN.com
Heä phöông trình giaûi ñöôïc baèng 10 caùch
x9 7 y 4 (1)
Baøi toaùn. Giaûi heä phöông trình .
y9 7x 4
(2)
Giaûi
9 x 7
Ñieàu kieän : .
9 y 7
Caùch 1:
Töø heä phöông trình ñaõ cho, ta suy ra x9 7 y y9 7x
x9 7x y9 7 y (*)
Xeùt haøm soá f t t 9 7 t 9 t 7 ;
1 1
f ' t 0, t 9;7 .
2 t9 2 7t
Suy ra haøm soá f t ñoàng bieán treân 9;7 .
Töø (*) ta coù f x f y x y . Theá vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình
x 9 7 x 4 x 9 7 x 2 x 9 7 x 16 x2 2x 63 0
x 7 y 7
x2 2x 63 0 .
x 9 y 9
x 9 x 7
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm ; .
y 9 y 7
[email protected] www.DeThiThuDaiHoc.com Page 1
10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
www.MATHVN.com
Caùch 2:
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình sau
16
2
x9 7 y 4 x9 7 y
y 9 7 x 16
2
y9 7x 4
x 9 7 y 2 x 9. 7 y 16
x y 2 x 9. 7 y 0
x 9 7 y 2 y 9. 7 x 16
x y 2 y 9. 7 x 0
2 x 9. 7 y 2 y 9. 7 x 7x xy 63 9 y 7 y xy 63 9x
16x 16 y x y . Theá vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình
x 9 7 x 4 x 9 7 x 2 x 9 7 x 16 x2 2x 63 0
x 7 y 7
x2 2x 63 0 .
x 9 y 9
x 9 x 7
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm ; .
y 9 y 7
Caùch 3:
Giaûi heä phöông trình ñaõ cho chuùng ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau :
TH1: Neáu x y thì ta coù x9 y 9 vaø 7 y 7 x suy ra
x9 7 y 4
x9 7 y y 9 7 x maø neân 4 4 (voâ lí).
y 9 7 x 4
TH2: Neáu x y thì ta coù x9 y 9 vaø 7 y 7 x suy ra
[email protected] www.DeThiThuDaiHoc.com Page 2
10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
www.MATHVN.com
x9 7 y 4
x9 7 y y 9 7 x maø neân 4 4 (voâ lí).
y 9 7 x 4
TH3: Neáu xy , theá vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình
x 9 7 x 4 x 9 7 x 2 x 9 7 x 16 x2 2x 63 0
x 7 y 7
x2 2x 63 0 .
x 9 y 9
x 9 x 7
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm ; .
y 9 y 7
Caùch 4:
Töø heä phöông trình ñaõ cho ta coù x 9 7 x 7 y y 9 8 (*)
Ta coù :
x 9 7 x 16 2. x 9. 7 x 16 suy ra x 9 7 x 4 (3);
2
16 2. y 9. 7 y 16 suy ra y 9 7 y 4 (4).
2
y9 7 y
Töø (3) vaø (4) ta coù x9 7x y 9 7 y 8.
Vaäy ñeå (*) xaûy ra thì ôû (3) vaø (4) phaûi ñaït daáu baèng.
x 9
x 9. 7 x 0 x 9 7 x 0 x 7
.
y 9. 7 y 0 y 9 7 y 0 y 9
y 7
[email protected] www.DeThiThuDaiHoc.com Page 3
10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
www.MATHVN.com
Thay x; y bôûi 9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9 vaøo heä phöông trình ñaõ cho ta coù
x 9 x 7
nghieäm cuûa heä phöông trình laø ; .
y 9 y 7
Caùch 5:
Ñaët u x9 0;v 7 y 0; z y 9 0 ; t 7 x 0 . Ta thu ñöôïc heä
phöông trình :
u v 4 (1)
z t 4 (2)
2
u t 16 (3)
2
z2 v2 16 (4)
Töø (1) vaø (2) u v z t (5) ;
Töø (3) vaø (4) u2 t2 z2 v2 u2 v2 z2 t2
u v u v z t z t (6)
Töø (5) vaø (6) ta ñöôïc
u v z t
u v u v z t u v
u v u v z t z t
u v u v z t 0 u v z t 0 (vì u v 4 0 )
u z v t (7) .
Maët khaùc, töø (5) u v z t u z t v (8)
Töø (7) vaø (8) u z v t t v v t vaø u z .
[email protected] www.DeThiThuDaiHoc.com Page 4
10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
www.MATHVN.com
x9 y9
x y.
7 x 7 y
Theá x y vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình :
x 9 7 x 4 x 9 7 x 2 x 9 7 x 16 x2 2x 63 0
x 7 y 7
x2 2x 63 0 .
x 9 y 9
x 9 x 7
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm ; .
y 9 y 7
Caùch 6:
Töø heä phöông trình ñaõ cho ta coù x 9 7 x 7 y y 9 8 (*)
Xeùt haøm soá f t t 9 7 t , t 9;7 .
1 1 1 7t t9
f ' t . , t 9;7 ;
2 t9 2 7t 2 t 9. 7 t
f ' t 0 7 t t 9 7 t t 9 t 1 9;7 .
Ta coù f 9 4; f 7 4; f 1 4 2 .
M in f t f 9 f 7 4 f x f y 4 4 8 . Do ñoù, (*) xaûy ra khi
9;7
f x 4
ta coù x; y 9; 9 ; 7;7 ; 9;7 ; 7; 9 .
f y 4
Thay x; y bôûi 9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9 vaøo heä phöông trình ñaõ cho ta coù
[email protected] www.DeThiThuDaiHoc.com Page 5
10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
www.MATHVN.com
x 9 x 7
nghieäm cuûa heä phöông trình laø ; .
y 9 y 7
Caùch 7:
Töø heä phöông trình ñaõ cho ta coù x 9 7 x 7 y y 9 8 (*)
Xeùt haøm soá f t t 9 7 t , t 9;7 .
1 1 1 7t t9
f ' t . , t 9;7 ;
2 t9 2 7t 2 t 9. 7 t
f ' t 0 7 t t 9 7 t t 9 t 1 9;7 .
Baûng bieán thieân
x 9 1 7
f ' x + 0 -
f x 4 2
4 4
Töø baûng bieán thieân ta suy ra M in f t f 9 f 7 4 .
9;7
f x f y 2. M in f t 2.4 8 . Do ñoù, (*) xaûy ra khi ta coù
9;7
f x 4
x 9 7 x 4
x; y 9; 9 ; 7;7 ; 9;7 ; 7; 9 .
f y 4 7 y y 9 4
Thay x; y bôûi 9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9 vaøo heä phöông trình ñaõ cho ta coù
[email protected] www.DeThiThuDaiHoc.com Page 6
10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
www.MATHVN.com
x 9 x 7
nghieäm cuûa heä phöông trình laø ; .
y 9 y 7
Caùch 8:
x9 7 y 4 (1)
Xeùt heä phöông trình
y9 7x 4
(2)
Ñaët x m y , (ñieàu kieän toàn taïi caên thöùc laø 7 x m 0; x m 9 0 ). Ta thu
ñöôïc heä phöông trình vôùi aån m vaø x laø :
x9 7xm 4
x 9 7 x m 2 x 9. 7 x m 16
xm9 7x 4
x m 9 7 x 2 x m 9. 7 x 16
m 2 x 9. 7 x m 0 (3)
.
m 2 x m 9. 7 x 0
(4)
Töø (3) suy ra m 0 m 0 vaø töø (4) suy ra m 0 . Vaäy ñeå (3) vaø (4) ñoàng thôøi
xaûy ra thì ta phaûi coù m 0 .
Vaäy heä (3), (4) trôû thaønh
x 9. 7 x 0 x 9 0 x 9
x 9. 7 x 0 .
x 9. 7 x 0
7 x 0 x 7
Maø x m y vôùi m 0 neân x y .
x 9 x 7
Keát luaän: heä phöông trình ñaõ cho coù nghieäm laø ; .
y 9 y 7
Caùch 9:
[email protected] www.DeThiThuDaiHoc.com Page 7
10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
www.MATHVN.com
x 1 8 8 y 1 4
x9 7 y 4
Ta coù
y 9 7 x 4 y 1 8 8 x 1 4
Ñaët x 1 u; y 1 v . Ta thu ñöôïc heä phöông trình vôùi aån u vaø v laø :
u8 8v 4
.
v8 8u 4
9 x 7 8 x 1 8 8 u 8
Do neân , suy ra .
9 y 7 8 y 1 8 8 v 8
Ta laïi ñaët u 8 cos2a ; v 8 cos2b vôùi a, b 0; . Ta thu ñöôïc heä phöông trình
2
vôùi aån a vaø b laø :
8 cos 2a 1 8 1 cos 2b 4
8 cos 2a 8 8 8 cos 2b 4
8 cos 2b 8 8 8 cos 2 a 4 8 cos 2b 1 8 1 cos 2a 4
8 2 cos2 a 8 2 sin 2 b 4
4 cos a 4 sin b 4
8 2 cos2 b 8 2 sin 2 a 4
4 cos b 4 sin a 4
cos a sin b 1
cos a sin b cos b sin a 2 . (*)
cos b sin a 1
Do cos a cos2 a; sin b sin2 b; cos b cos2 b; sin a sin2 a
neân cos a sin b cos b sin a cos a sin b cos b sin a 2 .
2 2 2 2
Vaäy (*) xaûy ra khi ta coù :
[email protected] www.DeThiThuDaiHoc.com Page 8
www.MATHVN.com
Heä phöông trình giaûi ñöôïc baèng 10 caùch
x9 7 y 4 (1)
Baøi toaùn. Giaûi heä phöông trình .
y9 7x 4
(2)
Giaûi
9 x 7
Ñieàu kieän : .
9 y 7
Caùch 1:
Töø heä phöông trình ñaõ cho, ta suy ra x9 7 y y9 7x
x9 7x y9 7 y (*)
Xeùt haøm soá f t t 9 7 t 9 t 7 ;
1 1
f ' t 0, t 9;7 .
2 t9 2 7t
Suy ra haøm soá f t ñoàng bieán treân 9;7 .
Töø (*) ta coù f x f y x y . Theá vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình
x 9 7 x 4 x 9 7 x 2 x 9 7 x 16 x2 2x 63 0
x 7 y 7
x2 2x 63 0 .
x 9 y 9
x 9 x 7
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm ; .
y 9 y 7
[email protected] www.DeThiThuDaiHoc.com Page 1
10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
www.MATHVN.com
Caùch 2:
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình sau
16
2
x9 7 y 4 x9 7 y
y 9 7 x 16
2
y9 7x 4
x 9 7 y 2 x 9. 7 y 16
x y 2 x 9. 7 y 0
x 9 7 y 2 y 9. 7 x 16
x y 2 y 9. 7 x 0
2 x 9. 7 y 2 y 9. 7 x 7x xy 63 9 y 7 y xy 63 9x
16x 16 y x y . Theá vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình
x 9 7 x 4 x 9 7 x 2 x 9 7 x 16 x2 2x 63 0
x 7 y 7
x2 2x 63 0 .
x 9 y 9
x 9 x 7
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm ; .
y 9 y 7
Caùch 3:
Giaûi heä phöông trình ñaõ cho chuùng ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau :
TH1: Neáu x y thì ta coù x9 y 9 vaø 7 y 7 x suy ra
x9 7 y 4
x9 7 y y 9 7 x maø neân 4 4 (voâ lí).
y 9 7 x 4
TH2: Neáu x y thì ta coù x9 y 9 vaø 7 y 7 x suy ra
[email protected] www.DeThiThuDaiHoc.com Page 2
10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
www.MATHVN.com
x9 7 y 4
x9 7 y y 9 7 x maø neân 4 4 (voâ lí).
y 9 7 x 4
TH3: Neáu xy , theá vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình
x 9 7 x 4 x 9 7 x 2 x 9 7 x 16 x2 2x 63 0
x 7 y 7
x2 2x 63 0 .
x 9 y 9
x 9 x 7
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm ; .
y 9 y 7
Caùch 4:
Töø heä phöông trình ñaõ cho ta coù x 9 7 x 7 y y 9 8 (*)
Ta coù :
x 9 7 x 16 2. x 9. 7 x 16 suy ra x 9 7 x 4 (3);
2
16 2. y 9. 7 y 16 suy ra y 9 7 y 4 (4).
2
y9 7 y
Töø (3) vaø (4) ta coù x9 7x y 9 7 y 8.
Vaäy ñeå (*) xaûy ra thì ôû (3) vaø (4) phaûi ñaït daáu baèng.
x 9
x 9. 7 x 0 x 9 7 x 0 x 7
.
y 9. 7 y 0 y 9 7 y 0 y 9
y 7
[email protected] www.DeThiThuDaiHoc.com Page 3
10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
www.MATHVN.com
Thay x; y bôûi 9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9 vaøo heä phöông trình ñaõ cho ta coù
x 9 x 7
nghieäm cuûa heä phöông trình laø ; .
y 9 y 7
Caùch 5:
Ñaët u x9 0;v 7 y 0; z y 9 0 ; t 7 x 0 . Ta thu ñöôïc heä
phöông trình :
u v 4 (1)
z t 4 (2)
2
u t 16 (3)
2
z2 v2 16 (4)
Töø (1) vaø (2) u v z t (5) ;
Töø (3) vaø (4) u2 t2 z2 v2 u2 v2 z2 t2
u v u v z t z t (6)
Töø (5) vaø (6) ta ñöôïc
u v z t
u v u v z t u v
u v u v z t z t
u v u v z t 0 u v z t 0 (vì u v 4 0 )
u z v t (7) .
Maët khaùc, töø (5) u v z t u z t v (8)
Töø (7) vaø (8) u z v t t v v t vaø u z .
[email protected] www.DeThiThuDaiHoc.com Page 4
10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
www.MATHVN.com
x9 y9
x y.
7 x 7 y
Theá x y vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình :
x 9 7 x 4 x 9 7 x 2 x 9 7 x 16 x2 2x 63 0
x 7 y 7
x2 2x 63 0 .
x 9 y 9
x 9 x 7
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm ; .
y 9 y 7
Caùch 6:
Töø heä phöông trình ñaõ cho ta coù x 9 7 x 7 y y 9 8 (*)
Xeùt haøm soá f t t 9 7 t , t 9;7 .
1 1 1 7t t9
f ' t . , t 9;7 ;
2 t9 2 7t 2 t 9. 7 t
f ' t 0 7 t t 9 7 t t 9 t 1 9;7 .
Ta coù f 9 4; f 7 4; f 1 4 2 .
M in f t f 9 f 7 4 f x f y 4 4 8 . Do ñoù, (*) xaûy ra khi
9;7
f x 4
ta coù x; y 9; 9 ; 7;7 ; 9;7 ; 7; 9 .
f y 4
Thay x; y bôûi 9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9 vaøo heä phöông trình ñaõ cho ta coù
[email protected] www.DeThiThuDaiHoc.com Page 5
10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
www.MATHVN.com
x 9 x 7
nghieäm cuûa heä phöông trình laø ; .
y 9 y 7
Caùch 7:
Töø heä phöông trình ñaõ cho ta coù x 9 7 x 7 y y 9 8 (*)
Xeùt haøm soá f t t 9 7 t , t 9;7 .
1 1 1 7t t9
f ' t . , t 9;7 ;
2 t9 2 7t 2 t 9. 7 t
f ' t 0 7 t t 9 7 t t 9 t 1 9;7 .
Baûng bieán thieân
x 9 1 7
f ' x + 0 -
f x 4 2
4 4
Töø baûng bieán thieân ta suy ra M in f t f 9 f 7 4 .
9;7
f x f y 2. M in f t 2.4 8 . Do ñoù, (*) xaûy ra khi ta coù
9;7
f x 4
x 9 7 x 4
x; y 9; 9 ; 7;7 ; 9;7 ; 7; 9 .
f y 4 7 y y 9 4
Thay x; y bôûi 9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9 vaøo heä phöông trình ñaõ cho ta coù
[email protected] www.DeThiThuDaiHoc.com Page 6
10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
www.MATHVN.com
x 9 x 7
nghieäm cuûa heä phöông trình laø ; .
y 9 y 7
Caùch 8:
x9 7 y 4 (1)
Xeùt heä phöông trình
y9 7x 4
(2)
Ñaët x m y , (ñieàu kieän toàn taïi caên thöùc laø 7 x m 0; x m 9 0 ). Ta thu
ñöôïc heä phöông trình vôùi aån m vaø x laø :
x9 7xm 4
x 9 7 x m 2 x 9. 7 x m 16
xm9 7x 4
x m 9 7 x 2 x m 9. 7 x 16
m 2 x 9. 7 x m 0 (3)
.
m 2 x m 9. 7 x 0
(4)
Töø (3) suy ra m 0 m 0 vaø töø (4) suy ra m 0 . Vaäy ñeå (3) vaø (4) ñoàng thôøi
xaûy ra thì ta phaûi coù m 0 .
Vaäy heä (3), (4) trôû thaønh
x 9. 7 x 0 x 9 0 x 9
x 9. 7 x 0 .
x 9. 7 x 0
7 x 0 x 7
Maø x m y vôùi m 0 neân x y .
x 9 x 7
Keát luaän: heä phöông trình ñaõ cho coù nghieäm laø ; .
y 9 y 7
Caùch 9:
[email protected] www.DeThiThuDaiHoc.com Page 7
10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh
www.MATHVN.com
x 1 8 8 y 1 4
x9 7 y 4
Ta coù
y 9 7 x 4 y 1 8 8 x 1 4
Ñaët x 1 u; y 1 v . Ta thu ñöôïc heä phöông trình vôùi aån u vaø v laø :
u8 8v 4
.
v8 8u 4
9 x 7 8 x 1 8 8 u 8
Do neân , suy ra .
9 y 7 8 y 1 8 8 v 8
Ta laïi ñaët u 8 cos2a ; v 8 cos2b vôùi a, b 0; . Ta thu ñöôïc heä phöông trình
2
vôùi aån a vaø b laø :
8 cos 2a 1 8 1 cos 2b 4
8 cos 2a 8 8 8 cos 2b 4
8 cos 2b 8 8 8 cos 2 a 4 8 cos 2b 1 8 1 cos 2a 4
8 2 cos2 a 8 2 sin 2 b 4
4 cos a 4 sin b 4
8 2 cos2 b 8 2 sin 2 a 4
4 cos b 4 sin a 4
cos a sin b 1
cos a sin b cos b sin a 2 . (*)
cos b sin a 1
Do cos a cos2 a; sin b sin2 b; cos b cos2 b; sin a sin2 a
neân cos a sin b cos b sin a cos a sin b cos b sin a 2 .
2 2 2 2
Vaäy (*) xaûy ra khi ta coù :
[email protected] www.DeThiThuDaiHoc.com Page 8