Các dạng toán hình học 11 chương 3

  • 11 trang
  • file .doc
Bài tập Hình học 11 chương III Trang 1
Chương III: QUAN HỆ VUÔNG GÓC
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh một đẳng thức vectơ.
 Döïa vaøo qui taéc caùc pheùp toaùn veà vectô vaø caùc heä thöùc
vectô.
+ Quy taéc 3 ñieåm: A, B, C tuøy yù. Ta coù: ;
+ Quy taéc trừ: O, A, B tuøy yù. Ta coù: ;
+ Qui taéc hình bình haønh: ABCD laø hình bình haønh
+ Qui tắc hình hộp: ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp
+ Neáu I laø trung ñieåm AB, M tuøy yù. Ta coù:
 hay vaø
+ Neáu G laø troïng taâm tam giaùc ABC, M tuøy yù. Ta coù:
hay vaø
+
1. Cho töù dieän ABCD. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD, I
laø trung ñieåm cuûa EF. CM
a) . b) , vôùi M tuyø
yù.
2. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm , O là trung điểm đoạn AG. CMR:
a) b)
3. Cho töù dieän ABCD .Goïi M,N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AD
vaø BC .G laø troïng taâm cuûa tam giaùc BCD. Chöùng minh raèng :
VẤN ĐỀ 2: Tích vô hướng và ứng dụng.
 Goùc giöõa hai vectô trong khoâng gian:
 Tích voâ höôùng cuûa hai vectô trong khoâng gian:
+ Cho . Tích vô hướng của 2 vectơ là:
+ Vôùi . Qui öôùc:
+
 Tính độ dài 1 đoạn thẳng:
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Tất cả các cạnh bên và cạnh đáy của hình
chóp = a. Tính các tích vô hướng:
a) b) c)
2. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều cạnh a. Chứng minh rằng AB
và CD vuông góc với nhau.
VẤN ĐỀ 3: Góc giữa hai đường thẳng.
Bài tập Hình học 11 chương III Trang 2
 Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau: góc giữa chúng bằng 00
 Hai đường thẳng vuông góc: góc giữa chúng bằng 900
 Nếu lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b và thì: góc giữa 2 đường
thẳng a, b bằng:
 Góc giữa 2 đường thẳng là góc giữa 2 đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với 2 đường
thẳng đó
1. Cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a . Tính góc giữa
a) 2 vectơ b) 2 đường thẳng AB và SC
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc.
 Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc ta thực hiện 1 trong các cách sau:
CM: góc giữa 2 đường thẳng đó bằng 900
CM: 2 VTCP của 2 đường thẳng đó vuông góc (tích vô hướng của 2 VTCP = 0)
CM:
CM:
Sử dụng định lý 2 đường vuông góc: với a’ là hình chiếu của a lên mặt
phẳng chứa b.
Sử dụng các tính chất của hình học phẳng: định lí Pitago, các hệ thức lượng trong tam giác,
tính chất trong hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi.
1’. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và . CMR: AB CD
1. Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. CMR: AC B’D’, AB’
CD’, AD’ B’C
2. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và . CMR: SA BC, SB AC, SC
AB
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông ở A và B, AD = 2AB = 2BC.
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh BI SC và CI SD.
4. Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC), AB = AC, I là trung điểm của BC, AH SI. Chứng minh:
a) BC AH. b) AH SB.
Bài tập Hình học 11 chương III Trang 3
VẤN ĐỀ 5: Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng.
 Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng ta thực hiện 1 trong các cách sau:
CM: đường thẳng đó vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng thì
CM: 2 đường thẳng song song, mặt phẳng nào vuông với đường thẳng này thì cũng vuông
với đường thẳng kia.
CM: 2 mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông với mặt phẳng này thì cũng vuông
với mặt phẳng kia.
CM: 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này
vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
CM: 2 mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với 1 mặt phẳng thứ 3thì giao tuyến của chúng
cũng vuông góc với mặt phẳng thứ 3.
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. CMR:
a) b)
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết rằng
SA = SC, SB = SD. CMR:
a) b) c)
3. Cho töù dieän SABC coù tam giaùc ABC vuoâng taïi B; SA  (ABC).
a) Chöùng minh: BC  (SAB).
b) Goïi AH laø ñöôøng cao cuûa SAB. Chöùng minh: AH  SC
4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, cạnh bên SA (ABC). Gọi I là trung điểm
của BC.
a) Chứng minh rằng: .
b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAI. Chứng minh rằng: .
5. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø hình thoi taâm O. Bieát: SA =
SC, SB = SD.
a) Chöùng minh: SO  (ABCD).
b) Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh BA, BC. CMR: IJ 
(SBD).
6. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD.
a) CMR:
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BA, BC. CMR:
7. Cho hình choùp SABCD coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a, maët beân SAB
laø tam giaùc ñeàu vaø SC = a . Goïi H vaø K laàn löôït laø trung ñieåm cuûa
caùc caïnh AB vaø AD. CMR:
a) SH  (ABCD). b) AC  SK vaø CK  SD.
8. Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD.Gọi M là trung điểm của CD, H là chân đường cao
kẻ từ A của tam giác AMB. Chứng minh rằng:
a) CD (AMB). b) AH (BCD).
9. Cho tứ diện ABCD có DA (ABC). Gọi H, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác
BCD. Chứng minh rằng:
a) HK (BCD). b) BD (CHK).
Bài tập Hình học 11 chương III Trang 4
10. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều. Gọi H, I lần lượt là trung
điểm của AB và CD, cho SC = , HK SI. Chứng minh rằng:
a) SH (ABCD). b) HK (SDC).
11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA (ABCD). Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của SB, SC. Chứng minh:
a) BD (SAC). b) MN (SAB).
12. Cho hình chóp S.ABC có SB (BCD). Gọi H là trực tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng:
a) DH (ABC). b) CH (ABD). c) CD (ABH).
13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh bên .
a) Chứng minh rằng: .
b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh rằng: .
14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bên
a) Chứng minh rằng: .
b) Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: .
15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD. CMR:
a) BC  (SAB), BD  (SAC). b) SC  (AHK). c) HK  (SAC).
16. Cho hình vuông ABCD. Gọi H, K là trung điểm AB, AD. Trên đường thẳng vuông góc với
mp(ABCD) tại H, lấy điểm S (khác H). Chứng minh:
a) AC (SHK). b) CK SD.
17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = , SA 
(ABCD).
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO (ABCD).
c) Tính góc giữa SC và (ABCD).
18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O và SA = SC = SB = SD = .
a) Chứng minh SO  (ABCD).
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IKSD
c) Tính góc giữa SB và (ABCD).
VẤN ĐỀ 6: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
 Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
+ Neáu đt  mp(P)  goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø mặt phẳng laø 90o.
+ Neáu đường thẳng khoâng vuoâng goùc vôùi mặt phẳng
Tìm hình chiếu vuông góc (hình chiếu) của đường thẳng đó lên mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên
mặt.
 Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng:
Điểm mặt phẳng ( ) hình chiếu của điểm là chính nó.
Điểm mặt phẳng ( ) từ điểm đó kẻ đường vuông góc với mặt: (
) hình chiếu của M là H
 Tìm hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng:
Tìm hình chiếu của 2 điểm thuộc đường thẳng đó lên mặt phẳng.
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a và vuông góc với
đáy. Tính góc giữa
a) SB và CD. (CD // AB) b) SC và mp(ABCD)
2. Cho Cho tứ diện SABC, , SA = a, , tam giác SBC cân tại S. Tính góc giữa:
a) SB và mp(ABC). b) SC và mp(ABC).
2’. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật, AB = SA = a, , Tính góc
giữa:
Bài tập Hình học 11 chương III Trang 5
a) SB và (ABCD). b) SD và (ABCD). c) SD và (SAB).
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là vuông ABCD tâm O cạnh a, , . Tính góc
giữa SC và mp(ABCD).
4. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a; SA 
(ABCD) vaø SA = a . Tính goùc giöõa:
a) SC vaø (ABCD) b) SC vaø (SAB)
c) SB vaø (SAC) d) AC vaø (SBC)
5. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang vuông tại A, SA  với đáy, AD = 2BC = 2AB = 2a,
SA = . Tính góc giữa:
a) Các cạnh bên của hình chóp với mặt đáy (ABCD).
b) SB, SC với mặt bên (SAD).
6. Cho lăng trụ ABC.A/B/C/, ABC là tam giác vuông cân, AB = BC = a; B /A = B/B = B/C = a. Tính
góc giữa B/B với mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (B/AC).
7. Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với AB và BC, tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B, cạnh
AB = a, AD = . Tính góc giữa:
a) DB và (ABC). b) CD và (ABD). c) AC và (ABD).
8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA với đáy, SA = a. Tính góc giữa:
a) Các cạnh bên và mặt đáy.
b) Cạnh SC và mặt bên (SAD).
c) Cạnh bên SB và mặt phẳng (SAC).
9. Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA = SB = SC = a và cùng tạo với đáy (ABC) các góc bằng
nhau, biết AB = AC = 2BC = a. Tính góc giữa:
a) SA và (ABC). b) SA và (SBC).
10. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Từ trung điểm H của AB kẻ đường thẳng d vuông góc với mặt
phẳng (ABC). Trên d lấy điểm S sao cho .Tính góc giữa:
a) SA với (ABC). b) SC với (ABC). c) SH với (SBC).
/ / / /
11. Cho hình hộp ABCD.A B C D có tất cả các cạnh đều bằng a, ; A/B = A/D = A/A.
Tính góc giữa A/A và A/C/ với mặt phẳng đáy.
VẤN ĐỀ 7: Góc giữa 2 mặt phẳng.
 Góc giữa 2 mặt phẳng: Muốn tìm góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) ta có thể sử dụng 1 trong
các cách sau:
 Tìm a  (P), b  (Q)  góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng vừa tìm.
 Tìm: (P)  (Q) = c và  góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường
thẳng vừa tìm.
1. Cho tứ diện ABCD có AD (BCD) và AB = a. Biết BCD là tam giác đều cạnh 2a. Tính góc giữa
hai mp(ACD) và (BCD).
2. Cho Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a và SA vuông
đáy. Tính góc giữa 2 mặt phẳng:
a) (SBD) và (ABCD) b) (SCD) và (ABCD).
3. Cho hình choùp SABC, coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng caân vôùi BA =
BC = a; SA  (ABC) vaø SA = a. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc
caïnh AB vaø AC. Tính góc giữa 2 mặt phẳng:
a) (SAC) và (SBC). b) (SEF) và (SBC).
4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB = a, BC = , SA = 2a và vuông
góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AB. Tính góc giữa 2 mặt phẳng:
Bài tập Hình học 11 chương III Trang 6
a) (ABC) và (SBC). b) (SCM) và (ABC).
VẤN ĐỀ 8: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc.
 Chöùng minh hai maët phaúng vuoâng goùc:
* Ñeå chöùng minh (P)  (Q), ta coù theå chöùng minh bôûi moät trong
caùc caùch sau:
 Chứng minh trong mặt phẳng này chứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia
 Chứng minh góc giữa 2 mặt phẳng bằng 900
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. CMR:
a) . b) .
2. Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác cân tại A. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông
góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của BC, dựng AH vuông góc với SM tại H. CMR:
a) b) . c) .
3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có AB = BC = a, cạnh bên
và SA = a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SB và AC. Chứng minh rằng:
a) . b) .
4. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi có SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng:
a) . b) .
5. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC. Gọi I là
trung điểm của BC, AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng ming rằng:
a) . b) .
6. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA (ABCD).
a) Chứng minh rằng: .
b) Gọi BE và DF là hai đường cao của . CMR:
7. Cho hình töù dieän ABCD coù hai maët ABC vaø ABD cuøng vuoâng goùc
vôùi ñaùy DBC. Veõ caùc ñöôøng cao BE, DF cuûa BCD, ñöôøng cao DK cuûa
ACD.
a) Chöùng minh: AB  (BCD).
b) Chöùng minh: 2 maët phaúng (ABE) vaø (DFK) cuøng vuoâng goùc vôùi
mp(ADC).
8. Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình vuoâng, SA  (ABCD).
a) Chöùng minh (SAC)  (SBD).
b) Goïi BE, DF laø hai ñöôøng cao cuûa SBD. CMR: (ACF)  (SBC), (AEF) 
(SAC).
9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = . SA = a và SA
vuông góc (ABCD) .
a) Chứng minh: (SBC)  (SAB) và (SCD)  (SAD)
b) Tính góc giữa (SCD) và (ABCD)
10. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = CD = a,
cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a .
a) Chứng minh: (SAD)  (SCD) và (SAC)  (SBC) .
b) Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) . Tính tan .
11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, và .
a) CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) CMR: (SAC) (SBD) .
c) Tính góc giữa SC và (ABCD), SC và (SAB).
d) Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).
Bài tập Hình học 11 chương III Trang 7
12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, và
. Gọi H là hình chiếu của S trên AC.
a) CMR: BD và .
b) CMR: AD .
c) CMR: (SAC) (SBD).
d) Tính sin của góc giữa SD và (SAC), côsin của góc giữa SC và (SBD).
13. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và . Hai
mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a .
a) CMR: BC mp(SAB).
b) CMR: CD .
c) Tính góc giữa SC và (ABCD), SC và (SAB), SD và (SAC).
d) Tính góc giữa mp(SBC) và mp(ABCD)
14. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, (SAB) (ABCD), AB = a, AD = .
a) CMR: SA (ABCD), (SAD) (SCD)
b) AH là đường cao. CMR: AH (SBC), (SBC) (AHC)
c) CMR: DH SB
d) Tính góc giữa (SAC) và (SAD)
15. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a, SA (ABCD)
a) CMR: (SAB) (SAD); (SBC) (SAB); (SCD) (SAD)
b) CMR: (SAC) (SBD)
c) Gọi AI, AJ là đường cao SAB, SAC. CMR: (SCD) (AI J)
d) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) & (ABCD), (SBD) & (ABCD)
16. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I, J là trung điểm AB, CD. Trên đường thẳng vuông góc
(ABCD) tại I lấy S.
a) CMR: BC (SAB), CD (SI J)
b) CMR: (SAD) (SBC), (SAB) (SI J)
c) Gọi M là trung điểm BC. CMR: (SIM) (SBD)
d) SI = a. Tính góc giữa (SCD) và (ABCD)
17. Cho h`chóp đều S.ABCD, O là tâm ABCD. Gọi I là trung điểm AB, cho SA = a, AB = a.
a) CMR: (SAC) (SBD), (SOI) (ABCD)
b) CMR: (SIO) (SCD)
c) Gọi OJ là đường cao SOI. CMR: OJ SB
d) Gọi BK là đường cao SBC. CMR: (SCD) (BDK)
e) Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy.
18. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O. Cho (SAB) (ABCD), (SAD) vuông
góc với (ABCD).
a) CMR: SA (ABCD), BD (SAC)
b) Gọi AH, AK là đường cao. CMR: AH BD, AK (SCD)
c) CMR: (SAC) (AHK)
d) Tính góc giữa (SAC) và (SCD) (biết SA = a)
19. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O. SA (ABCD), SA = a.
a) CMR: các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông
b) CMR: BD SC
c) Tính góc giữa SC & (ABCD); (SBD) & (ABCD)
d) Tính góc giữa (SCD) & (ABCD).
20. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác tại C và SB (ABC), biết AC = a , BC = a,
SB = 3a.
a) Chứng minh: AC (SBC)
b) Gọi BH là đường cao của tam giác SBC. Chứng minh: SA BH.
c) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC)
Bài tập Hình học 11 chương III Trang 8
21. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng . Gọi O là tâm của
hình vuông ABCD, M là trung điểm của SC.
a) Chứng minh: (MBD) (SAC)
b) Tính góc giữa SA và mp(ABCD) .
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).
d) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)
VAÁN ÑEÀ 8: Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau
* Phöông phaùp: Döïng ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa hai ñöôøng thaúng
cheùo nhau a vaø b.
Caùch 1: Giaû söû a  b:
 Döïng maët phaúng (P) chöùa b vaø vuoâng goùc vôùi a taïi A.
 Döïng AB  b taïi B
 AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa a vaø b.
Caùch 2: Söû duïng maët phaúng song song.
 Döïng maët phaúng (P) chöùa b vaø song song vôùi a.
 Choïn M  a, döïng MH  (P) taïi H.
 Töø H döïng ñöôøng thaúng a // a, caét b taïi B.
 Töø B döïng ñöôøng thaúng song song MH, caét a taïi A.
 AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa a vaø b.
Chuù yù: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)).
Caùch 3: Söû duïng maët phaúng vuoâng goùc.
 Döïng maët phaúng (P)  a taïi O.
 Döïng hình chieáu b cuûa b treân (P).
 Döïng OH  b taïi H.
 Töø H, döïng ñöôøng thaúng song song vôùi a, caét b taïi B.
 Töø B, döïng ñöôøng thaúng song song vôùi OH, caét a taïi A.
 AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa a vaø b.
Chuù yù: d(a,b) = AB = OH.
1.Cho hình töù dieän OABC, trong ñoù OA, OB, OC = a. Goïi I laø trung ñieåm
cuûa BC. Haõy döïng vaø tính ñoä daøi ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa
caùc caëp ñöôøng thaúng:
a) OA vaø BC. b) AI vaø OC. HD: a) b)
2.Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình vuoâng taâm O, caïnh a, SA 
(ABCD) vaø SA = a. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng:
a) SC vaø BD. b) AC vaø SD. HD: a) b)
3.Cho töù dieän SABC coù SA  (ABC). Goïi H, K laàn löôït laø tröïc taâm cuûa
caùc tam giaùc ABC vaø SBC.
a) Chöùng minh ba ñöôøng thaúng AH, SK, Bc ñoàng qui.
b) Chöùng minh SC  (BHK), HK  (SBC).
c) Xaùc ñònh ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa BC vaø SA.
HD: c) Goïi E = AH  BC. Ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa BC vaø SA laø
AE.