Các bài giảng về tổ hợp hai quy tắc đếm cơ bản

  • 6 trang
  • file .pdf
Hai quy tắc đếm cơ bản
A. Tóm tắt lý thuyết
* Quy tắc cộng (Hình 1): Giả sử để thực hiện công việc A , ta phải thực hiện một trong k công
việc: A1 , A 2 , ..., A k . Để thực hiện công việc A i có n i cách. Khi đó, để thực hiện công việc A ,
ta có
k
n   n i  n1  n 2    nk (cách).
i 1
Phương án A1
n1 cách
Phương án A2 n2 cách
. n1+n2+...+nk cách
Công việc A: .
.
Phương án Ak
nk cách
Hình 1: Quy tắc cộng
* Quy tắc nhân (Hình 2): Giả sử để thực hiện công việc A , ta phải lần lượt thực hiện k công
việc: A1 , A 2 , ..., A k . Để thực hiện công việc A i có n i cách. Khi đó, để thực hiện công việc A ,
ta có
k
n   n i  n1 .n2 . .nk (cách).
i 1
Công việc A1 Công việc A2 ... Công việc Ak
Công việc A:
n1 cách n2 cách nk cách
n1n2...nk cách
Hình 2: Quy tắc nhân
1
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số từ 0 đến
9.
Giải
Giả sử số cần lập là A  a1a 2 ...a5 . Để lập số A , ta phải lần lượt chọn a1 , a 2 , ..., a5 sao cho
a1  0 và a1 , a 2 , ..., a5 đôi một khác nhau.
+) a1  0  có 9 cách chọn a1 .
+) a 2 có thể bằng 0 , tuy nhiên a 2  a1  có 9 cách chọn a 2 .
+) lập luận hoàn toàn tương tự, ta có số cách chọn a 3 , a4 , a5 lần lượt là: 8 , 7 , 6 cách.
Vậy theo quy tắc nhân thì số cách lập số A là 9.9.8.7.6  27216 cách.
Ví dụ 2. Có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 5 từ các
chữ số từ 0 đến 9 .
Giải
Giả sử số cần lập là A  a1a 2 ...a5 . Để lập số A ta có hai phương án như sau:
+) Phương án 1: Chọn a1  5  a5  0 , số cách chọn a 2 , a 3 , a4 lần lượt là: 8 , 7 , 6 cách.
Do đó, theo quy tắc nhân thì phương án này có số cách thực hiện là: 8.7.6  336 cách  1 .
+) Phương án 2: Chọn a1  5  có 8 cách chọn a1 , 2 cách chọn a5 , cũng tương tự như
phương án 1 số cách chọn a 2 , a 3 , a4 lần lượt là: 8 , 7 , 6 cách.
Do đó, theo quy tắc nhân thì phương án này có số cách thực hiện là: 8.2.8.7.6  5376 cách  2  .
Từ  1 ,  2  , áp dụng quy tắc cộng ta có số cách lập số A là 336  5376  5712 cách.
Nhận xét: Việc lập số A trong Ví dụ 2 được chia thành hai phương án vì việc a1 có bằng 5
hay khác 5 có ảnh hưởng đến số cách chọn a5 .
Ví dụ 3. Có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số từ 0 đến
9 biết rằng số này có đúng hai chữ số 1 và các chữ số còn lại đôi một khác nhau.
Giải
Giả sử số cần lập là A  a1a 2 ...a5 . Để lập số A ta có hai phương án như sau (về cách chọn a1 ):
+) Phương án 1: a1  1  chọn thêm một vị trí nữa cho cho chữ số 1 có 4 cách, lần lượt chọn
chữ số cho ba vị còn lại có số cách lần lượt là: 9 , 8 , 7 cách.
Do đó, số cách lập số A theo phương án này là 1.4.9.8.7  2016 cách.
2
+) Phương án 2: a1  1  có 8 cách chọn a1 , có 6 cách chọn hai vị trí cho chữ số 1 , lần lượt
chọn chữ số cho hai vị còn lại có số cách lần lượt là: 8 , 7 cách.
Do đó, số cách lập số A theo phương án này là 8.6.8.7  2688 cách.
Vậy số cách lập số A là 2016  2688  4704 cách.
Ví dụ 4. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6
chữ số đôi một khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3 .
Giải
Giả sử số cần lập là A  a1a 2 ...a5 . Để lập số A ta có hai phương án như sau:
+) Phương án 1: xếp 2 và 3 vào hai vị trí đầu tiên có n1  2 cách ( a1  2 , a 2  3 hoặc ngược
lại). Lần lượt chọn chữ số cho các vị trí a 3 , a4 , a5 , a6  số cách chọn lần lượt là n 2  4 ,
n 3  3 , n4  2 , n5  1 .
+) Phương án 2: xếp 2 và 3 vào hai vị trí, tránh vị trí a1  có thể xếp 2 và 3 vào các vị trí:
a 2 và a 3 , a 3 và a4 , a 4 và a5 , a 5 và a6  số cách xếp 2 và 3 theo phương án này là:
m1  2.4  8 cách. Số cách chọn a1 là m 2  3 . Lần lượt chọn chữ số cho 3 vị trí còn lại  số
cách chọn lần lượt là m 3  3 , m4  2 , m5  1 .
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
n1n 2n 3n4n5  m1m 2m 3m 4m 5  2.4.3.2.1  8.3.3.2.1  192 .
Ví dụ 5. Có 6 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 6 , 5 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 5
và 4 quả cầu vàng được đánh số từ 1 đến 4 . Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 quả cầu vừa khác
mầu vừa khác số.
Giải
Để chọn được 3 quả cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta lần lượt làm như sau:
Bước 1: Chọn quả cầu vàng có n1  4 cách.
Bước 2: Chọn quả cầu đỏ: vì không được chọn quả cầu đỏ có số trùng với số của quả cầu vàng
đã chọn ở bước 1  số cách chọn quả cầu đỏ là n 2  4 .
Bước 3: Chọn quả cầu xanh: vì không được chọn quả cầu xanh có số trùng với số của các quả
cầu đã chọn ở bước 1 và bước  số cách chọn quả cầu đỏ là n 3  4 .
Vậy số cách chọn ra 3 quả cầu vừa khác mầu vừa khác số là: n1 .n 2 .n 3  64 .
3
C. Bài tập
Bài 1. Giả sử bạn muốn mua áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có
4 màu khác nhau. Hỏi
1) Có bao nhiêu sự lựa chọn một chiếc áo?
2) Có bao nhiêu sự lựa chọn hai chiếc áo khác cỡ?
Bài 2. Giả sử bạn muốn mua áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 4 màu là trắng, xanh, đỏ,
vàng; áo cỡ 40 có 3 màu là trắng, đỏ, tím. Hỏi
1) Có bao nhiêu sự lựa chọn một chiếc áo?
2) Có bao nhiêu sự lựa chọn hai chiếc áo khác cỡ?
3) Có bao nhiêu sự lựa chọn hai chiếc áo khác màu?
4) Có bao nhiêu sự lựa chọn hai chiếc áo khác cả cỡ và màu?
Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số sao cho 3 chữ số đầu tiên khác nhau và các chữ
số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau.
Bài 4. Từ cách chữ số 1 , 5 , 6 , 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
1) Có bốn chữ số.
2) Có bốn chữ số đôi một khác nhau.
Bài 5. Từ các chữ số 1 , 5 , 6 , 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 4000 có 4 chữ
số nếu
1) Các chữ số không nhất thiết khác nhau.
2) Các chữ số đôi một khác nhau.
Bài 6. Có bao nhiêu số có 3 chữ số được tạo thành từ các chữ số 2 , 3 , 4 , 5 , 6 nếu
1) Các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau.
2) Các chữ số của nó đôi một khác nhau.
3) Các chữ số của nó hoàn toàn giống nhau.
Bài 7. Từ cách chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
1) Có bốn chữ số.
2) Có bốn chữ cố đôi một khác nhau.
3) Có bốn chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5.
Bài 8. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng  2000;3000  có thể tạo nên bằng các chữ số 1 ,
2 , 3 , 4 , 5 , 6 nếu
1) Các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau.
2) Các chữ số của nó đôi một khác nhau.
4