Các bài giảng về tổ hợp công thức khai triển nhị thức newton

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn
PHẦN 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn
n
 a  b n   Ckn an  k bk , n   .
k 0
2. Tam giác Pa-xcan
n
Từ công thức ta thấy Ckn là hệ số của an  k bk trong khai triển  a  b  . Như vậy, với mỗi n   cố
định thì hệ số của các lũy thừa trong khai triển là Cn0 , C1n , …, Cnn . Ta xếp các hệ số của các lũy thừa
vào một bảng sao cho
n
+) dòng n là các hệ số của các lũy thừa trong khai triển  a  b  ,
+) cột k là hệ số của lũy thừa an  k bk ,
ta được một tam giác. Tam giác này được gọi là tam giác Pascal.
C00
C10 C11
C02 C12 C22
C03 C13 C23 C33 .
    
C0n  Ckn Ckn  1  C0n
C0n  1  Cnk  1 Cnk 11  Cnn  1 Cnn  11
       
Theo công thức Pa-xcan, ta nhận thấy trong tam giác Pa-xcan tổng hai phần tử liên tiếp ở hàng
trên bằng phần tử cùng cột với phần tử thứ hai ở hàng dưới ( Ckn  Ckn  1  Ckn 11 ). Hơn nữa, ta
thấy trong tam giác này, các phần tử nằm trên cột thứ nhất và trên cạch huyền bằng 1 . Từ các
nhận xét trên, ta có cách xác định nhanh các phần tử trong tam giác Pa-xcan.
1
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
5
Ví dụ. Xét khai triển  a  b  . Viết 6 dòng đầu tiên của tam giác Pa-xcan, ta có
1
1 1
1 2 1
.
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
5
Vậy  a  b   a5  5a4b  10a3b 2  10a 2b 5  5ab 4  a5 .
2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
PHẦN 2. CÁC LOẠI BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
Loại 1. Các đẳng thức suy ra trực tiếp từ công thức khai triển nhị
thức Niu-tơn
A. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau.
1) S1  Cn0  C1n  Cn2  ...  Cnn ,
n
2) S 2  Cn0  C1n  Cn2  ...   1 Cnn .
Giải
n n
n
1) Ta có S1   Cnk   Cnk 1n  k1k  1  1  2n .
k0 k 0
n n
k k n
2) Ta có S 2    1  Cnk   Cnk 1n  k  1  1   1   0n  0 .
k 0 k0
Nhận xét: Kết quả ở câu 1) nhận được từ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn khi cho
a  b  1 . Kết quả ở câu 2) nhận được khi cho a  1 , b  1 .
1 1 1 1
Ví dụ 2. Rút gọn S     .
0!2012! 1!2011! k !n  k  ! 2012!0!
Giải
2012
1
Ta có S  
k0
k !  2012  k  !
2012 2012
2012!
 2012!S     Ckn
k 0
k !  2012  k  ! k  0
2012
2012
  Ckn 12012  k 1k   1  1  22012 .
k0
3
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
22012
 S .
2012!
Ví dụ 3. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau:
2n  1
S1  C02n  C2n
2
 C42n  ...  C2n
2n
, S 2  C12n  C32n  C2n
5
 ...  C2n .
Giải
2n 2n
2n
Ta có S1  S 2   Ck2n   Ck2n 12n  k 1k   1  1  22n . 1
k 0 k 0
2n 2n
k k 2n
S1  S 2    1 Ck2n   Ck2n 12n  k  1  1   1   02n  0 .
k 0 k 0
 S1  S 2 .  2
2n
Từ  1  ,  2  suy ra S1  S 2  2  22n  1 .
2
Ví dụ 4. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn biểu thức
S  C02n  C12n  C22n  ...  Cn2n .
Giải
Áp dụng công thức Ckn  Cnn  k ta có
2n  1 2n  2
S  C2n
2n  C 2n  C 2n  ...  Cn2n  Cn2n  Cn2n1  Cn2n 2  ...  C2n
2n
2n 2n
2n
 2S   Ck2n   Ck2n 12n  k 1k   1  1  22n
k0 k 0
2n
 S 2  22n 1 .
2
Ví dụ 5. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau:
n
1) S1  Cn0  2C1n  22 Cn2  ...   1 2n Cnn .
2 n
2) S 2  1n Cn0  n21 C1n  n2 2 Cn2  ...   1 2n Cnn .
3 3 3
Giải
n n
k k n n
1) S1    2  Cnk   Cnk 1n  k  2   1   2     1 .
k0 k 0
4
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
n nk n n n

2) S 2   Cnk 1
3
 k
3   n

2    1   2     5   1  5 .
 3 3
k 0
5
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
B. Bài tập
Bài 1. Giải phương trình Cxx  1  Cxx  2  Cxx  3    Cxx  8  Cxx  9  Cxx 10  1023 .
Bài 2. Tính
k
S  42010.C02010  42009.C12010  42008.C22010     1 42010  k .Ck2010    C2010
2010 .
32004  1
Bài 3. Chứng minh C02004  22 C22004  24 C42004    22002 C2002
2004  2
2004 2004
C2004  .
2
2n 1
Bài 4. Tìm số nguyên dương n sao cho C12n  C2n
3 5
 C2n    C2n  2048 .
Bài 5. Rút gọn
1) S  2n Cn0  2n  2 Cn2  2n  4 Cn4    Cnn ( n là số nguyên dương chẵn).
2) S  2n 1 C1n  2n  3 Cn3  2n  3 C5n    Cnn ( n là số nguyên dương lẻ).
6
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
Loại 2. Các đẳng thức thu được nhờ biến đổi số hạng tổng quát
A. Nội dung phương pháp
Ta đặc biệt quan tâm đến một số biến đổi sau đây.
 n 1 !
* kCkn  k n!  n.  nCkn 11 .
k ! n  k  !  k  1 ! n 1   k 1  !
Tương tự ta cũng có k  k  1 Ckn  n  n  1 Ckn  22 , … .
k 1
Ck  n  1 ! Cn
* n  1 n!  1 .  1 .
k  1 k  1 k ! n  k  ! n  1  k  1 ! n  1   k  1  ! n 1
 
k2
Ckn Cn 2
Tương tự ta cũng có  ,….
 k  1 k  2   n  1 n  2 
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau:
2 3 n 2n n
1) S1  Cn0  C1n  2 Cn2  2 Cn3  ...   1 C .
3 4 n 1 n
n
2) S 2  n1.2 C2  n2.3 C3  n3.4 C4  ...   1  n  1 nCnn .
3 2 n 3 n 3 4 n 3
Giải
n
 2  k
1) S1   Cnk .
k 1
k 0
Với mọi k  0 , 1 , 2 , …, n , ta có
 n 1 !
1 Ck  1 . n!  1 .  1 Ck  1 .
k 1 n k  1 k ! n  k  ! n  1  k  1  !  n  1    k  1   ! n  1 n  1
 
n
k
 S1  1
n 1   2  Ckn 11
k 0
n 1
h 1
 1   2  Chn  1 ( h  k  1 )
n 1
h 1
n 1
h
  1
n 1   2 Chn  1
h 1
  n 1 h

  1    Chn  11n  1 h  2    1
n 1   
  h  0  
7
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
n 1
1   2   1
 
n 1
 1n  1
 .
n 1
  1 n  1
Vậy S1  .
n 1
n
  1 k k  k  1 
2) S 2   Cnk .
k2 3n  k
Với mọi k  2 , 3 , 4 , …, n ta có:
n 2!
k  k  1 Ckn  k  k  1 . n!

 n n1 .   n n  1 Ckn  22
  .
k ! n  k  !  k  2  !  n  2    n  k   !
 
8
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
C. Bài tập
Bài 6. Tính
2009  k
1) S  C02010C2010
2009
 C12010C2009
2008
   Ck2010C2010 2009 0
 k    C2010C1 .
2 2 2
2) [ĐHB2003] Cn0  2 1 C1n  2 1 Cn2    2 1 Cnn .
2 3 n 1
Bài 7. Với n là số nguyên dương, rút gọn
1) S  C1n  2Cn2     n  1 Cnn 1  nCnn .
2) S  Cn0  2C1n    nCnn 1   n  1 Cnn .
n
3) S  2.1Cn2  3.2Cn3    n  n  1  1 Cnn .
4) S  3.2C0n  4.3C1n    n  3  n  2  Cnn .
C1 C2 Cn
5) S  Cn0  n  n   n .
2 3 n1
C1 C2 Cn
6) S  2n Cn0  2n 1 n  2n  2 n    n .
2 3 n1
Bài 8. Chứng minh
2001 k
1) C02002C2002
2001
 C12002C2001
2000
   Ck2002C2002 2001 0
 k    C2002 C1  1001.2
2002
.
2) C1n 3n  1  2Cn2 3n  2  3Cn3 3n  3    nCnn  n4n  1 ( n nguyên dương).
3) C02n  2C12n  3C2n
2
 4C32n  ...   2n  1 C2n
2n  0 ( n nguyên dương).
2n 1
C12n C2n
3
C52n C2n 22n  1
4) [ĐHA07]    ...   ( n nguyên dương).
2 4 6 2n 2n  1
C02n C12n C2n
2
Cn2n 22n  1  1
5)    ...   ( n nguyên dương).
3 6 9 3n  3 3n  3
Bài 9. [ĐHA05] Tìm số nguyên dương n sao cho
2n  1
C12n  1  2.2C22n 1  3.22 C32n  1  4.23 C42n  1  ...   2n  1 .22n C2n  1  2005 . ĐS: 1002 .
9
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
Loại 3. Các bài toán về hệ số của lũy thừa trong khai triển
A. Một số ví dụ
7
 
Ví dụ 1. [ĐHD04] Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  3 x  1  , với x  0 .
4x
 
Giải
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có
7 7  k
 
7 k  7  28  7k 
3 


x  1
4x 

  
k  0 
Ck
7
3
x   1
4     

 x   k  0 
Ck
7 x 12  .


28  7k
 hệ số của x 12 trong khai triển là Ck7 .
Ta có 28  7k  0  k  4  số hạng không chứa x trong khai triển là C47  35 .
12
Ví dụ 2. [ĐHA12] Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn 1  Cn3 . Tìm số hạng chứa x5
n
 2 1
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của  nx   , x  0.
 14 x 
Giải
n  n 1 n  2 
* Ta có 5Cnn 1  Cn3  5n 
6
 n 1 n  2 
 5 (do n nguyên dương)
6
 n 2  3n  28  0
 n  7  thoûa maõn 
  .
 n  4  loaïi 
7 7  k 7 k  7   17  k Ck 
 2   2
* n  7   x2  x1    Ck7  x2  x1
   
    
 k  0  2k
7 x3k  7  .

k  0 
3k  7  17  k Ck7
 hệ số của x trong khai triển là .
2k
 13 C47
Ta 3k  7  5  k  4  hệ số của x5 trong khai triển là 35
  16
24 .
10
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển là  35 x5 .
16
Ví dụ 3. [ĐHD07] Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của
5 10
P  x  1  2x   x 2  1  3x  .
Giải
Hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của P là tổng các hệ số của x5 trong các khai triển
5 10
P1  x  1  2x  và P2  x 2 1  3x  .
5
Hệ số của x5 trong khai triển P1 là hệ số của x4 trong khai triển  1  2x  .
10
Hệ số của x5 trong khai triển P2 là hệ số của x 3 trong khai triển  1  3x  .
Áp dung công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có :
k k
 1  2x 5   Ck5 15 k  2x k      2 k Ck5 xk 
k 0 k 0
4
 hệ số của x4 trong khai triển này là  2  C45  80  1  .
10 10
10
 1  3x    Ck5 15  k  3x     3k C10
k0

k

k k
k 0
x  
 hệ số của x 3 trong khai triển này là 33 C10
3
 3240  1  .
Từ  1  ,  2  suy ra hệ số của x5 trong khai triển P là 80  3240  3320 .
8
Ví dụ 4. [ĐHA04] Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của 1  x 2  1  x   .
 
11
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
Giải
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có
8 8 k 8
1  x 2  1  x     Ck 18  k  x 2  1  x      Ck x 2k  1  x k   1  .
  8     8 
k 0 k 0
k
Trong khai triển Pk  x 2k  1  x  lũy thừa bậc thấp nhất và bậc cao nhất lần lượt là x 2k và
x 3k . Do đó muốn trong khai triển Pk có chứa x8 thì 2k  8  3k  8  k  4  k   3;4 .
3
3
 
+) P3  x6  1  x   x6 1  3x  3x2  x 3  x6  3x7  3x 8  x9
 hệ số của x8 trong khai triển P3 là 3 .
4
 
+) P4  x8  1  x   x8 1  4x  6x2  4x3  x4  x8  4x9  6x10  4x11  x12 .
 hệ số của x8 trong khai triển P4 là 1 .
Vậy hệ số của x8 trong khai triển ban đầu là 3C38  C48  238 .
9
Ví dụ 5. Tìm lũy thừa có hệ số lớn nhất của đa thức  3x  2  .
Giải
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có
9 9
 3x  2 9   Ck9  3x k 29  k     3k .29  k .Ck9 xk  .
k0 k 0
 hệ số của xk trong khai triển là ak  3k .29  k .Ck9 ( k  0,1, ..., 9 ).
a
Với mọi k  0,1, ..., 8 , xét tỷ số T  k 1 .
ak
3k  1.28  k .Ck
9
1
k ! 9  k  ! 3 9  k 
Ta có T   3. 9! .  .
3k .29  k .Ck 2  k 1 ! 8  k  ! 9! 2 k  1
9
3 9  k 
T1   1  k  5  k  0;1;2;3;4;5 , dấu bằng xảy ra  k  5 .
2 k  1 
Từ đó suy ra: a0  a1  a 2  a 3  a4  a5  a6  a7  a8  a9 .
Vậy các lũy thừa số hệ số lớn nhất trong khai triển là x5 và x6 .
n
Ví dụ 6. Tìm n để đa thức  x  2  chỉ có một lũy thừa hệ có hệ số lớn nhất là x10 .
Giải
12