Bài toán tương giao của đồ thị hàm số
- 12 trang
- file .pdf
Tương giao của đồ thị các hàm số
TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Bài toán tương giao tổng quát
Cho 2 đồ thị với các hàm số tương ứng: ( C1 ) : y = f ( x, m ) ; ( C 2 ) : y = g ( x, m ) .
Giao điểm của hai đồ thị (C1), (C2) có hoành độ là nghiệm của phương trình
tương giao: f ( x, m ) = g ( x, m )
2. Bài toán cơ bản
Cho đồ thị ( C ) : y = f ( x, m ) và trục hoành Ox: y = 0
Giao điểm của hai đồ thị có hoành độ là nghiệm của phương trình f ( x, m ) = 0
3. Các phương pháp chung
Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỉ
Xét phương trình: ƒ(x) = anxn + an − 1 xn − 1 +... + a1x + a0 = 0
p
Nếu x = ∈ ; ( p , q ) = 1 là nghiệm của ƒ(x) thì q | a n và p | a 0
q
Phương pháp hàm số (Sử dụng khi tham số là bậc 1)
y = g ( x)
Chuyển phương trình tương giao: f ( x, m ) = 0 ⇔ g ( x) = m ⇔
y = m
II. CÁC DẠNG TƯƠNG GIAO TỔNG QUÁT CỦA HÀM BẬC 3 VỚI Ox
1. Các phương pháp xét tương giao
Bài toán: Xét tương giao của đồ thị hàm bậc 3 ( C ) : y = f ( x, m ) với Ox: y = 0
1.1 Phương pháp nhẩm nghiệm cố định:
f ( x, m ) = ( x − p ) ( a ( m ) x 2 + u ( m ) x + v ( m ) ) .
1.2 Phương pháp nhẩm nghiệm chứa tham số:
f ( x, m ) = [ x − ϕ ( m ) ] ( a ( m ) x 2 + u ( m ) x + v ( m ) )
1.3 Phương pháp hình dạng đồ thị và vị trí cực trị của hàm số ( C ) : y = f ( x, m )
y = g ( x)
1.4 Phương pháp hàm số f ( x, m ) = 0 ⇔ g ( x) = m ⇔
y = m
87
Chương I. Hàm số – Trần Phương
2. Bảng tổng kết các bài toán tương giao đồ thị hàm bậc 3
Hình dạng đồ thị f ′ ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c f ( x) = ( x − p) g ( x)
a>0
∆ ′ = b 2 − 3ac ≤ 0 ∆ g < 0
x
1 nghiệm
(1 giao
x1 x2 x
∆ ′ = b 2 − 3ac > 0 ∆ = 0
x1 x2 g
điểm)
x
x f CT . f CÐ > 0 g ( p ) = 0
a<0
a>0 ∆ g > 0
2 nghiệm x1 x2 x ∆ ′ = b 2 − 3ac > 0 g ( p ) = 0
(2 giao
điểm) f CT . f CÐ = 0 ∆ = 0
g
x1 x2
g p ≠ 0
x
a<0 ( )
a>0
x1 x2
x1 x2 x3 x
3 nghiệm ∆ ′ = b 2 − 3ac > 0 ∆ g > 0
(3 giao
điểm) f CT . f CÐ < 0 g ( p ) ≠ 0
x1 x2 x3
x1 x2 x
a<0
∆ g > 0
a>0 x2 x2
∆ ′ = b 2 − 3ac > 0
α x1 x1 x3 x
g ( p) ≠ 0
f CT . f CÐ < 0
α < x1 < α < p
a. f ( α ) < 0
x2 < x3 a. f ′ ( α ) > 0 a.g ( α ) > 0
α x1 x1 x3 −b
a<0 x2 x2 x α < 3a α < S g
2
∆ g > 0
∆ ′ = b 2 − 3ac > 0
a>0 g ( p) ≠ 0
x1 x2 x3 f CT . f CÐ < 0
x1 x2 α
x1 < x2
x
α > p
a. f ( α ) > 0
< x 3< α
x1 x2 α a. f ′ ( α ) > 0 a.g ( α ) > 0
x1 x2 x3 x
a<0
−b
α > 3a α > S g
2
88
Tương giao của đồ thị các hàm số
∆ g > 0
a>0 ∆ ′ = b 2 − 3ac > 0 p < α
x1 x2 x2
x1 α x3 x f CT . f CÐ < 0 a.g ( α ) > 0
x1 < α <
a. f ( α ) > 0 Sg
α <
x2 < x3 2
a. f ′ α ≤ 0
( )
x1 α x3
p > α
x1 x2 −b a.g ( α ) < 0
α ≤ 3a
x2 x
a<0 g p ≠ 0
( )
∆ g > 0
a>0 ∆ ′ = b 2 − 3ac > 0 p > α
x1 α x2
x3 x
x1 x2 f CT . f CÐ < 0 a.g ( α ) > 0
x1 < x2
a. f ( α ) < 0 Sg
α >
< α < x3 2
a. f ′ ( α ) ≤ 0 p < α
x1 x2 x3
a.g ( α ) < 0
a<0 x1 α x2 x
α ≥ −b
3a g p ≠ 0
( )
3. Các bài tập mẫu minh họa
Bài 1. Tìm m để đồ thị (C m): y = x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 2 ( m 2 + 4m + 1) x − 4m ( m + 1)
cắt Ox tại x1 , x 2 , x 3 phân biệt và > 1
Giải: Xét PT: x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 2 ( m 2 + 4m + 1) x − 4m ( m + 1) = 0
⇔ ( x − 2 ) [ x 2 − ( 3m + 1) x + 2m ( m + 1)] = 0 ⇔ ( x − 2 ) ( x − 2m ) [ x − ( m + 1)] = 0
2 ≠ 2m ≠ m + 1 ≠ 2
ycbt ⇔ ⇔ 1 < m ≠1
2m > 1; m + 1 > 1 2
Bài 2. Tìm m để đồ thị (C m): y = x 3 − 2mx 2 + ( 2m 2 − 1) x + m (1 − m 2 )
cắt Ox tại x1 , x 2 , x 3 phân biệt và > 0
Giải: Xét PT: x 3 − 2mx 2 + ( 2m 2 − 1) x + m (1 − m 2 ) = 0
⇔ ( x − m ) [ x 2 − mx + m 2 − 1] = 0 ⇔ x = m ∨ g ( x ) = x 2 − mx + m 2 − 1 = 0
Yêu cầu bài toán ⇔ m > 0 và g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt > 0 và khác m.
∆ = 4 − 3m 2 > 0; g ( m ) = m 2 − 1 ≠ 0 m > 0
⇔ ⇔ 2
2 < 2
< 4 ⇔1< m < 3
S = m > 0 ; P = m − 1 > 0 1 m
3
89
Chương I. Hàm số – Trần Phương
3 3
Bài 3. CMR: (C): y = ( x + a ) + ( x + b ) − x 3 luôn cắt Ox tại đúng 1 điểm.
3 3
Giải: f ( x ) = ( x + a ) + ( x + b ) − x 3 = x 3 + 3 ( a + b ) x 2 + 3 ( a 2 + b 2 ) x + ( a 3 + b 3 )
y ′ = 3x 2 + 6 ( a + b ) x + 3 ( a 2 + b 2 ) = 0 ⇔ g ( x ) = x 2 + 2 ( a + b ) x + ( a 2 + b 2 ) = 0
• Nếu ∆ ′g = ab ≤ 0 thì y = f (x) không có cực trị nên (C) cắt Ox tại 1 điểm.
• Nếu ab > 0 thì g(x) = 0 hay ƒ′(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 đồng thời
hàm số đạt cực trị tại x 1, x2. Thực hiện phép chia ƒ(x) cho g(x) ta có:
f ( x ) = [ x + ( a + b )] .g ( x ) − ab [ 4 x + ( a + b )] .
Do g ( x1 ) = g ( x2 ) = 0 nên f ( x1 ) = −ab 4 x1 + ( a + b ) ; f ( x2 ) = −ab 4 x2 + ( a + b )
⇒ f C Ð . f CT = f ( x1 ) . f ( x 2 ) = a 2 b 2 4 x1 + ( a + b ) 4 x 2 + ( a + b )
= a 2 b 2 16 ( a 2 + b 2 ) − 8 ( a + b ) + ( a + b ) = a 2 b 2 9 ( a − b ) + 4ab > 0 , ∀ab > 0
2 2 2
⇒ (C): y = f (x) luôn cắt Ox tại đúng 1 điểm.
Bài 4. Tìm m để (C m): y = f ( x ) = x 3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x + (1 − m 2 ) cắt Ox tại
x1 , x 2 , x 3 phân biệt và > 0
Giải: Yêu cầu bài toán ⇔ Đồ thị (C m) có dạng như hình vẽ sau:
f ′ ( x ) = 0 cã nghiÖm x1 < x 2 (1)
y
f . f = f ( x ) . f ( x ) < 0 ( 2)
C Ð CT 1 2
x2 x2 x3
⇔ (*)
x1 = x CÐ > 0 ( 3 ) O x1 x1 x
f (0) < 0 ( 4)
• Xét (1): f ′ ( x ) = 3 ( x 2 − 2mx + m 2 − 1) = 0 ⇔ g ( x ) = x 2 − 2mx + m 2 − 1 = 0
⇔ x = x1 = m − 1 ; x = x2 = m + 1
• Xét (2): Thực hiện phéo chia ƒ(x) cho g(x) ta có:
f ( x ) = ( x − m ) g ( x ) − 2 x + ( m 2 − 1) ( m − 1) . Do g ( x1 ) = g ( x 2 ) = 0 nên
f ( x1 ) = −2 x1 + ( m 2 − 1) ( m − 1) ; f ( x2 ) = −2 x 2 + ( m 2 − 1) ( m − 1)
⇒ f C Ð . f CT = f ( x1 ) . f ( x2 ) = 4 x1 x2 − ( m 2 − 1) ( m − 1) 2 ( x1 + x2 ) − ( m 2 − 1) ( m − 1)
90
Tương giao của đồ thị các hàm số
= 4 ( m 2 − 1) − ( m 2 − 1) ( m − 1) 4m − ( m 2 − 1) ( m − 1) = ( m 2 − 1)( m 2 − 3)( m 2 − 2m − 1)
• Xét (3), (4): x1 = m − 1 > 0 ⇔ m > 1 ; f ( 0 ) = 1 − m 2 < 0 ⇔ m 2 > 1 . Hệ (*) ⇔
( m 2 − 1) ( m 2 − 3) ( m 2 − 2m − 1) < 0 ( m 2 − 3) [ m 2 − 2m − 1] < 0
⇔ ⇔ 3 < m < 1+ 2
m − 1 > 0 m − 1 > 0
Bài 5. Tìm m để đồ thị ( C m ) : y = f ( x ) = x 3 − 3x 2 + 3 (1 − m ) x + 1 + 3m
cắt Ox tại x1 < 1 < x 2 < x 3
Giải: Xét phương trình: f ( x ) = 0 ⇔ x 3 − 3x 2 + 3 x + 1 = 3m ( x − 1) (*)
3 2 2 ( x − 2 ) ( x 2 − x + 1)
⇔ g ( x ) = x − 3 x + 3x + 1 = m . Ta có: g ′ ( x ) =
3 ( x − 1) 3 ( x − 1)
2
g ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 2 ⇒ Bảng biến thiên x −∞ 1 2 +∞
Nghiệm của phương trình ƒ(x) = 0 là f′ − − 0 +
+∞ +∞ +∞
hoành độ giao điểm của đường thẳng
y = m với (L): y = g(x). f 3
Nhìn bảng biến thiên ta có: −∞
Đồ thị ( C m ) cắt Ox tại x1 < 1 < x 2 < x 3 ⇔ 3m > 3 ⇔ m > 1
Bài 6. Tìm m để đồ thị ( C m ) : y = f ( x ) = x 3 − x 2 + 18mx − 2m
cắt Ox tại x1 < 0 < x2 < x3 phân biệt
Giải: Xét f ( x ) = x3 − x 2 + 18mx − 2m = 0 ⇔ 2m ( 9x − 1) = − x3 + x 2 (*)
2
3 2
−2 x ( 3 x − 1)
⇔ g ( x ) = − x + x = 2m . Ta có: g ′ ( x ) = ⇒ Bảng biến thiên
9x − 1 ( 9 x − 1) 2
Nghiệm của phương trình ƒ(x) = 0 x −∞ 0 1 1
+∞
9 3
là hoành độ giao điểm của đường f′ + 0 − 0
thẳng y = 2m với (L): y = g(x). +∞
f 0
Nhìn bảng biến thiên suy ra:
−∞ −∞ −∞
ƒ(x) = 0 có nghiệm thoả mãn
x1 < 0 < x2 < x3 ⇔ 2m < 0 ⇔ m < 0.
91
Chương I. Hàm số – Trần Phương
4. Tương giao hàm bậc 3 với Ox có hoành độ tạo thành cấp số
Bài toán gốc 1: Tìm điều kiện tham số để (C): y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) cắt
Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.
Điều kiện cần: Giả sử (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt là ÷ x 1, x2, x3 khi đó:
ax 3 + bx 2 + cx + d = a ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x3 ) ∀x
⇔ ax 3 + bx 2 + cx + d = a x 3 − ( x1 + x2 + x3 ) x 2 + ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) x − x1 x2 x3 ∀x
Đồng nhất hệ số bậc 2 ở 2 vế suy ra:
b = −a ( x1 + x2 + x3 ) = −a ( x1 + x3 ) + x 2 = −3ax2 ⇒ x2 = −b
3a
Thế x2 = −b vào f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ⇒ điều kiện ràng buộc về tham số
3a
hoặc điều kiện của tham số
Điều kiện đủ: Thử giá trị của tham số kiểm tra ƒ(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Kết luận: Từ điều kiện cần và điều kiện đủ suy ra đáp số.
Chú ý: Theo qui ước 1 cấp số cộng được hiểu phải có công sai khác 0 nên nếu
không cho cụ thể yêu cầu 3 điểm phân biệt thì ta vẫn phải hiểu luôn có ràng
buộc 3 điểm phân biệt trong dạng toán trên.
Bài toán gốc 2: Tìm điều kiện tham số để (C): y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( ad ≠ 0 ) cắt
Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số nhân.
Điều kiện cần: Giả sử (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt là cấp số nhân x1, x 2, x3,
khi đó: ax 3 + bx 2 + cx + d = a ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x3 ) ∀x
⇔ ax 3 + bx 2 + cx + d = a x 3 − ( x1 + x2 + x3 ) x 2 + ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) x − x1 x2 x3 ∀x
Suy ra: d = − x1 x2 x3 = −ax 23 ⇒ x2 = 3 −d .
a
Thế x2 = 3 −d vào phương trình f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d = 0
a
ta được các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc điều kiện của tham số
Điều kiện đủ: Thử giá trị của tham số kiểm tra ƒ(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Kết luận: Từ điều kiện cần và điều kiện đủ suy ra đáp số.
92
Tương giao của đồ thị các hàm số
2
Hệ quả: Nếu a =1 thì x2 = −d , khi đó: f ( x2 ) = 0 ⇔ b ( 3 − d ) + c ⋅ 3 − d = 0
3
⇔ c ⋅ 3 − d = = −b ⋅ 3 d 2 ⇔ −c 3 d = −b 3 d 2 ⇔ c 3 = b 3 d
Bài tập áp dụng 1: Tìm m để (C m):
y = f ( x ) = x 3 − 3mx 2 + 2m ( m − 4 ) x + 9m 2 − m cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.
Điều kiện cần: Giả sử (C m) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt là ÷ x1, x2, x3 khi đó:
x 3 − 3mx 2 + 2m ( m − 4 ) x + 9m 2 − m = ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x3 ) ∀x
⇔ x 3 − 3mx 2 + 2m ( m − 4 ) x + 9m 2 − m
= x 3 − ( x1 + x2 + x3 ) x 2 + ( x1 x2 + x 2 x3 + x3 x1 ) x − x1 x 2 x3 ∀x
⇒ 3m = x1 + x2 + x3 = ( x1 + x3 ) + x2 = 3x2 ⇒ x2 = m . Thế x2 = m vào f ( x ) = 0 ⇒
m 2 − m = 0 ⇔ m = 0 hoÆc m = 1
Điều kiện đủ: Với m = 0 thì f ( x ) = x 3 = 0 ⇔ x = 0 (loại)
Với m = 1 thì f ( x ) = x 3 − 3x 2 − 6 x + 8 = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 − 2 x − 8 ) = 0
⇔ ( x + 2 ) ( x − 1) ( x − 4 ) = 0 ⇔ ÷ x1 = −2; x2 = 1; x3 = 4
Kết luận: (C m) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành 1 cấp số cộng ⇔ m = 1.
Bài tập áp dụng 2 : Tìm m để (Cm): y = f ( x) = x3 − ( 3m + 1) x2 + ( 5m + 4) x − 8 cắt Ox tại 3
điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số nhân.
Điều kiện cần: Giả sử (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt là cấp số nhân x1, x 2, x3,
khi đó: x 3 − ( 3m + 1) x 2 + ( 5m + 4 ) x − 8 = ( x − x1 )( x − x 2 ) ( x − x3 ) ∀x
⇔ x 3 − ( 3m + 1) x 2 + ( 5m + 4 ) x − 8 = x 3 − ( x1 + x2 + x3 ) x 2 + ( ∑ x x ) x − x x x ∀x
i j 1 2 3
Suy ra: 8 = x1 x 2 x3 = x23 ⇒ x2 = 2 .
Thế x2 = 2 vào phương trình f ( x ) = 0 ⇒ 2 ( 2 − m ) = 0 ⇔ m = 2
Điều kiện đủ: Với m = 2 thì f ( x ) = x 3 − 7 x 2 + 14 x − 8 = 0
⇔ ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 4 ) = 0 ⇔ x1 = 1; x2 = 2; x3 = 4
Kết luận: (C m) cắt Ox 3 điểm phân biệt lập thành 1 cấp số nhân ⇔ m = 2.
93
Chương I. Hàm số – Trần Phương
III. TƯƠNG GIAO HÀM BẬC 4 VỚI O x CÓ HOÀNH ĐỘ TẠO THÀNH CẤP SỐ
Bài 1. Tìm m để (Cm): y = f ( x ) = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 cắt Ox tại 4 điểm
phân biệt lập thành 1 cấp số cộng
Xét phương trình: f ( x ) = 0 ⇔ x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 = 0 (1). Đặt
t = x 2 ; f ( x ) = g ( t ) = t 2 − 2 ( m + 1) t + 2m + 1
Yêu cầu bài toán ⇔ ƒ(t) = 0 có 2 nghiệm t2 > t1 > 0 sao cho (1) có sơ đồ nghiệm:
x1 x2 x3 x4
− t2 − t1 t1 t2
Ta có: x4 − x3 = x3 − x 2 = x 2 − x1 ⇔ x4 − x3 = x3 − x2 ⇔
( )
t 2 − t1 = t1 − − t1 ⇔ t 2 = 3 t1 ⇔ t 2 = 9t1 > 0 . Yêu cầu bài toán
−1 < m ≠ 0 −1 < m ≠ 0
∆ ′ = m 2 > 0; t 2 = 9t1 2
2 m = 4
t = 9t t = 9t
( )
⇔ t1 + t 2 = 2 m + 1 > 0 ⇔ 2 1 ⇔ 2 1 ⇔
1
5 t = m + 1 m +1 2 m = −4
t1 .t 2 = 2m + 1 > 0 2
9 t 1 = 2 m + 1
9
5 (
= 2m + 1 ) 9
Bài 2. Tìm a để PT 16 x 4 − ax 3 + ( 2a + 17 ) x 2 − ax + 16 = 0 có 4 nghiệm phân
biệt lập thành 1 cấp số nhân.
Bổ đề: Giả sử phương trình ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 , ( a ≠ 0 ) có 4 nghiệm
x + x + x + x = − b
1 2 3 4
a
x1 , x 2 , x 3 , x 4 khi đó ta có:
x1 x 2 + x1 x 3 + x1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 = c
a
Áp dụng:
Điều kiện cần: Nếu x = α là một nghiệm thì α ≠ 0 và x = 1 cũng là nghiệm.
α
Không mất tính tổng quát giả sử 4 nghiệm là: ÷÷ α, αq, αq 2 , αq 3 với α ≠ 0
và q > 1 ⇒ α < αq < αq 2 < αq 3 . Do 1 , 1 , 1 2 , 1 3 cũng là nghiệm nên
α α q αq α q
94
Tương giao của đồ thị các hàm số
αq 3 = 1 ⇔ q = α −2 / 3 suy ra 4 nghiệm là: α, α1/ 3 , α −1/ 3 , α −1 . Sử dụng bổ đề
α
α + α1/ 3 + α −1/ 3 + α −1 = a
16
ta có: .
α 4 / 3 + α 2 / 3 + 1 + 1 + α −2 / 3 + α −4 / 3 = 2a + 17
16
t 3 − 2t = a
16
Đặt t = α 1/ 3
+α −1/ 3
≥2 α 1/ 3
.α −1/ 3
=2 ⇒
t 4 − 3t 2 + 2 = 2a + 17
16
⇒ 16 ( t 4 − 3t 2 + 2 ) − 32 ( t 3 − 2t ) − 17 = 0 ⇔ ( 2t − 5)( 2t − 3) ( 4t 2 − 4t − 1) = 0
⇔ ( 2t − 5 )( 2t − 3) ( 2t − 1) − 2 = 0 . Do t ≥ 2 nên suy ra t = 5 ⇒ a = 170.
2
2
Điều kiện đủ: Với a = 170 ta có: 16 x 4 − 170 x 3 + 357 x 2 − 170 x + 16 = 0
⇔ ( 8 x − 1) ( 2 x − 1) ( x − 2 ) ( x − 8 ) = 0 ⇔ ÷÷ x1 = 1 ; x2 = 1 ; x3 = 2; x4 = 8
8 2
Kết luận: Từ điều kiện cần và điều kiện đủ suy ra đáp số a = 170.
IV. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
2
Bài 1. Tìm m để (∆): y = m cắt đồ thị (C): y = x + mx − 1 tại 2 điểm A, B
x −1
phân biệt sao cho OA ⊥ OB.
2 x ≠ 1 x ≠ 1
Giải: Xét PT: x + mx − 1 = m ⇔ ⇔
x −1
x + mx − 1 = m ( x − 1) x = 1 − m
2 2
0 < 1 − m ≠ 1 0 ≠ m < 1
(∆): y = m cắt (C) tại A, B phân biệt ⇔ ⇔ (*)
x 2 = 1 − m x A, B = ± 1 − m
y A yB 2
Ta có: OA ⊥ OB ⇔ kOA .kOB = −1 ⇔ ⋅ = −1 ⇔ m = −1
x A xB − (1 − m )
−1 ± 5
⇔ m2 + m − 1 = 0 ⇔ m = thoả mãn điều kiện (*)
2
95
TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Bài toán tương giao tổng quát
Cho 2 đồ thị với các hàm số tương ứng: ( C1 ) : y = f ( x, m ) ; ( C 2 ) : y = g ( x, m ) .
Giao điểm của hai đồ thị (C1), (C2) có hoành độ là nghiệm của phương trình
tương giao: f ( x, m ) = g ( x, m )
2. Bài toán cơ bản
Cho đồ thị ( C ) : y = f ( x, m ) và trục hoành Ox: y = 0
Giao điểm của hai đồ thị có hoành độ là nghiệm của phương trình f ( x, m ) = 0
3. Các phương pháp chung
Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỉ
Xét phương trình: ƒ(x) = anxn + an − 1 xn − 1 +... + a1x + a0 = 0
p
Nếu x = ∈ ; ( p , q ) = 1 là nghiệm của ƒ(x) thì q | a n và p | a 0
q
Phương pháp hàm số (Sử dụng khi tham số là bậc 1)
y = g ( x)
Chuyển phương trình tương giao: f ( x, m ) = 0 ⇔ g ( x) = m ⇔
y = m
II. CÁC DẠNG TƯƠNG GIAO TỔNG QUÁT CỦA HÀM BẬC 3 VỚI Ox
1. Các phương pháp xét tương giao
Bài toán: Xét tương giao của đồ thị hàm bậc 3 ( C ) : y = f ( x, m ) với Ox: y = 0
1.1 Phương pháp nhẩm nghiệm cố định:
f ( x, m ) = ( x − p ) ( a ( m ) x 2 + u ( m ) x + v ( m ) ) .
1.2 Phương pháp nhẩm nghiệm chứa tham số:
f ( x, m ) = [ x − ϕ ( m ) ] ( a ( m ) x 2 + u ( m ) x + v ( m ) )
1.3 Phương pháp hình dạng đồ thị và vị trí cực trị của hàm số ( C ) : y = f ( x, m )
y = g ( x)
1.4 Phương pháp hàm số f ( x, m ) = 0 ⇔ g ( x) = m ⇔
y = m
87
Chương I. Hàm số – Trần Phương
2. Bảng tổng kết các bài toán tương giao đồ thị hàm bậc 3
Hình dạng đồ thị f ′ ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c f ( x) = ( x − p) g ( x)
a>0
∆ ′ = b 2 − 3ac ≤ 0 ∆ g < 0
x
1 nghiệm
(1 giao
x1 x2 x
∆ ′ = b 2 − 3ac > 0 ∆ = 0
x1 x2 g
điểm)
x
x f CT . f CÐ > 0 g ( p ) = 0
a<0
a>0 ∆ g > 0
2 nghiệm x1 x2 x ∆ ′ = b 2 − 3ac > 0 g ( p ) = 0
(2 giao
điểm) f CT . f CÐ = 0 ∆ = 0
g
x1 x2
g p ≠ 0
x
a<0 ( )
a>0
x1 x2
x1 x2 x3 x
3 nghiệm ∆ ′ = b 2 − 3ac > 0 ∆ g > 0
(3 giao
điểm) f CT . f CÐ < 0 g ( p ) ≠ 0
x1 x2 x3
x1 x2 x
a<0
∆ g > 0
a>0 x2 x2
∆ ′ = b 2 − 3ac > 0
α x1 x1 x3 x
g ( p) ≠ 0
f CT . f CÐ < 0
α < x1 < α < p
a. f ( α ) < 0
x2 < x3 a. f ′ ( α ) > 0 a.g ( α ) > 0
α x1 x1 x3 −b
a<0 x2 x2 x α < 3a α < S g
2
∆ g > 0
∆ ′ = b 2 − 3ac > 0
a>0 g ( p) ≠ 0
x1 x2 x3 f CT . f CÐ < 0
x1 x2 α
x1 < x2
x
α > p
a. f ( α ) > 0
< x 3< α
x1 x2 α a. f ′ ( α ) > 0 a.g ( α ) > 0
x1 x2 x3 x
a<0
−b
α > 3a α > S g
2
88
Tương giao của đồ thị các hàm số
∆ g > 0
a>0 ∆ ′ = b 2 − 3ac > 0 p < α
x1 x2 x2
x1 α x3 x f CT . f CÐ < 0 a.g ( α ) > 0
x1 < α <
a. f ( α ) > 0 Sg
α <
x2 < x3 2
a. f ′ α ≤ 0
( )
x1 α x3
p > α
x1 x2 −b a.g ( α ) < 0
α ≤ 3a
x2 x
a<0 g p ≠ 0
( )
∆ g > 0
a>0 ∆ ′ = b 2 − 3ac > 0 p > α
x1 α x2
x3 x
x1 x2 f CT . f CÐ < 0 a.g ( α ) > 0
x1 < x2
a. f ( α ) < 0 Sg
α >
< α < x3 2
a. f ′ ( α ) ≤ 0 p < α
x1 x2 x3
a.g ( α ) < 0
a<0 x1 α x2 x
α ≥ −b
3a g p ≠ 0
( )
3. Các bài tập mẫu minh họa
Bài 1. Tìm m để đồ thị (C m): y = x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 2 ( m 2 + 4m + 1) x − 4m ( m + 1)
cắt Ox tại x1 , x 2 , x 3 phân biệt và > 1
Giải: Xét PT: x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 2 ( m 2 + 4m + 1) x − 4m ( m + 1) = 0
⇔ ( x − 2 ) [ x 2 − ( 3m + 1) x + 2m ( m + 1)] = 0 ⇔ ( x − 2 ) ( x − 2m ) [ x − ( m + 1)] = 0
2 ≠ 2m ≠ m + 1 ≠ 2
ycbt ⇔ ⇔ 1 < m ≠1
2m > 1; m + 1 > 1 2
Bài 2. Tìm m để đồ thị (C m): y = x 3 − 2mx 2 + ( 2m 2 − 1) x + m (1 − m 2 )
cắt Ox tại x1 , x 2 , x 3 phân biệt và > 0
Giải: Xét PT: x 3 − 2mx 2 + ( 2m 2 − 1) x + m (1 − m 2 ) = 0
⇔ ( x − m ) [ x 2 − mx + m 2 − 1] = 0 ⇔ x = m ∨ g ( x ) = x 2 − mx + m 2 − 1 = 0
Yêu cầu bài toán ⇔ m > 0 và g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt > 0 và khác m.
∆ = 4 − 3m 2 > 0; g ( m ) = m 2 − 1 ≠ 0 m > 0
⇔ ⇔ 2
2 < 2
< 4 ⇔1< m < 3
S = m > 0 ; P = m − 1 > 0 1 m
3
89
Chương I. Hàm số – Trần Phương
3 3
Bài 3. CMR: (C): y = ( x + a ) + ( x + b ) − x 3 luôn cắt Ox tại đúng 1 điểm.
3 3
Giải: f ( x ) = ( x + a ) + ( x + b ) − x 3 = x 3 + 3 ( a + b ) x 2 + 3 ( a 2 + b 2 ) x + ( a 3 + b 3 )
y ′ = 3x 2 + 6 ( a + b ) x + 3 ( a 2 + b 2 ) = 0 ⇔ g ( x ) = x 2 + 2 ( a + b ) x + ( a 2 + b 2 ) = 0
• Nếu ∆ ′g = ab ≤ 0 thì y = f (x) không có cực trị nên (C) cắt Ox tại 1 điểm.
• Nếu ab > 0 thì g(x) = 0 hay ƒ′(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 đồng thời
hàm số đạt cực trị tại x 1, x2. Thực hiện phép chia ƒ(x) cho g(x) ta có:
f ( x ) = [ x + ( a + b )] .g ( x ) − ab [ 4 x + ( a + b )] .
Do g ( x1 ) = g ( x2 ) = 0 nên f ( x1 ) = −ab 4 x1 + ( a + b ) ; f ( x2 ) = −ab 4 x2 + ( a + b )
⇒ f C Ð . f CT = f ( x1 ) . f ( x 2 ) = a 2 b 2 4 x1 + ( a + b ) 4 x 2 + ( a + b )
= a 2 b 2 16 ( a 2 + b 2 ) − 8 ( a + b ) + ( a + b ) = a 2 b 2 9 ( a − b ) + 4ab > 0 , ∀ab > 0
2 2 2
⇒ (C): y = f (x) luôn cắt Ox tại đúng 1 điểm.
Bài 4. Tìm m để (C m): y = f ( x ) = x 3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x + (1 − m 2 ) cắt Ox tại
x1 , x 2 , x 3 phân biệt và > 0
Giải: Yêu cầu bài toán ⇔ Đồ thị (C m) có dạng như hình vẽ sau:
f ′ ( x ) = 0 cã nghiÖm x1 < x 2 (1)
y
f . f = f ( x ) . f ( x ) < 0 ( 2)
C Ð CT 1 2
x2 x2 x3
⇔ (*)
x1 = x CÐ > 0 ( 3 ) O x1 x1 x
f (0) < 0 ( 4)
• Xét (1): f ′ ( x ) = 3 ( x 2 − 2mx + m 2 − 1) = 0 ⇔ g ( x ) = x 2 − 2mx + m 2 − 1 = 0
⇔ x = x1 = m − 1 ; x = x2 = m + 1
• Xét (2): Thực hiện phéo chia ƒ(x) cho g(x) ta có:
f ( x ) = ( x − m ) g ( x ) − 2 x + ( m 2 − 1) ( m − 1) . Do g ( x1 ) = g ( x 2 ) = 0 nên
f ( x1 ) = −2 x1 + ( m 2 − 1) ( m − 1) ; f ( x2 ) = −2 x 2 + ( m 2 − 1) ( m − 1)
⇒ f C Ð . f CT = f ( x1 ) . f ( x2 ) = 4 x1 x2 − ( m 2 − 1) ( m − 1) 2 ( x1 + x2 ) − ( m 2 − 1) ( m − 1)
90
Tương giao của đồ thị các hàm số
= 4 ( m 2 − 1) − ( m 2 − 1) ( m − 1) 4m − ( m 2 − 1) ( m − 1) = ( m 2 − 1)( m 2 − 3)( m 2 − 2m − 1)
• Xét (3), (4): x1 = m − 1 > 0 ⇔ m > 1 ; f ( 0 ) = 1 − m 2 < 0 ⇔ m 2 > 1 . Hệ (*) ⇔
( m 2 − 1) ( m 2 − 3) ( m 2 − 2m − 1) < 0 ( m 2 − 3) [ m 2 − 2m − 1] < 0
⇔ ⇔ 3 < m < 1+ 2
m − 1 > 0 m − 1 > 0
Bài 5. Tìm m để đồ thị ( C m ) : y = f ( x ) = x 3 − 3x 2 + 3 (1 − m ) x + 1 + 3m
cắt Ox tại x1 < 1 < x 2 < x 3
Giải: Xét phương trình: f ( x ) = 0 ⇔ x 3 − 3x 2 + 3 x + 1 = 3m ( x − 1) (*)
3 2 2 ( x − 2 ) ( x 2 − x + 1)
⇔ g ( x ) = x − 3 x + 3x + 1 = m . Ta có: g ′ ( x ) =
3 ( x − 1) 3 ( x − 1)
2
g ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 2 ⇒ Bảng biến thiên x −∞ 1 2 +∞
Nghiệm của phương trình ƒ(x) = 0 là f′ − − 0 +
+∞ +∞ +∞
hoành độ giao điểm của đường thẳng
y = m với (L): y = g(x). f 3
Nhìn bảng biến thiên ta có: −∞
Đồ thị ( C m ) cắt Ox tại x1 < 1 < x 2 < x 3 ⇔ 3m > 3 ⇔ m > 1
Bài 6. Tìm m để đồ thị ( C m ) : y = f ( x ) = x 3 − x 2 + 18mx − 2m
cắt Ox tại x1 < 0 < x2 < x3 phân biệt
Giải: Xét f ( x ) = x3 − x 2 + 18mx − 2m = 0 ⇔ 2m ( 9x − 1) = − x3 + x 2 (*)
2
3 2
−2 x ( 3 x − 1)
⇔ g ( x ) = − x + x = 2m . Ta có: g ′ ( x ) = ⇒ Bảng biến thiên
9x − 1 ( 9 x − 1) 2
Nghiệm của phương trình ƒ(x) = 0 x −∞ 0 1 1
+∞
9 3
là hoành độ giao điểm của đường f′ + 0 − 0
thẳng y = 2m với (L): y = g(x). +∞
f 0
Nhìn bảng biến thiên suy ra:
−∞ −∞ −∞
ƒ(x) = 0 có nghiệm thoả mãn
x1 < 0 < x2 < x3 ⇔ 2m < 0 ⇔ m < 0.
91
Chương I. Hàm số – Trần Phương
4. Tương giao hàm bậc 3 với Ox có hoành độ tạo thành cấp số
Bài toán gốc 1: Tìm điều kiện tham số để (C): y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) cắt
Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.
Điều kiện cần: Giả sử (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt là ÷ x 1, x2, x3 khi đó:
ax 3 + bx 2 + cx + d = a ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x3 ) ∀x
⇔ ax 3 + bx 2 + cx + d = a x 3 − ( x1 + x2 + x3 ) x 2 + ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) x − x1 x2 x3 ∀x
Đồng nhất hệ số bậc 2 ở 2 vế suy ra:
b = −a ( x1 + x2 + x3 ) = −a ( x1 + x3 ) + x 2 = −3ax2 ⇒ x2 = −b
3a
Thế x2 = −b vào f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ⇒ điều kiện ràng buộc về tham số
3a
hoặc điều kiện của tham số
Điều kiện đủ: Thử giá trị của tham số kiểm tra ƒ(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Kết luận: Từ điều kiện cần và điều kiện đủ suy ra đáp số.
Chú ý: Theo qui ước 1 cấp số cộng được hiểu phải có công sai khác 0 nên nếu
không cho cụ thể yêu cầu 3 điểm phân biệt thì ta vẫn phải hiểu luôn có ràng
buộc 3 điểm phân biệt trong dạng toán trên.
Bài toán gốc 2: Tìm điều kiện tham số để (C): y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( ad ≠ 0 ) cắt
Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số nhân.
Điều kiện cần: Giả sử (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt là cấp số nhân x1, x 2, x3,
khi đó: ax 3 + bx 2 + cx + d = a ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x3 ) ∀x
⇔ ax 3 + bx 2 + cx + d = a x 3 − ( x1 + x2 + x3 ) x 2 + ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) x − x1 x2 x3 ∀x
Suy ra: d = − x1 x2 x3 = −ax 23 ⇒ x2 = 3 −d .
a
Thế x2 = 3 −d vào phương trình f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d = 0
a
ta được các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc điều kiện của tham số
Điều kiện đủ: Thử giá trị của tham số kiểm tra ƒ(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Kết luận: Từ điều kiện cần và điều kiện đủ suy ra đáp số.
92
Tương giao của đồ thị các hàm số
2
Hệ quả: Nếu a =1 thì x2 = −d , khi đó: f ( x2 ) = 0 ⇔ b ( 3 − d ) + c ⋅ 3 − d = 0
3
⇔ c ⋅ 3 − d = = −b ⋅ 3 d 2 ⇔ −c 3 d = −b 3 d 2 ⇔ c 3 = b 3 d
Bài tập áp dụng 1: Tìm m để (C m):
y = f ( x ) = x 3 − 3mx 2 + 2m ( m − 4 ) x + 9m 2 − m cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.
Điều kiện cần: Giả sử (C m) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt là ÷ x1, x2, x3 khi đó:
x 3 − 3mx 2 + 2m ( m − 4 ) x + 9m 2 − m = ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x3 ) ∀x
⇔ x 3 − 3mx 2 + 2m ( m − 4 ) x + 9m 2 − m
= x 3 − ( x1 + x2 + x3 ) x 2 + ( x1 x2 + x 2 x3 + x3 x1 ) x − x1 x 2 x3 ∀x
⇒ 3m = x1 + x2 + x3 = ( x1 + x3 ) + x2 = 3x2 ⇒ x2 = m . Thế x2 = m vào f ( x ) = 0 ⇒
m 2 − m = 0 ⇔ m = 0 hoÆc m = 1
Điều kiện đủ: Với m = 0 thì f ( x ) = x 3 = 0 ⇔ x = 0 (loại)
Với m = 1 thì f ( x ) = x 3 − 3x 2 − 6 x + 8 = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 − 2 x − 8 ) = 0
⇔ ( x + 2 ) ( x − 1) ( x − 4 ) = 0 ⇔ ÷ x1 = −2; x2 = 1; x3 = 4
Kết luận: (C m) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành 1 cấp số cộng ⇔ m = 1.
Bài tập áp dụng 2 : Tìm m để (Cm): y = f ( x) = x3 − ( 3m + 1) x2 + ( 5m + 4) x − 8 cắt Ox tại 3
điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số nhân.
Điều kiện cần: Giả sử (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt là cấp số nhân x1, x 2, x3,
khi đó: x 3 − ( 3m + 1) x 2 + ( 5m + 4 ) x − 8 = ( x − x1 )( x − x 2 ) ( x − x3 ) ∀x
⇔ x 3 − ( 3m + 1) x 2 + ( 5m + 4 ) x − 8 = x 3 − ( x1 + x2 + x3 ) x 2 + ( ∑ x x ) x − x x x ∀x
i j 1 2 3
Suy ra: 8 = x1 x 2 x3 = x23 ⇒ x2 = 2 .
Thế x2 = 2 vào phương trình f ( x ) = 0 ⇒ 2 ( 2 − m ) = 0 ⇔ m = 2
Điều kiện đủ: Với m = 2 thì f ( x ) = x 3 − 7 x 2 + 14 x − 8 = 0
⇔ ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 4 ) = 0 ⇔ x1 = 1; x2 = 2; x3 = 4
Kết luận: (C m) cắt Ox 3 điểm phân biệt lập thành 1 cấp số nhân ⇔ m = 2.
93
Chương I. Hàm số – Trần Phương
III. TƯƠNG GIAO HÀM BẬC 4 VỚI O x CÓ HOÀNH ĐỘ TẠO THÀNH CẤP SỐ
Bài 1. Tìm m để (Cm): y = f ( x ) = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 cắt Ox tại 4 điểm
phân biệt lập thành 1 cấp số cộng
Xét phương trình: f ( x ) = 0 ⇔ x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 = 0 (1). Đặt
t = x 2 ; f ( x ) = g ( t ) = t 2 − 2 ( m + 1) t + 2m + 1
Yêu cầu bài toán ⇔ ƒ(t) = 0 có 2 nghiệm t2 > t1 > 0 sao cho (1) có sơ đồ nghiệm:
x1 x2 x3 x4
− t2 − t1 t1 t2
Ta có: x4 − x3 = x3 − x 2 = x 2 − x1 ⇔ x4 − x3 = x3 − x2 ⇔
( )
t 2 − t1 = t1 − − t1 ⇔ t 2 = 3 t1 ⇔ t 2 = 9t1 > 0 . Yêu cầu bài toán
−1 < m ≠ 0 −1 < m ≠ 0
∆ ′ = m 2 > 0; t 2 = 9t1 2
2 m = 4
t = 9t t = 9t
( )
⇔ t1 + t 2 = 2 m + 1 > 0 ⇔ 2 1 ⇔ 2 1 ⇔
1
5 t = m + 1 m +1 2 m = −4
t1 .t 2 = 2m + 1 > 0 2
9 t 1 = 2 m + 1
9
5 (
= 2m + 1 ) 9
Bài 2. Tìm a để PT 16 x 4 − ax 3 + ( 2a + 17 ) x 2 − ax + 16 = 0 có 4 nghiệm phân
biệt lập thành 1 cấp số nhân.
Bổ đề: Giả sử phương trình ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 , ( a ≠ 0 ) có 4 nghiệm
x + x + x + x = − b
1 2 3 4
a
x1 , x 2 , x 3 , x 4 khi đó ta có:
x1 x 2 + x1 x 3 + x1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 = c
a
Áp dụng:
Điều kiện cần: Nếu x = α là một nghiệm thì α ≠ 0 và x = 1 cũng là nghiệm.
α
Không mất tính tổng quát giả sử 4 nghiệm là: ÷÷ α, αq, αq 2 , αq 3 với α ≠ 0
và q > 1 ⇒ α < αq < αq 2 < αq 3 . Do 1 , 1 , 1 2 , 1 3 cũng là nghiệm nên
α α q αq α q
94
Tương giao của đồ thị các hàm số
αq 3 = 1 ⇔ q = α −2 / 3 suy ra 4 nghiệm là: α, α1/ 3 , α −1/ 3 , α −1 . Sử dụng bổ đề
α
α + α1/ 3 + α −1/ 3 + α −1 = a
16
ta có: .
α 4 / 3 + α 2 / 3 + 1 + 1 + α −2 / 3 + α −4 / 3 = 2a + 17
16
t 3 − 2t = a
16
Đặt t = α 1/ 3
+α −1/ 3
≥2 α 1/ 3
.α −1/ 3
=2 ⇒
t 4 − 3t 2 + 2 = 2a + 17
16
⇒ 16 ( t 4 − 3t 2 + 2 ) − 32 ( t 3 − 2t ) − 17 = 0 ⇔ ( 2t − 5)( 2t − 3) ( 4t 2 − 4t − 1) = 0
⇔ ( 2t − 5 )( 2t − 3) ( 2t − 1) − 2 = 0 . Do t ≥ 2 nên suy ra t = 5 ⇒ a = 170.
2
2
Điều kiện đủ: Với a = 170 ta có: 16 x 4 − 170 x 3 + 357 x 2 − 170 x + 16 = 0
⇔ ( 8 x − 1) ( 2 x − 1) ( x − 2 ) ( x − 8 ) = 0 ⇔ ÷÷ x1 = 1 ; x2 = 1 ; x3 = 2; x4 = 8
8 2
Kết luận: Từ điều kiện cần và điều kiện đủ suy ra đáp số a = 170.
IV. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
2
Bài 1. Tìm m để (∆): y = m cắt đồ thị (C): y = x + mx − 1 tại 2 điểm A, B
x −1
phân biệt sao cho OA ⊥ OB.
2 x ≠ 1 x ≠ 1
Giải: Xét PT: x + mx − 1 = m ⇔ ⇔
x −1
x + mx − 1 = m ( x − 1) x = 1 − m
2 2
0 < 1 − m ≠ 1 0 ≠ m < 1
(∆): y = m cắt (C) tại A, B phân biệt ⇔ ⇔ (*)
x 2 = 1 − m x A, B = ± 1 − m
y A yB 2
Ta có: OA ⊥ OB ⇔ kOA .kOB = −1 ⇔ ⋅ = −1 ⇔ m = −1
x A xB − (1 − m )
−1 ± 5
⇔ m2 + m − 1 = 0 ⇔ m = thoả mãn điều kiện (*)
2
95