Bài toán khoảng cách trong hình học không gian

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Loại 1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, một đường thẳng
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng (hoặc đường thẳng) bằng khoảng cách
từ điểm đó tới hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng (hoặc đường thẳng).
M M
H H
P Δ
Khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng  P  được Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng
ký hiệu là d  M;  P   .  được ký hiệu là d  M;  .
H là hình chiếu vuông góc của M lên 
H là hình chiếu vuông góc của M lên  P  thì
thì
d  M;  P    MH
d  M;    MH .
2. Bài toán cơ bản: Nhiều bài toán tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, từ điểm tới đường
thẳng có thể quy về bài toán cơ bản sau
Bài toán: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến
mặt phẳng  SBC và khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC .
Cách giải
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
S Gọi D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC , H là chân
đường vuông góc hạ từ A xuống SD . Ta có
+) SA   ABC  BC  SA , lại có BC  AD (do dựng) 
H BC   SAD  SD  BC  d  S;BC  SD .
A C +) Từ chứng minh trên, đã có BC   SAD  AH  BC , lại
D có AH  SD (do vẽ)  AH   SBC  d  A;  SBC   AH
B
.
3. Một số lưu ý
* Về cách tính khoảng cách một cách gián tiếp
+) MN   P   d  M;  P    d  N;  P   .
 M, N   Q 
+)   d  M;  P    d  N;  P   .
 Q    P 
d  M; P   d  M; Q  
+) MN   P   I   .
MI NI
Trường hợp đặc biệt: I là trung điểm của MN  d  M;  P    d  N;  P   .
+) MN    d  M;    d  N;   .
d  M;  d  M; 
+) MN    I   NI .
MI
Trường hợp đặc biệt: I là trung điểm của MN  d  M;    d  N;   .
* Về cách sử dụng thể tích để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho hình chóp
S.A1A 2 ...An . Ta có
3VS.A A ...A
d  S,  A1 A 2 ...A n    1 2 n .
S A A ...A
1 2 n
* Khoảng cách từ một đường thẳng tới mặt phẳng song song với nó: Cho    P  , M là một
điểm bất kỳ trên  . Khi đó
d  ;  P    d  M;  P   .
* Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Cho  P    Q  , M là một điểm bất kỳ trên
 P  . Khi đó
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
d   P  ;  Q    d  M;  Q   .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHD03] Cho hai mặt phẳng  P  và  Q  vuông góc với nhau, cắt nhau theo giao
tuyến  . Lấy A , B thuộc  và đặt AB  a . Lấy C , D lần lượt thuộc  P  và  Q  sao cho
AC , BD vuông góc với  và AC  BD  a . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng phẳng
 BCD  .
Giải
P C Ta có  P    Q  ,  P    Q    , AC   P  ,
AC    AC   Q   BD  AC . Lại có
a H
BD  AB  BD   ABC  1 .
a Δ
A B
a Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A
Q D xuống BC . Vì ABC vuông cân tại A nên
AH  BC và AH  BC2  a 2 2 .
Từ 1 suy ra AH  BD  AH   BCD  . Do đó H là chân đường vuông góc hạ từ A lên
 BCD   d  A;  BCD    AH  a 2 2 .
Ví dụ 2. [ĐHD12] Cho hình hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình vuông, tam giác A ' AC
vuông cân, A ' C  a . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  BCD '  theo a .
Giải
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
D A
A ' AC vuông cân (tại A ) nên
a 2
a
AC  AA '  A '2C  a 2 . ABC vuông cân (tại B ) nên
C B
a 2
AB  AC2  a .
2a
H Hạ AH  A ' B ( H  A ' B ) .Ta có BC  ABB ' A ' 
D' AH  BC , lại có AH  A ' B (do dựng) 
A'
AH   BCD ' .
C' B'
AH là đường cao của tam giác vuông ABA '  AH1 2  AB1 2  AA1 '2  a12  21a 2  2a32  AH  a 3 6
.Vậy d  A; BCD '   AH  AH  a 3 6 .
Ví dụ 3. Cho hình chóp S .ABC có SA  3a và SA   ABC  . Giả sử AB  BC  2a ,

ABC  120 . Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  .
Giải
S Dựng AD  BC ( D  BC ) và AH  SD ( H  SD ).
Thật vậy, từ giả thiết ta có CD  SA , lại có CD  AD
(do dựng)  CD   SAD   AH  CD , mà
3a
AH  SD  AH   SCD   H là chân đường
H
vuông góc hạ từ A lên  SBC  .
A
C
120o
2a 2a Ta có AD  AB sin 
ABD  2a sin 60  a 3 .
B
D
AH là đường cao của tam giác SAD vuông tại A nên: AH1 2  AS1 2  AD1 2  9a12  3a1 2  9 a4 2
 AH  32a . Vậy d  A; SBC   AH  32a .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Ví dụ 4. [ĐHD11] Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác vuông tại B , BA  3a , BC  4a ;
  30 . Tính
mặt phẳng  SBC  vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Biết SB  2a 3 và SBC
khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  SAC  theo a .
Giải
S Hạ SK  BC ( K  BC ). Vì  SBC    ABC  nên
SK   ABC  .
  2a 3. 3  3a
Ta có BK  SB cos SBC 2
2a 3
 KC  BC  BK  4a  3a  a .
H
4a 30° Do đó nếu ký hiệu d1 , d 2 lần lượt là các khoảng cách từ
C B
K
D 3a các điểm B , K tới  SAC  thì dd12  KC
BC
 4 , hay d1  4d 2 .
A
Hạ KD  AC ( D  AC ), hạ KH  SD ( H  SD ). Từ SK   ABC   AC  SK , lại có
AC  KD (do dựng)  AC   SKD   KH  AC , mà KH  SD (do dựng) 
KH   SAC   d2  KH .
Từ ADK  ABA suy ra: CK
CA  DK
BA  DK  BACA.CK  35aa.a  35a
2 2
( CA  BA2  BC 2   3a    4a   5a ).
  a 3 . KH là đường cao của tam giác vuông SKD nên:
KS  SB.sin SBC
1
KH 2
 KD1 2  KS1 2  925a2  3a12  928a2  KH  3a14 7 .
Vậy d  B;  SAC    d1  4d 2  4 KH  6 a7 7 .
Ví dụ 5. [ĐHB11] Cho lăng trụ ABCD. A1 B1C1 D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a ,
AD  a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 lên mặt phẳng  ABCD  trùng với giao điểm của
AC và BD . Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng  A1BD  theo a .
Giải
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
5
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
C1 Đặt I  AC  BD . Từ giả thiết suy ra
D1
A1I   ABCD  .
A1 Đặt J  B1 A  A1 B  J là trung điểm của
B1
B1 A , đồng thời J  B1 A   A1 BD  
d  B1;  A1BD    d  A;  A1BD   .
J Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A
C
D xuống BD . Từ A1I   ABCD   AH  A1 H
H a 3
I , lại có AH  BD (do đựng) 
B a A AH   A1BD   d  A;  A1 BD    AH .
AH là đường cao của tam giác ABD vuông tại A nên
1
AH 2
 AB1 2  AD1 2  a12  3a12  3a42  AH  a 2 3  d  A;  A1 BD    a 2 3 .
Ví dụ 6. Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B và AC  2a . SA có độ dài
bằng a và vuông góc với đáy.
1) Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC .
2) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A lên SB . Tính khoảng cách từ trung điểm M của
AC đến đường thẳng CH .
Giải
1) Ta có SA   ABC   BC  SA , cũng từ giả thiết ta có BC  AB  BC   SAB  
SB  BC . AB  BC2  a 2  SB  SA2  AB 2  a 2  2a 2  a 3 .
Vậy d  S ; BC   SB  a 3 .
2) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A lên SB . Ở câu trên,
S
ta đã chứng minh BC   SAB   AH  BC , lại có AH  SB
AH  CH .
a
H Lại lấy K là trung điểm của CH
K
1
A  MK song song và bằng AH
2a M C 2
a .a 2
 MK  CH , MK  12 SA. AB
 12  a66 .
SA2  AB 2 a2  2 a2
B
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Vậy d  M ; CH   MK  a 6 6 .
C. Bài tập
Bài 1. Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ OH   ABC .
1) Chứng minh: H là trực tâm ABC .
1 1 1 1
2) Chứng minh:    .
2 2 2
OH OA OB OC2
Bài 2. [ĐHD02] Cho tứ diện ABCD có AD   ABC ; AC  AD  4cm , AB  3cm ,
BC  5cm . Tìm khoảng cách từ A tới mặt phẳng  BCD .
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  a , ASB   60 , CSA
  120 , BSC   90 .
Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ABC .
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A . Cạnh AB có độ dài bằng a và nằm trong mặt phẳng
   . Biết rằng cạnh AC có độ dài bằng a 2 và tạo với mặt phẳng    góc 60 , hãy tính
khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng    .
 . M là một điểm nằm ngoài    . Biết rằng
Bài 5. Trong mặt phẳng    cho góc vuông xOy
MO  23 cm và khoảng cách từ M đến Ox , Oy cùng bằng 17 cm . Tính khoảng cách từ điểm
M đến mặt phẳng    .
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Biết rằng AB  7 cm , BC  5 cm ,
CA  8 cm , SA  4 cm .
1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC
2) Tính khoảng cách từ các điểm S và A đến đường thẳng BC .
Bài 7. [ĐHD07] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC   90 ,
  BAD
BA  BC  a , AD  2a . Cạnh SA vuông góc với đáy và SA  a 2 . Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A lên SB . Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng  SCD theo a .
Bài 8. [ĐHD09] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,
AB  a , AA'  2a , A'C  3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A'C' , I là giao điểm của
AM và A'C . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  IBC theo a .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
7
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Bài 9. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a , cạnh bên bằng 2a . Gọi G là
tâm của đáy, M là trung điểm của SC .
1) Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng  ABC .
2) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  SAG  .
Bài 10. Cho ABC là tam giác vuông cân tại B , BA  a . Trên đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng  ABC tại A lấy điểm S sao cho SA  a . Gọi I , M theo thứ tự là trung điểm của SC ,
AB .
1) Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng  ABC
2) Tính khoảng cách từ các điểm S và I đến đường thẳng CM .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
8
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Loại 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Đường vuông
góc chung của hai đường thẳng
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b .
 Đường thẳng  cắt a , b và vuông góc với a , b được gọi là M
a
đường vuông góc chung của a và b .
 Nếu đường vuông góc chung cắt a , b lần lượt tại M , N thì b
độ dài đoạn thẳng MN được gọi là khoảng cách giữa hai N
đường thẳng chéo nhau a và b .
Δ
2. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
 Phương pháp tổng quát: Cho hai đường thẳng M a
chéo nhau a , b . Gọi   là mặt phẳng chứa b và
song song với a , a ' là hình chiếu vuông góc của
a lên   . Đặt N  a ' b , gọi  là đường thẳng
a'
qua N và vuông góc với     là đường N b
α
vuông góc chung của a và b . Đặt M    a 
khoảng cách giữa a và b là độ dài đường thẳng
MN .
 Trường hợp đặc biệt: Cho hai đường thẳng chéo M a
nhau và vuông góc với nhau a , b . Gọi   là mặt
phẳng chứa b và vuông góc với a . Đặt
M  a    . Gọi N là chân đường vuông góc hạ
a'
từ M xuống b  MN là đường vuông góc N b
α
chung của a , b và khoảng cách giữa a , b là độ
dài đoạn thẳng MN .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
9
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
3. Nhận xét: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b . Các nhận xét nhau đây cho ta cách khác
để tính khoảng cách giữa a và b ngoài cách dựng đường vuông góc chung.
 Nếu   là mặt phẳng chứa a và song song với b thì khoảng cách giữa hai đường thẳng
bằng khoảng cách giữa b và   .
 Nếu   ,    là các đường thẳng song song với nhau, lần lượt chứa a , b thì khoảng cách
giữa hai đường thẳng bằng khoảng cách giữa   và    .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHD08] Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông có
BA  BC  a , cạnh bên AA '  a 2 . Gọi M là trung điểm của BC . Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AM và B ' C .
Giải
A C Lấy N là trung điểm của BB ' , ta có MN là đường trung bình
M của tam giác B ' BC  B ' C  MN  B ' C   AMN  . Do đó
B
d  B ' C; AM   d  B ' C ;  AMN    d  B ';  AMN   .
N
A' C' Lại có BB ' cắt  AMN  tại N là trung điểm của BB ' nên
B'
d  B ';  AMN    d  B;  AMN   .
Hình chóp B. AMN có BA , BM , BN đôi một vuông góc nên
1 1 1 1 1 4 2 7 a 7
    2  2  2  2  d  B;  AMN    .
d  B;  AMN   BA BM
2 2 2
BN 2
a a a a 7
a 7
Vậy d  B ' C ; AM   .
7
Ví dụ 2. [ĐHA06] Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có các cạnh bằng 1 . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của AB và CD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A ' C và MN .
Giải
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
10
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
D A Ta thấy MN  BC  MN   A ' BC 
N
M  d  A ' C; MN   d  MN ; A ' BC   d  M ;  A ' BC   .
C B
H Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống A ' B . Ta
D'
có: BC   ABB ' A '  MH  BC , mặt khác MH  A ' B
A'
(do vẽ)  MH   A ' BC   H chính là chân đường
C' B' vuông góc hạ từ M xuống  A ' BC  .
BM a 2
MH là cạnh góc vuông của tam giác vuông cân HBM  MH   . Vậy
2 4
a 2
d  A ' C ; MN   .
4
Ví dụ 3. [ĐHA04] Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy là hình thoi đường chéo AC  4 ,
SO  2 2 và SO vuông góc với đáy ABCD , ở đây O là giao điểm của AC và BD . Gọi M là
trung điểm của SC . Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM .
Giải
S Ta có MO là đường trung bình của tam giác SAC
 SA  MO  SA   MBD 
K M
 d  SA; MB   d  SA; MBD   d  S ; MBD  .
H
D C
SC cắt mặt phẳng  MBD  tại trung điểm M của SC nên
O
A B d  S ;  MBD    d  C;  MBD   .
Gọi K là chân đường vuông góc hạ từ M xuống SA , đặt H  CK  MO . Ta có SO   ABCD 
 BD  SO , lại có ABCD là hình thoi nên BD  AC  BD   SAC   CH  BD 1 .
MO  SA , CK  SA  CH  MO  2  . Từ 1 và  2  suy ra H là chân đường vuông góc hạ
từ C xuống  MBD  .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
11