Bài tập toán 11 đầy đủ
- 27 trang
- file .doc
Bài tập Toán 11
PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN
1. Hai cung đối nhau: -x và x
3. Hai cung phụ nhau: và x
2. Hai cung bù nhau: và x
4. Hai cung hơn kém nhau Pi: và x
5. Các hằng đẳng thức lượng giác
6. Công thức cộng lượng giác
7. Công thức nhân đôi
8. Công thức nhân ba:
9. Công thức hạ bậc:
10. Công thức biến đổi tích thành tổng
11 . Công thức biến đổi tổng thành tích
1
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
A. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
I/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Cho
Bài 2: Cho 5cosa + 4 = 0 .Tính sina , tana, cota.
Bài 3: Cho
Bài 4: Tính biết Tính biết tanx = -2
Tính biết cotx = -3
Bài 5: Chứng minh:
(sử dụng như 1 công thức)
Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau:
Bài 7: * Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
II/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG ĐẶC BIỆT
* Biết 1 HSLG khác:
Bài 1: Cho sinx = - 0,96 với
a/ Tính cosx ; b/ Tính
2
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
Bài 2: Tính:
Bài 3: Đơn giản biểu thức:
Bài 4: Đơn giản biểu thức:
Bài 5: Đơn giản biểu thức:
Bài 6: Chứng minh:
Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh:
III/. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau:
Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau:
æp ö 12 3p
Bài 10: Tính cos ç
ç - x÷
÷
÷ biết sin x =- , ( < x < 2p)
ç
è3 ø 13 2
1 1
Bài 11: Cho 2 góc nhọn có tan a = , tan b = . a/ Tính tan (a + b) b/ Tính
2 3
ìï p
ïï x + y =
Bài 12: Cho 2 góc nhọn x và y thoả : í 4
ïï
îï tan x.tan y = 3 - 2 2
a/ Tính b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y.
3
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
æ pö 40 3p
Bài 13: Tính tan ç
çx- ÷
÷
÷ biết sin x =- và p < x <
ç
è 4ø 41 2
Bài 14: Tính theo . Áp dụng: Tính tg15o
Bài 15: Tính:
tan 25o + tan 20o 1 + tan15o
A = sin 20o cos10o + sin10o cos 20 o B= C=
1 - tan 25o.tan 20o 1 - tan15o
3 tan 225o - cot 81o.cot 69 o
D = sin15o - 3 cos15o E = sin15o + cos15o F=
3 cot 261o + tan 201o
Bài 16: Tính:
æ pö æ pö æ pö æ 3p ö
a / A = cos ç
çx- ÷ ÷
÷cos ç
çx+ ÷ ÷
÷+ cos ç
çx+ ÷ ÷
÷cos ç
çx+ ÷ ÷
÷
ç
è 3ø è ç 4ø ç
è 6ø è ç 4ø
æ pö æ pö æ 2p ö æ 2p ö
b / B = tan x.tan ç
çx+ ÷ ÷
÷+ tan ç
çx + ÷
÷
÷tan ç
çx + ÷
÷
÷+ tan ç
çx+ ÷÷tan x
÷
ç
è 3ø ç
è 3ø è ç 3ø ç
è 3ø
Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x:
æp ö 2æ ö 2æ ö 2æ ö
A = cos 2 x + cos 2 çç + x ÷
÷+ cos ççp - x ÷
÷ B = sin 2
x + sin çç2p + x ÷
÷+ sin çç2p - x ÷
÷
çè3 ÷
ø èç3 ÷
ø èç3 ÷
ø èç3 ÷
ø
Bài 18: Chứng minh:
a / cos (a + b).cos (a - b ) = cos 2 a - sin 2 b = cos 2 b - sin 2 a
b / sin (a + b).sin (a - b ) = sin 2 a - sin 2 b = cos 2 b - cos 2 a
c / sin (a + b).cos (a - b ) = sin a cosa + sin bcos b
æp ö æp ö
d / sin ç
ç + a÷÷
÷- sin ç
ç - a ÷
÷= 2 sin a
÷
ç
è4 ø ç4
è ø
Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác
Cho tam giác ABC.Chứng minh:
1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB
2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC
A B C B C
3/ sin = cos cos - sin sin
2 2 2 2 2
A B C B C
4/ cos = sin cos - cos sin
2 2 2 2 2
æ pö
5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC ç
çA,B,C ¹ ÷
÷
÷
ç
è 2ø
A B B C C A
6/ tan tan + tan tan + tan tan = 1
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
7/ cot + cot + cot = cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1
( học thuộc kết quả )
Công thức biến đổi:
Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG
p 2p
a / sin .sin b / cos 5x.cos 3x c / sin (x + 30o )cos (x - 30o )
5 5
Bài 21: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH
4
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
a / cos 4x + cos3x; b / cos3x - cos 6x; c / sin 5x + sin x
d / sin (a + b )- sin (a - b ); e / tan (a + b )+ tan a; f / tan 2a - tan a
Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau :
A B C
9/ sinA + sinB + sinC = 4cos .cos .cos
2 2 2
A B C
10 / cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin .sin .sin
2 2 2
11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 - 4cosA.cosB.cosC
13/ sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 (1 +cosA.cosB.cosC)
14/ cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 - 2cosA.cosB.cosC
A B C
15/ sinA + sinB - sinC = 4sin .sin .cos
2 2 2
( tiếp theo Loại 5- Trang 8)
Bài 23: Chứng minh vuông nếu:
sin B + sin C
a / sin A = ; b / sin C = cos A + cos B; c / sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2
cos B + cos C
Bài 24: Chứng minh cân nếu:
Bài 25: Chứng minh đều nếu:
1 3
a / cos A.cos B.cos C = ; b / sin A + sin B + sin C = sin 2A + sin 2B + sin 2C; c / cos A + cos B + cos C =
8 2
Bài 26: Chứng minh cân hoặc vuông nếu:
2 C tan B sin 2 B sin (B + C) sin (B - C)
a / tan A.tan B.tan = 1; b / = 2 ; c/ 2 =
2 tan C sin C sin B + sin 2 C sin 2 B - sin 2 C
Bài 27: Hãy nhận dạng biết:
B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Chú ý : 1) có nghĩa khi B (A có nghĩa) ; có nghĩa khi A
2)
3)
4)
5) Hàm số y = tanx xác định khi
Hàm số y = cotx xác định khi
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
1) y = cosx + sinx 2) y = cos 3) y = sin
4) y = cos 5) y = 6) y =
5
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
7) y = 8) y = tan(x + ) 9) y = cot(2x -
10) y =
II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
sin2(-x) = = (-sinx)2 = sin2x
Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ ; Kiểm tra
Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau
1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2
4) y = tan2x 5) y = sin + x2 6) y = cos
III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác
Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng
Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng
Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng
Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng
Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng
Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng
Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số
1) y = sinx trên 2) y = cosx trên khoảng
3) y = cotx trên khoảng 4) y = cosx trên đoạn
5) y = tanx trên đoạn 6) y = sin2x trên đoạn
7) y = tan3x trên khoảng 8) y =sin(x + ) trên đoạn
Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số
Hàm số
Khoảng
y = sinx
y = cosx
y = tanx
y = cotx
6
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K y = A.f(x) +B
Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số
1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn
2) y = -2cos trên đoạn
IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Chú ý : ; 0 sin2 x 1 ; A2 + B B
Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y = 2sin(x- ) + 3 2) y = 3 – cos2x 3) y = -1 -
4) y = -2 5) y = 6) y = 5cos
7) y = 8) y =
Chú ý :
Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn thì
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn thì
Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y = sinx trên đoạn 2) y = cosx trên đoạn
3) y = sinx trên đoạn 4) y = cos x trên đoạn
C.PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC.
I:LÍ THUYEÁT .
1/Phöông trình löôïng giaùc cô baûn .
sin u = sin v (kZ)
cos u = cos v u = v + k2. (kZ
)
tanu = tanv u = v + k (k
Z)
cotu = cotv u = v + k (kZ)
2/ Phöông trình ñaëc bieät :
sinx = 0 x = k , sinx = 1 x = + k2 ,sinx = -1 x = -
+ k2
cosx = 0 x = + k , cosx = 1 x = k2 , cosx = -1 x =
+ k2 .
3/ Phöông trình baäc nhaát ñoái vôùi sinx vaø cosx .
Laø phöông trình coù daïng : acosx + bsinx = c (1) trong ñoù a 2
+ b2 0
7
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
Caùch 1: acosx + bsinx = c = c vôùi
asinx +bcosx = c = c vôùi .
Caùch 2 :
Xeùt phöông trình vôùi x = + k , k Z
Vôùi x + k ñaët t = tan ta ñöôïc phöông trình baäc hai
theo t :
(c + b)t2 – 2at + c – a = 0
Chuù yù : pt(1) hoaëc pt( 2) coù nghieäm a2 + b2 - c2 0 .
Baøi taäp :Giaûi caùc phöông trình sau:
1. , 2.
3. , 4.
5. , 6.
7. 8.
4/ Phöông trình chæ chöùa moät haøm soá löôïng giaùc :
Phöông trình chæ chöùa moät haøm soá löôïng giaùc laø phöông
trình coù daïng : f[u(x)] = 0
vôùi u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx.
Ñaët t = u(x) ta ñöôïc phöông trình f(t) = 0 .
Baøi taäp: Giaûi caùc phöông trình sau:
1. 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x –
8cosx +5 = 0
3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin 4x +
cos4x) = 2sin2x – 1
5. sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x 6.
7. 8. 5tan x -2cotx - 3 = 0
9. 10.
5/ Phöông trình ñaúng caáp theo sinx vaø cosx :
a/ Phöông trình ñaúng caáp baäc hai : asin2x +b sinx cosx + c
cos2x = 0 .
Caùch 1 :
Xeùt cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .
Xeùt chia hai veá cuûa phöông trình cho cos2x roài ñaët t
= tanx.
Caùch 2: Thay sin2x = (1 – cos 2x ), cos2x = (1+ cos 2x) ,
sinxcosx = sin2x ta ñöôïc phöông trình baäc nhaát theo sin2x
vaø cos2x .
8
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
b/ Phöông trình ñaúng caáp baäc cao : Duøng phöông phaùp ñaët
aån phuï t = tanx sau khi ñaõ xeùt phöông trình trong tröôøng hôïp
cos x = 0 hay x = + k ,kZ.
Baøi taäp :
1. 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2
2. 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 - 9)cos2x = 0
3. 4sin2x +3 sin2x – 2cos2x = 4
4. 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx.
5.
6/ Phöông trình daïng : a( cosx sinx ) + b sinxcosx + c = 0 .
Ñaët t = cosx + sinx , ñieàu kieän khi ñoù sinxcosx =
Ta ñöa phöong trình ñaõ cho veà phöông trình baäc hai theo t .
Chuù yù : neáu phöông trình coù daïng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx
+c=0
Ñaët t = cosx - sinx , ñieàu kieän khi ñoù sinxcosx =
Baøi taäp : Giaûi caùc phöông trình sau :
1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0
2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12
3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1
4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0
5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
7. Caùc phöông trình löôïng giaùc khaùc.
Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau :
1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 –
4cos2x – 9sinx = 0,
4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 = , 6/ 4sin4
+12cos2x = 7
Baøi 2 : Giaûi caùc phöông trình sau :
1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : ñaët t
=sinx
2/ ÑS : x = k3 , x= +k3
,x= +k3
3/ 1+ sin sinx - cos sin2x = 2cos2 ( ) ÑS: sinx =1
v sin =1
4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : ñaët t = tanx
, ÑS : x = - +k
9
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = ÑS : x = k2 , x
= +k2
6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x ÑS : cosx = 0 ,
cos 2x =
7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x
8/ cos 3x – cos 2x = 2
9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx
HD :ñaët t = tan
10/ sin2x+ 2tanx = 3
11/ sin2x + sin23x = 3cos22x
HD :ñaët t =cos 2x
12/ tan3( x - ) = tanx - 1 ÑS :
x = k v x = + k
13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Ñöa veà PT
baäc hai theo sinx.
14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2
ÑS : x = + k
15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
II. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP BAÄC n THEO SINX ,COSX.
Giaûi caùc phöông trình sau :
1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0 .
2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx.
3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ÑS : x= +
5/ sin3(x - )= sinx ÑS : x =
+k
6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0 ÑS :x =
+ k v x= +
7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0 .
8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx
III. PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG – PT PHAÛN ÑOÁI XÖÙNG .
Giaûi caùc phöông trình sau :
1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos
2x +sinx = 0
3/ 1 + sin3x + cos3x = sin2x 4/ 6( cos x – sinx
) + sinxcosx + 6 = 0
10
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
3 3
5/ sin x – cos x = 1 + sinxcosx 6/
7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 6
8/ + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0
9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 10/
3 3
cos x – sin x = - 1
11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx ).
IV.PHÖÔNG TRÌNH TÍCH VAØ PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
KHAÙC .
Giaûi caùc phöông trình sau:
1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x
= 3sinx +cosx – 2
3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x –
sin3xsin3x = cos34x +
5/ sin4 + cos4 = 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x +
cosx = 0
7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 8/ sin4x + cos4x – cos2x =
1 – 2sin2x cos2x
9/ 3sin3x - cos 9x = 1 + 4sin3x. 10/
11/ sin2 tan2x – cos2 =0 12/ cotx – tanx +
4sinx = 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx +
1 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x )
15/ 16/ sin23x – cos24x = sin25x –
cos26x
17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/
19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan )
20/ cotx – 1 =
21/ 3 –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx =
D. TOÅ HÔÏP
Tóm tắt giáo khoa
I. Quy tắc đếm
1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và
B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách.
Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách.
11
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể
thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được
thực hiện bởi n.m cách.
II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1. Hoán vị:
a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự
định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A.
b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n
2. Chỉnh hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số mà . Khi lấy ra k phần tử
trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một
phép chỉnh hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là:
.
3. Tổ hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số mà . Một tập hợp con của
A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là:
c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:
III. Khai triển nhị thức Newton
Nhận xét:
– Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng.
– Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.
– Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.
– Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì:
–
–
Chú ý:
– là khai triển theo số mũ của a giảm dần.
– là khai triển theo số mũ của a tăng dần.
Các Dạng bài toán cơ bản
Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm
Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A
hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân.
Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu
khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?
12
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
Bài 2: Cho tập . Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn
trong số các phần tử của A?
Bài 3: Từ tập hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1
xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần?
Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị
Phương pháp giải:
Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3…n
Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân
Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ
ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?
Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử:
Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ
nối hai điểm trong các điểm đó?
Bài 6: Từ tập có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử:
Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập
được bao nhiêu tam giác?
Dạng 5: Tìm trong phương trình chứa
Phương pháp giải: Dùng các công thức:
Bài 8: Tìm , nếu có: .
Bài 9: Tìm , nếu có:
Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b)n.
Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton:
(khai triển theo lũy thừa của a
tăng, b giảm)
(Chú ý: khai triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần)
Bài 10: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (11 + x)11.
Bài 11: Trong khai triển , (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x.
Bài 12: Tìm hệ số của x8 trong khai triển
Bài 13: Cho khai triển: , có các hệ số . Tìm hệ
số lớn nhất
Bài 14: Tìm số hạng trong các khai triển sau
1) Số hạng thứ 13 trong khai triển
13
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
2) Số hạng thứ 18 trong khai triển
3) Số hạng không chứa x trong khai triển
4) 32) Số hạng không chứa x trong khai triển
5) 33) Số hạng chứa a, b và có số mũ bằng nhau trong khai triển
Bài 15: Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau
1) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển
2) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển
3) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển
4) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển
5) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển
6) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển
7) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển:
8)
9) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển:
10)
11)Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển .
Dạng 7: Tìm tổng có chứa
Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với một nhị thức khai triển và cho x giá trị
thích hợp, từ đó suy ra kết quả.
Bài 16: Tính tổng:
Bài 17: Tính tổng:
Bài 18: Tính tổng:
E. CAÁP SOÁ COÄNG
Kieán thöùc caàn nhôù:
1. Ñònh nghóa: Caáp soá coäng laø moät daõy soá ( höõu haïn
hay voâ haïn), trong ñoù, keå töø soá haïng thöù hai, moãi soá haïng
ñeàu laø toång cuûa soá haïng ñöùng ngay tröôùc noù vôùi moät soá
khoâng ñoãi goïi laø coâng sai.
Goïi d laø coâng sai, theo ñònh nghóa ta coù: un+1 = un + d (n
= 1, 2, ...).
14
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
Ñaëc bieät: Khi d = 0 thì caáp soá coäng laø moät daõy soá trong
ñoù taát caû caùc soá haïng ñeàu baèng nhau.
Ñeå chæ raèng daõy soá (un) laø moät caáp soá coäng,ta kí hieäu
u1, u2, ..., un, ....
2. Soá haïng toång quaùt
Ñònh lí: Soá haïng toång quaùt un cuûa moät caáp soá coäng
coù soá haïng ñaàu u1 vaø coâng sai d ñöôïc cho bôûi coâng thöùc:
un = u1 + (n - 1)d
3. Tính chaát caùc soá haïng cuûa caáp soá coäng
Ñònh lí: trong moät caáp soá coäng, moãi soá haïng keå töø soá
haïng thöù hai ( vaø tröø soá haïng cuoái cuøng ñoái vôùi caáp soá
coäng höõu haïn), ñeàu laø trung bình coäng cuûa hai soá haïng keà
beân noù, töùc laø (k 2).
4. Toång n soá haïng ñaàu cuûa moät caáp soá coäng
Ñònh lí: Ñeå tính Sn tacoù hai coâng thöùc sau:
Sn tính theo u1 vaø d
Sn tính theo u1 vaø un
BAØI TAÄP AÙP DUÏNG
Baøi 1: Xaùc ñònh soá haïng caàn tìm trong moãi caáp soá coäng
döôùi ñaây:
tìm u15.
tìmu20.
ÑS:
Baøi 2: Xaùc ñònh caáp soá coäng coù coâng sai laø 3, soá haïng
cuoái laø 12 vaø coù toång baèng 30.
Baøi 3: Cho caáp soá coäng:
Tìm soá haïng ñaàu vaø coâng sai cuûa noù.
Baøi 4: Tìm caáp soá coäng coù 5 soá haïng bieát toång laø 25
vaø toång caùc bình phöông cuûa chuùng laø 165.
Baøi 5: Tìm 3 soá taïo thaønh moät caáp soá coäng bieát soá
haïng ñaàu laø 5 vaø tích soá cuûa chuùng laø 1140.
Baøi 6: Tìm chieàu daøi caùc caïnh cuûa moät tam giaùc vuoâng
bieát chuùng taïo thaønh moät caáp soá coäng vôùi coâng sai laø
25.
Baøi 7: Cho caáp soá coäng u1, u2, u3, ...
Bieát u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147.
Tính u1 + u6 + u11 + u16.
Baøi 8: Moät caáp soá coäng (an) coù a3 + a13 = 80.
Tìm toång S15 cuûa 15 soá haïng ñaàu tieân cuûa caáp soá coäng
ñoù.
Baøi 9: Moät caáp soá coäng coù 11 soá haïng. Toång cuûa
chuùng laø 176. Hieäu cuûa soá haïng cuoái vaø soá haïng ñaàu laø
30. Tìm caáp soá ñoù.
15
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
Baøi 10: cho caáp soá coäng (an) coù a1 = 4, d = -3. Tính a10.
Baøi 11: Tính u1, d trong caùc caáp soá coäng sau ñaây:
ÑS: 1/ u1 = vaø d = ; 2/ u1 = 3
vaø d = 4.
3/ u1 = 0 vaø d = ; 4/ u1 =
vaø d = .
Baøi 12: Cho caáp soá coäng (un) coù u3 = -15, u14 = 18.
Tính toång cuûa 20 soá haïng ñaàu tieân.
Baøi 13: Cho caáp soá coäng (un) coù u1 = 17, d = 3. Tính
u20 vaø S20.
ÑS: u20 = 74, S20 =
910
Baøi 14: Cho caáp soá coäng (un) coù a10 = 10, d = -4.
Tính u1 vaø S10. ÑS: u1 = 46, S10 = 280
Baøi 15: Cho caáp soá coäng (un) coù u6 = 17 vaø u11 = -1.
Tính d vaø S11. ÑS: d = vaø S11
= 187
Baøi 16: Cho caáp soá coäng (un) coù u3 = -15, u4 = 18.
Tìm toång cuûa 20 soá haïng ñaàu tieân. ÑS: S20 = 1350
CAÁP SOÁ NHAÂN
Kieán thöùc caàn nhôù:
1. Ñònh nghóa: Caáp soá nhaân laø moät daõy soá ( höõu haïn
hay voâ haïn), tronh ñoù keå töø soá haïng thöù hai moãi soá
haïng ñeàu laø tích cuûa soá haïng ñöùng ngay tröôùc noù vôùi
moät soá khoâng ñoãi goïi laø coâng boäi.
Goïi q laø coâng boäi, theo ñònh nghóa ta coù
un+1 =un.q (n = 1, 2, ...).
Ñaëc bieät:
Khi q = 0 thì caáp soá nhaân laø moät daõy soá daïng u 1, 0,
0, ..., 0, ...
Khi q = 1 thì caáp soá nhaân laø moät daõy soá daïng u 1, u1, ...,
u1, ...
Neáu u1 = 0 thì vôùi moïi q, caáp soá nhaân laø daõy soá 0,
0, ..., ...
Ñeå chæ daõy soá (un) laø moät caáp soá nhaân ta thöôøng
duøng kí hieäu
u1, u2, ..., un, ....
2. Soá haïng toång quaùt
Ñònh lí: Soá haïng toång quaùt cuûa moät caáp soá nhaân
ñöôïc cho bôûi coâng thöùc:
u n = u1 (q )
3. Tính chaát caùc soá haïng cuûa caáp soá nhaân
16
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
Ñònh lí: Trong moät caáp soá nhaân, moãi soá haïng keå töø
soá haïng thöù hai (tröø soá haïng cuoái ñoái vôùi caáp soá nhaân
höõu haïn) ñeàu coù giaù trò tuyeät ñoái laø trung bình nhaân cuûa
hai soá haïng keà beân noù, töùc laø:
4. Toång n soá haïng ñaàu cuûa moät caáp soá nhaân.
Cho moät caáp soá nhaân vôùi coâng boäi q 1
u1, u2, ...,un, ...
Ñònh lí: Ta coù: (q 1)
BAØI TAÄP AÙP DUÏNG
Baøi 1: Tìm caùc soá haïng cuûa caáp soá nhaân bieát:
1/ Caáp soá nhaân coù 6 soá haïng maø u1 = 243 vaø u6 = 1
2/ Cho q = , n = 6, S6 = 2730. Tìm u1, u6.
Baøi 2: Cho caáp soá nhaân coù: u3 = 18 vaø u6 = -486.
Tìm soá haïng ñaàu tieân vaø coâng boäi q cuûa caáp soá nhaân
ñoù
Baøi 3: Tìm u1 vaø q cuûa caáp soá nhaân bieát:
Baøi 4: Tìm u1 vaø q cuûa caáp soá nhaân (un) coù: u3=12,
u5=48.
Baøi 5: Tìm u vaø q cuûa caáp soá nhaân (un) bieát:
Baøi 6: Tìm caáp soá nhaân (un) bieát caáp soá ñoù coù 4 soá
haïng coù toång baèng 360 vaø soá haïng cuoái gaáp 9 laàn soá
haïng thöù hai.
Baøi 7: Toång 3 soá haïng lieân tieáp cuûa moät caáp soá coäng
laø 21. Neáu soá thöù hai tröø ñi 1 vaø soá thöù ba coäng theâm 1
thì ba soá ñoù laäp thaønh moät caáp soá nhaân. Tìm ba soá ñoù.
17
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
PHẦN II. HÌNH HỌC
CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH
Caâu 1: Trong maët phaúng oxy,pheùp tònh tieán theo vectô
bieán ñieåm M(x;y) thaønh M’(x’;y’) . Tìm toïa ñoä ñieåm M'
Caâu 2:Trong maët phaúng oxy cho ñieåm M (1;2) .Pheùp tònh tieán
theo vectô bieán ñieåm M thaønh ñieåm N. Tìm toïa ñoä ñieåm
N.
Caâu 3: Trong maët phaúng oxy cho ñieåm A(4;5). Tìm ñieåm B(x,y)
sao cho A laø aûnh cuûa ñieåm B qua pheùp tònh tieán theo :
Caâu4 : Trong caùc hình sau ñaây, hình naøo coù ba truïc ñoái xöùng:
A) tam giaùc ñeàu B) hình chöõ nhaät C) Hình vuoâng
D)Hình thoi
Caâu5: Trong maët phaúng oxy Cho ñieåm M(2;3). Pheùp ñoái
xöùng qua truïc ox bieán ñieåm M thaønh M’. Tìm toïa ñoä ñieåm M'
Caâu 6: Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng thaúng d coù phöông
trình : x+y -5=0 .Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng d qua pheùp tònh
tieán vectô ?
Caâu 6: Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng thaúng d coù phöông
trình : 3x+5y-4=0.Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng d qua pheùp ñoái
xöùng truïc ox.
Caâu 8 :Trong maët phaúng oxy Cho ñieåm M(2;3).Pheùp ñoái
xöùng qua goác toaï ñoä bieán ñieåm M thaønh ñieåm N. Tìm toïa ñoä
ñieåm N?
Caâu 8 :Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng thaúng d coù phöông
trình : x+y -5=0 3x+4y-6=0, pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä
bieán d thaønh d’. Tìm phöông trình d'
Caâu 7: Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng troøn (C) coù phöông
trình (x-5)2 +(y-4)2 =36 . Pheùp tònh tieán theo vectô bieán
(C) thaønh (C’). Tìm phöông trình (C')
Caâu 7: Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng troøn (C) coù phöông
trình (x-5)2 +(y-4)2 =25 . Pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán
(C) thaønh (C’). Tìm phöông trình (C')
Caâu 12 :Trong caùc pheùp bieán hình sau pheùp naøo khoâng phaûi
laø pheùp dôøi hình ?
A) pheùp ñoàng daïng vôùi tæ soá k=1 ; B) pheùp vò töï tæ soá k=
; C) pheùp tònh tieán ; D)pheùp chieáu vuoâng goùc
Caâu 13 : Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng troøn (C) coù phöông
trình (x-1)2 +(y-3)2 =16 . Pheùp dôøi hình coù ñöôïc baèng caùch
thöïc hieän lieân tieáp pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán (C)
thaønh (C') vaø pheùp tònh tieán bieán (C') thaønh (C’'). Tìm
phöông trình cuûa (C'').
Caâu 14 :Cho hình vuoâng ABCD .Goïi O laø giao ñieåm cuûa hai
ñöôøng cheùo .Thöïc hieän pheùp quay taâm O bieán hình vuoâng
ABCD thaønh chính noù. Tìm soá ño cuûa goùc quay ñoù?
Caâu 15 : Pheùp vò töï taâm O tæ soá k (k 0) laø moät pheùp bieán
hình bieán ñieåm M thaønh ñieåm M’ sao cho :
18
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
A) =k B) =k C) OM’ =k OM D) =
Caâu 16 : trong mp oxy cho ñieåm M( -2;4 ). Pheùp vò töï taâm O tæ
soá k = -2 bieán ñieåm M thaønh ñieåm N. Tìm toïa ñoä ñieåm N
Caâu 17 : trong mpoxy cho ñöôøng thaúng d coù PT: 2x + y – 4 = 0.
Pheùp vò töï taâm O tæ soá k = 3 bieán d thaønh ñöôøng thaúng d'.
Tìm phöông trình d'?
Caâu 18 : trong mpoxy cho ñöôøng troøn (C) coù phöông trình : ( x -
1 )2 + y2 = 16. pheùp vò töï taâm O tæ soá k = 2 bieán (C) thaønh
ñöôøng troøn (C'). Tìm phöông trình (C')
Caâu 19 : Thöïc hieän lieân tieáp hai pheùp ñoái xöùng truïc coù hai
truïc ñoái xöùng song song laø pheùp naoø sau ñaây:
A) pheùp ñoái xöùng truïc B) pheùp tònh tieán C) pheùp quay D)
pheùp ñoái xöùng taâm
Caâu 20 : Trong mp oxy cho ñieåm M(1;2) . pheùp ñoàng daïng coù
ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp vaø pheùp ñoái
xöùng qua truïc oy bieán M thaønh ñieåm N. Tìm N? Caâu 21 :Trong
maët phaúng oxy cho ñöôøng thaúng d coù phöông trình : x+
y+2=0 . pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân
tieáp pheùp vò töï taâm O tæ soá vaø pheùp ñoái xöùng qua truïc
ox bieán d thaønh d’. Tìm phöông trình d'?
Caâu 22 : Trong caùc pheùp bieán hình sau ñaây pheùp bieán hình
naøo khoâng coù tính chaát “bieán moät ñöôøng thaúng thaønh moät
ñöôøng thaúng song song hoaëc truøng vôùi noù”:
A) pheùp ñoái xöùng taâm B) pheùp tònh tieán C) pheùp vò töï D)
pheùp ñoái xöùng truïc
Caâu 23: Cho ñöôøng troøn (C ) coù phöông trình (x-1)2 + (y-2)2
=4 .Pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp
pheùp vò töï taâm O tæ soá k=3 vaø pheùp tònh tieán theo vectô
bieán (C) thaønh (C'). Tìm (C') ?
Caâu 24 : Cho ñöôøng troøn (C ) coù phöông trình (x-1)2 + (y-2)2
=4 . Pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp
pheùp vò töï taâm O tæ soá k=3 vaø pheùp ñoái xöùng qua goác
toaï ñoä bieán (C) thaønh (C'). Tìm (C')?
Caâu 25 : Choïn khaúng ñònh sai trong caùc khaúng ñònh sau :
A)pheùp tònh tieán bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù
cuøng baùn kính
B) pheùp ñoái xöùng truïc bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng
troøn coù cuøng baùn kính
C) pheùp ñoái xöùng taâm bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng
troøn coù cuøng baùn kính
D) pheùp vò töï bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù
cuøng baùn kính
CHÖÔNG 2. QUAN HEÄ SONG SONG
Vấn đề 1 : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG VÀ :
19
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và ta đi tìm hai điểm chung I ; J của và
= I J
Khi tìm điểm chung ta chú ý :
Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm chung
M d và d M
a b M trong(P)
a ; b M là điểm chung
1. 1: 1)Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm của AB. Hãy xác định giao tuyến của mặt
phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD)
2)Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng trong (ABC)
cắt AB; BC tại J ; K. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I,d) với các mặt phẳng sau :
(SAB) ; (SAC) ; (SBC)
1. 2: 1)Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm
giao tuyến của :
a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD) c) (SAD) và (SBC)
2)Cho hình chóp S.ABCDE. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) với
các mặt phẳng (SAD) ; (SCE)
1. 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi ; M là điểm trên cạnh CD.
Tìm giao tuyến của các mặt phẳng :
a)(SAM) và (SBD) b)(SBM) ; (SAC)
1. 4: Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm trong ABC; N là điểm nằm trong ACD. Tìm
giao tuyến của : a) (AMN) và (BCD) b) (CMN) và (ABD)
1
1. 5: Cho tứ diện ABCD .M nằm trên AB sao cho AM = MB ; N nằm trên AC sao cho
4
AN = 3NC; điểm I nằm trong BCD. Tìm giao tuyến của :
a) (MNI) và (BCD) b) (MNI) và (ABD) c) (MNI) và (ACD)
1. 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J lần lượt là trung điểm của AD; BC .
a) Tìm giao tuyến của : (IBC) và (JAD)
b)M là điểm trên AB; N là điểm trên AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN)
1. 7: Cho hai đường thẳng a ; b (P) và điểm S không thuộc (P). Hãy xác định giao
tuyến của mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S ?
1. 8: Cho tứ diện ABCD ; trên AB ; AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho :
AM AN
. Tìm giao tuyến của (DMN) và (BCD)
MB NC
1. 9; Cho bốn điểm ABCD không đồng phẳng ; gọi I ; K là trung điểm AD ; BC . Xác
định giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) ?
1. 10 : Trong mặt phẳng cho hình thang ABCD có đáy là AB ; CD ; S là điểm nằm
ngoài mặt phẳng hình thang. Tìm giao tuyến của :
a) (SAD) và (SBC) b) (SAC) và (SBD)
20
GV: Nguyễn Quang Tánh
PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN
1. Hai cung đối nhau: -x và x
3. Hai cung phụ nhau: và x
2. Hai cung bù nhau: và x
4. Hai cung hơn kém nhau Pi: và x
5. Các hằng đẳng thức lượng giác
6. Công thức cộng lượng giác
7. Công thức nhân đôi
8. Công thức nhân ba:
9. Công thức hạ bậc:
10. Công thức biến đổi tích thành tổng
11 . Công thức biến đổi tổng thành tích
1
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
A. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
I/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Cho
Bài 2: Cho 5cosa + 4 = 0 .Tính sina , tana, cota.
Bài 3: Cho
Bài 4: Tính biết Tính biết tanx = -2
Tính biết cotx = -3
Bài 5: Chứng minh:
(sử dụng như 1 công thức)
Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau:
Bài 7: * Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
II/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG ĐẶC BIỆT
* Biết 1 HSLG khác:
Bài 1: Cho sinx = - 0,96 với
a/ Tính cosx ; b/ Tính
2
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
Bài 2: Tính:
Bài 3: Đơn giản biểu thức:
Bài 4: Đơn giản biểu thức:
Bài 5: Đơn giản biểu thức:
Bài 6: Chứng minh:
Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh:
III/. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau:
Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau:
æp ö 12 3p
Bài 10: Tính cos ç
ç - x÷
÷
÷ biết sin x =- , ( < x < 2p)
ç
è3 ø 13 2
1 1
Bài 11: Cho 2 góc nhọn có tan a = , tan b = . a/ Tính tan (a + b) b/ Tính
2 3
ìï p
ïï x + y =
Bài 12: Cho 2 góc nhọn x và y thoả : í 4
ïï
îï tan x.tan y = 3 - 2 2
a/ Tính b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y.
3
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
æ pö 40 3p
Bài 13: Tính tan ç
çx- ÷
÷
÷ biết sin x =- và p < x <
ç
è 4ø 41 2
Bài 14: Tính theo . Áp dụng: Tính tg15o
Bài 15: Tính:
tan 25o + tan 20o 1 + tan15o
A = sin 20o cos10o + sin10o cos 20 o B= C=
1 - tan 25o.tan 20o 1 - tan15o
3 tan 225o - cot 81o.cot 69 o
D = sin15o - 3 cos15o E = sin15o + cos15o F=
3 cot 261o + tan 201o
Bài 16: Tính:
æ pö æ pö æ pö æ 3p ö
a / A = cos ç
çx- ÷ ÷
÷cos ç
çx+ ÷ ÷
÷+ cos ç
çx+ ÷ ÷
÷cos ç
çx+ ÷ ÷
÷
ç
è 3ø è ç 4ø ç
è 6ø è ç 4ø
æ pö æ pö æ 2p ö æ 2p ö
b / B = tan x.tan ç
çx+ ÷ ÷
÷+ tan ç
çx + ÷
÷
÷tan ç
çx + ÷
÷
÷+ tan ç
çx+ ÷÷tan x
÷
ç
è 3ø ç
è 3ø è ç 3ø ç
è 3ø
Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x:
æp ö 2æ ö 2æ ö 2æ ö
A = cos 2 x + cos 2 çç + x ÷
÷+ cos ççp - x ÷
÷ B = sin 2
x + sin çç2p + x ÷
÷+ sin çç2p - x ÷
÷
çè3 ÷
ø èç3 ÷
ø èç3 ÷
ø èç3 ÷
ø
Bài 18: Chứng minh:
a / cos (a + b).cos (a - b ) = cos 2 a - sin 2 b = cos 2 b - sin 2 a
b / sin (a + b).sin (a - b ) = sin 2 a - sin 2 b = cos 2 b - cos 2 a
c / sin (a + b).cos (a - b ) = sin a cosa + sin bcos b
æp ö æp ö
d / sin ç
ç + a÷÷
÷- sin ç
ç - a ÷
÷= 2 sin a
÷
ç
è4 ø ç4
è ø
Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác
Cho tam giác ABC.Chứng minh:
1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB
2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC
A B C B C
3/ sin = cos cos - sin sin
2 2 2 2 2
A B C B C
4/ cos = sin cos - cos sin
2 2 2 2 2
æ pö
5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC ç
çA,B,C ¹ ÷
÷
÷
ç
è 2ø
A B B C C A
6/ tan tan + tan tan + tan tan = 1
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
7/ cot + cot + cot = cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1
( học thuộc kết quả )
Công thức biến đổi:
Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG
p 2p
a / sin .sin b / cos 5x.cos 3x c / sin (x + 30o )cos (x - 30o )
5 5
Bài 21: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH
4
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
a / cos 4x + cos3x; b / cos3x - cos 6x; c / sin 5x + sin x
d / sin (a + b )- sin (a - b ); e / tan (a + b )+ tan a; f / tan 2a - tan a
Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau :
A B C
9/ sinA + sinB + sinC = 4cos .cos .cos
2 2 2
A B C
10 / cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin .sin .sin
2 2 2
11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 - 4cosA.cosB.cosC
13/ sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 (1 +cosA.cosB.cosC)
14/ cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 - 2cosA.cosB.cosC
A B C
15/ sinA + sinB - sinC = 4sin .sin .cos
2 2 2
( tiếp theo Loại 5- Trang 8)
Bài 23: Chứng minh vuông nếu:
sin B + sin C
a / sin A = ; b / sin C = cos A + cos B; c / sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2
cos B + cos C
Bài 24: Chứng minh cân nếu:
Bài 25: Chứng minh đều nếu:
1 3
a / cos A.cos B.cos C = ; b / sin A + sin B + sin C = sin 2A + sin 2B + sin 2C; c / cos A + cos B + cos C =
8 2
Bài 26: Chứng minh cân hoặc vuông nếu:
2 C tan B sin 2 B sin (B + C) sin (B - C)
a / tan A.tan B.tan = 1; b / = 2 ; c/ 2 =
2 tan C sin C sin B + sin 2 C sin 2 B - sin 2 C
Bài 27: Hãy nhận dạng biết:
B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Chú ý : 1) có nghĩa khi B (A có nghĩa) ; có nghĩa khi A
2)
3)
4)
5) Hàm số y = tanx xác định khi
Hàm số y = cotx xác định khi
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
1) y = cosx + sinx 2) y = cos 3) y = sin
4) y = cos 5) y = 6) y =
5
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
7) y = 8) y = tan(x + ) 9) y = cot(2x -
10) y =
II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
sin2(-x) = = (-sinx)2 = sin2x
Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ ; Kiểm tra
Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau
1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2
4) y = tan2x 5) y = sin + x2 6) y = cos
III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác
Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng
Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng
Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng
Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng
Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng
Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng
Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số
1) y = sinx trên 2) y = cosx trên khoảng
3) y = cotx trên khoảng 4) y = cosx trên đoạn
5) y = tanx trên đoạn 6) y = sin2x trên đoạn
7) y = tan3x trên khoảng 8) y =sin(x + ) trên đoạn
Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số
Hàm số
Khoảng
y = sinx
y = cosx
y = tanx
y = cotx
6
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K y = A.f(x) +B
Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số
1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn
2) y = -2cos trên đoạn
IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Chú ý : ; 0 sin2 x 1 ; A2 + B B
Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y = 2sin(x- ) + 3 2) y = 3 – cos2x 3) y = -1 -
4) y = -2 5) y = 6) y = 5cos
7) y = 8) y =
Chú ý :
Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn thì
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn thì
Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y = sinx trên đoạn 2) y = cosx trên đoạn
3) y = sinx trên đoạn 4) y = cos x trên đoạn
C.PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC.
I:LÍ THUYEÁT .
1/Phöông trình löôïng giaùc cô baûn .
sin u = sin v (kZ)
cos u = cos v u = v + k2. (kZ
)
tanu = tanv u = v + k (k
Z)
cotu = cotv u = v + k (kZ)
2/ Phöông trình ñaëc bieät :
sinx = 0 x = k , sinx = 1 x = + k2 ,sinx = -1 x = -
+ k2
cosx = 0 x = + k , cosx = 1 x = k2 , cosx = -1 x =
+ k2 .
3/ Phöông trình baäc nhaát ñoái vôùi sinx vaø cosx .
Laø phöông trình coù daïng : acosx + bsinx = c (1) trong ñoù a 2
+ b2 0
7
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
Caùch 1: acosx + bsinx = c = c vôùi
asinx +bcosx = c = c vôùi .
Caùch 2 :
Xeùt phöông trình vôùi x = + k , k Z
Vôùi x + k ñaët t = tan ta ñöôïc phöông trình baäc hai
theo t :
(c + b)t2 – 2at + c – a = 0
Chuù yù : pt(1) hoaëc pt( 2) coù nghieäm a2 + b2 - c2 0 .
Baøi taäp :Giaûi caùc phöông trình sau:
1. , 2.
3. , 4.
5. , 6.
7. 8.
4/ Phöông trình chæ chöùa moät haøm soá löôïng giaùc :
Phöông trình chæ chöùa moät haøm soá löôïng giaùc laø phöông
trình coù daïng : f[u(x)] = 0
vôùi u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx.
Ñaët t = u(x) ta ñöôïc phöông trình f(t) = 0 .
Baøi taäp: Giaûi caùc phöông trình sau:
1. 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x –
8cosx +5 = 0
3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin 4x +
cos4x) = 2sin2x – 1
5. sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x 6.
7. 8. 5tan x -2cotx - 3 = 0
9. 10.
5/ Phöông trình ñaúng caáp theo sinx vaø cosx :
a/ Phöông trình ñaúng caáp baäc hai : asin2x +b sinx cosx + c
cos2x = 0 .
Caùch 1 :
Xeùt cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .
Xeùt chia hai veá cuûa phöông trình cho cos2x roài ñaët t
= tanx.
Caùch 2: Thay sin2x = (1 – cos 2x ), cos2x = (1+ cos 2x) ,
sinxcosx = sin2x ta ñöôïc phöông trình baäc nhaát theo sin2x
vaø cos2x .
8
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
b/ Phöông trình ñaúng caáp baäc cao : Duøng phöông phaùp ñaët
aån phuï t = tanx sau khi ñaõ xeùt phöông trình trong tröôøng hôïp
cos x = 0 hay x = + k ,kZ.
Baøi taäp :
1. 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2
2. 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 - 9)cos2x = 0
3. 4sin2x +3 sin2x – 2cos2x = 4
4. 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx.
5.
6/ Phöông trình daïng : a( cosx sinx ) + b sinxcosx + c = 0 .
Ñaët t = cosx + sinx , ñieàu kieän khi ñoù sinxcosx =
Ta ñöa phöong trình ñaõ cho veà phöông trình baäc hai theo t .
Chuù yù : neáu phöông trình coù daïng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx
+c=0
Ñaët t = cosx - sinx , ñieàu kieän khi ñoù sinxcosx =
Baøi taäp : Giaûi caùc phöông trình sau :
1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0
2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12
3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1
4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0
5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
7. Caùc phöông trình löôïng giaùc khaùc.
Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau :
1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 –
4cos2x – 9sinx = 0,
4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 = , 6/ 4sin4
+12cos2x = 7
Baøi 2 : Giaûi caùc phöông trình sau :
1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : ñaët t
=sinx
2/ ÑS : x = k3 , x= +k3
,x= +k3
3/ 1+ sin sinx - cos sin2x = 2cos2 ( ) ÑS: sinx =1
v sin =1
4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : ñaët t = tanx
, ÑS : x = - +k
9
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = ÑS : x = k2 , x
= +k2
6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x ÑS : cosx = 0 ,
cos 2x =
7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x
8/ cos 3x – cos 2x = 2
9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx
HD :ñaët t = tan
10/ sin2x+ 2tanx = 3
11/ sin2x + sin23x = 3cos22x
HD :ñaët t =cos 2x
12/ tan3( x - ) = tanx - 1 ÑS :
x = k v x = + k
13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Ñöa veà PT
baäc hai theo sinx.
14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2
ÑS : x = + k
15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
II. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP BAÄC n THEO SINX ,COSX.
Giaûi caùc phöông trình sau :
1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0 .
2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx.
3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ÑS : x= +
5/ sin3(x - )= sinx ÑS : x =
+k
6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0 ÑS :x =
+ k v x= +
7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0 .
8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx
III. PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG – PT PHAÛN ÑOÁI XÖÙNG .
Giaûi caùc phöông trình sau :
1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos
2x +sinx = 0
3/ 1 + sin3x + cos3x = sin2x 4/ 6( cos x – sinx
) + sinxcosx + 6 = 0
10
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
3 3
5/ sin x – cos x = 1 + sinxcosx 6/
7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 6
8/ + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0
9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 10/
3 3
cos x – sin x = - 1
11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx ).
IV.PHÖÔNG TRÌNH TÍCH VAØ PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
KHAÙC .
Giaûi caùc phöông trình sau:
1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x
= 3sinx +cosx – 2
3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x –
sin3xsin3x = cos34x +
5/ sin4 + cos4 = 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x +
cosx = 0
7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 8/ sin4x + cos4x – cos2x =
1 – 2sin2x cos2x
9/ 3sin3x - cos 9x = 1 + 4sin3x. 10/
11/ sin2 tan2x – cos2 =0 12/ cotx – tanx +
4sinx = 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx +
1 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x )
15/ 16/ sin23x – cos24x = sin25x –
cos26x
17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/
19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan )
20/ cotx – 1 =
21/ 3 –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx =
D. TOÅ HÔÏP
Tóm tắt giáo khoa
I. Quy tắc đếm
1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và
B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách.
Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách.
11
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể
thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được
thực hiện bởi n.m cách.
II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1. Hoán vị:
a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự
định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A.
b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n
2. Chỉnh hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số mà . Khi lấy ra k phần tử
trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một
phép chỉnh hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là:
.
3. Tổ hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số mà . Một tập hợp con của
A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là:
c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:
III. Khai triển nhị thức Newton
Nhận xét:
– Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng.
– Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.
– Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.
– Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì:
–
–
Chú ý:
– là khai triển theo số mũ của a giảm dần.
– là khai triển theo số mũ của a tăng dần.
Các Dạng bài toán cơ bản
Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm
Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A
hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân.
Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu
khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?
12
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
Bài 2: Cho tập . Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn
trong số các phần tử của A?
Bài 3: Từ tập hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1
xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần?
Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị
Phương pháp giải:
Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3…n
Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân
Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ
ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?
Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử:
Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ
nối hai điểm trong các điểm đó?
Bài 6: Từ tập có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử:
Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập
được bao nhiêu tam giác?
Dạng 5: Tìm trong phương trình chứa
Phương pháp giải: Dùng các công thức:
Bài 8: Tìm , nếu có: .
Bài 9: Tìm , nếu có:
Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b)n.
Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton:
(khai triển theo lũy thừa của a
tăng, b giảm)
(Chú ý: khai triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần)
Bài 10: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (11 + x)11.
Bài 11: Trong khai triển , (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x.
Bài 12: Tìm hệ số của x8 trong khai triển
Bài 13: Cho khai triển: , có các hệ số . Tìm hệ
số lớn nhất
Bài 14: Tìm số hạng trong các khai triển sau
1) Số hạng thứ 13 trong khai triển
13
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
2) Số hạng thứ 18 trong khai triển
3) Số hạng không chứa x trong khai triển
4) 32) Số hạng không chứa x trong khai triển
5) 33) Số hạng chứa a, b và có số mũ bằng nhau trong khai triển
Bài 15: Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau
1) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển
2) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển
3) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển
4) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển
5) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển
6) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển
7) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển:
8)
9) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển:
10)
11)Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển .
Dạng 7: Tìm tổng có chứa
Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với một nhị thức khai triển và cho x giá trị
thích hợp, từ đó suy ra kết quả.
Bài 16: Tính tổng:
Bài 17: Tính tổng:
Bài 18: Tính tổng:
E. CAÁP SOÁ COÄNG
Kieán thöùc caàn nhôù:
1. Ñònh nghóa: Caáp soá coäng laø moät daõy soá ( höõu haïn
hay voâ haïn), trong ñoù, keå töø soá haïng thöù hai, moãi soá haïng
ñeàu laø toång cuûa soá haïng ñöùng ngay tröôùc noù vôùi moät soá
khoâng ñoãi goïi laø coâng sai.
Goïi d laø coâng sai, theo ñònh nghóa ta coù: un+1 = un + d (n
= 1, 2, ...).
14
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
Ñaëc bieät: Khi d = 0 thì caáp soá coäng laø moät daõy soá trong
ñoù taát caû caùc soá haïng ñeàu baèng nhau.
Ñeå chæ raèng daõy soá (un) laø moät caáp soá coäng,ta kí hieäu
u1, u2, ..., un, ....
2. Soá haïng toång quaùt
Ñònh lí: Soá haïng toång quaùt un cuûa moät caáp soá coäng
coù soá haïng ñaàu u1 vaø coâng sai d ñöôïc cho bôûi coâng thöùc:
un = u1 + (n - 1)d
3. Tính chaát caùc soá haïng cuûa caáp soá coäng
Ñònh lí: trong moät caáp soá coäng, moãi soá haïng keå töø soá
haïng thöù hai ( vaø tröø soá haïng cuoái cuøng ñoái vôùi caáp soá
coäng höõu haïn), ñeàu laø trung bình coäng cuûa hai soá haïng keà
beân noù, töùc laø (k 2).
4. Toång n soá haïng ñaàu cuûa moät caáp soá coäng
Ñònh lí: Ñeå tính Sn tacoù hai coâng thöùc sau:
Sn tính theo u1 vaø d
Sn tính theo u1 vaø un
BAØI TAÄP AÙP DUÏNG
Baøi 1: Xaùc ñònh soá haïng caàn tìm trong moãi caáp soá coäng
döôùi ñaây:
tìm u15.
tìmu20.
ÑS:
Baøi 2: Xaùc ñònh caáp soá coäng coù coâng sai laø 3, soá haïng
cuoái laø 12 vaø coù toång baèng 30.
Baøi 3: Cho caáp soá coäng:
Tìm soá haïng ñaàu vaø coâng sai cuûa noù.
Baøi 4: Tìm caáp soá coäng coù 5 soá haïng bieát toång laø 25
vaø toång caùc bình phöông cuûa chuùng laø 165.
Baøi 5: Tìm 3 soá taïo thaønh moät caáp soá coäng bieát soá
haïng ñaàu laø 5 vaø tích soá cuûa chuùng laø 1140.
Baøi 6: Tìm chieàu daøi caùc caïnh cuûa moät tam giaùc vuoâng
bieát chuùng taïo thaønh moät caáp soá coäng vôùi coâng sai laø
25.
Baøi 7: Cho caáp soá coäng u1, u2, u3, ...
Bieát u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147.
Tính u1 + u6 + u11 + u16.
Baøi 8: Moät caáp soá coäng (an) coù a3 + a13 = 80.
Tìm toång S15 cuûa 15 soá haïng ñaàu tieân cuûa caáp soá coäng
ñoù.
Baøi 9: Moät caáp soá coäng coù 11 soá haïng. Toång cuûa
chuùng laø 176. Hieäu cuûa soá haïng cuoái vaø soá haïng ñaàu laø
30. Tìm caáp soá ñoù.
15
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
Baøi 10: cho caáp soá coäng (an) coù a1 = 4, d = -3. Tính a10.
Baøi 11: Tính u1, d trong caùc caáp soá coäng sau ñaây:
ÑS: 1/ u1 = vaø d = ; 2/ u1 = 3
vaø d = 4.
3/ u1 = 0 vaø d = ; 4/ u1 =
vaø d = .
Baøi 12: Cho caáp soá coäng (un) coù u3 = -15, u14 = 18.
Tính toång cuûa 20 soá haïng ñaàu tieân.
Baøi 13: Cho caáp soá coäng (un) coù u1 = 17, d = 3. Tính
u20 vaø S20.
ÑS: u20 = 74, S20 =
910
Baøi 14: Cho caáp soá coäng (un) coù a10 = 10, d = -4.
Tính u1 vaø S10. ÑS: u1 = 46, S10 = 280
Baøi 15: Cho caáp soá coäng (un) coù u6 = 17 vaø u11 = -1.
Tính d vaø S11. ÑS: d = vaø S11
= 187
Baøi 16: Cho caáp soá coäng (un) coù u3 = -15, u4 = 18.
Tìm toång cuûa 20 soá haïng ñaàu tieân. ÑS: S20 = 1350
CAÁP SOÁ NHAÂN
Kieán thöùc caàn nhôù:
1. Ñònh nghóa: Caáp soá nhaân laø moät daõy soá ( höõu haïn
hay voâ haïn), tronh ñoù keå töø soá haïng thöù hai moãi soá
haïng ñeàu laø tích cuûa soá haïng ñöùng ngay tröôùc noù vôùi
moät soá khoâng ñoãi goïi laø coâng boäi.
Goïi q laø coâng boäi, theo ñònh nghóa ta coù
un+1 =un.q (n = 1, 2, ...).
Ñaëc bieät:
Khi q = 0 thì caáp soá nhaân laø moät daõy soá daïng u 1, 0,
0, ..., 0, ...
Khi q = 1 thì caáp soá nhaân laø moät daõy soá daïng u 1, u1, ...,
u1, ...
Neáu u1 = 0 thì vôùi moïi q, caáp soá nhaân laø daõy soá 0,
0, ..., ...
Ñeå chæ daõy soá (un) laø moät caáp soá nhaân ta thöôøng
duøng kí hieäu
u1, u2, ..., un, ....
2. Soá haïng toång quaùt
Ñònh lí: Soá haïng toång quaùt cuûa moät caáp soá nhaân
ñöôïc cho bôûi coâng thöùc:
u n = u1 (q )
3. Tính chaát caùc soá haïng cuûa caáp soá nhaân
16
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
Ñònh lí: Trong moät caáp soá nhaân, moãi soá haïng keå töø
soá haïng thöù hai (tröø soá haïng cuoái ñoái vôùi caáp soá nhaân
höõu haïn) ñeàu coù giaù trò tuyeät ñoái laø trung bình nhaân cuûa
hai soá haïng keà beân noù, töùc laø:
4. Toång n soá haïng ñaàu cuûa moät caáp soá nhaân.
Cho moät caáp soá nhaân vôùi coâng boäi q 1
u1, u2, ...,un, ...
Ñònh lí: Ta coù: (q 1)
BAØI TAÄP AÙP DUÏNG
Baøi 1: Tìm caùc soá haïng cuûa caáp soá nhaân bieát:
1/ Caáp soá nhaân coù 6 soá haïng maø u1 = 243 vaø u6 = 1
2/ Cho q = , n = 6, S6 = 2730. Tìm u1, u6.
Baøi 2: Cho caáp soá nhaân coù: u3 = 18 vaø u6 = -486.
Tìm soá haïng ñaàu tieân vaø coâng boäi q cuûa caáp soá nhaân
ñoù
Baøi 3: Tìm u1 vaø q cuûa caáp soá nhaân bieát:
Baøi 4: Tìm u1 vaø q cuûa caáp soá nhaân (un) coù: u3=12,
u5=48.
Baøi 5: Tìm u vaø q cuûa caáp soá nhaân (un) bieát:
Baøi 6: Tìm caáp soá nhaân (un) bieát caáp soá ñoù coù 4 soá
haïng coù toång baèng 360 vaø soá haïng cuoái gaáp 9 laàn soá
haïng thöù hai.
Baøi 7: Toång 3 soá haïng lieân tieáp cuûa moät caáp soá coäng
laø 21. Neáu soá thöù hai tröø ñi 1 vaø soá thöù ba coäng theâm 1
thì ba soá ñoù laäp thaønh moät caáp soá nhaân. Tìm ba soá ñoù.
17
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
PHẦN II. HÌNH HỌC
CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH
Caâu 1: Trong maët phaúng oxy,pheùp tònh tieán theo vectô
bieán ñieåm M(x;y) thaønh M’(x’;y’) . Tìm toïa ñoä ñieåm M'
Caâu 2:Trong maët phaúng oxy cho ñieåm M (1;2) .Pheùp tònh tieán
theo vectô bieán ñieåm M thaønh ñieåm N. Tìm toïa ñoä ñieåm
N.
Caâu 3: Trong maët phaúng oxy cho ñieåm A(4;5). Tìm ñieåm B(x,y)
sao cho A laø aûnh cuûa ñieåm B qua pheùp tònh tieán theo :
Caâu4 : Trong caùc hình sau ñaây, hình naøo coù ba truïc ñoái xöùng:
A) tam giaùc ñeàu B) hình chöõ nhaät C) Hình vuoâng
D)Hình thoi
Caâu5: Trong maët phaúng oxy Cho ñieåm M(2;3). Pheùp ñoái
xöùng qua truïc ox bieán ñieåm M thaønh M’. Tìm toïa ñoä ñieåm M'
Caâu 6: Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng thaúng d coù phöông
trình : x+y -5=0 .Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng d qua pheùp tònh
tieán vectô ?
Caâu 6: Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng thaúng d coù phöông
trình : 3x+5y-4=0.Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng d qua pheùp ñoái
xöùng truïc ox.
Caâu 8 :Trong maët phaúng oxy Cho ñieåm M(2;3).Pheùp ñoái
xöùng qua goác toaï ñoä bieán ñieåm M thaønh ñieåm N. Tìm toïa ñoä
ñieåm N?
Caâu 8 :Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng thaúng d coù phöông
trình : x+y -5=0 3x+4y-6=0, pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä
bieán d thaønh d’. Tìm phöông trình d'
Caâu 7: Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng troøn (C) coù phöông
trình (x-5)2 +(y-4)2 =36 . Pheùp tònh tieán theo vectô bieán
(C) thaønh (C’). Tìm phöông trình (C')
Caâu 7: Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng troøn (C) coù phöông
trình (x-5)2 +(y-4)2 =25 . Pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán
(C) thaønh (C’). Tìm phöông trình (C')
Caâu 12 :Trong caùc pheùp bieán hình sau pheùp naøo khoâng phaûi
laø pheùp dôøi hình ?
A) pheùp ñoàng daïng vôùi tæ soá k=1 ; B) pheùp vò töï tæ soá k=
; C) pheùp tònh tieán ; D)pheùp chieáu vuoâng goùc
Caâu 13 : Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng troøn (C) coù phöông
trình (x-1)2 +(y-3)2 =16 . Pheùp dôøi hình coù ñöôïc baèng caùch
thöïc hieän lieân tieáp pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán (C)
thaønh (C') vaø pheùp tònh tieán bieán (C') thaønh (C’'). Tìm
phöông trình cuûa (C'').
Caâu 14 :Cho hình vuoâng ABCD .Goïi O laø giao ñieåm cuûa hai
ñöôøng cheùo .Thöïc hieän pheùp quay taâm O bieán hình vuoâng
ABCD thaønh chính noù. Tìm soá ño cuûa goùc quay ñoù?
Caâu 15 : Pheùp vò töï taâm O tæ soá k (k 0) laø moät pheùp bieán
hình bieán ñieåm M thaønh ñieåm M’ sao cho :
18
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
A) =k B) =k C) OM’ =k OM D) =
Caâu 16 : trong mp oxy cho ñieåm M( -2;4 ). Pheùp vò töï taâm O tæ
soá k = -2 bieán ñieåm M thaønh ñieåm N. Tìm toïa ñoä ñieåm N
Caâu 17 : trong mpoxy cho ñöôøng thaúng d coù PT: 2x + y – 4 = 0.
Pheùp vò töï taâm O tæ soá k = 3 bieán d thaønh ñöôøng thaúng d'.
Tìm phöông trình d'?
Caâu 18 : trong mpoxy cho ñöôøng troøn (C) coù phöông trình : ( x -
1 )2 + y2 = 16. pheùp vò töï taâm O tæ soá k = 2 bieán (C) thaønh
ñöôøng troøn (C'). Tìm phöông trình (C')
Caâu 19 : Thöïc hieän lieân tieáp hai pheùp ñoái xöùng truïc coù hai
truïc ñoái xöùng song song laø pheùp naoø sau ñaây:
A) pheùp ñoái xöùng truïc B) pheùp tònh tieán C) pheùp quay D)
pheùp ñoái xöùng taâm
Caâu 20 : Trong mp oxy cho ñieåm M(1;2) . pheùp ñoàng daïng coù
ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp vaø pheùp ñoái
xöùng qua truïc oy bieán M thaønh ñieåm N. Tìm N? Caâu 21 :Trong
maët phaúng oxy cho ñöôøng thaúng d coù phöông trình : x+
y+2=0 . pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân
tieáp pheùp vò töï taâm O tæ soá vaø pheùp ñoái xöùng qua truïc
ox bieán d thaønh d’. Tìm phöông trình d'?
Caâu 22 : Trong caùc pheùp bieán hình sau ñaây pheùp bieán hình
naøo khoâng coù tính chaát “bieán moät ñöôøng thaúng thaønh moät
ñöôøng thaúng song song hoaëc truøng vôùi noù”:
A) pheùp ñoái xöùng taâm B) pheùp tònh tieán C) pheùp vò töï D)
pheùp ñoái xöùng truïc
Caâu 23: Cho ñöôøng troøn (C ) coù phöông trình (x-1)2 + (y-2)2
=4 .Pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp
pheùp vò töï taâm O tæ soá k=3 vaø pheùp tònh tieán theo vectô
bieán (C) thaønh (C'). Tìm (C') ?
Caâu 24 : Cho ñöôøng troøn (C ) coù phöông trình (x-1)2 + (y-2)2
=4 . Pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp
pheùp vò töï taâm O tæ soá k=3 vaø pheùp ñoái xöùng qua goác
toaï ñoä bieán (C) thaønh (C'). Tìm (C')?
Caâu 25 : Choïn khaúng ñònh sai trong caùc khaúng ñònh sau :
A)pheùp tònh tieán bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù
cuøng baùn kính
B) pheùp ñoái xöùng truïc bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng
troøn coù cuøng baùn kính
C) pheùp ñoái xöùng taâm bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng
troøn coù cuøng baùn kính
D) pheùp vò töï bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù
cuøng baùn kính
CHÖÔNG 2. QUAN HEÄ SONG SONG
Vấn đề 1 : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG VÀ :
19
GV: Nguyễn Quang Tánh
Bài tập Toán 11
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và ta đi tìm hai điểm chung I ; J của và
= I J
Khi tìm điểm chung ta chú ý :
Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm chung
M d và d M
a b M trong(P)
a ; b M là điểm chung
1. 1: 1)Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm của AB. Hãy xác định giao tuyến của mặt
phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD)
2)Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng trong (ABC)
cắt AB; BC tại J ; K. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I,d) với các mặt phẳng sau :
(SAB) ; (SAC) ; (SBC)
1. 2: 1)Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm
giao tuyến của :
a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD) c) (SAD) và (SBC)
2)Cho hình chóp S.ABCDE. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) với
các mặt phẳng (SAD) ; (SCE)
1. 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi ; M là điểm trên cạnh CD.
Tìm giao tuyến của các mặt phẳng :
a)(SAM) và (SBD) b)(SBM) ; (SAC)
1. 4: Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm trong ABC; N là điểm nằm trong ACD. Tìm
giao tuyến của : a) (AMN) và (BCD) b) (CMN) và (ABD)
1
1. 5: Cho tứ diện ABCD .M nằm trên AB sao cho AM = MB ; N nằm trên AC sao cho
4
AN = 3NC; điểm I nằm trong BCD. Tìm giao tuyến của :
a) (MNI) và (BCD) b) (MNI) và (ABD) c) (MNI) và (ACD)
1. 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J lần lượt là trung điểm của AD; BC .
a) Tìm giao tuyến của : (IBC) và (JAD)
b)M là điểm trên AB; N là điểm trên AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN)
1. 7: Cho hai đường thẳng a ; b (P) và điểm S không thuộc (P). Hãy xác định giao
tuyến của mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S ?
1. 8: Cho tứ diện ABCD ; trên AB ; AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho :
AM AN
. Tìm giao tuyến của (DMN) và (BCD)
MB NC
1. 9; Cho bốn điểm ABCD không đồng phẳng ; gọi I ; K là trung điểm AD ; BC . Xác
định giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) ?
1. 10 : Trong mặt phẳng cho hình thang ABCD có đáy là AB ; CD ; S là điểm nằm
ngoài mặt phẳng hình thang. Tìm giao tuyến của :
a) (SAD) và (SBC) b) (SAC) và (SBD)
20
GV: Nguyễn Quang Tánh