Bài tập tích vô hướng hai vectơ

  • 10 trang
  • file .pdf
Tích vô hướng của hai vectơ www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng
CHƯƠNG II
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
VÀ ỨNG DỤNG
I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ
TỪ 00 ĐẾN 1800
1. Định nghĩa
Lấy M trên nöûa ñöôøng troøn ñôn vò taâm O. Xeùt goùc nhoïn α = xOM
 . Giaû söû M(x; y).
sinα = y (tung ñoä)
cosα = x (hoaønh ñoä) y
y  tung ñoä 
tanα =   (x ≠ 0) y M
x  hoaønh ñoä 
-1 O x x1
x  hoaønh ñoä 
cotα =   (y ≠ 0)
y  tung ñoä 
Chú ý: – Nếu α tù thì cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0.
– tanα chỉ xác định khi α ≠ 900, cotα chỉ xác định khi α ≠ 00 và α ≠ 1800.
2. Tính chất
• Góc phụ nhau • Góc bù nhau
sin(900 − α ) = cos α sin(1800 − α ) = sin α
cos(900 − α ) = sin α cos(180 0 − α ) = − cos α
tan(90 0 − α ) = cot α tan(180 0 − α ) = − tan α
cot(900 − α ) = tan α cot(180 0 − α ) = − cot α
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
00 300 450 600 900 1800
1 2 3
sinα 0 1 0
2 2 2
3 2 1
cosα 1 0 –1
2 2 2
3
tanα 0 1 3 || 0
3
3
cotα || 3 1 0 ||
3
4. Các hệ thức cơ bản
sin α
tan α = (cos α ≠ 0)
cos α sin 2 α + cos2 α = 1
cos α 1
cot α = (sin α ≠ 0) 1 + tan 2 α = (cos α ≠ 0)
sin α cos2 α
tan α .cot α = 1 (sin α .cos α ≠ 0) 1
1 + cot 2 α = (sin α ≠ 0)
sin 2 α
Chú ý: 0 ≤ sin α ≤ 1; − 1 ≤ cos α ≤ 1 .
www.MATHVN.com Trang 12
Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com Tích vô hướng của hai vectơ
Baøi 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) a sin 0 0 + b cos 00 + c sin 900 b) a cos 900 + b sin 900 + c sin180 0
c) a2 sin 90 0 + b2 cos 90 0 + c2 cos1800 d) 3 − sin 2 90 0 + 2 cos2 600 − 3 tan2 450
e) 4a2 sin 2 450 − 3(a tan 450 )2 + (2a cos 450 )2
Baøi 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) sin x + cos x khi x bằng 00; 450; 600. b) 2 sin x + cos 2 x khi x bằng 450; 300.
Baøi 3. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:
1 1
a) sin β = , β nhọn. b) cos α = − c) tan x = 2 2
4 3
6− 2
Baøi 4. Biết sin150 = . Tinh cos150 , tan150 , cot150 .
4
Baøi 5. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức:
1 tan x + 3 cot x + 1
a) sin x = , 90 0 < x < 180 0 . Tính A = .
3 tan x + cot x
sin α − cos α
b) tan α = 2 . Tính B =
sin3 α + 3cos3 α + 2sin α
Baøi 6. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (sin x + cos x )2 = 1 + 2 sin x.cos x b) sin 4 x + cos4 x = 1 − 2 sin 2 x.cos2 x
c) tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x.sin 2 x d) sin 6 x + cos6 x = 1 − 3sin 2 x.cos2 x
e) sin x.cos x (1 + tan x )(1 + cot x ) = 1 + 2 sin x.cos x
Baøi 7. Đơn giản các biểu thức sau:
a) cos y + sin y.tan y b) 1 + cos b . 1 − cos b c) sin a 1 + tan 2 a
1 − cos2 x 1 − 4 sin 2 x.cos2 x
d) + tan x.cot x e)
1 − sin 2 x (sin x + cos x )2
f) sin(900 − x ) + cos(180 0 − x ) + sin 2 x (1 + tan 2 x ) − tan 2 x
Baøi 8. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) cos2 120 + cos2 780 + cos2 10 + cos2 890 b) sin 2 30 + sin 2 150 + sin 2 750 + sin 2 870
Baøi 9.
a)
II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
www.MATHVN.com Trang 13
Tích vô hướng của hai vectơ www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng
1. Góc giữa hai vectơ    
   
a

Cho a , b ≠ 0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA = a , OB = b .  A
b
a
 
Khi đó ( a , b ) = 
AOB với 00 ≤ 
AOB ≤ 1800. O
Chú ý: 
b
   
+ ( a , b ) = 900 ⇔ a ⊥ b
B
   
+ ( a , b ) = 00 ⇔ a , b cùng hướng
   
+ ( a , b ) = 1800 ⇔ a , b ngược hướng
   
+ ( a, b ) = ( b , a )
2. Tích vô hướng của hai vectơ
    
• Định nghĩa: a.b = a . b .cos ( a , b ) .
  2
Đặc biệt: a.a = a 2 = a .
  
• Tính chất: Với a , b , c bất kì và ∀k∈R, ta có:
      
+ a.b = b .a ; a ( b + c ) = a.b + a.c ;
  
( ka ) .b = k ( a.b ) = a. ( kb ) ;    
a 2 ≥ 0; a 2 = 0 ⇔ a = 0 .
  2      
( a − b )2 = a 2 − 2a.b + b 2 ;
+ ( a + b ) = a 2 + 2a.b + b 2 ;
    
a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b ) .

     
+ a.b > 0 ⇔ ( a, b ) nhoïn + a.b < 0 ⇔ ( a, b ) tuø
  
a.b = 0 ⇔ ( a, b ) vuoâng.
3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
  
• Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2). Khi đó: a.b = a1b1 + a2 b2 .
   a1b1 + a2 b2  
• a = a12 + a22 ; cos(a , b ) = ; a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 = 0
a12 + a22 . b12 + b22
• Cho A( x A ; y A ), B( x B ; yB ) . Khi đó: AB = ( x B − x A )2 + ( yB − y A )2 .
Baøi 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng:
     
a) AB. AC b) AC.CB c) AB.BC
Baøi 2. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:
     
a) AB. AC b) AC.CB c) AB.BC
Baøi 3. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì.
     
a) Chứng minh: DA.BC + DB.CA + DC .AB = 0 .
b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".
Baøi 4. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh:
     
BC. AD + CA.BE + AB.CF = 0 .
Baøi 5. Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của
hai đường thẳng
AM
 và
BN.
     
a) Chứng minh: AM .AI = AB.AI , BN .BI = BA.BI .
   
b) Tính AM . AI + BN .BI theo R.
Baøi 6. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8.
 
a) Tính AB. AC , rồi suy ra giá trị của góc A.
www.MATHVN.com Trang 14
Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com Tích vô hướng của hai vectơ
 
b) Tính CA.CB .  
c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính CD.CB .
Baøi 7. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:
         
a) AB. AC b) ( AB + AD )(BD + BC ) c) ( AC − AB)(2 AD − AB)
       
d) AB.BD e) ( AB + AC + AD )(DA + DB + DC )
HD: a) a2 b) a2 c) 2a2 d) − a2 e) 0
Baøi 8. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.
 
a) Tính AB. AC , rồi suy ra cosA.  
b) Gọi G là trọng tâm của ∆ABC. Tính AG.BC .
     
c) Tính giá trị biểu thức S = GA.GB + GB.GC + GC.GA .
  
d) Gọi AD là phân giác trong của góc 
BAC (D ∈ BC). Tính AD theo AB, AC , suy ra
AD.
  3 1   5 29
HD: a) AB.AC = − , cos A = − b) AG.BC = c) S = −
2 4 3 6

AB   3  2  54
d) Sử dụng tính chất đường phân giác DB = .DC ⇒ AD = AB + AC , AD =
AC 5 5 5
0
Baøi 9. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 60 . M là trung điểm của BC.
a) Tính BC, AM.
    
b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi: 2IA + IB = 0, JB = 2 JC .
7 2
HD: a) BC = 19 , AM = b) IJ = 133
2 3
Baøi 10. Cho tứ giác ABCD.
 
a) Chứng minh AB 2 − BC 2 + CD 2 − DA2 = 2 AC.DB .
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là:
AB 2 + CD 2 = BC 2 + DA2 .
Baøi 11. Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh:
  1
MH .MA = BC 2 .
4
Baøi 12. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh:
   
a) MA2 + MC 2 = MB 2 + MD 2 b) MA.MC = MB.MD
   
c) MA2 + MB.MD = 2 MA.MO (O là tâm của hình chữ nhật).
Baøi 13. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).
a) Tính chu vi và nhận dạng
tam giác
ABC.

b) Tìm toạ độ điểm M biết CM = 2 AB − 3 AC .
c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Baøi 14. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).
 
a) Tính AB. AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.
f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.
g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
h) Tìm toạ độ điểm K trên 
Ox để 
AOKBlà thang đáy AO.
 hình

i) Tìm toạ độ điểm T thoả TA + 2TB − 3TC = 0
www.MATHVN.com Trang 15
Tích vô hướng của hai vectơ www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng
k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.
l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ∆ABC.
Baøi 15. Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm M sao cho:
     
a) MA2 = 2 MA.MB b) ( MA − MB)(2 MB − MC ) = 0
       
c) ( MA + MB)( MB + MC ) = 0 d) 2 MA2 + MA.MB = MA.MC
Baøi 16. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
       
a) MA.MC + MB.MD = a2 b) MA.MB + MC.MD = 5a2
    
c) MA2 + MB 2 + MC 2 = 3MD 2 d) ( MA + MB + MC )( MC − MB) = 3a2
Baøi 17. Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm M
    1
sao cho: MA.MB + MC.MD = IJ 2 .
2
Baøi 18.
a)
III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Cho ∆ABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c
www.MATHVN.com Trang 16
Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com Tích vô hướng của hai vectơ
– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc
– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc
– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r
– nửa chu vi tam giác: p
– diện tích tam giác: S
1. Định lí côsin
a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A ; b2 = c 2 + a2 − 2ca.cos B ; c2 = a2 + b2 − 2 ab.cos C
2. Định lí sin
a b c
= = = 2R
sin A sin B sin C
3. Độ dài trung tuyến
2(b2 + c2 ) − a2 2(a2 + c2 ) − b2 2(a2 + b2 ) − c2
ma2 = ; mb2 = ; mc2 =
4 4 4
4. Diện tích tam giác
1 1 1
S = aha = bhb = chc
2 2 2
1 1 1
= bc sin A = ca sin B = ab sin C
2 2 2
abc
=
4R
= pr
= p( p − a)( p − b)( p − c) (công thức Hê–rông)
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.
5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)
Cho ∆ABC vuông tại A, AH là đường cao.
A
• BC 2 = AB 2 + AC 2 (định lí Pi–ta–go)
• AB 2 = BC.BH , AC 2 = BC.CH
1 1 1
• AH 2 = BH .CH , = + B H C
AH 2 AB 2 AC 2
• AH .BC = AB. AC
• b = a.sin B = a.cos C = c tan B = c cot C ; c = a.sin C = a.cos B = b tan C = b cot C
T
6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung) B
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định. A
• Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD. R
    M O
PM/(O) = MA.MB = MC.MD = MO 2 − R 2
• Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT. C
D
PM/(O) = MT 2 = MO 2 − R 2
Baøi 1. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có;
a) a = b.cos C + c.cos B b) sin A = sin B cos C + sin C cos B
3
c) ha = 2 R sin B sin C d) ma2 + mb2 + mc2 = (a2 + b2 + c 2 )
4
www.MATHVN.com Trang 17
Tích vô hướng của hai vectơ www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng
1   2
e) S∆ ABC = AB 2 . AC 2 − ( AB.AC )
2
Baøi 2. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
2 1 1
a) Nếu b + c = 2a thì = + b) Nếu bc = a2 thì sin B sin C = sin2 A, hb hc = ha2
ha hb hc
c) A vuông ⇔ mb2 + mc2 = 5ma2
Baøi 3. Cho tứ giác lồi ABCD, gọi α là góc hợp bởi hai đường chép AC và BD.
1
a) Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi công thức: S = AC.BD.sin α .
2
b) Nêu kết quả trong trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc.
Baøi 4. Cho ∆ABC vuông ở A, BC = a, đường cao AH.
a) Chứng minh AH = a.sin B.cos B, BH = a.cos2 B, CH = a.sin2 B .
b) Từ đó suy ra AB 2 = BC .BH , AH 2 = BH .HC .
Baøi 5. Cho ∆AOB cân đỉnh O, OH và OK là các đường cao. Đặt OA = a,  AOH = α .
a) Tính các cạnh của ∆OAK theo a và α.
b) Tính các cạnh của các tam giác OHA và AKB theo a và α.
c) Từ đó tính sin 2α , cos 2α , tan 2α theo sin α , cos α , tan α .
Baøi 6. Giải tam giác ABC, biết:
a) c = 14; A = 60 0 ; B = 40 0 b) b = 4,5; A = 300 ; C = 750
c) c = 35; A = 40 0 ; C = 120 0 d) a = 137,5; B = 830 ; C = 570
Baøi 7. Giải tam giác ABC, biết:
a) a = 6,3; b = 6,3; C = 540 b) b = 32; c = 45; A = 870
c) a = 7; b = 23; C = 1300 d) b = 14; c = 10; A = 1450
Baøi 8. Giải tam giác ABC, biết:
a) a = 14; b = 18; c = 20 b) a = 6; b = 7,3; c = 4,8
c) a = 4; b = 5; c = 7 d) a = 2 3; b = 2 2; c = 6 − 2
Baøi 9.
a)
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II
Baøi 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
www.MATHVN.com Trang 18
Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com Tích vô hướng của hai vectơ
sin x 1 + cos x 2 sin3 x + cos3 x
a) + = b) = 1 − sin x.cos x
1 + cos x sin x sin x sin x + cos x
2
 tan 2 x − 1  1 cos2 x − sin 2 x
c)   − = −1 d) = 1 + tan2 x
 2 tan x  4 sin x.cos2 x
2 4 4
sin x + cos x − sin x 2
2 2
sin x cos x
e) − = sin x − cos x
cos x (1 + tan x ) sin x (1 + cot x )
 cos x   sin x  1
f)  tan x +  .  cot x + =
 1 + sin x   1 + cos x  sin x.cos x
g) cos2 x (cos2 x + 2 sin 2 x + sin2 x tan 2 x ) = 1
5 −1
Baøi 2. Biết sin180 = . Tính cos180, sin720, sin1620, cos1620, sin1080, cos1080, tan720.
4
Baøi 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = cos4 x − cos2 x + sin 2 x b) B = sin 4 x − sin 2 x + cos2 x
 
Baøi 4. Cho các vectơ a , b .
          
a) Tính góc ( a , b ) , biết a , b ≠ 0 và hai vectơ u = a + 2b , v = 5a − 4b vuông góc.
     
b) Tính a + b , biết a = 11, b = 23, a − b = 30 .
        
c) Tính góc ( a , b ) , biết (a + 3b ) ⊥ (7a − 5b ), (a − 4 b ) ⊥ (7a − 2b ) .

       
d) Tính a − b , 2 a + 3b , biết a = 3, b = 2, (a , b ) = 1200 .
         
e) Tính a , b , biết a + b = 2, a − b = 4, (2 a + b ) ⊥ (a + 3b ) .
Baøi 5. Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 6.
 
a) Tính AB. AC và cosA.
 2   3 
b) M, N là hai điểm được xác định bởi AM = AB, AN = AC . Tính MN.
3 4
Baøi 6. Cho hình bình hành ABCD có AB = BAD = 60 0 .
3 , AD = 1, 
   
a) Tính AB.AD, BA.BC .
 
b) Tính độ dài hai đường chéo AC và BD. Tính cos ( AC , BD ) .
Baøi 7. Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân
đỉnh A là ABD và ACE. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI ⊥ DE.
Baøi 8. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H, K lần lượt là trực tâm
của các tam giác ABO và CDO. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng
minh HK ⊥ IJ.
Baøi 9. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, M là trung điểm cạnh AB. Trên đường chéo
 3 
AC lấy điểm N sao cho AN = AC .
4
a) Chứng minh DN
  góc
vuông với MN.
b) Tính tổng DN .NC + MN .CB .
Baøi 10. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
       
a) AB .AM − AC .AM = 0 b) AB.AM + AC. AM = 0
         
c) ( MA + MB)( MA + MC ) = 0 d) ( MA + MB + 2 MC )( MA + 2 MB + MC ) = 0
Baøi 11. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
a) b2 − c2 = a(b.cos C − c.cos B) b) (b2 − c 2 ) cos A = a(c.cos C − b.cos B)
b) sin A = sin B.cos C + sin C.cos B = sin( B + C )
www.MATHVN.com Trang 19