Bài tập chuyên đề đồ thị hàm số

  • 26 trang
  • file .doc
Chuyên đề ôn toán thi vào cấp 3
C¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn hµm sè
* §iÓm thuéc ®êng - ®êng ®i qua mét ®iÓm
Bµi to¸n: Cho (C) lµ ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) vµ
mét ®iÓm A(xA;yA). Hái (C) cã ®i qua A kh«ng?
 §å thÞ (C) ®i qua A(xA;yA) khi vµ chØ khi to¹ ®é cña A
nghiÖm ®óng ph¬ng tr×nh cña (C)
A(C)  yA = f(xA)
Dã ®ã tÝnh f(xA)
NÕu f(xA) = yA th× (C) ®i qua A.
NÕu f(xA)  yA th× (C) kh«ng ®i qua A.
* sù t¬ng giao cña hai ®å thÞ
Bµi to¸n : Cho (C) vµ (L) theo thø tù lµ ®é thÞ hµm sè
y = f(x) vµ y = g(x)
H·y kh¶o s¸t sù t¬ng giao cña hai ®å thÞ
 To¹ ®é ®iÓm chung cña (C) vµ (L) lµ nghiÖm cña ph¬ng
tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung:
f(x) = g(x) (*)
- NÕu (*) v« nghiÖm th× (C) vµ (L) kh«ng cã ®iÓm chung.
- NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (C) vµ (L) tiÕp xóc nhau.
- NÕu (*) cã 1 nghiÖm th× (C) vµ (L) cã 1 ®iÓm chung.
- NÕu (*) cã 2 nghiÖm th× (C) vµ (L) cã 2 ®iÓm chung.
Nguyễn Ngọc Đính-01696904243 Page 1
Chuyên đề ôn toán thi vào cấp 3
* lËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng
Bµi to¸n 1: LËp ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng (D) ®i
qua ®iÓm A(xA;yA) vµ cã hÖ sè gãc b»ng k.
 Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®êng th¼ng (D) lµ : y = ax +
b (*)
- X¸c ®Þnh a: ta cã a = k
- X¸c ®Þnh b: (D) ®i qua A(xA;yA) nªn ta cã yA = kxA + b 
b = yA - kxA
- Thay a = k; b = y A - kxA vµo (*) ta cã ph¬ng tr×nh cña
(D)
Bµi to¸n 2: LËp ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng (D) ®i
qua ®iÓm A(xA;yA); B(xB;yB)
 Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®êng th¼ng (D) lµ : y = ax
+b
(D) ®i qua A vµ B nªn ta cã:
Gi¶i hÖ ta t×m ®îc a vµ b suy ra ph¬ng tr×nh cña (D)
Bµi to¸n 3: LËp ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng (D) cã
hÖ sè gãc k vµ tiÕp xóc víi ®êng cong (C): y = f(x)
 Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®êng th¼ng (D) lµ : y = kx
+b
Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (D) vµ (P) lµ:
f(x) = kx + b (*)
V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiÖm kÐp. Tõ ®iÒu
kiÖn nµy ta t×m ®îc b vµ suy ra ph¬ng tr×nh cña (D)
Nguyễn Ngọc Đính-01696904243 Page 2
Chuyên đề ôn toán thi vào cấp 3
Bµi to¸n 3: LËp ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng (D) ®i
qua ®iÓm A(xA;yA) k vµ tiÕp xóc víi ®êng cong (C): y =
f(x)
 Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®êng th¼ng (D) lµ : y = kx
+b
Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (D) vµ (P) lµ:
f(x) = kx + b (*)
V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiÖm kÐp.
Tõ ®iÒu kiÖn nµy ta t×m ®îc hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a vµ b
(**)
MÆt kh¸c: (D) qua A(xA;yA) do ®ã ta cã yA = axA + b (***)
Tõ (**) vµ (***)  a vµ b  Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng
(D).
Nguyễn Ngọc Đính-01696904243 Page 3
Chuyên đề ôn toán thi vào cấp 3
Phần bài tập:
Bài 1: (1,5 điểm)
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số và đường thẳng (D): trên
cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
Bài 2: (1,5 điểm) y=a
Biết rằng đường cong trong hình vẽ bên là một parabol y = ax2. x2
1) Tìm hệ số a.
2) Gọi M và N là các giao điểm của đường thẳng
2
y = x + 4 với parabol. Tìm tọa độ của các điểm M và N.
Bài 3:
Tìm m để các đường thẳng y = 2x + m và y = x – 2m + 3 cắt nhau tại một
điểm nằm trên trục tung.
Nguyễn Ngọc Đính-01696904243 Page 4
Chuyên đề ôn toán thi vào cấp 3
Bài 4 (2,0 điểm ) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x 2 và đường
thẳng (d) : y = 2x + 3
1. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
2. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác
OAB ( O là gốc toạ độ)
Bài 5:(1,5 điểm)
Cho hai hàm số y = x2 và y = x + 2.
a) Vẽ đồ thị hai hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b) Bằng phép tính hãy xác định tọa độ các giao điểm A, B của hai đồ thị
trên (điểm A có hoành độ âm).
c) Tính diện tích của tam giác OAB (O là gốc tọa độ)
Bài 6:
Cho Parbol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = (m +2)x – m + 6. Tìm m
để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ
dương.
Bài 7: (1,5 điểm)
Cho đường thẳng (d): y = 2x + m – 1
a) Khi m = 3, tìm a để điểm A(a; -4) thuộc đường thẳng (d).
b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại M và N sao
cho tam giác OMN có diện tích bằng 1.
Bài 8 : ( 1,5 điểm )
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho các hàm số :
y = 3x2 có đồ thị ( P ) ; y = 2x – 3 có đồ thị là ( d ) ; y = kx + n có đồ thị là ( d1 )
với k và n là những số thực .
1 / Vẽ đồ thị ( P ) .
2 / Tìm k và n biết ( d1 ) đi qua điểm T( 1 ; 2 ) và ( d1 ) // ( d ) .
Nguyễn Ngọc Đính-01696904243 Page 5
Chuyên đề ôn toán thi vào cấp 3
Bài 9 : ( 2,0 điểm) .
Cho parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = mx (d), với m là tham số.
1/ Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 9.
2/ Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm, mà khoảng cách
giữa hai điểm này bằng
Bài 10: (1,5 điểm)
1. Cho hai hàm số bậc nhất y = -x + 2 và y = (m+3)x + 4. Tìm các giá trị của m để
đồ thị của hàm số đã cho là:
a) Hai đường thẳng cắt nhau
b) Hai đường thẳng song song.
2. Tìm các giá trị của a để đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) đi qua điểm M(-1; 2).
Bài 11: (2, 0 điểm)
Cho parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình lần lượt là và
(m là tham số, m 0).
a) Với m = –1 , tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
b) Chứng minh rằng với mọi m 0 đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại
hai điểm phân biệt.
Bài 12: (2,0 điểm)
Cho parapol và đường thẳng (m là tham số).
Nguyễn Ngọc Đính-01696904243 Page 6
Chuyên đề ôn toán thi vào cấp 3
1/ Xác định tất cả các giá trị của m để song song với đường thẳng
.
2/ Chứng minh rằng với mọi m, luôn cắt tại hai điểm phân biệt A và B.
3/ Ký hiệu là hoành độ của điểm A và điểm B. Tìm m sao cho
.
Bài 13 (2điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M(–1 ; 2)
và song song với đường thẳng y = 2x + 1. Tìm a và b.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 + 4x – m2 – 5m = 0. Tìm các
giá trị của m sao cho: |x1 – x2| = 4.
Bài 14 (1,5 điểm):
1/ Vẽ đồ thị (P) hàm số y =
2/ Xác định m để đường thẳng (d): y = x – m cắt (P) tại điểm A có hoành độ
bằng 1. Tìm tung độ của điểm A
Bài 15. (2,0 điểm):
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng
(d): y = mx + 2 (m là tham số).
1) Tìm m để (d) cắt (P) tại một điểm duy nhất.
2) Cho hai điểm A(-2; m) và B(1; n). Tìm m, n để A thuộc (P) và B
thuộc (d).
3) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến (d). Tìm m để độ dài
đoạn OH lớn nhất.
Bài 16: ( 2,5 điểm )
Cho hai hàm số và y =
A,Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
Nguyễn Ngọc Đính-01696904243 Page 7
Chuyên đề ôn toán thi vào cấp 3
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.
Bài 17. (1,5 điểm)
Cho đường thẳng (dm) : y = - x + 1 – m2 và (D): y = x
1) Vẽ đường thẳng (dm) khi m = 2 và (D) trên cùng hệ trục tọa độ, nhận xét về 2 đồ
thị của chúng.
2) Tìm m dể trục tọa độ Ox, (D) và (dm) đồng quy.
Bài 18
a) Vẽ đồ thị hàm số y = 3x + 2 (1).
b) Gọi A, B là giao điểm của đồ thị hàm số (1) với trục tung và trục hoành.
Tính diện tích tam giác OAB.
Bài 19: (2,0 điểm)
Cho parabol (P): và đường thẳng (d): y = (m – 1)x – 2 (với m là
tham số).
a) Vẽ (P).
b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) tại điểm có hoành độ dương.
c) Với m tìm được ở câu b), hãy xác định tọa độ tiếp điểm của (P) và (d).
Nguyễn Ngọc Đính-01696904243 Page 8
Chuyên đề ôn toán thi vào cấp 3
Bài 20:
Cho parabol (P): y = − x2 và đường thẳng (d): y = (3 − m)x + 2 − 2m (m là
tham số).
a) Chứng minh rằng với m ≠ −1 thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B.
b) Gọi yA, yB lần lượt là tung độ các điểm A, B. Tìm m để |yA − yB| = 2.
Bài 21: (2,0 điểm)
Cho hàm số y = x + 1 (*) có đồ thị là đường thẳng ( d )
a) Tìm hệ số góc và vẽ đồ thị hàm số (*)
b) Tìm a để (P): y = ax2 đi qua điểm M (1 ;2).Xác định tọa độ giao điểm của đường
thẳng (d) và Parabol (P) với a vừa tìm được .
Nguyễn Ngọc Đính-01696904243 Page 9
Chuyên đề ôn toán thi vào cấp 3
Phần Hướng Dẫn
Bài 1:
a) Đồ thị:
Lưu ý: (P) đi qua O(0;0),
Nguyễn Ngọc Đính-01696904243 Page 10
Chuyên đề ôn toán thi vào cấp 3
(D) đi qua
b) PT hoành độ giao điểm của (P) và (D) là
 x2 + 2x – 8 = 0
y(-4) = 4, y(2) = 1
Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (D) là .
Bài 2:
1) Theo đồ thị ta có y(2) = 2  2 = a.22  a = ½
2) Phương trình hoành độ giao điểm của y = và đường thẳng y = x + 4 là :
x+4=  x2 – 2x – 8 = 0  x = -2 hay x = 4
y(-2) = 2 ; y(4) = 8. Vậy tọa độ các điểm M và N là (-2 ; 2) và (4 ; 8).
Bài 3:
Để hai đường thẳng y = 2x + m và y = x – 2m + 3 cắt nhau tại một điểm trên trục
tung thì m = -2m + 3 => 3m = 3 => m = 1.
Vậy với m = 1 thì hai đường thẳng y = 2x + m và y = x – 2m + 3 cắt nhau tại một
điểm trên trục tung
Bài 4:
1. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
Hoành độ giao điểm đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của phương trình
x2 = 2x + 3 => x2 – 2x – 3 = 0 có a – b + c = 0
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = -1 và x2 =
Với x1 = -1 => y1 = (-1)2 = 1 => A (-1; 1)
Nguyễn Ngọc Đính-01696904243 Page 11
Chuyên đề ôn toán thi vào cấp 3
Với x2 = 3 => y2 = 32 = 9 => B (3; 9)
Vậy (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt A và B
2. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc toạ
độ)
Ta biểu diễn các điểm A và B trên mặt phẳng toạ độ Oxy như hình vẽ
9 B
A 1
D C
-1 0 3
Theo công thức cộng diện tích ta có:
S(ABC) = S(ABCD) - S(BCO) - S(ADO)
= 20 – 13,5 – 0,5 = 6 (đvdt)
Bài 5: (3,0 điểm)
a) Vẽ (d) và (P) trên cùng một hệ trục tọa độ.
x -2 -1 0 1 2
Nguyễn Ngọc Đính-01696904243 Page 12
Chuyên đề ôn toán thi vào cấp 3
(P) 4 1 0 1 4
x -2 0
y = x + 2(d) 0 2
6
4
B
2
1
A
-2 1 2
-10 -5
O 5 10
-2
-4
-6
Nguyễn Ngọc Đính-01696904243 Page 13
Chuyên đề ôn toán thi vào cấp 3
b) Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình:
Tọa độ các giao điểm của (d) và (P): A (-1;1) và B (2;4)
c) SOAB = .(1+4).3 - .1.1 - .2.4 = 3
Bài 6: ycbt tương đương với PT x2 = (m +2)x – m + 6 hay x2 - (m +2)x + m – 6 = 0
có hai nghiệm dương phân biệt.
Bài 7:
a) Thay m = 3 vào phương trình đường thẳng ta có: y = 2x + 2.
Để điểm A(a; -4) thuộc đường thẳng (d) khi và chỉ khi: -4 = 2a + 2 suy ra a = -3.
b) Cho x = 0 suy ra y = m – 1 suy ra: , cho y = 0 suy ra
suy ra
Để diện tích tam giác OMN = 1 khi và chỉ khi: OM.ON = 2 khi và chỉ khi .
Khi và chỉ khi (m – 1)2 = 4 khi và chỉ khi: m – 1 = 2 hoặc m – 1 = -2 suy ra m = 3
hoặc m = -1
Vậy để diện tích tam giác OMN = 1 khi và chỉ khi m = 3 hoặc m = -1.
Bài 8 : ( 1,5 điểm )
1 / Vẽ đồ thị ( P ) .
2 / ( d1 ) // ( d ) nên k = 2 ; n –3 và đi qua điểm T( 1 ; 2 ) nên x = 1 ; y =
2 . Ta có phương trình : 2 = 1.2 + n n=0
Nguyễn Ngọc Đính-01696904243 Page 14
Chuyên đề ôn toán thi vào cấp 3
Bài 9 : ( 2,0 điểm) .
1/ P.trình hoành độ giao điểm (P) và (d) :
Vì giao điểm . Với y = 9 => m2 = 9  (m = 3 v m = -3)
Vậy với thì (P) và (d) cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 9.
2/ Từ câu 1 => (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi .
Khi đó giao điểm thứ nhất là gốc toạ độ O ( x = 0; y = 0), giao điểm thứ 2 là điểm
A có ( x = m; y = m2).
Khoảng cách giữa hai giao điểm : AO =
(1)
Đặt (1)  (t1 = 3 ( nhận ) v t2 = - 2 ( loại))
Với t1 = 3  m2 = 3 , ( nhận)
Vậy với thì (P) cắt (d) tại hai điểm có khoảng cách bằng .
Bài 10: 1. Cho hai hàm số bậc nhất y = -x + 2 và y = (m+3)x + 4. Tìm các giá trị
của m để đồ thị của hàm số đã cho là:
a) Để hàm số y = (m+3)x + 4 là hàm số bậc nhất thì m + 3 0 suy ra m -
3.
Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau a a’
-1 m+3 m -4
Vậy với m -3 và m -4 thì đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt
nhau.
Nguyễn Ngọc Đính-01696904243 Page 15
Chuyên đề ôn toán thi vào cấp 3
b) Đồ thị của hàm số đã cho là Hai đường thẳng song song
thỏa mãn điều kiện m -3
Vậy với m = -4 thì đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song.
2. Tìm các giá trị của a để đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) đi qua điểm M(-1; 2).
Vì đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) đi qua điểm M(-1; 2) nên ta thay x = -1 và y = 2
vào hàm số ta có phương trình 2 = a.(-1)2 suy ra a = 2 (thỏa mãn điều kiện a 0)
Vậy với a = 2 thì đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) đi qua điểm M(-1; 2).
Bài 11:
a) Với và lần lượt trở thành .
Lúc đó phương trình hoành độ giao điểm của và là:
có nên có hai nghiệm là
.
Với
Với
Vậy tọa độ giao điểm của và là và .
b) Phương trình hoành độ giao điểm của và là:
.
Với thì là phương trình bậc hai ẩn x có
với mọi m. Suy ra
luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Hay với mọi m 0 đường thẳng (d) luôn
cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
Nguyễn Ngọc Đính-01696904243 Page 16
Chuyên đề ôn toán thi vào cấp 3
Bài 12:
1/ Đường thẳng song song với đường thẳng
khi
2/ Phương trình hoànhđộ giao điểm của và là
là phương trình bậc hai có với
mọi m nên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Do đó luôn cắt tại hai
điểm phân biệt A và B với mọi m.
3/ Cách 1: Ký hiệu là hoành độ của điểm A và điểm B thì là
nghiệm của phương trình .
Giải phương trình .
Phương trình có hai nghiệm là .
Do đó
Cách 2: Ký hiệu là hoành độ của điểm A và điểm B thì là nghiệm
của phương trình . Áp dụng hệ thức Viet ta có:
do đó
Bài 13:
a) Đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 2x +1 nên:
Nguyễn Ngọc Đính-01696904243 Page 17
Chuyên đề ôn toán thi vào cấp 3
a = 2, b 1.
Vì đường thẳng y = 2x + b đi qua điểm M(–1 ; 2) nên ta có pt:
2(-1) + b = 2 b = 4 (thỏa mãn b 1). Vậy a = 2, b = 4
b) Ta có : . Để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thì ta có:
hoặc (*)
Theo định lí Vi-et, ta có: và
Ta có:
m = 0 hoặc m = – 5
Kết hợp với đk(*), ta có m = 0 , m = – 5 là các giá trị cần tìm.
Bài 14 (1,5 điểm):
1/ Vẽ đồ thị (P) hàm số y =
-Bảng giá trị
x -4 -2 0 2 4
y= 8 2 0 2 8
-Đồ thị (P) là đường parabol đỉnh O(0; 0) nằm phía trên trục hoành, nhận trục tung
làm trục đối xứng và đi qua các điểm có tọa độ cho trong bảng trên.
Nguyễn Ngọc Đính-01696904243 Page 18
Chuyên đề ôn toán thi vào cấp 3
2/ Cách 1.
Vì (d) cắt (P) tại điểm A có hoành độ bằng 1 nên x = 1 thỏa mãn công thức hàm số
(P) => Tung độ của điểm A là: yA = =
 A(1; ) (d) nên =1–m
m=1– =
Vậy với m = thì (d): y = x – m cắt P tại điểm A có hoành độ bằng 1. Khi đó tung
độ yA =
Cách 2
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:
= x – m  x2 – 2x + 2m = 0 (*)
Để (d) cắt (P) tại điểm A có hoành độ bằng 1 thì phương trình (*) có nghiệm bằng
1
 12 – 2.1 + 2m = 0  m =
Nguyễn Ngọc Đính-01696904243 Page 19
Chuyên đề ôn toán thi vào cấp 3
Vậy với m = thì (d): y = x – m cắt P tại điểm A có hoành độ bằng 1. Khi đó tung
độ yA = =
Bài 15:
(d) cắt (P) tại một điểm duy nhất Û Phương trình hoành độ của (d) và (P):
1. -x2 = mx + 2 Û x2 + mx + 2 = 0 có nghiệm duy nhất.
Û D = m2 – 8 = 0 Û m = ±
Vậy giá trị m cần tìm là m = ±
2.
(0,75đ) Vậy m = -4, n = -2.
- Nếu m = 0 thì (d) thành: y = 2 Þ khoảng cách từ O đến (d) = 2 Þ OH = 2 (Hình
1).
y y
3 (d)
H y =2
A
2 2
H
1 1
B
-2 -1 O 1 2 3 x -1 O 1 x
-1 -1
-2 -2
Hình 1
3. Hình 2
- Nếu m ≠ 0 thì (d) cắt trục tung tại điểm A(0; 2) và cắt trục hoành tại điểm B(
0) (Hình 2).
Nguyễn Ngọc Đính-01696904243 Page 20