Bài giảng phương pháp tọa độ trong không gian

  • 32 trang
  • file .pdf
Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc: Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian 1
PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN
Chuû ñeà 1. Heä toïa ñoä trong khoâng gian----------------------------------------------- 2
A. Toùm taét lyù thuyeát ------------------------------------------------------------------------------------2
B. Baøi taäp ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 4
Chuû ñeà 2. Tích coù höôùng -------------------------------------------------------------------- 6
A. Toùm taét lyù thuyeát ------------------------------------------------------------------------------------6
B. Baøi taäp ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 7
Chuû ñeà 3. Phöông trình maët phaúng --------------------------------------------------- 8
1. Toùm taét lyù thuyeát ---------------------------------------------------------------------------------------8
2. Caùc ví duï ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 12
3. Baøi taäp ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 13
Chuû ñeà 4. Phöông trình ñöôøng thaúng----------------------------------------------- 16
A. Toùm taét lyù thuyeát vaø caùc ví duï ------------------------------------------------------------- 16
B. Baøi taäp ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 21
Baøi taäp toång hôïp veà maët phaúng vaø ñöôøng thaúng----------------------------------- 23
Toång keát veà khoaûng caùch vaø goùc ----------------------------------------------------------- 26
Chuû ñeà 5. Phöông trìõnh maët caàu ------------------------------------------------------ 29
A. Phöông trình maët caàu --------------------------------------------------------------------------- 29
B. Baøi taäp veà maët caàu --------------------------------------------------------------------------------- 29
ThS. Phaïm Hoàng Phong. DÑ:0983070744
Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc: Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian 2
Chuû ñeà 1. Heä toïa ñoä trong khoâng gian
A. Toùm taét lyù thuyeát
1. Heä truïc toïa ñoä trong khoâng gian
Ñònh nghóa: Hệ trục tọa độ Oxyz
z
là một hệ thống gồm ba trục tọa
độ đôi một vuông góc Ox , Oy ,

k
Oz .
  
Gọi i , j , k lần lượt là ba véc-tơ
O
đơn vị trên ba trục Ox , Oy , Oz . ⃗j y
Ta có
         ⃗i
i  j  k  1 , i.j  j.k  k.i  0 .
x
2. Toïa ñoä cuûa moät veùc-tô, moät ñieåm
    
 Toïa ñoä cuûa moät veùc-tô: u  x;y;z   u  xi  yj  zk .

Để xác định tọa độ của véc-tơ u ta
làm như sau:
 
+) Lấy điểm A sao cho OA  u .
+) Lấy H , P là hình chiếu của A
lên Oxy , Oz ; M , N là hình chiếu
của H lên Ox , Oy .


+) Ta có: u  OM;ON;OP .  H
 
 
Tính chaát: Cho các véc-tơ u1 x1;y1;z1 , u 2 x2 ;y 2 ;z 2   và số k tùy ý, ta có
ThS. Phaïm Hoàng Phong. DÑ:0983070744
Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc: Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian 3
 x1  x 2
  
☞ u1  u 2   y1  y 2 .
z  z
 1 2
 
☞ u1  u 2   x1  x 2 ;y1  y 2 ;z1  z 2  .

☞ ku1   kx1;ky1;kz1  .
 
☞ Giả sử u 2  0 , ta có:
 x1  mx2
    
u1 / /u 2  m  R : u1  mu 2  m  R :  y1  my 2 .
 z  mz
 1 2

 Toïa ñoä cuûa moät ñieåm: Tọa độ của điểm M là tọa độ của véc-tơ OM
   
M  x;y;z   OM  xi  y j  zk .

 Toïa ñoä cuûa veùc-tô AB :

A   x A ; y A ;z A  , B   xB ; y B ;z B   AB   xB  x A ; y B  y A ; z B  z A  .
Ta có:
 x  x A  xB
 M 2
 y A  yB
☞ M là trung điểm của AB   y M 
2
.

z  z A  zB
 M 2
 x  x A  xB  xC
 G 3
 y A  y B  y BC
☞ G là trọng tâm tam giác ABC   y G 
3
.

 z  z A  zB  zC
 G 3
 x  x A  x B  xC  x D
 G 4
 y A  y B  yC  y D
☞ G là trọng tâm tứ diện ABCD   y G 
4
.

 z  z A  z B  zC  z D
 G 4
ThS. Phaïm Hoàng Phong. DÑ:0983070744
Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc: Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian 4

3. Tích voâ höôùng cuûa hai veùc-tô: Cho các véc-tơ u1 x1;y1;z1 ,  

u 2  x2 ;y 2 ;z 2  , ta có
     
☞  
u1 .u 2  u1 . u 2 cos u1 ,u 2  x1x 2  y1y 2  z1z 2 .
  2
☞ u1  u1  x12  y12  z12 .
 
Heä quaû: A  x A ; y A ;z A , B  xB ; y B ;z B  
 AB   xB  x A  2   y B  y A  2   z B  z A  2
 
  u1 .u2 x1x2  y1y 2  z1z 2    
☞   u1 . u2
cos u1 ,u 2    
x12  y12  z12 . x22  y 22  z 22
( u1  0 , u 2  0 ).
   
☞ u1  u 2  u1 .u2  0  x1x 2  y1y 2  z1z 2  0 .
B. Baøi taäp
Baøi 1. Cho A  2;3;  1 . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên các mặt phẳng tọa
độ và các trục tọa độ.
Baøi 2. Cho M  1;2;3  . Tìm tọa độ của điểm M ' lần lượt đối xứng với M qua
1) Gốc tọa độ.
2) Mặt phẳng Oxy , Oyz , Ozx .
3) Trục tọa độ Ox , Oy , Oz .
    
Baøi 3. Cho các véc-tơ a  1;2;3  , b  0;1; 1 , c  1; 2;4  . Tìm tọa độ các véc-tơ u , v
biết rằng
   
1) u  2a  3b  4c .
   
2) u  4a  23 b  5c .
Baøi 4. Cho các bộ điểm
1) A  2;3;1 , B  4; 3; 1 , C  3;0;0  .
2) M  1;2; 3  , N  3;6;5  , P  2;4;3  .
ThS. Phaïm Hoàng Phong. DÑ:0983070744
Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc: Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian 5
Hỏi trong các bộ điểm nói trên, bộ điểm nào thẳng hàng, bộ điểm nào tạo thành một tam
giác?
Baøi 5. Cho các điểm A  1;3; 4  , B  5;0;5  , C  1;2; 1 , D  1; 1;2  .
1) Chứng tỏ rẳng ba điểm A , B , C thẳng hàng; ba điểm A , B , D không thẳng
hàng.
2)  tù.
Chứng minh góc ADB
Baøi 6. Cho tam giác ABC với A 1; 1;1 , B  0;1;2  , C  1;0;1 .
1) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác.
2) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
Baøi 7. Cho tam giác ABC với A  11;8;4  , B  1;  7; 1 , C  9; 2;4  . Hãy chứng tỏ
tam giác vuông và tính diện tích của nó.
Baøi 8. Cho hình hộp ABCD.A 'B 'C' D' có A  4;1; 2  , C  3; 2;17  , B'  4;5;10  ,
D'  7; 2;11 . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Baøi 9. Cho hình hộp ABCD.A 'B 'C' D' có A  1;0; 1 , B  2; 1;  2  , D  1;1; 1 ,
   
OC'  4i  5j  5k . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Baøi 10.
1) Trên trục Oy , tìm điểm M cách đều hai điểm A  3;1;0  , B  2;4;1 .
2) Trên mặt phẳng Oxz , tìm tọa độ điểm N cách đều ba điểm
A  1;1;1 , B  1;1;0  , C  3;1; 1 .
Baøi 11. Cho tứ diện ABCD với A 1; 1;1 , B  3;1; 2  , C  1;2;4  , D  5; 6;9  . Tìm tọa
đột trọng tâm G của tứ diện.
Baøi 12. Cho tứ diện ABCD với A  1;0;0  , B  0;1;0  , C  0;0;1 , D   2;1; 1 .
1) Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện.
2) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD . Tìm tọa độ trung điểm G của MN .
Baøi 13.  
Cho tứ diện ABCD với A  3;0;0  , B 0;3 3;0 , C  3;0;0  , D 0; 3;3 .  
Chứng minh tứ diện có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.
Baøi 14. Cho tam giác ABC với A  1;1;1 , B  5;1; 2  , C  7;9;1 . Biết phân giác trong
góc A cắt BC tại D . Tìm tọa độ điểm D .
ThS. Phaïm Hoàng Phong. DÑ:0983070744
Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc: Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian 6
Baøi 15. Cho tam giác ABC với A  1;2; 1 , B  2; 1;3  , C  4;7;5  . Tính độ dài đường
phân giác trong góc B .
Chuû ñeà 2.Tích coù höôùng
A. Toùm taét lyù thuyeát
 
1. Ñònh nghóa: cho u   x;y;z  , v   x'; y ';z '  tích có hướng của
 
u và v là:
   y z z x x y 
 u, v    ; ;    yz ' y ' z;zx' z ' x;xy ' x'y  .
y z  z  x x y  
2. Tính chaát
     
1) Tích có hướng vuông góc với các véc-tơ thành phần:  u, v   u ,  u, v   v .
     
2) Độ dài của tích có hướng:  u, v  u . v .sin  u, v  .
3. ÖÙng duïng 1: kiểm tra điều kiện cùng phương và đồng phẳng
    
1) Điều kiện cùng phương của hai véc-tơ: u / / v  u, v  0 .  
  
Heä quaû: bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng   AB, AC  .AD  0 .
 
     
2) Điều kiện đồng phẳng của ba véc-tơ: u , v , w đồng phẳng   u, v  .w  0 .
 
     
Chuù yù: biểu thức  u, v  .w được gọi là tích hồn tạp của ba véc-tơ u , v , w .
 
4. ÖÙng duïng 2: tính diện tích, thể tích
 
1) Diện tích hình bình hành ABCD : S   AB, AD  .
 
1    
2) Diện tích hình tam giác ABC : S  AB, AC  .
2
  
3) Thể tích khối hộp ABCD.A 'B 'C' D' : V   AB, AD  .AA ' .
 
1     
4) Thể tích khối tứ diện ABCD : V  AC, AB  .AD .
6
ThS. Phaïm Hoàng Phong. DÑ:0983070744
Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc: Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian 7
B. Baøi taäp
     
Baøi 1. Cho a  2;3;1 , b  5;7;0  , c  3; 2;4  . Chứng minh a , b , c không đồng phẳng.
   
Hãy biểu diễn d  4;12;3  qua a , b , c .
Baøi 2. Cho A  1;2; 3  , B(2;4;7) , C  0;2; 4  .
1) Tìm ràng buộc giữa x , y , z để M  x;y;z   mp  ABC  .
2) Xác định tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Hãy tính diện tích của hình
bình hành đó.

3) Gọi n và véc-tơ vuông góc với mp  ABC  và có độ dài bằng 1 . Hãy xác định tọa độ của

n.
Baøi 3. Cho tứ diện A , B , C , D với A  2;3;1 , B  1;1; 2  , C  2;1;0  , D  0; 1;2  .
1) Tính VABCD .
2) Tính độ dài đường cao AH của tứ diện.
3) Xác định tọa độ của H .
Ñaùp soá:
1) 7 . 2)
14
. 3)  2;3;1 .
3 2
Baøi 4. Cho A  0;1;1 , B  1;0;2  , C  1;1;0  , D  2;1; 2  .
1) Chứng minh A , B , C , D không đồng phẳng.
2) Tính độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC và bán kính đường tròn nội tiếp của
tam giác đó.
 và góc giữa các đường thẳng AB và CD .
3) Tính góc CBD
4) Tính thể tích của tứ diện ABCD và độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện.
ThS. Phaïm Hoàng Phong. DÑ:0983070744
Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc: Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian 8
Chuû ñeà 3.Phöông trình maët phaúng
1. Toùm taét lyù thuyeát
a. Veùc-tô chæ phaùp tuyeán vaø veùc-tô
chæ phöông cuûa maët phaúng
  
 Véc-tơ n  0 được gọi là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  nếu n có giá vuông
 
góc với  P  . Ký hiệu n   P  hoặc  P   n .
Chuù yù:

☞ Mọi véc-tơ khác 0 , cùng phương với một véc-tơ pháp tuyến của một mặt

n1   P 
   
phẳng đều là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy:  n2  0  n2   P  .
  
n2 / /n1
☞ Hai véc-tơ pháp tuyến của cùng một mặt phẳng luôn cùng phương với nhau:

n1   P   
   n1 / /n 2 .
n2   P 
  
 Véc-tơ u  0 được gọi là véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng  P  nếu u có giá song
 
song hoặc nằm trên  P  . Ký hiệu u / /  P  hoặc  P  / /u .
Chuù yù:

☞ Mọi véc-tơ khác 0 , cùng phương với một véc-tơ chỉ phương của một mặt

u1 / /  P 
   
phẳng đều là véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng ấy:  u2  0  u2 / /  P  .
  
u2 / /u1
☞ Hai véc-tơ chỉ phương của cùng một mặt phẳng chưa chắc cùng phương với
nhau.
ThS. Phaïm Hoàng Phong. DÑ:0983070744
Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc: Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian 9
 Quan hệ giữa véc-tơ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương của cùng một mặt phẳng
☞ Véc-tơ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương của cùng một mặt phẳng vuông góc
với nhau

n   P   
  nu.
u / /  P 

☞ Véc-tơ khác 0 , vuông góc với véc-tơ pháp tuyến của một mặt phẳng là véc-tơ
chỉ phương của mặt phẳng ấy.

n   P 
   
u  0  u / / P .
 
u  n

☞ Véc-tơ khác 0 , vuông góc với véc-tơ chỉ phương của một mặt phẳng không

chắc là là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy. Tuy nhiên, một véc-tơ khác 0 , vuông
góc với hai véc-tơ chỉ phương không cùng phương của một mặt phẳng thì là véc-tơ
pháp tuyến của mặt phẳng ấy:
 
n  0
 
u1 / /  P 
  
u2 / /  P   n   P  .
  
n  u1
  
n  u 2
Từ đây suy ra: tích có hướng của hai véc-tơ chỉ phương của một mặt phẳng là véc-tơ
pháp tuyến của mặt phẳng ấy:

u1 / /  P   
    u1 ,u 2    P  .
u2 / /  P 
ThS. Phaïm Hoàng Phong. DÑ:0983070744
Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc: Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian 10
b. Phöông trình toång quaùt cuûa maët
phaúng
 
Xeùt baøi toaùn: lập phương trình mặt phẳng  P  đi qua điểm M 0 x0 ;y 0 ;z 0 , nhận véc-tơ

n  A;B;C  làm véc-tơ chỉ phương.


Lôøi giaûi: Xét điểm M  x;y;z  . Ta có M 0M  x  x0 ;y  y 0 ;z  z 0 .
   
M   P   n  M 0M  n.M 0M  A  x  x0   B  y  y 0   C  z  z 0   0 .
    
Vậy  P  : A x  x 0  B y  y 0  C z  z 0  0 
hay  P  : Ax  By  Cz  D  0 ( D   Ax0  By 0  Cz 0 ).
Keát luaän:
☞ Mỗi mặt phẳng trong không gian đều có phương trình dạng:
Ax  By  Cz  D  0 (phương trình tổng quát của mặt phẳng),
trong đó A , B , C là các hằng số không đồng thời bằng 0 .
☞ Ngược lại, người ta chứng minh được: mỗi phương trình Ax  By  Cz  D  0
với A , B , C là các hằng số không đồng thời bằng 0 là phương trình của một mặt
phẳng.
c. Moät soá daïng ñaëc bieät cuûa phöông
trình maët phaúng
☞ Phương trình mặt phẳng vuông góc với các trục tọa độ
 P   Ox  phương trình của  P  có dạng By  Cz  D  0 ( B2  C2  0 ).
 P   Oy  phương trình của  P  có dạng Ax  Cz  D  0 ( A 2  C2  0 ).
 P   Oz  phương trình của  P  có dạng Ax  By  D  0 ( A 2  B 2  0 ).
☞ Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ
 P  đi qua gốc tọa độ  phương trình của  P  có dạng Ax  By  Cz  0
2 2 2
( A  B  C  0 ).
ThS. Phaïm Hoàng Phong. DÑ:0983070744
Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc: Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian 11
☞ Phương trình dạng mặt chắn
 P  đi qua A  a;0;0  , B  0;b;0  , C  0;0;c  ( a , b , c  0 )
y
  P  : x   z  1 (phương trình dạng mặt chắn)
a b c
d. Vò trí töông ñoái giöõa hai maët
phaúng
Cho hai mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D  0 và   ' : A ' x  B' y  C'z  D'  0 .
☞ Hai mặt phẳng đó cắt nhau khi và chỉ khi hai bộ số  A;B;C  ,  A ';B';C' 
 A  tA'

không tỷ lệ, tức là không tồn tại t sao cho  B  tB' .
C  tC'

☞ Hai mặt phẳng đó song song khi và chỉ khi hai bộ số  A;B;C  ,  A ';B';C' 
tỷ lệ và hai bộ số  A;B;C; D  ,  A ';B';C';D'  không tỷ lệ, tức là tồn tại t sao cho
 A  tA'
B  tB'

 .
C  tC'
 D  tD'
☞ Hai mặt phẳng đó song song khi và chỉ khi hai bộ số  A;B;C; D  ,
 A  tA'
B  tB'
 A ';B';C';D' tỷ lệ, tức là tồn tại t sao cho  .
C  tC'
 D  tD'
e. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán
moät maët phaúng

* Cho điểm A x0 ; y 0 ;z 0  và mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  0 . Ta có
Ax0  By 0  Cz 0  D
d  A,  P    .
A 2  B 2  C2
* Hệ quả: cho hai mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  0 và  Q  :Ax  By  Cz  D'  0 . Ta

ThS. Phaïm Hoàng Phong. DÑ:0983070744
Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc: Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian 12
| D  D' |
d  P  , Q   .
A 2  B 2  C2
2. Caùc ví duï
Baøi 1. Viết phương trình mặt phẳng  P  biết rằng

1)  P  đi qua A  2;0; 4  và nhận n  2; 3;6  là véc-tơ pháp tuyến
( 2x  3x  6z  20  0 ).
2)  P  đi qua A  2;2; 3  và vuông góc với đường thẳng BC , trong đó B  2;10; 7  ,
C  5;9; 12  .
3)  P  đi qua A  1;4;6  và vuông góc với trục Oz .
4)  P  đi qua M  2;5;7  và song song với  Q  : 3x  2y  z  1  0 .
 
5)  P  đi qua A  4;2;5  và nhận u1  7;4;1 và u1  1;4; 4 là các véc-tơ chỉ phương.

6)  P  đi qua A  4;2;5  , B  3; 3;2  và nhận u  4; 1;9  là véc-tơ chỉ phương.
7)  P  đi qua A  4; 2; 12  , B  2; 1;0  và song song với Ox .
8)  P  đi qua A  2;4;6  , B  1; 1;9  và vuông góc với  Q  : 2x  z  0 .
9)  P  qua ba điểm A  1;2;3  , B  1; 2; 3  , C  0 ; 2;1 .
10)  P  là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A  3;1; 4  , B  3;0; 5  .
11)  P  qua A  0;6; 5  và giao tuyến với của hai mặt phẳng  Q  : 3x  2y  z  0 và
R : x  y  z – 2  0 .
ThS. Phaïm Hoàng Phong. DÑ:0983070744
Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc: Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian 13
12)  P  đi qua A  4;9;11 và chứa Ox .
3. Baøi taäp
Baøi 1. Viết phương trình mặt phẳng  P  biết rằng
1)  P  đi qua M  2; 1;2  , song song với Oy và vuông góc với mặt phẳng
 Q  : 2x  y  3z  4  0 .
2)  P  đi qua M  3; 1; 5  , vuông góc với hai mặt phẳng  Q  : 3x  2y  2z  7  0 và
 R  : 5x  4y  3z  1  0 .
3)  P  đi qua hai điểm M  2;1;3  , N  1; 2;1 và vuông góc với mặt phẳng
 Q  : 2x  y  z  7  0 .
4)  P  đi qua M  1;0;1 , N  5;2;3  và vuông góc với đường thẳng AB biết rằng
A  2;0; 1 và B  3;3;4  .
5)  P  đi qua M  2;1; 1 và giao tuyến của hai mặt phẳng  Q  : x  y  z  4  0 ,
 R  : 3x  y  z  1  0 .
6) P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng  : x  y  z  3  0 ,
   : 3x  y  5z  1  0 và song song với mặt phẳng    : x  y  2z  3  0 .
7)  P  đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng    : 3x  y  z  2  0 ,    : x  4y  5  0
và vuông góc với mặt phẳng    : 2x  z  7  0 .
Baøi 2. Viết phương trình mặt phẳng  P  biết rằng
ThS. Phaïm Hoàng Phong. DÑ:0983070744
Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc: Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian 14
1)  P  đi qua M  1;2;3  và song song với mặt phẳng  Q  : 2x  5y  4z  2  0 . Tính
khoảng cách giữa hai mặt phẳng  P  ,  Q  .
2)  P  có khoảng cách đến  Q  : 3x  4y  z  5  0 bằng 3 .
3)  P  đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng  Q  : 2x  y  0 ,  R  : x  y  2z  3  0 và có
khoảng cách đến điểm M  0; 2;3  bằng 5 .
Baøi 2. Cho  P  : 2x  3y  z  0 và M  2;4;6  .
1) Tìm tọa độ hình chiếu H của M lên  P  .
2) Tìm tọa độ M ' đối xứng với M qua  P  .
7 7 7 
Ñaùp soá: 1) H 4 ; 13 ; 47 .  7 
2) M '  6 ;  2 ; 52 .
7 7
Baøi 3. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng sau đây
1)  P  : 3x  2y  z  0 và  Q  : 3x  2y  z  0 .
2)  P  : 3x  2y  z  0 và  Q  : 3x  2y  z  3  0 .
3)  P  : 3 x  y  1 z  0 và  Q  : 3x  2x  z  0 .
2 2
4)  P  : 3x  y  4  0 và  Q  : 3 x  1 y  2  0 .
2 2
5)  P  : 3x  y  4  0 và  Q  : 3 x  1 y  0 .
2 2
6)  P  : 3x  y  4  0 và  Q  : y  1 .
Baøi 4. Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song
1)  P  : 2x  ny  2z  3  0 và  Q  : mx  2y  4z  7  0 .
2)  P  : 2x  y  mz  2  0 và  Q  : x  ny  2z  8  0 .
Baøi 5. Cho  P  : 2x  my  3z  6  m  0 và  Q  :  m  3  x  2y   5m  1 z  10  0 . Với
giá trị nào của m thì
1) Hai mặt phẳng đó song song.
2) Hai mặt phẳng đó trùng nhau.
3) Hai mặt phẳng đó cắt nhau.
4) Hai mặt phẳng đó vuông góc.
ThS. Phaïm Hoàng Phong. DÑ:0983070744
Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc: Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian 15
Baøi 6. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng  P  và  Q  trong các trường hợp
sau
1)  P  : 2x  y  4z  5  0 ,  Q  : 3x  5y  z  1  0 .
2)  P  : 2x  y  2z  1  0 ,  Q  : 6x  3y  2z  2  0 .
3)  P  : x  2y  z  1  0 ,  Q  : x  2y  z  5  0 .
Ñaùp soá: 1)
Baøi 7. Tìm điểm M  Oz trong các trường hợp sau
1) M cách đều điểm A  2;3;4  và mặt phẳng  P  : 2x  3y  z  17  0 .
2) M cách đều hai mặt phẳng  P  : x  y  z  1  0 và  Q  : x  y  z  5  0 .
Baøi 8. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc, OA  a ,
OB  b , OC  c . Tính độ dài đường cao kẻ từ O của tứ diện.
Ñaùp soá: abc .
b c  c 2a 2  a 2b 2
2 2
Baøi 9. Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C' D' cạnh a . Trên các cạnh AA ' , BC , C' D'
lần lượt lấy các điểm M , N , P sao cho AM  CN  D'P  t , với 0  t  a . Chứng minh hai
mặt phẳng  MNP  và  ACD' song song và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Ñaùp soá: t 3 .
3
Baøi 10. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc. Gọi  ,  , 
là góc giữa các mặt  OBC  ,  OCA  ,  OAB  với mặt  ABC  . Bằng phương pháp tọa độ
hãy chứng minh:
1) Tam giác ABC nhọn.
2 2 2
2) cos   cos   cos   1 .
ThS. Phaïm Hoàng Phong. DÑ:0983070744
Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc: Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian 16
Chuû ñeà 4.Phöông trình ñöôøng thaúng
A. Toùm taét lyù thuyeát vaø caùc ví duï
1. Phöông trình ñöôøng thaúng

Cho đường thẳng d đi qua điểm M 0 x0 ; y 0 ;z 0  và có véctơ chỉ phương u  a;b;c  . Ta có
 x  x0  at

 Phương trình tham số của d là  y  y 0  bt ( t   là tham số của phương trình).
 z  z  ct
 0
x  x0 y  y0 z  z0
 Phương trình chính tắc của d (khi abc  0 ) là
a

b

c
.
Đặc biệt: phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A x A ;y A ;z A  ,
x  xA y yA z  zA
B  xB ;y B ;z B  ( x A  xB , y A  y B , z A  z B ) là   .
xB  x A yB  y A zB  z A
Ví duï 1. Viết phương trình tham số đường thẳng d trong các trường hợp sau

1) d đi qua điểm M  2; 3;4  và nhận u 1; 1 ;0  2  là véc-tơ chỉ phương.
2) d đi qua hai điểm A  4;0;5  , B  3;5;7  .
y  3 z 1
3) d đi qua điểm M  3;7;9  và song song với đường thẳng d' : x 1   2 .
2 4
4) d đi qua điểm M  2;0;1 và song song với trục Ox .
 
5) d đi qua điểm M 2 ;0; 1 và vuông góc với mặt phẳng tọa độ xOy .
3
ThS. Phaïm Hoàng Phong. DÑ:0983070744
Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc: Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian 17
6) d là giao tuyến của hai mặt phẳng  P  : x  y  2  0 ,  Q  : 2x  3y  z  7  0 .
7) d đi qua điểm M  2;1;2  và song song với cả hai mặt phẳng  P  : x  4y  z  0 ,
 Q  : 5x  6y  7z  7  0 .
Giaûi
x  2  t

1) Phương trình tham số của d là  y  3  t .
2

z  4
x4 y z5
2) Phương trình chính chắc của d là   .
1 5 2
x  4  t

Phương trình tham số của d là  y  5t .
 z  5  2t

3) Thay tọa độ M vào phương trình d' ta có 31  7 3  91  1 .  1 sai  M  d'  tồn
2 4 2
tại đường thẳng d qua M , song song với d' .
   
4) d' nhận u  2;4; 2  làm véc-tơ chỉ phương. u  2;4; 2  / /u'  1;2; 1  u' là một véc-tơ

chỉ phương của d'  u' là một véc-tơ chỉ phương của d  phương trình tham số của d
x  3  t

là  y  7  2t .
z  9  t


5) d / /Ox  d nhận véc-tơ i  1;0;0  làm véc-tơ chỉ phương  phương trình tham số của
 x  2  t

d là  y  0 .
z  1


6) d   xOy   d cùng phương với trục Oz  d nhận véc-tơ k  0;0;1 làm véc-tơ chỉ
x  2
 3
phương  phương trình tham số của d là  y  0 .
 z  1  t

ThS. Phaïm Hoàng Phong. DÑ:0983070744
Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc: Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian 18
y  1 y  1
7) Thay x  1 vào phương trình của  P  và  Q  ta được hệ    . Từ đây
 3y  z  5 z  2
suy ra M  1;1;2   d  1 .
   
 P   n P  1;1;0  ,  Q   nQ  2;3;1 . d   P    Q   d nhận n P ,nQ    1; 1;1 làm véc-tơ
chỉ phương  2  .
x  1  t

 1 ,  2   phương trình tham số của d là  y  1  t .
z  2  t

8) Dễ thấy M   P  , M   Q  nên tồn tại mặt phẳng đi qua M , song song với cả  P  và
Q .
   
 P   n P  1;4; 1 ,  Q   nQ  5;6;7  . d   P    Q   d nhận  n P ,nQ    34; 12; 14  làm
 
véc-tơ chỉ phương.  n P ,nQ  / /  17; 6; 7    17; 6; 7  cũng là một véc-tơ chỉ phương của
 
 x  2  17t

d  phương trình tham số của d là  y  1  6t .
 z  2  7t

  
 2 
Nhaän xeùt: Ở câu 1, vì u'  2;1;0  / /u 1; 1 ;0 nên u' cũng là một véc-tơ chỉ phương của d 
 x  2  2t

phương trình tham số của d là  y   3  t .
z  4

 x  2  5t

Ví duï 2. Cho d :  y  2  t . Tìm điểm M biết rằng
z  3

1) M  d , M có hoành độ bằng 1 .
2) M  d , M có hoành độ bằng tung độ.
 
3) M  d , MA  u  1;2;3  . Ở đây, A   3;4;7  .
4) M đối xứng với N  0;2; 5  qua d .
5) M  d , M cách đều hai mặt phẳng tọa độ  xOy  và  yOz  .
Giaûi
ThS. Phaïm Hoàng Phong. DÑ:0983070744
Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc: Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian 19
1) M  d  tọa độ M có dạng M  2  5t;2  t;3  . M có hoành độ bằng 1  2  5t  1
 t  35  M 1; 75 ;3 . 
2) M  d  tọa độ M có dạng M  2  5t;2  t;3  . M có hoành độ bằng tung độ 

2  5t  2  t  t  23  M 43 ; 34 ;3 . 
  
3) M  d  tọa độ M có dạng M  2  5t;2  t;3  . Ta có MA   5  5t;2  t;4  . MA  u 
 
MA.u  0  1  5  5t   2  2  t   3.4  0  21  3t  0  t  7  M  33; 5;3  .
I  d  1
4) Gọi I là trung điểm của MN . M đối xứng với N qua d     .
 NI  ud  5; 1;0   2
 1  tọa độ I có dạng I  2  5t;2  t;3  .

Ta có NI   2  5t;t; 8  . Do đó  2   5  2  5t   1.t  0.  8   0  10  26t  0  t  5
13
1 ; 25 ;3 .
 I  13 13 
 xM  2xI  xN   2
 13

Suy ra  xM  2xI  xN  24

13
 M  13 
2 ; 24 ; 8 .
13 
x
 M  2x I  x N   8
5) M  d  tọa độ M có dạng M  2  5t;2  t;3  . d  M,  xOy    3 , d  M,  yOz    2  5t .
Do đó M cách đều hai mặt phẳng tọa độ  xOy  và  yOz   d  M,  xOy    d  M,  yOz  
 3  2  5t t  1  M  3;1;3 
 3  2  5t       .
 3  2  5t 
t   15  M 3; 11 ;3
 5  
2. Vò trí töông ñoái giöõa hai döôøng thaúng

Xét đường thẳng d đi qua M 0 , nhận u là một véc-tơ chỉ phương và đường thẳng d' đi qua

M '0 , nhận u' là một véc-tơ chỉ phương. Ta có các tiêu chuẩn sau đây để xét vị trí tương đối
giữa d và d' .
  
☞ d và d' trùng nhau  u , u' và M 0M '0 đôi một cùng phương.
    
  u,u'   u,M 0M '0   0 .
ThS. Phaïm Hoàng Phong. DÑ:0983070744
Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc: Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian 20
    
u vaø u' cuøng phöông   u,u'  0
 
☞ d / /d'         .
u vaø M 0M '0 khoâng cuøng phöông   u,M 0 M '0   0

    
u vaø u' khoâng cuøng phöông   u,u'  0
 
☞ d và d' cắt nhau           .
u, u' vaø M 0M '0 ñoàng phaúng   u,u' .M 0M '0  0

    
☞ d và d' chéo nhau  u và u' không đồng phẳng   u,u' .M 0M '0  0 .
Ví duï 3. Biện luận theo m vị trí tương đối của hai đường thẳng
 x  1  mt  x  m  2t '
 
d m :  y  m  2t , d'm :  y  mt ' .
 z  1  m  3t z  1  m  t '
 
Giaûi
 
Ta có d m đi qua M 0  1;m;1  m  , / / u  m;2; 3  và d m đi qua M '0  m;0;1  m  , / / u'  2;m;1 .
 
 
  u,u'  3m  2;  m  6;m 2  4

Ta thấy  
  u,u'
  
 .M 0M '0  4m 2  7m  2 .
 
 M 0M '0   m  1;  m;0 
m  2
4m 2  7m  2  0   1.
 m   4
Vậy
   m  2
*  u,u' .M 0M '0  0   1 : d m và d m chéo nhau.
 
m   4
   
* m  2 : u   2;2; 3  , u '  2;2;1  u và u' không cùng phương  d m và d m cắt nhau.
   
4  4 
* m   1 : u  1 ;2; 3 , u' 2;  1 ;1  4 
 u và u' không cùng phương  d m và d m cắt
nhau.
3. Moät soá baøi toaùn tính khoaûng caùch lieân quan ñeán ñöôøng thaúng
Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán ñöôøng thaúng

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d đi qua điểm M 0 và nhận u làm véc-tơ chỉ
 
 M 0M,u 
 
phương được tính bởi công thức d  M;d    .
u
Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau
ThS. Phaïm Hoàng Phong. DÑ:0983070744