Ba loại hệ phươg trình cơ bản
- 15 trang
- file .pdf
Chủ đề 1. Ba loại hệ phương trình cơ bản
Loại 1. Hệ đối xứng loại 1
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa: Hệ phương trình hai ẩn đối với hai ẩn x , y được gọi là hệ đối xứng loại 1 nếu
khi thay đổi vai trò của x , y thì từng phương trình của hệ không đổi.
2. Phương pháp giải: Để giải loại hệ này, ta thường sử dụng định lý Vi-ét đảo.
* Định lý Vi-ét đảo: Xét hệ
x y S
1
xy P
và phương trình
t 2 St P 0 . 2
Định lý Vi-ét đảo cho biết mối quan hệ giữa tập nghiệm của HPT 1 và PTBH 2 . Cụ thể như
sau:
+) 1 có nghiệm 2 có nghiệm S 2 4P 0 .
+) Trong trường hợp 2 có tập nghiệm là t1 ;t 2 , tập nghiệm của 2 là
t1;t 2 , t1;t 2 .
* Chú ý: Quy tắc sau đây cho phép ta xác định nhanh tập nghiệm của 1 .
+) TH1: S 2 4P 0 1 vô nghiệm.
x a x a
+) TH2: là nghiệm của 1 1 có nghiệm duy nhất .
y a y a
x a
+) TH3: ( a b ) là nghiệm của 1
y b
x a x b
1 có hai nghiệm phân biệt và .
y b y a
* Minh họa:
x y 3
+) Hệ vô nghiệm do 32 4.5 0 .
xy 5
x y 4 x 2
+) Hệ .
xy 4 y 2
1
x y 5 x 2 x 3
+) Hệ hoặc .
xy 6 y 3 y 2
2
B. Một số ví dụ
x 2 y 2 x y 8
Ví dụ 1. Giải hệ . 1
xy x y 5
Giải
x y 2 x y 2xy 8
Ta có 1 .
xy x y 5
Đặt S x y , P xy , hệ đã cho trở thành
S2 S 2P 8 S 2 S 2 5 S 8
S P 5 P 5 S
S 2 3S 18 0
P 5 S
S 6 S 3
hoặc .
P 11 P 2
S 6 2
Hệ vô nghiệm vì S 2 4P 6 4.11 8 0 .
P 11
S 3 x y 3
Hệ x;y 1;2 hoặc x;y 2;1 .
P 2 xy 2
Vậy tập nghiệm của 1 là 1;2 , 2;1 .
x 2 y y 2 x 30
Ví dụ 2. Giải hệ
3 3
. 1
x y 35
Giải
xy x y 30
Ta có 1 3
x y 3xy x y 35
xy x y 30
3
x y 125
xy 6
x y 5
x;y 2;3 hoặc x;y 3;2 .
3
Vậy tập nghiệm của 1 là 2;3 , 3;2 .
Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau
x y xy 3 2) * . x y xy 3
1) 2 2
* . 3) 2 2
* .
x y xy 2 x y xy 2
Giải
x y xy 3 x y 1 x y 2
1) * 1 hoặc 2 .
x y xy 2 xy 2 xy 1
1 vô nghiệm do 12 4.2 0 , 2 x y 1 .
x 1
Vậy * có nghiệm duy nhất .
y 1
xy 78 1
x2 y2
2) * . Thay 1 vào 2 , ta có
2
x2 y 2 2 xy 2 97
2
2 2
2 2 2
x y
2 2
2 78 97
2 2
x y
x 2 y 2 97 x 2 y 2 12168 0
2 2
x y
2
72 x2 y 2 13 3 .
x 2 y 2 2 169
Thay 3 vào 1 , ta có xy 6 . Do đó
x 2 y 2 13 x y 2 2xy 13
1
xy 6 xy 6
x y 2 25 x y 5 x y 5
hoặc
xy 6 xy 6 xy 6
x 2 x 3 x 2 x 3
hoặc hoặc hoặc .
y 3 y 2 y 3 y 2
x 2 x 3 x 2 x 3
Vậy * có bốn nghiệm , , , .
y 3 y 2 y 3 y 2
4
C. Bài tập
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau
x 2 y 2 1 x xy y 11
1) . 2) .
x 3 y 3 1 x xy y 1
x 2 y y 2 x 20 x 2 y 2 2x 2 y 2
4) .
3) 1 1 5 . x y 1 3xy
x y 4
x 2 y 2 xy 3 y x
5) . x y 2
xy 3 yx3 2 6) .
1 1
xy 4
x y
x y x2 y 2 3 x 2 y 2 xy 3x 2 y 2
8) .
7) 1 1 . 2 2 2 2
x y xy x y
xy 1
x y
x y xy 1 (x y)(x 2 y 2 ) 3
9) 2 2
. 10) .
x y 2 (x y)(x2 y 2 ) 15
x 2 y 2 x 2 y 2 1 2xy
11) .
x y xy xy x y 1
Bài 2. [ĐHD07] Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm
x 1 y 1 5
x y
3 1 3 1
.
x 3 y 3 15m 10
x y
x 2 y 2 m
Bài 3. Cho hệ .
x y 6
1) Giải hệ với m 26 .
2) Xác định m để hệ vô nghiệm.
3) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất.
4) Xác định m để hệ có hai nghiệm phân biệt.
x 2 y 2 2(m 1)
Bài 4. Cho hệ .
2
x y 4
1) Giải hệ với m 1 .
5
2) Xác định m để hệ có hai nghiệm phân biệt.
x xy y m 2
Bài 5. Cho hệ 2 2
.
x y xy m 1
1) Giải hệ với m 3 .
2) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất.
D. Đáp số
Bài 1 1) 1;0 , 0;1 . 2) 1;5 , 5;1 .
3) 1;4 , 4;1 , 5 2 41 , 5 2 41 , 5 2 41 , 5 2 41 .
4) 1;1 . 5) 1;1 , 1; 1 .
6) 1;1 . 7) 1;1 .
8) 1;1 , 1; 1 . 9) 1;1 , 1; 1 , 1; 1 .
10) 1;2 , 2;1 . 11) 1;0 , 0; 1 , 1;1 , 1; 1 .
Bài 2 m 7 ;2 22; .
4
Bài 3 1) 1;5 , 5;1 . 2) m 18 .
3) m 18 . 4) m 18 .
Bài 4 1) 0;2 , 2;0 , 0; 2 , 2;0 2) m 6 .
m 1
Bài 5 1) 1;2 , 2; 1 , 1; 1 . 2) .
m 3
4
6
Loại 2. Hệ đối xứng loại 2
A. Tóm tắt lý thuyết
* Định nghĩa: Hệ đối xứng loại hai đối với hai ẩn là hệ hai phương trình thỏa mãn điều kiện: khi
đổi vai trò hai ẩn thì phương trình này trở thành phương trình kia.
* Phương pháp giải: Để giải hệ này, thông thường ta thực hiện phép trừ từng về hai phương
trình với mục đích làm xuất hiện một phương trình tích. Từ phương trình tích này, ta rút một ẩn
theo ẩn còn lại. Sau bước này, ta tiếp tục giải hệ bằng phương pháp thế.
B. Các ví dụ
y2 2
3y 2
x
Ví dụ 1. [ĐHB03] Giải hệ * .
3x x2 2
y2
Giải
x 0 3yx2 y 2 2 1
Đk: . * .
y 0 3xy 2 x 2 2 2
Trừ từng vế 1 và 2 ta có
x y 3
3xy x y y x y x x y 3xy x y 0 .
3xy x y 0 4
* Thay 3 vào 2 ta có
3x 3 2x 2 1 0 x 1 3x2 x 1 0
x1 0 x 1
(do tam thức bậc hai 3x 2 x 1 có 11 0 vô nghiệm).
Thay x 1 vào 3 ta có y 1 .
y2 2
3y 0
x2
* Ta thấy x , y là nghiệm của hệ VT 4 0 . Từ đây suy ra tất cả
2 2
3x x 0
y2
những giá trị x , y thỏa mãn 4 đều không phải nghiệm của hệ.
x 1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất .
y 1
7
x y 2 y m 1
Ví dụ 2. Cho hệ .
y x 2 x m
2
1) Giải hệ với m 0 .
2) Xác định m để hệ có nghiệm.
3) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất.
Giải
Trừ từng vế 1 và 2 ta có
x y 0 y x 3
x y y 2 y x 2 x x y x y 0
x y 0
y x 4
.
Lần lượt thay 3 và 4 vào 2 , ta có x2 2x m 0 5 và x2 m 0 6 .
3
x 0 y 0
1) Thay m 0 vào 5 ta có x2 2x 0 .
3
x 2 y 2
4
Thay m 0 vào 6 ta có x2 0 x 0 y 0 .
x 0 x 2
Vậy khi m 0 , hệ có hai nghiệm , .
y 0 y 2
1 m 0
2) Hệ có nghiệm 5 có nghiệm hoặc 6 có nghiệm m 1.
m 0
3) Để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết một trong hai phương trình 5 , 6 có nghiệm duy
1 m 0 m 1
nhất, nghĩa là .
m 0 m 0
* Theo câu 1 thì khi m 0 hệ không có nghiệm duy nhất.
3
* Thay m 1 vào 5 ta có x2 2x 1 0 x 1 y 1 .
Thay m 1 vào 6 ta có x2 1 0 x .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất m 1 .
8
C. Bài tập
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau
x 3 3x 8y 4y
1) . x 3y x
y 3 3y 8x 2) .
y 3x 4x
y
1 1 3 7y
2 2 x 2 1
x y 4) .
3) . 3 7x
y 1
1 2 1 2 2
y x
x 3 6y m
Bài 2. Biện luận theo tham số m số nghiệm của hệ .
y 3 6x m
x 2 2xy mx y
Bài 3. Giải và biện luận hệ .
y 2 2xy my x
x 2 2 y 2 m
Bài 4. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất .
2 2
x y 2 m
xy x 2 m y 1
Bài 5. Cho hệ .
2
xy y m
x 1
1) Giải hệ với m 1 .
2) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
D. Đáp số
Bài 1 1) 0;0 , 11; 11 , 11; 11 . 2) 2; 2 .
3) 1;1 . 4) 2;2 .
m 4 2
Bài 2 * : hệ có 1 nghiệm,
m 4 2
m 4 2
* : hệ có 2 nghiệm,
m 4 2
* 4 2 m 4 2 : hệ có 3 nghiệm.
Bài 3
9
3
* 1 m 5 : hệ có 2 nghiệm 0;0 , m 1 ; m 1 .
3
m 1
* : hệ có 4 nghiệm 0;0 , m3 1 ; m3 1 ,
m 5
m 1 m 1 m 5 m 1 m 1 m 5
; ,
2 2
m 1 m 1 m 5 m 1 m 1 m 5
; .
2 2
Bài 4 m 2.
Bài 5 1) 1; 1 , a;1 a ( a ) 2) m 8 .
10
Loại 3. Hệ thuần nhất
2x 2 y 2 1
Bài 1. Giải hệ . ĐS: (1;1) , ( 1; 1) .
x 2 xy 2
x 2 y 2 xy 3
Bài 2. Giải hệ . ĐS: (1;1) , ( 1; 1) , ( 2;1) , (2; 1) .
2 2
x y xy 1
x y 2 y 2
1 1 3 3 23 3
Bài 3. Giải hệ . ĐS: ; , ; .
3
x y
x 2
xy y 2
1 2 2 3
3 3
x 2
2
y x y 2 2 2 2 2 2 2
Bài 4. Giải hệ . ĐS: 1;1 , 1; 1 , ; , ; .
y 3 3 3 3
x
2x2 y 2 1
x 3 y 2 x 3x 6y 0 3 3 3 3
Bài 5. Giải hệ . ĐS: ; , ; .
x 2 xy 3 2 2 2 2
x 2 y 2 xy 1
Bài 6. Giải hệ . ĐS: (1;1) , ( 1; 1) .
2x 3 x y
x 2 y 2 xy 3
Bài 7. Giải hệ 3 .
x 2y 3 2x y
1 6 1 1 6 1
ĐS: 1;1 , 1; 1 , ; , ; .
3 6 3 6 3 6 3 6
11
Chủ đề 2. Ba phương pháp giải hệ phương trình
Loại 1.Phương pháp thế
3 x y x y
Bài 1. [ĐHB02]
x y x y 2
. ĐS: 1;1 , 3 ; 1 . 2 2
23x 5y 2 4y
Bài 2. [ĐHD02] x x 1 . ĐS: 0;1 , 2;4 .
4 2 y
x
2 2
x 1 y 1
Bài 3. [ĐHA03] x y
. ĐS: 1;1 , 12 5 ; 12 5 , 12 5 ; 12 5 .
2y x 3 1
log 1 y x log 4 1 1
y
Bài 4. [ĐHA04] 4 . ĐS: 3;4 .
x 2 y 2 25
x 1 2 y 1
Bài 5. [ĐHB05] . ĐS: 1;1 , 2;2 .
3 log 9 9x 2
log 3 y 3
3
x4 2x 3 y x 2 y 2 2x 9
Bài 6. [ĐHB08]
x 2 2xy 6x 6
ĐS: 4; 17 .
4
xy x y x 2 2y 2
Bài 7. [ĐHD08] . ĐS: 5;2 .
x 2y y x 1 2x 2y
log 2 3y 1 x
Bài 8. [ĐHB10]
x x
4 2 3y
2
.
ĐS: 1; 1 .
2
x 2 4x y 2 0
Bài 9. [ĐHB10] . ĐS: 3;1 .
2 log 2 x 2 log 2 y 0
5x 2 y 4xy 2 3y 3 2 x y 0
Bài 10. [ĐHA11] .
2
2
xy x y 2 x y
2
ĐS: 1;1 , 1; 1 , 2 510 ; 510 , 2 510 ; 510
12
Loại 1. Hệ đối xứng loại 1
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa: Hệ phương trình hai ẩn đối với hai ẩn x , y được gọi là hệ đối xứng loại 1 nếu
khi thay đổi vai trò của x , y thì từng phương trình của hệ không đổi.
2. Phương pháp giải: Để giải loại hệ này, ta thường sử dụng định lý Vi-ét đảo.
* Định lý Vi-ét đảo: Xét hệ
x y S
1
xy P
và phương trình
t 2 St P 0 . 2
Định lý Vi-ét đảo cho biết mối quan hệ giữa tập nghiệm của HPT 1 và PTBH 2 . Cụ thể như
sau:
+) 1 có nghiệm 2 có nghiệm S 2 4P 0 .
+) Trong trường hợp 2 có tập nghiệm là t1 ;t 2 , tập nghiệm của 2 là
t1;t 2 , t1;t 2 .
* Chú ý: Quy tắc sau đây cho phép ta xác định nhanh tập nghiệm của 1 .
+) TH1: S 2 4P 0 1 vô nghiệm.
x a x a
+) TH2: là nghiệm của 1 1 có nghiệm duy nhất .
y a y a
x a
+) TH3: ( a b ) là nghiệm của 1
y b
x a x b
1 có hai nghiệm phân biệt và .
y b y a
* Minh họa:
x y 3
+) Hệ vô nghiệm do 32 4.5 0 .
xy 5
x y 4 x 2
+) Hệ .
xy 4 y 2
1
x y 5 x 2 x 3
+) Hệ hoặc .
xy 6 y 3 y 2
2
B. Một số ví dụ
x 2 y 2 x y 8
Ví dụ 1. Giải hệ . 1
xy x y 5
Giải
x y 2 x y 2xy 8
Ta có 1 .
xy x y 5
Đặt S x y , P xy , hệ đã cho trở thành
S2 S 2P 8 S 2 S 2 5 S 8
S P 5 P 5 S
S 2 3S 18 0
P 5 S
S 6 S 3
hoặc .
P 11 P 2
S 6 2
Hệ vô nghiệm vì S 2 4P 6 4.11 8 0 .
P 11
S 3 x y 3
Hệ x;y 1;2 hoặc x;y 2;1 .
P 2 xy 2
Vậy tập nghiệm của 1 là 1;2 , 2;1 .
x 2 y y 2 x 30
Ví dụ 2. Giải hệ
3 3
. 1
x y 35
Giải
xy x y 30
Ta có 1 3
x y 3xy x y 35
xy x y 30
3
x y 125
xy 6
x y 5
x;y 2;3 hoặc x;y 3;2 .
3
Vậy tập nghiệm của 1 là 2;3 , 3;2 .
Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau
x y xy 3 2) * . x y xy 3
1) 2 2
* . 3) 2 2
* .
x y xy 2 x y xy 2
Giải
x y xy 3 x y 1 x y 2
1) * 1 hoặc 2 .
x y xy 2 xy 2 xy 1
1 vô nghiệm do 12 4.2 0 , 2 x y 1 .
x 1
Vậy * có nghiệm duy nhất .
y 1
xy 78 1
x2 y2
2) * . Thay 1 vào 2 , ta có
2
x2 y 2 2 xy 2 97
2
2 2
2 2 2
x y
2 2
2 78 97
2 2
x y
x 2 y 2 97 x 2 y 2 12168 0
2 2
x y
2
72 x2 y 2 13 3 .
x 2 y 2 2 169
Thay 3 vào 1 , ta có xy 6 . Do đó
x 2 y 2 13 x y 2 2xy 13
1
xy 6 xy 6
x y 2 25 x y 5 x y 5
hoặc
xy 6 xy 6 xy 6
x 2 x 3 x 2 x 3
hoặc hoặc hoặc .
y 3 y 2 y 3 y 2
x 2 x 3 x 2 x 3
Vậy * có bốn nghiệm , , , .
y 3 y 2 y 3 y 2
4
C. Bài tập
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau
x 2 y 2 1 x xy y 11
1) . 2) .
x 3 y 3 1 x xy y 1
x 2 y y 2 x 20 x 2 y 2 2x 2 y 2
4) .
3) 1 1 5 . x y 1 3xy
x y 4
x 2 y 2 xy 3 y x
5) . x y 2
xy 3 yx3 2 6) .
1 1
xy 4
x y
x y x2 y 2 3 x 2 y 2 xy 3x 2 y 2
8) .
7) 1 1 . 2 2 2 2
x y xy x y
xy 1
x y
x y xy 1 (x y)(x 2 y 2 ) 3
9) 2 2
. 10) .
x y 2 (x y)(x2 y 2 ) 15
x 2 y 2 x 2 y 2 1 2xy
11) .
x y xy xy x y 1
Bài 2. [ĐHD07] Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm
x 1 y 1 5
x y
3 1 3 1
.
x 3 y 3 15m 10
x y
x 2 y 2 m
Bài 3. Cho hệ .
x y 6
1) Giải hệ với m 26 .
2) Xác định m để hệ vô nghiệm.
3) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất.
4) Xác định m để hệ có hai nghiệm phân biệt.
x 2 y 2 2(m 1)
Bài 4. Cho hệ .
2
x y 4
1) Giải hệ với m 1 .
5
2) Xác định m để hệ có hai nghiệm phân biệt.
x xy y m 2
Bài 5. Cho hệ 2 2
.
x y xy m 1
1) Giải hệ với m 3 .
2) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất.
D. Đáp số
Bài 1 1) 1;0 , 0;1 . 2) 1;5 , 5;1 .
3) 1;4 , 4;1 , 5 2 41 , 5 2 41 , 5 2 41 , 5 2 41 .
4) 1;1 . 5) 1;1 , 1; 1 .
6) 1;1 . 7) 1;1 .
8) 1;1 , 1; 1 . 9) 1;1 , 1; 1 , 1; 1 .
10) 1;2 , 2;1 . 11) 1;0 , 0; 1 , 1;1 , 1; 1 .
Bài 2 m 7 ;2 22; .
4
Bài 3 1) 1;5 , 5;1 . 2) m 18 .
3) m 18 . 4) m 18 .
Bài 4 1) 0;2 , 2;0 , 0; 2 , 2;0 2) m 6 .
m 1
Bài 5 1) 1;2 , 2; 1 , 1; 1 . 2) .
m 3
4
6
Loại 2. Hệ đối xứng loại 2
A. Tóm tắt lý thuyết
* Định nghĩa: Hệ đối xứng loại hai đối với hai ẩn là hệ hai phương trình thỏa mãn điều kiện: khi
đổi vai trò hai ẩn thì phương trình này trở thành phương trình kia.
* Phương pháp giải: Để giải hệ này, thông thường ta thực hiện phép trừ từng về hai phương
trình với mục đích làm xuất hiện một phương trình tích. Từ phương trình tích này, ta rút một ẩn
theo ẩn còn lại. Sau bước này, ta tiếp tục giải hệ bằng phương pháp thế.
B. Các ví dụ
y2 2
3y 2
x
Ví dụ 1. [ĐHB03] Giải hệ * .
3x x2 2
y2
Giải
x 0 3yx2 y 2 2 1
Đk: . * .
y 0 3xy 2 x 2 2 2
Trừ từng vế 1 và 2 ta có
x y 3
3xy x y y x y x x y 3xy x y 0 .
3xy x y 0 4
* Thay 3 vào 2 ta có
3x 3 2x 2 1 0 x 1 3x2 x 1 0
x1 0 x 1
(do tam thức bậc hai 3x 2 x 1 có 11 0 vô nghiệm).
Thay x 1 vào 3 ta có y 1 .
y2 2
3y 0
x2
* Ta thấy x , y là nghiệm của hệ VT 4 0 . Từ đây suy ra tất cả
2 2
3x x 0
y2
những giá trị x , y thỏa mãn 4 đều không phải nghiệm của hệ.
x 1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất .
y 1
7
x y 2 y m 1
Ví dụ 2. Cho hệ .
y x 2 x m
2
1) Giải hệ với m 0 .
2) Xác định m để hệ có nghiệm.
3) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất.
Giải
Trừ từng vế 1 và 2 ta có
x y 0 y x 3
x y y 2 y x 2 x x y x y 0
x y 0
y x 4
.
Lần lượt thay 3 và 4 vào 2 , ta có x2 2x m 0 5 và x2 m 0 6 .
3
x 0 y 0
1) Thay m 0 vào 5 ta có x2 2x 0 .
3
x 2 y 2
4
Thay m 0 vào 6 ta có x2 0 x 0 y 0 .
x 0 x 2
Vậy khi m 0 , hệ có hai nghiệm , .
y 0 y 2
1 m 0
2) Hệ có nghiệm 5 có nghiệm hoặc 6 có nghiệm m 1.
m 0
3) Để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết một trong hai phương trình 5 , 6 có nghiệm duy
1 m 0 m 1
nhất, nghĩa là .
m 0 m 0
* Theo câu 1 thì khi m 0 hệ không có nghiệm duy nhất.
3
* Thay m 1 vào 5 ta có x2 2x 1 0 x 1 y 1 .
Thay m 1 vào 6 ta có x2 1 0 x .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất m 1 .
8
C. Bài tập
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau
x 3 3x 8y 4y
1) . x 3y x
y 3 3y 8x 2) .
y 3x 4x
y
1 1 3 7y
2 2 x 2 1
x y 4) .
3) . 3 7x
y 1
1 2 1 2 2
y x
x 3 6y m
Bài 2. Biện luận theo tham số m số nghiệm của hệ .
y 3 6x m
x 2 2xy mx y
Bài 3. Giải và biện luận hệ .
y 2 2xy my x
x 2 2 y 2 m
Bài 4. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất .
2 2
x y 2 m
xy x 2 m y 1
Bài 5. Cho hệ .
2
xy y m
x 1
1) Giải hệ với m 1 .
2) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
D. Đáp số
Bài 1 1) 0;0 , 11; 11 , 11; 11 . 2) 2; 2 .
3) 1;1 . 4) 2;2 .
m 4 2
Bài 2 * : hệ có 1 nghiệm,
m 4 2
m 4 2
* : hệ có 2 nghiệm,
m 4 2
* 4 2 m 4 2 : hệ có 3 nghiệm.
Bài 3
9
3
* 1 m 5 : hệ có 2 nghiệm 0;0 , m 1 ; m 1 .
3
m 1
* : hệ có 4 nghiệm 0;0 , m3 1 ; m3 1 ,
m 5
m 1 m 1 m 5 m 1 m 1 m 5
; ,
2 2
m 1 m 1 m 5 m 1 m 1 m 5
; .
2 2
Bài 4 m 2.
Bài 5 1) 1; 1 , a;1 a ( a ) 2) m 8 .
10
Loại 3. Hệ thuần nhất
2x 2 y 2 1
Bài 1. Giải hệ . ĐS: (1;1) , ( 1; 1) .
x 2 xy 2
x 2 y 2 xy 3
Bài 2. Giải hệ . ĐS: (1;1) , ( 1; 1) , ( 2;1) , (2; 1) .
2 2
x y xy 1
x y 2 y 2
1 1 3 3 23 3
Bài 3. Giải hệ . ĐS: ; , ; .
3
x y
x 2
xy y 2
1 2 2 3
3 3
x 2
2
y x y 2 2 2 2 2 2 2
Bài 4. Giải hệ . ĐS: 1;1 , 1; 1 , ; , ; .
y 3 3 3 3
x
2x2 y 2 1
x 3 y 2 x 3x 6y 0 3 3 3 3
Bài 5. Giải hệ . ĐS: ; , ; .
x 2 xy 3 2 2 2 2
x 2 y 2 xy 1
Bài 6. Giải hệ . ĐS: (1;1) , ( 1; 1) .
2x 3 x y
x 2 y 2 xy 3
Bài 7. Giải hệ 3 .
x 2y 3 2x y
1 6 1 1 6 1
ĐS: 1;1 , 1; 1 , ; , ; .
3 6 3 6 3 6 3 6
11
Chủ đề 2. Ba phương pháp giải hệ phương trình
Loại 1.Phương pháp thế
3 x y x y
Bài 1. [ĐHB02]
x y x y 2
. ĐS: 1;1 , 3 ; 1 . 2 2
23x 5y 2 4y
Bài 2. [ĐHD02] x x 1 . ĐS: 0;1 , 2;4 .
4 2 y
x
2 2
x 1 y 1
Bài 3. [ĐHA03] x y
. ĐS: 1;1 , 12 5 ; 12 5 , 12 5 ; 12 5 .
2y x 3 1
log 1 y x log 4 1 1
y
Bài 4. [ĐHA04] 4 . ĐS: 3;4 .
x 2 y 2 25
x 1 2 y 1
Bài 5. [ĐHB05] . ĐS: 1;1 , 2;2 .
3 log 9 9x 2
log 3 y 3
3
x4 2x 3 y x 2 y 2 2x 9
Bài 6. [ĐHB08]
x 2 2xy 6x 6
ĐS: 4; 17 .
4
xy x y x 2 2y 2
Bài 7. [ĐHD08] . ĐS: 5;2 .
x 2y y x 1 2x 2y
log 2 3y 1 x
Bài 8. [ĐHB10]
x x
4 2 3y
2
.
ĐS: 1; 1 .
2
x 2 4x y 2 0
Bài 9. [ĐHB10] . ĐS: 3;1 .
2 log 2 x 2 log 2 y 0
5x 2 y 4xy 2 3y 3 2 x y 0
Bài 10. [ĐHA11] .
2
2
xy x y 2 x y
2
ĐS: 1;1 , 1; 1 , 2 510 ; 510 , 2 510 ; 510
12